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Full text of "Éléments de géométrie: avec des notes"

Go ogle 



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Go ogle 



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ÉLÉMENTS 



GÉOMÉTRIE^- 

AVEC DES NOTES; 



Par a. m. LEGENDRE, 

HEBIBBE DE l'iNSTITOT ET DE LA LÉGION-d'hONNEUR, DE LA SOCIÉTÉ 
ROYALE DE LONDRES, ETC. 



QUINZIÈME ÉDITION. 



• • • • ' • 

•••••••• 

• • • 




BRUXELLES, 

SOCIÉTÉ BELGE DE LIBRAIRIE, ETC., 

HAUMAN, GATTOIR ET COMP^. 

18â7. 



THE NEW YORK 
PUBUC LIBRARY 

686436 

AtT«R, tENOX AND 
TILDCN FOUNDATliM* 
H 1016 L 




H. REHT, IHPRIHEVR DU ROI 



AVERTISSEMENT 

POUR LA QUINZIÈME ÉDITION. 



La démonstration de la théorie des parallèles, telle 
qu'elle avait été présentée dans la S*" édition de cet ouvrage 
et dans les éditions suivantes jusqi^'a la 8" inclusivement, 
n'étant pas à l'abri de toute objection, on s'était déterminé 
dans la 9« édition à rétablir cette théorie à-peu-près sur la 
même base qu'Ëuclide. Des réflexions ultérieures faites sur 
le même objet, dont on donnera le développement dans la 
note II , ont fait découvrir deux nouvelles manières de 
démontrer le théorème sur les trois angles du*, triangle , 
sans le secours d'aucun postidatum. On a en.tîp/ïséquence 

inséré une de ces démonstrations dans lei'tBÎ^ de cette 

* * ■* 

édition , en choisissant celle qui s'éloigne'iQ<jnt)in;6'des iclées 
ordinaires, et qui d'ailleurs ne semble 'ipas'plas«'<{irfi$eâ9 à 
comprendre que celle qui avait été dOo^^ d^tid'lé^, étions 
précédentes, depuis la S** jusqu'à 'ïj^S^, 

Un autre changement qui se ferâf retniirqi;2é/;âKns cette 
^ition , est relatif à la solidité de la pyramid'e^trfangulaire. 
On a rétabli cette démonstration à-peu-pfèj' telle qu'elle 
avait été donnée dans la édition de ces éléments, mais 
en profitant d'une idée heureuse due à M. Querret, chef 
d'institution à Saint-Malo; elle consiste à rendre égales les 
hauteurs des prismes excédent et déficient que l'on construit 
dans les deux pyramides comparées. Par ce moyen la dé- 
monstration de la solidité de la pyramide parait réduite au 
dernier degré de simplicité dont elle est susceptible. 

Enfin, comme les tables trigonométriques construites 
suivant la division décimale du quadrant, ne sont pas aussi 
généralement répandues que celles qui se rapportent a 



II 



ATBBTISSKHBRT. 



Tancienne division de la circonférence , on a cru qu*il ne 
serait pas inutile de joindre aux exemples de calcul donnés, 
dans la trigonométrie , les résultats que fournirait l'usage 
des anciennes tablea. 



Le lecteur qui voudra se borner, au moins dans une 
première lecture , aux simples éléments , peut passer sans 
inconvénient les notes , appendices , et généralement tout 
ce qui est imprimé en petits caractères, comme étant moins 
utile ou exigeant une étude plus approfondie. Il reviendra 
ensuite sur ces objets, s'il le juge à propos, en choisissant 
ceux qui lui conviendront le mieux, d'après l'avis d'un 
professeur éclairé. 

N. B. Les nombres mis en marge indiquent les propositions aux- 
quelles on deyra recourir pour l'intelligence des démonstrations. Un 
seul nombre*^ comme 4, indique la proposition iv du livre courant: 
deux nomlh!'ejf*,*<20. 3 , indiquent la xx" proposition du livre m. Dans 
la Trigonomdtfie*^ a distingué les articles et les renvois par des chif- 
fres romains» •* . 



ÉLÉMÊNTS 

DE GÉOMÉTRIE. 



LIVRE PREMIER. 



LES PRINCIPES. 
DÉFiirmoifs. 

I. La Géométrie est une science qtti a pour objet la me- 
sure de l'étendue. -i '. , , 

L'étendue a trois dimensions, longueur ^'JfeÉgeur et 
hauteur. , • 

II. La Itgne est une longueur sans largëtt/i, . ; 

Les extrémités d'une ligne s'appellei^V^Df>8^ .-.'iQ^fiôiAt 
n'a donc pas d'étendue. / ' V»-!- 

IIL La ligne droite est le plus cp^l*j:!h9i)iin'.d't|rj.{U>ii|t à 
nn autre. ' 

ly . Toute ligne qui n'est ni droite ni ooœpos^ de lignes 
droites est une %n0 <?otcr^0. 

Ainsi , AB est une ligne droite , ACBD une ligne ^rtêée fig. 
ou composée de lignes droites , et AEB est une ligne 
courbe. 

y. Surface est ce qui a longueur et largeur, sans hau- 
teur ou épaisseur. 

yi. Lejplan est une surface, dans laquelle prenant deux 
points à volonté, et joignant ces deux points par une 
ligne droite , cette ligne est tout entière dans la surface. 

yil. Toute surface qui n'est ni plane ni composée de 
surfaces planes est une surface courbe. 



2 



GÉOHÊTRIC. 



YIII. Solide ou corpe est ce qui réunit les trois dimen- 
sions de rétendue. 
H' a- IX. Lorsque deux lignes droites AB, AC, se l'eneon- 
trent , la quantité plus ou moins grande dont elles sont 
écartées l'une de Tautre , quant à leur position , s^appelle 
angU; le point de rencontre ou Ôl intersection A est le eom- 
met de l'angle ; les lignes AB, AG , en sont les eètèe. 

L'angle se désigne quelquefois par la lettre du sommet 
A seulement, d'autres fois par trois lettres BAC , ou GAB , 
ayant soin de mettre la lettre du sommet au milieu. 

Les angles sont, comme toutes les quantités, susceptibles 
d'addition, de soustraction, de multiplication, et de division : 
fig. ao. ainsi l'angle DGE est la somme des deux angles DGB, BG£, 
et l'angle DGB est la différence des deux angles DG£, BCE, 
H' 3- X. Lorsque la ligne droite AB rencontre une autre 
droite GD , de telle sorte que les angles adjacents BAG , 
BAD soient égaux entre eux, chacun de ces angles s'appelle 
un angle: droit; et la ligne AB est dite perpendiculaire 
surGDV.f.':;:. 

fig. 4' XL TpùVaiji^e BAG plus petit qu'un angle droit est. un 

angie «^tgj^j^ (oK^ ab^^Ie plus grand D£F est un angle obfue^ 
fig. 5. •*3(£^^ Çeu> liçiBj^ sont à\\m paralUUe , lorsque, étant 
8itilé]ps*jdfiriri3*«jé*jn^irvlan, elles ne peuvent se rencontver 
à qu6n^ufrd!&tial^«<tH'^^^ prolonge l'une et l'autre* Tialles 
sont Ies-Veî»r4^*» 

XIU. Èigure^. plane est un* plan terminé dé toute9 paxts * 
par des lignes. 
Si les lignes sont droites, l'espace qu'elles renfenment 
H' 6. s'appelle ^yt«^ recftiligne. ov. polygone^ et les lignes elles- 
mêmes prises ensemble forment le contour ou pèrimj^tre da 
polygone* 

Xiy« Le polygone de trois côtés est le plus simple de 
tous , il s'appelle /riasyZtf ; celui de quatre côtés slappelle 
quadriiatèré;- celui de (»nq , pent^ne / celui de /sis , A«a?a- 
gone , etc. : 

fig. 7. XV. On appelle triangle équilatéraJ celui qui a ses trois 
«g. 8. côtés égaux ; triangle isoscUe, celui dont deux côtés seule- 



LIVKS I. 



ment sont égaux ^ triangle scaîène^ celui qui a ses trois fig. 9. 
côtés inégaux. 

XVI . Le triangle rectangle est celui qui a un angle droit. 
Le côté opposé à Tangle droit s'appelle ^y/^o^^f^e : ainsi fig. 10. 
ABC est un triangle rectangle en A , le côté BG est sou hy- 
poténuse. 

XVIL Parmi les quadrilatères on distingue : 

Le carré y qui a ses côtés égaux et ses angles droits, fîg. u. 
(Voyez la prop. xx, liv. i.) 

Le rectangle, qui a les angles droits sans avoir les côtés fig. la. 
égaux. (Voyez la même prop.) 

Le paraUéloyramme ou 7*hombe, qui a les c^tés opposés fig. i3. 
parallèles. 

ïae loeange , dontles càiéa sont égaux sans que les angles Hg. 14* 
soient droits/ 

Enfin le trapèze, dont deux côtés seulement sont parai- fig. i5. 
lèles. 

XVIIL On appelle diagonale la ligne qui joint, lés som- 
mets de deux angles non adjacents : telle est AC^"*V' * figt 4>- 

XIX. Polygone équUatéral est celui dont tMia^Jlbs côtés 
sont égaux 9 polygone èquiangle, celui dont*.t(>us l8& angles 
sont égaux. * * • * % " " A 

XX. Deux polygones sont équthtèrài^\e^/f a, 
qu'ils ont les côtés égaux chacun à;(^acuit/.(^^laOeii*da 
le m'ème ordre , c'est-à-dire , lorng'fit'^^t^ivaiit fleuri con- 
tours dans un même sens , le premSèr côté*de.'l^û est égal 
au premier de l'autre, le second de l'uii* .§11^ second de 
l'autre, le troisième au troisième, et ainsi de suite. On' 
entend de même ce que signifient deux polygones équiangles 
entre eux. 

Dans l'un ou Pantre 'cas, les côtés égaux ou les angles 
égaux s'appellent côtiés ou angles homologues. 

N. B. Bans les quatre premiers livres il ne sera, question que de 
figures planes ou tracées sur iine surface plane. 



4 



GÉOltTlII. 



Explication des termes et des signes. 

Axiome est une proposition évidente par elle-même. 

Théorème est une vérité qui devient évidente au moyen 
â*an raisonnement appelé dimonstmtion. 

Problême est une question proposée qui exige une 
solution, 

Lemme est une vérité employée subsidiairement pour la 
démonstration d'un théorème on la solution d*nn pro- 
blème. 

Le nom commun de proposition s'attribue indifférrai- 
ment aux théorèmes , problèmes , et lemmes. 

Corollaire est la conséquence qui découle d'une on de 
plusieurs propositions. 

Scholie est une remarque sur une on plusieurs propo- 
sitions précédentes, tendant à tdXfe apercevoir leur liaison, 
leur utilité, leur restriction , ou leur extension. 

Hy^oihf^se est une supposition faite soit dans Ténoncé 
d'une ^r6position, soit dans le courant d'une démon- 
stration. V* / , 

Xe ^içpç r=^Ielt^ le signe de l'égalité ; ainsi Teipression 

^^B*lu^ifiâ qqé.A égale B. 

't^ijr» é9C^tflêr/.qcte^ À est plus petit que B, on écrit 

 ^^V* • • v!. 

\ • • • •%•• *•* • • * 

Pour*^âtàfîme>**qué'J( est plus grand que B, on écrit 

A>B. 

Le signe*«^ se prononce plus; il indique l'addition. 

Le signe — se prononce moins ; il indique la soustrac- 
tion : ainsi A + B représente la somme des quantités A etB; 
A — B représente leur différence ou ce qui reste en 
étant B de A; de même A — B+€, ouA + G — B, 
signifie que A et G doivent être ajoutés ensemble, et que 
B doit être retranché du tout. 

Le signe x indique la multiplication ; ainsi A x B repré- 
sente le produit de A multiplié par B. Au lieu du signe x 
on emploie quelquefois un point; ainsi A.B est la même 
chose que A x B. On indique aussi le même produit sans 



aucan signe intermédiaire par AB ; mais il ne faut em- 
ployer cette expression que lorsqu'on n'a pas en même 
temps à employer celle de la ligne AB distance des points 
AetB. 

L'expression A x (B-h- C — D) représente le produit de 
A par la quantité B + G — D. S'il fallait multiplier; A -f- B 
par A — Bh-C , on indiquerait le produit ainsi ( A-*-B ) x 
(A — B H- G) ; tout ce qui est renfermé entre parenthèses 
est considéré comme une seule quantité. 

Un nombre mis au devant d'une ligne ou d'une quan- 
tité , sert de multiplicateur à cette ligne ou à cette quantité f 
ainsi, î»our exprimer que la ligne AB est prise trois fois, 
on écrit 3AB i pour désigner la moitié de l'angle A, on 
écrit 7 A. * 

Le carré de la ligne AB se désigne par AJB ; son cube 

5 

par AB. On expliquera en son lieu ce que signifient pré- 
cis ément le carré et le cube d'une ligne. 

Le signe (/ indique une racine à extraire ;^ ainài 2 
est la racine carrée de â ; \/AxB est la raci3iç^4jut produit 
A kB, ou la moyenne proportionnelle entre^>'A*j!e< B. 

AXIOMES. \ ' . 

l. Deux quantités égales à. unç 4r>,isiiçjC(é \«qnc'4gâîes^ 

entre elles. - - 

â. Le tout est plus grand qbe 'da ^ru^y^t^T 
S. Le tout est égal à la somme des parties *(&ids lesquelles 

il a été divisé. **v * 

4. D'un point à unr autre on ne peut mener qu'une seule 
ligne droite. 

5. Deux grandeurs, ligne, surface ou solide, sont égales, 
lorsqu'étant placées l'une sur l'autre eHes coïncident dans, 
toute leur «tendue. 



6 GÉOHtTRIE. 

PROPOSITION PREMIÈRE. 

THftORÈHI. 

H' i6. £es angles droits soni tous égaux entre euœ. 

Soit la ligne droite CD perpendiculaire à AB, et GH à EF ; 
je dis que les angles AGD, EGH seront égaux entre eux. 

Prenez les quatre distances égales GA , GB , GE , GF, 
la distance AB sera égale à la distance EF, et on pourra 
placer la ligne EF sur AB, de manière que le point E 
tombe en A , et le point F en B. Ges deux lignes ainsi 
posées coïncideront entièrement l'une avec Tautre ; car , 
sans cela , il y aurait deux lignes droites de A en B , ce 
* ax. 4. qui est impossible , donc le point G, milieu de EF, tom- 
l^è^a Mir le point G, milieu de AB. Le côté GE étant ainsi 
appliqué sur G A, je dis que le côté GH tombera sur CD ; 
car supposons, s'il est possible, qu'il tombe sur une 
* déf. 10. ligne GK difiérente de GD ; puisque , par hypothèse *, 
l'angle E^q'^ = HGF, il faudrait qu'on eût AGK=:RGB. 
Mais rairgl껫AGK est plus grand que AGD , l'angle KGB 
est plus peHf qda BGD ; d'ailleurs , par hypothèse , ACD= 
BC1>; cU)n^^.iÇii*è«t plus grand que KGB; donc la ligne 
Glf\ûV P(*ut •^o^lij^*^^!' un® ^Z^^ différente de GD; 
dona-çÙ^ tt>çiB^.flBfr*(î^^ et l'angle EGH sur AGD; donc 
tous le$**ff^|^l^* djkiifvl^^ égaux entre eux. 

\y PROPOSITION II. 

THÉORÈEI. 

«g 17 Tout^ lignç droite CD, qui en rencontre une autre 
ABj fait avec celle-ci deuix angles adjacents AGD, BGD, 
dont la somme est égale à deux angles droits, . : 

Au point G y élevez sur AB , la perpendiculaire GE. 
L'angle AGD est la somme des angles AGE , EGD ; donc 
AGD -H BGD sera la somme des trois AGE, EGD, BGD. 
Le premier de ceux-ci est droit, les deux autres font 



i 



Livas I. 7 

ensemble Tangle droit BGË ; donc la sommo des deux 
angles AGD , BGD est égale à deux angles droits. 

Corollaire I. Si l'un des angles AGD, BGD est droit, 
l'autre le sera pareillement. 

Corollaire IL Si la ligne DE est perpendiculaire à AB , &g. 18. 
réciproquement AB sera perpendiculaire à DE. 

Gar, de ce que DE est perpendiculaire à AB , il s'ensuit 
que l'angle AGD est égal à son adjacent DGB, et qu'ils 
sont tous deux droits. Mais de ce que l'angle AGD est un 
angle droit, il s'ensuit que son adjacent ACE est aussi un 
angle droit ; donc l'angle AGE==ACD, donc AB est perpen- 
diculaire à DE. 

Corollaire III. Tons les angles consécutifs BAG, G AD, fig. 34. 
D AE , EAF , formés d'un même côté de la droite BF , pris 
ensemble , valent deux angles droits ; car leur somme est 
égale à celle des deux angles adjacents BâG, GÂ!I^. 

PROPOSITION III. 

THftORÈMB. 

Deux lignes droites qui ont deux points communs 
coïncident Punê avec Vautre dans toute leur étendue^ 
et ne forment qu'une seule et même ligne droite. 

Soient les deux points, communs A et B; d'abord les fig- 19* 
deux lignes n'en^ doivent faire qu'une entre A et B , car 
sans cela il y aurait deux lignes droites de A en B , ce qui est 
impossible Supposons ensuite que ces lignes étant pro- * ax. 4. 
longées , elles commencent à se séparer au point G , l'une 
devenant GD , l'autre CE. Menons au point G la ligne CF, 
qui fasse avec GA l'angle droit AGF. Puisque la ligne ^ 
AGD est droite, l'angle FGD sera un angle droit* ; puisque ^o7. i '. 
la ligne AGE est droite , l'angle FCE sera pareillement un ^ 
angle droit. Mais la partie FGE ne peut pas être égale au 
tout FGD ; donc les lignes droites qui ont deux points A 
et B communs , ne peuvent se séparer en aucun point de 
leur prolongement; donc elles ne forment qu'une seule 
et même ligne droite. 



8 



GftOMllTRil. 



PROPOSITION IV. ^ 

H' ao. Si deux angles adjacente ACD, DGB, valent ekeemble 
deux angles droits, les deux cotes extérieurs AC, CB, 
seront en ligne droite. 

Car si GB n'est pas le prolongement de AG , soit GE ce 
prolongement ; alors la ligne AGE étant droite , la somme 
*pr. a. des angles AGD, DGE, sera égale à deux droits*. Mais, par 
hypothèse, la somme des angles AGD, DGB, est aussi égale 
à deux droits; donc AGD+DGB serait égale à AGDVDGE; 
retranchant de part et d*autre l'angle AGD , il resterait la 
partie DGB égale au tqut PGE, ceqni est impossible { donc 
GB est le prolongement de AG. 

' PROPOSITION V. 

THÉORkMB. 

ai. Toutes les fois ^e deux lignes droites AB, DE, se 
coupent, les angles opposés au sommet sont égaux. 

Gar puisque la ligne DE est droite, la somme des 
angles AGD, AGE, est égale a deux droits; et puisque 
la ligue AB est droite , la somme des angles AGE, BGE, 
est égale aussi à deux droits; donc la somme AGD + AGE 
est éçale à la somme AGE+BGE. Retranchant de part 
et d'autre le même angle AGE, il restera l'angle AGD 
égal à son opposé BGE. 

On démontrerait de même que l'angle AGE est égal à 
son opposé BGD. ^ 

Scholie, Les quatre angles formés autour d'un point 
par deux droites qui se coupent , valent ensemble quatre 
angles droits ; car les angles AGE, BGE, pris ensemble. 
Talent deux angles droits ^ et les deux autres AGD, BGD, 
ont la môme valeur. 
3 3. En général, si tant de droites qu'on voudra GA, BG, etc., 
sç rencontrent en un point G, la somme de tous les 



LIVRE ï. 



9 



angles consécutifs ACB , BCD, DCE, ECF, FCA, sera 
égale à quatre angles droits : car si on formait au point C 
quatre angles droits au moyen de deux lignes perpendi- 
culaires entre elles, le même espace serait rempli, soit 
par les quatre angles droit», soit par les angles successifs 
ACB , BCD , etc. 
y 

PROPOSITION .VI. V / 

Deux triangles sont égaux ^ lorsqu'ils ont un angh 
égal coMpris entre deux côtés égaux chacun à chacun. 

àoit l'angle A égal à l'angle D, le côté AB égal à DE, fig, a3. 
lé côté AG égal à DF ; je dis que les triangles ABC, DEF , 
seront égaux. 

Eu effet , ces triangles peuvent être posés l'un sur 
l'autre de manière qu'ils coïncident parfaitement. Et 
d'abord si on place le côté DE sur sou égal AB, le point D 
tombera en A et le pmnt E en B : mais puisque l'angle 
D est égal à l'angle A, dès que le côté DE sera placé sur 
AB, le côté DF preudra la direction AG. De plus DF. 
est égal à AC; donc le point F tombera en G, et le 
troisième côté EF couvrira exactement le troisième côté 
BG ; donc le triangle DEF est égal au triangle ABG*. * aie. 5, 

Corollaire, De ce que trois choses sont égales dans deux 
triangles, savoir, l'angle A =D, le côté AB = DE, et le 
côté AG=DF( on peut conclure que les trois autres le sont, 
savoir, l'angle B = E, l'angle G = F, et le côté BG = EF. 

PROPOSITION VH. 

TBfiOBÈME. 

Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont un câté égal 
adjacent à deux angles égaux chflcun à chacun.. 

Soit le côté BC égal au côté EF, l'angle B égal à l'angle fig. 2^ 
£, et l'angle G égal à l'angle F; je dis que le triangle 
DEF sera égal au triangle ABC. 



10 GiOKtTBIl. 

Car, pour opérer la superposition , soit placé EF sur 
son égal BG, le point E tombera en B, et le point F ed (1 
Puisque Tangle E est égal à Tangle B» le côté ED prendra 
la direction BA; ainsi le point D se tronvera sur quelque 
point de la ligne BA. De même , puisque l'angle F est 
égal à l'angle G , la ligne FD prendra la direction GA , et 
le point D se trouvera sur quelque point du côté GA; 
donc le point D qui doit se trouver à la fois sur les deux 
lignes BA, GA, tombera sur leur intersettion A; donc 
les deux triangles ABG, DEF, coïncident Fun avec Tantre, 
et sont parfaitement égaux. 

Corollaire. De ce que trois choses sont égales dans deux 
triangles, savoir , BG=EF, B=E, G=F, on peut conclure 
que les trois autres le sont, savoir, AB=DE, AG=DF, 
A = D. 

PROPOSITION VIII. 

THÉORÈMfi. 

Dans Umt triangle un côté quelconque est plus petit 
que la somme des deux autres. 
Cg. s3. Gar la ligne droite BG , par exemple, est le plus court 
•déf. 3. chemin de B en G* , donc BG est plus petit que AB-4-AG. 

PROPOSITION IX. 

THÉORÈME. 

Cg a4- Si d'un point pris au-dedans du triangle ABG, ùn 
mène aux extrémités dun côté BC les droites QB, OG, la 
somme de ces droites sera moindre que celle des deux 
autres côtés AB, AC. 

Soit prolongé BO jusqu'à la rencontre du côté AG en 
* F. 8. D; la ligne droite OG est plus courte que OD+DG* : 
ajoutant de part et d'autre BO, on aura BO + OG^BO 
-f-OD-+-DG, ou BO-f-OG<BD-t-DG. 

On a pareillement BD <^ BA + ,AD ; ajoutant de part et 
d'autre DG , on aura BD + DG <^ BA + A.G. Mais on vient 
de trouver BO+OG<^BD-hDG ; donc à plus forte raison, 
B0+0G<BA-t-AG. 



\ 

PROPOSITION X. 

THÉORÈME. 

Si lej^ deux côtés AB , AÇ , du^ triangle ABC sont 
égaux aux deux côtés "DE^ DF, du iriaéigle DEF, chacun fig aS. 
à chacun; si en même temps l'angle BAC, compris par 
les premiers y est plus grand que l'angle EDF , compris 
par les seconds; je dis que le troisième côté BC du pre- 
mier triangle sera plus grand que le troisième EF du 
second. 

Faites Fangle CAG^D, prenez AG = DE, et joignez 
CG, le irîkigle GAG sera égal aa triangle DEF, puisqu'ils 
ont par construction un angle égal compris entre côtés 
égaux*; on aura donc CG = EF. Maintenant il peut y *pr. 6. 
avoir trois cas, selon que le point G tombe hors du triangle 
ABC, ou sur le côté BC ; ou au-dedans du même triangle. 

Premier cas. La ligne droite GC est plus courte que fig. a5. 
Gl + IC, la ligne droite AB est plus courte que AI + 
IB ; donc GC AB est plus petit que GI AI IG IB , 
ou , ce qui est la même chose, GC AB < AG -H BC. Re- 
tranchant d'ua côté AB et de l'autre son égale AG , il 
restera GC < BC : or GC=:=EF ; donc on aura EF < BC. 

Second cas. Si le point G tombe sur le côté BC, il est «g- a^. 
évident que GC ou son égale EF sera plus petit que BC. 

Troisième cas. Enfin si le point G tombe au-dedans du fig. 27- 
triangle ABC, on aura, suivant le théorème précédent, / , 
AG GC < AB + BC. Retranchant d'une part AG , et de 
l'autre «on égale AB , il restera GC < BC , ou EF < BC. 

Scholie. Réciproquement, si les deux côtés AB, AC, du 
triangle ABC sont égaux aux deux côtés DE, DF, du triangle 
DEF ; si, de plus:, le troisième côté CB du premier triangle 
est plus grand qye le troisième EF du second , Je dis ^ue 
l'angle BAC du premier triangle sera plus grand que l'angle 
EDF du siBcond. . 

Car si cm nie cette proposition , il faudra que l'angle' 
BAC. soit égala EDF, ou qu'il soit plus petit que EDF; 



19 



G&OMiTRM. 



. 6. dans le premier cas , le côté GB serait égal à EF'''; dans, 
.le second , GB serait plus petit que ËF ; or l'un et Taatre 
est contraire à la supposition ; donc l'angle BAG est plus 
ÇVAnd que EDF. 

PROPOSITION XL 

Deux triangles sont égaux , lorsqu'ils ont les trois 
côtés égaux chacun à chacun. 

a3. Soit le côté AB=DE , AG =DF , BG=;EF, je dis qu'on 
aura l'angle A=D, B=E, G = F. 

Gar si l'angle A était plus grand que l'angle D, comme 
les côtés AB, AG, sont égaux aux côtés DE, ]>F, chacun 
à chacun , il s'ensuivrait , par le théorème précédent , 
que le côté BG est plus grand que EF; et si l'angle A 
était plus petit que l'angle D, il s'ensuivrait que le côté 
BG est plus petit que ËF ; or , BG est égal à EF; donc 
l'angle A ne peut être ni phis grand ni plus petit que 
l'angle D; donc il lui est égal. On prouvera de même 
que Tangle B=E, et que l'angle G = F. 

Schoîie, On peut remarquer que les angles égaux sont 
opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux A et D 
sont opposés aux côtés égaux BG, EF. 

PROPOSITION XII. 

THtORÈHB. 

Dans un triangle tsoscèle y les angles opposés aux 
l côtés égaux sont égaux. 

a8. Soit le côté AB = AG , je di» q»'on aura l'angle G=sB. 
ïirez la ligne AD du sommet A au point D, milieu de la 
hofse BG, les deux triangles ABD, ADG, auront les trois côtés 
égaux chacun à chacun; savoir AD commun, AB=AG par 
hypothèse, et BD=DG par construction; donc, en vertu 
du théorème précédent^ l'angle B est égal à l'angle G. 



/ 



lîTRt T. lâ 

Corollaire. Un triangle équilatéral est en même teny>8 
ëqniangle , c'est-à-dire , qu'il a ses atigles égaux. 

Scholte. L'égalité des triangles ABD, AGD, prouve en 
même temps que l'angle BAD=DAG, et que l'angle BDA 
= ADG ; donc ces deux derniers sont droits ; donc la ligne 
menée du eommei d'un triangle isoecïle au milieu de ea base, 
eet perpendiculaire à cette haee^ et diviee l'angle du sommet en 
deux parties égales. 

Dans un triangle non isoscèle on prend indifféremment 
pour hase un cèté quelconque , et alors son sommet est 
celui de l'angle apposé. Dans le triangle isoscèle on prenil 
particulièrement pour base le cêté qui n'est point ^ x 
a l'un des deux autres. 

PROPOSITION XIII. 

THfioRÈHB. J*^> :^v; 

Réciproquement j si deux angles sont égaux dans un 
triangle y les côtés opposés seront égaux, et le triangle sera 
isoscèle. -^^^ 

Soit Pangle ABC = AG^, je dis que le côté AC sera 
égal au côté AB. \ cU*j n^, 

Gar si ces côtés ne sont pas égaux, soit AB le plus 
grand des d6ux. Prenez BD=AG, et joignez DG. L'angle 
DBG est, par hypothèse, égal à ACB; les deux côtés DB, 
BG sont égaux aux deux AC , GB ; donc le triangle DBG* * pr. 6. 
serait égal au triangle AGB. Mais la partie ne peut pas 
être égale au' tout; donc il n'y a point d'inégalité entre 
les côtés AB , AG ; donc le triangle ABG est isoscèle. 

PROPOSITION XlV. 

THiORÈMB. 

De deux côtés d'un triangle , celui-là est le plus 
grand qui est opposé à un plus grand angle, et réci- 
proquement, de deux angles d'un triangle, celui-là est 
le plus grand qui est opposé à un plus grand côté. 

1" Soit l'angle G > B, je dis que le côté AB opposé fig. 3o. 



u ' ' ' ,k GÉOMtTRll. 

à l'angle G est plus grand que le côté AG opposé à TangleB. 
Soit fait l'angle BGD = B ; dans le triangle BDG on 
«pr. i3. aura"" BD=sDG. Mais la ligne droite AG est plos courte 
queADH-DC,et AD + DG:^AD-4-DB«:AB; donc AB 
. est plus grand que AG. 

â"" Soit le côté AB > AG, je dis que l'angle G opposé au 
côté AB sera dIub grand que l'angle B opposé au côté AG. 

Gar si on avait G<^B, il s'ensuivrait, par oe qui vient 
d^étre démontré, AB^AC, ce qui est contre la suppo- 
* pr. i3. sîtion. Si on avait G= B , il s'ensuivrait * AB as AG , ce 
qui esl encore contre la supposition ; donc il faut que 
'angle G soit plus grand que B. 

' i ^ PROPOSITION XV. 

S^" jii V TBfiORÈHK. 

Rg. 3w D'un point A donné hors d'une droite DE, on ne peut 
l mener qu une seule perpendiculaire à cette droite. 

Gar supposons qu'on puisse ea mener deux AB et AG ; 
prolongeons l'une d'elles AB d'une quantité BF=AB, 
et joignons G. 

Le triapgle GBF est égal au triangle ABG : c^r l'angle 
GBF çst\ droit ainsi que CBA, le côté GB est commun, et le 
*pr. 6. côté BF=AB ; donc ces triangles sout égaux*, et il s'en- 
suit que Tangle BCF=BCA.. L'angle BCA est droit par 
hypothèse ] donc l'angle BCF l'e&t aussi. Mais si les aagles 
adjacents BCA, BGF,. valent ensemble deux «angles droits, 

* pr. 4. il faut que la ligne ÂGF soit droite d'où il résulte 

qu'entre les deux mêmes points A et F, on pourrait mener 

* ax. 4. deux lignes droites ABF, AGF; ce qui est impossible'*'; donc 

il est pareillement impossible que deux perpendiculaires 
soient memées d'un même point sur la même ligne droite. 
H' 17 * Seholtê. Par un même point G donné sur la ligne AB , 
il est également impossible de mener deux perpendica- 
laires à cette ligne : car si GD et GE étaient ces deux 
perpendiculaires, l'angle DCB serait droit ainsi qué BÇE, 
et la pai^tie serait égale au tout. 



LIVRE T. 



15 



PROPOSITION XVI. 

THÉORÈMR. 

Si d'un point A sttué hors d'une droite DE (m mène fîg. 
la perpendiculaire AB sur cette droite, et différentes 
obliques AE, AC, AD, etc., à différents points de cette 
même droite: 

V La perpendiculaire AB sera plus courte que toute 
oblique. 

Les deux obliques AC, AE, menées de part et 
d'autre de la perpendiculaire à des distances égales 
B'C, BE, seront égales. 

• 8* De deux obliques AC et AD, ou AE et AD, menées 
comme on voudra, celle qui s'écarte le plus de lu perpen- 
diculaire sera la plus longue, 

Pi^longcz la perpendiculaire AB d'une quantité BF= 

AB, et joignex FC , FD. 

1° Le triangle BCF est égal au triangle BCA , car 
l'angle droit GBF=CBA, le côté CB est commîin, et le 
côté BF=BA; donc* le troisième côté GF est égal au 'pr. 
troisième AC. Or,- ABF ligne droite est plus coarCè que 
ACF ligne brisée; donc AB moitié de ABF est plus courte 
que AC moitié dé ACF; donc l"* la perpendiculaire est 
plùs eburte que toute oblique. 

2^ Si on suppose BE=BC , comme on a en outre AB 
commun et l'angle ABE=ABC, il s'ensuit que le tHatigle 
ABE est égal au triangle ABC*"; donc les côtés AË, AG *pr. 
sont égaux; donc deux obliques qui s'écartent égale- 
ment de la perpendiculaire sont égales. 

S"" Dans le triangle DFA la somme des lignes AC , CF , 
est plus petite* que la somme des côtés AD, DF ; donc "pr. 

AC, moitié delà ligne ACF, est plus courte que AD moitié 
ADF; âoÎQC S^, les obliques qui s'écartent le plus de 

la parpendicttlffire sont les plus longues. 

Corollaire I. La perpendiculaire mesure la« vraie dis- 



18 



GtOltTRII. 



deux triangles, Tangle commun A est compris entre côtés 
égaux chacun à chacun, savoir: ACsssAB, et AK=AI. 
Donc le troisième côté C'K. est égal au troisième BI ; donc 
aussi l'angle AC'K = ABC , et l'angle AKC = AIB. 

Je dis maintenant que le triangle B'C'R est égal au 
triangle AGI, car la somme des deux angles adjacents 

a. AKC' + OKB' est égale à deux angles droits*, ainsi que 
la somme des deux angles AIC+AIB; retranchant de part 
et d'autre les angles égaux AKC, AIB, il restera l'angle 
G'KJB'=A1G. Ges angles égaux dans les deux triangles 
sont compris entre côtés égaux chacun à chacun , savoir , 
G'K=IB=GI, et KB' = AK=AI, puisqu'on a supposé 
AB'=1ÀI=2AK. Donc les deux triangles B'G'K, AQ, 

6. sont égaux*; donc le côté G'B'=AG, l'angle B'GTL^ 
AGB, et l'anglb RB'G'=GAI. 

Il suit de là 1® que l'angle AG'B' désigné par G' est com- 
posé de deux angles égaux aux angles B et G du triangle 
ABG, et qu'ainsi <m a C'=B + G ; S*" que l'angle A du 
triangle ABG est composé de l'angle A' oa C'AB' qui 
appartient au triangle AB'G' et de l'angle CAI égal à 
l'angle B' du même triangle , ce qui donne A=A'-i-B'; 
donc A H- B -i- G = A' -4- B' -i- G'. D'ailleurs puisqu'on a 
par hypothèse AC < AB et par conséquent C'B'<AC', on 
Toit que dans le triangle AG'B' l'angle en A, désigné 
par A' , est moindre que B', et comme la somme des deux 
est égale à l'angle du triangle proposé , il s'ensuit qu'on 
a l'angle A'<iA. 

Si on applique la même construction au triangle AB'G% 
pour former un tnnsième triangle AG'B'^ dont les angles 
seront désignés par A'', B'', G', on aura semblablement 
les deaxégaUtésC'srCH-F, A'=A''-*-B*, d'où résulte 
A'-i-B'-i-C'=A'+B''-i-G'. Ainsi la somme des trois 
angles est la même dans ces trois triangles : on aura en 
même temps l'angle A" ^ ^ A', et par craséquent A' 
<îA. 

Continuant indéfiniment la suite des triangles AG^', 
AG'B*, etc., on parriendra à un triangle mie dans lequel 
la somme des trois angles sera toajonrt la même f«e dans 



liVre 1. 



17 



L'égalité serait manifeste si le troisième côté BG était 
égal au troisième £F : supposons , s'il est possible , que 
ces côtés ne soient pas égaux, et que BG soit le plus grand. 
Prenez BG=EF, et joignez AG. Le triangle ABG est égal 
au triangle DEF ; car Tanglé droit B est égal à l'angle droit 
E, le côté AB= DE, et le côté BG = EF; donc ces deux 
triangles sont égaux * et on a par conséquent AG=a DF ; * pr 
mais, par hypothèse, DF=aAG; donc AGs=AG. Mais 
l'oblique AG ne peut être égale à AG'*' , puisqu'elle est * pr 
plus éloignée de la perpendiculaire AB ; donc il est impos- 
sible que BG diffère de EF ; donc le triangle ABC est égal 
au triangle DEF. 

PROPOSITION XIX. 

THÉOBÈHE. 

Dans tout triangle y la somme de trois angles est 
aie à deux angles droits. 

Soit ABG le triangle proposé dans lequel nous suppose- fig. 
rons (1) que AB est le plus grand côté et IbC le plus petit, 
et qu'ainsi AGB est le plus grand angle, et BAC le plus 
petit *. * pr 

Par le point A et par le point I milieu du côté opposé 
BG, menez la droite AI que vous prolongerez en G' jusqu'à 
ce que AG'== AB ; prolongez de même AB en B' jusqu'à ce 
que AB' soit double de AL 

Si on désigne par A , B , G , les trois angles du triangle 
ABG et semblablement par A% B', G' les trois angles du 
triangle AB'G', je dis qu'on aura l'angle G' =B + G , et 
l'angle A=A'+B', d'où résulte A -i- B -h C=A'+ B' G', 
c'est-à-dire que la somme des trois angles est la même dans 
les deux triangles. 

Pour le prouver , faites AR = AI et joignez G'K, voû? 
aurez le triangle G'AK égal au triangle BAI. Car dans ces 



(1) Cette supposition n'exclut pas le cas où le côté moyen ÂG serait 
égal à Tun des extrêmes ÂB ou BC. 



18 



GÉOliTRlI. 



deax triangles, l'angle commun A est comprit entre côtés 
égaux chacun à chacun, savoir: AGs^AB, et ARsAl. 
Donc le troisième côté G'K. est égal au troisième BI ; donc 
aussi l'angle AG'K = ABC, et l'angle AKG= AIB. 

Je dis maintenant que le triangle B'G'R est égal au 
triangle AGI, car la sonmie des deux angles adjacents 

a. AKG' + G'KB' est égale a deux angles droits ainsi que 
la somme des deux angles AIG+AIB; retranchant de part 
et d'autre les angles égaux AKG\ AIB, il restera l'angle 
C'KB'sAlG. Ges angles égaux dans les deux triangles 
sont compris entre côtés égaux chacun à chacun , savoir , 
G'K=IB = GI, et KB' = AK=AI, puisqu'on a supposé 
AB'=3AI=âAK. Donc les deux triangles B'G'K, AGI, 

6. sont égaux*; donc le côté G'B'=AG, l'angle B'G'K= 
AGB, et l'anglb KB'G'=GAI. 

Il suit de là que l'angle AG'B' désigné par G' est com- 
posé de detix angles égaux aux angtes B et G du triangle 
ABG, et qu'ainsi on a G'=B + G ; â° que l'angle A du 
triangle ABG est composé de l'angle A' ou G'AB' qui 
appartient au triangle AB'G' et de l'angle GAI égal à 
l'angle B' du même triangle , ce qui donne A==A' -^-B'; 
donc A H- B -i- G = A' H- B' -H G'. D'ailleurs puisqu'on a 
par hypothèse AG < AB et par conséquent G'B'<AC', on 
voit que dans le triangle AG'B' l'angle en À, désigné 
par A' , est moindre que B', et comnie la somme des deux 
est égale à l'angle du triangle proposé, il s'ensuit qu'on 
a l'angle A' ^fA. 

Si on applique la même construction au triangle AB'G', 
pour former un troisième triangle AG"B" dont les angles 
seront désignés par A'^, B", G", on aura semhlablement 
les deux égalités G" = G' +B', A'=A"-4-B", d'où résulte 
A'-t-B'H-C'=A"-*-B"H-C". Ainsi la somme des trois 
angles est la même dans ces trois triangles : on aura en 
même temps l'angle A'' <^ j A', et par conséquent A" 
<iA. 

Gontinuant indéfiniment la suite des triangles AC'B', 
AG"B", etc., on parviendra à un triangle abc dans lequel 
la somme des trois angles sera toujours la même que dans 



LIT» T. 



19 



le triangle proposé ABC et qui aura l'angle a plus petit 
que tel terme qu'on voudra de la progression décroissante 
iA,iA,|A, etc. 

On peut donc supposer cette suite de triangles prolongée 
jusqu'à ce que l'angle a soit moindre que tout angle donné. 

Et si au moyen du triangle aèe on construit le triangle 
suivant a'è'c'y la somme des angles a' -4- 3' de celui-ci sera 
égale à l'angle a, et sera par conséquent moindre que tout 
angle donné ; d'où Ton voit que la somme des trois angles 
du triangle a'6'c' se réduit presque au seul angle e'» 

Pour avoir la mesure précise de cette somme , prolon- 
geons le côté a'e' vers et appelons 3/ l'angle extérieur 
b^c'd' ; cet angle w% joint à l'angle du triangle a'b'c'y 
fait une somme égaie à deux angles droits'*' ; ainsi en dé- ' pr. 
signant l'angle droit par on aura c'=âD — or'; donc 
la somine des angles du triangle a'c'b' sera 

Mais on peut concevoir que le triangle a'c'b' varie dans 
ses angles et ses côtés , de manière à représenter les trian- 
gles successifs qui naissent ultérieurement de îa même 
construction et s'approchent de plus en plus de la limite 
oÀ les angles et seraient nuls. Dans cette limite la 
droite a'c'd' se confondant avec a'b', les trois points a% &j h\ 
finissent' par être exactement en ligne droite; alors les 
angles b' et x' deviennent nuls en même temps que a', et 
la quantité âD-4-a'-4-&' — qui mesure la somme des 
trois angles du triangle a^c'lf, se réduit à SB, donc Aans 
tout tritmglé la êomme des iroiê an^eê eëi égal» a deux angles 
droilê. 

CoroUaire I. Deux angles d'un triangle étant donnés, 
ou seulement leur somme , pu connaîtra le troisième en 
retranchant la somme de ces angles de deux angles 
droits. 

IL Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux 
angles d'un antre triangle , chacun à chacun , le troisième 
de l'un sera égal au troisième de l'autre , et les deux 
triangles seront équiangles entre eux.. 



19 



O&OltTRM. 



. 6. dans le premier cas , le côté GB serait égal à ËF'''; dans. 
;Ie second , GB serait pins petit que £F ; or l'un et l'autre 
est contraire à la supposition ; donc l'angle BAG est pluS; 
grand que EDF. 

PROPOSITION XI. 

Deux triangles sont égaux y lorsqu'ils ont les trois^ 
côtés égaux chacun à chacun. 

a3. Soit le côté AB=DE , AG =DF , BG=;EF, je dis qu'on 
aura l'angle A=D, B=E , G = F. 

Gnr si l'angle A était plus grand que l'angle D, comme 
les côtés AB , AG , sont égaux aux côtés DE , I>F, chacun 
à chacun , il s'ensuivrait , par le théorème précédent , 
que le côté BG est plus grand que EF; et si l'angle A 
était plus petit que l'angle D , il s'ensuivrait que le côté 
BG est plus petit que EF; or, BG est égal à EF.; donc 
l'angle A ne peut être ni phis grand ni plus petit que 
l'angle D; donc il lui est égal. On prouvera de même 
que Tangle B=E, et que l'angle G=F. 

Scholie, On peut remarquer que les angles égaux sont 
opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux A et D 
sont opposés aux côtés égaux BG, EF. 

PROPOSITION XII. 

THtORÈHB. 

Dans un triangle tsoscéle , les angles opposés aux 
côtés égaux sont égaux, 
a8. Soit le côté AB = AG , je dia qu'on aura l'angle GsaB. 

ïirez la ligne AD du sommet A au point D, milieu de la 
èasê BG, les deux triangles ABD, ADG, auront les trois côtés 
égaux chacun à chacun; savoir AD comman, AB=sAG par 
hypothèse, et BD=DG par construction; donc, en vertu 
du théorème précédent ^ l'angle B est égal à l'angle G. 



/ 



imv f. 

CoroUatre, Un triangle équilatëral est en même tenyis 
ëqaîangle, c'est-à-dire, qu'il a ses dtagles égaux. 

SchoUe. L'égalité des triangles ABD, AGD, prouve en 
même temps queTanigle BAD = DAG, et que l'angle BDA 
=ADG; donc ces deux derniers sont droits ; êonc la ligné 
menée du sommet d'un triangle teoechle au milieu de ea base, 
est perpendiculaire à cette base, et divise l'angle du sommet en 
deux parties égales. 

Dans un triangle non isoscèle on prend indifféremment 
pour base un côté quelconque , et alors son sommet est 
celui de l'angle opposé. Dans le triangle isoscèle on prenti 
particulièrement pour base le côté qui n'est point égsxX ^ y 
à l'un des deux autres. ^'^ 

PROPOSITION XIII. 

THtOEÈMI. W 

Réciproquement y si deux angles sont égaux dans un 
triangle, les côtés opposés seront égaux, et le triangle sera 
isoscèle. ^ 

Soit Tangle ABC = AGl3, je dis que le côté AC sera 
égal au côté AB. | d/j ng, 99. 

Gar si ces côtés ne sont pas égaux, soit AB le plus 
grand des deux. Prenez BD=AG, et joignez DC. L'angle 
DBG est, par hypothèse, égal à AGB; les deux côtés DB, 
BG sont égaux aux deux AC , GB ; donc le triangle DBG* * pr. 6. 
serait égal au triangle AGB. Mais la partie ne peut pas 
éitre égale au' tout; donc il n'y a point d^inégalité entre 
les côtés AB , AG ; donc le triangle ABG est isoscèle. 

PROPOSITION XIV. 

TlltORÈHI. 

De deux côtés d'un triangle, celui-là est le plus 
jfrand qui est opposé à un plus grand angle, et réci- 
proquement, de deux angles d'un triangle, celui-là est 
le plus grand qui est opposé à un plus grand côté. 

1« Soit l'angle G > B, je dis que le côté AB opposé ng. 3o. 



14 ^ p. GtOMtTBiB. 

àTangle C est plus grand qae le côté AG opposé à TangleB. 
Soit fait l*angle BGD = B ; dans le triangle BDC on 
i>r. i3. aura* BD=DG. Mais la ligne droite AC est plus courte 
queAD<HDG,et AD + DG=AD-4-DB»:AB; donc AB 
. est plus grand que AC. 

S"" Soit le côté AB AG, je dis que Tangle G opposé au 
côté AB sera vins grand que l'angle B opposé au côté AG. 

Car si on avait C<^B, il s'ensuivrait, par ce qui vient 
d^ètre démontré, AB<^AG, ce qui est contre la stippo- 
pr. i3. sition. Si on avait C= B , il s'ensuivrait * ABsc AG , ce 
J* qui esjt encore contre la supposition ; donc il faut que 
^l'angle C soit plus grand que B. 

' i PROPOSITION XV. 

'jS THiORÈHE. 

fig. D^un point A donné hors d'une droite DE, on ne peut 
Amener quune seule perpendiculaire à cette droite. 

Car supposons qu'on puisse en mener deux AB et AG ; 
prolongeons l'une d'elles AB d'une quantité BF=sAB, 
et joignons fîC. 

Le triapgle CBF est égal au triangle ABC : c^r l'angle 
CBF^st, droit ainsi que CBA, le côté CB est commun, et le 
*pr. 6. côté BF=AB ; donc ces triangles sout égaux et il s'en- 
suit que Tangle BCF = BCA.. L'angle BCA est droit par 
hypothèse \ donc l'angle BCF l'e&t aussi. Mais si les angles 
adjacents Bi(]A, BCFj.valent ensemblQ deux angles droita^ 

* pr. 4. il faut que la ligne ACF soit droite d'où il résulte 

qu'entre les deux mêmes points A et F, on pourrait mener 

* ax. 4. deux lignes droites ABF, ACF; ce qui est impossible donc 

il est pareillement impossible que deux perpendiculaires 
soient memées d'un même point sur la même ligne droite. 
£g- 17 " Seholie. Par un même point C donné sur la ligne AB , 
il est égaleQient impossible de mener deux perpendicu- 
laires à cette ligne : car si CD et CË étaient ces deux 
perpendiculaire», l'angle DCB serait droit ainsi qué BCE, 
et la partie ferait égale au tout. 



LIVRE I. 



15 



PROPOSITION XVI. 

THÉORÈMR. 

Si d^un point A situé hors d'une droite DE on mène Cg 3i 
la perpendiculaire AB sur cette droite , et différentes 
obliques AE, AC, AD, etc. y à différents points de cette 
même droite : 

V La perpendiculaire AB sera plus courte que toute 
oblique. 

1^ Les deux obliques AC, AE, menées de part et 
d'autre de la perpendiculaire à des distemces égales 
B'G, 'B£, seront égales. 

8" De deux obliques AC et AD, ou AE et AD, menées 
comme on voudra^ celle qui s'écarte le plus de lu perpen- 
diculaire sera la plus longue. 

Pi^longcz la perpendicalaîre AB d*une quantité BF= 
AB, et joignez FC, FD. 

1° Le triangle BCF est égal au triangle BCA, car 
Fangle àroW. CBF=:CBA, le côté CB est commun, et le 
côté BF=:BA; donc* le troisième côté GF est égal au *pr. o 
troisième AC. Or, ABF ligne droite est plus coarfe que 
ACF ligne brisée; donc AB moitié de ABF est plus courte 
que AC moitié dé ÀCF; donc 1** la perpendiculaire est 
pliis courte que toute oblique. 

2<> Si on suppose BE=BG, comme on a en outre AB 
commun et l'angle ABE=ABG, il s'ensuit que le ttîatigle 
ABE est égal au triangle ABC*; donc les côtés AE, AC *pr. 6 
sont égaux; donc deux obliques qui s'écartent égale- 
ment de la perpendiculaire sont égales. 

S° Dans le triangle DFA la somme des lignes AC , CF , 
est plus petite* que la somme des côtés AD, DF ; donc *pr.fj 
AG, moitié delà ligne ACF, est plus courte que AD moitié 
ADF; doiac S^, les obliques qui s'écartent le plus de 
la perpendiculaire sont lés plus longues. 

Corollaire I. La perpendiculaire mesure 1» vraie dis« 



16 GioilftTKn. 

tance d'un point à une ligne , puisqu'elle est plor courte 
que toute oblique. 

II. D*un môme point on ne peut mener à une même 
ligne trois droites égales : car si cela était j il y aurait 
d'un même côté de la perpendiculaire deux obliques 
égales, ce qui est impossible. • 

PROPOSITION XVII. 

THiOBÈHI. 

33. Si par le point milieu de la droite Afi, onëlàve Ai 
perpendiculaire EF sur cette droite; V chaque pmnt 
de la perpendiculaire sera également distant des deux 
extrémités de la ligne AB ; 2° tout point situé hors^ de la 

^ perpendiculaire sera inégalement distant des mêmes 
extrémités A et B. 

Car, 1<> puisqu'on suppose AG = GB , les deux obliques 

AD, DB, s'écartent également de la perpendiculaire; 
donc elles sont égales. Il en est de même des deux obliques 

AE, EB, des deux AF, FB, etc. ; donc 1*», tout point de la 
perpendiculaire est également distant des extrémités A etB. 

2^ Soit I un point hors de la perpendiculaire; si on 
joint lA , IB , l'une de ces lignes coupera la perpendicu- 
laire en D, d*où tirant DB, on aura DB^sDA. Mais la 
ligue droite IB est plus petite que la ligne brisée ID+DB , 
et ID-f-DB= ID-f-DA =IA ; donc IB < lA ; donc i% tout 
point hors de la perpendiculaire est inégalement distant 
des extrémités A et B. 

PROPOSITION XVIII. 

THÉOBkaS. 

Deux [triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont 
l'hypoténuse égale et un côté égal, 

33. Soit l'hypoténuse AG=DF, et le côté AB=^DE, je 
dis que le triangle rectangle ABG >sera égal au triangle 
rectangle DEF, 




I 



liVre I. 17 

L'égalité serait manifeste si le troisième côté BG était 
égal au troisième £F : supposons , s'il est possible , que 
ces côtés ne soient pas égaux, et que BG soit le plus grand. 
Prenez B6=£F, et joignez AG. Le triangle ABG est égal 
au triangle D£F ; car Tanglé droit B est égal à Fangle droit 
E, le côté AB== DE, et le côté BG^^EF; donc ces deux 
triangles sont égaux* et on a par conséquent AG s DF; * pr. 6. 
mais, par hypothèse, DF=AG; donc AGs=sAG. Mais 
l'oblique AG ne peut être égale à AG'*', puisqu'elle est *pr. 16. 
plus éloignée de la perpendiculaire AB ; donc il est impos- 
sible qne BG difiere de EF ; donc le triangle ABG est égal 
an Sangle DEF. 

PROPOi^ITION XIX. 

THÉOBÈHE. 

Dans tout triangle ^ la somme de trois angles est 
aie à deux angles droits. 

Soit ABG le triangle proposé dans lequel nous suppose- fig- 35. 
rons (1) que AB est le plus grand côté et BG le pins petit, 
et qu'ainsi AGB est le plus grand angle, et BAG le plus 
petit *. * pr. 14. 

Par le point A et par le point I milieu du côté opposé 
BG, menez la droite AI que vous prolongerez en G' jusqu'à 
ce que AG'=: AB ; prolongez de même AB en B' jusqu'à ce 
que AB' soit double de AI. 

Si on désigne par A , B , G , les trois angles du triangle 
ABG et semblablement par A', B', G' les trois angles du 
triangle AB'C', je dis qu'on aura l'angle G' =B +G, et 
l'angle A=A'-*-B', d'où résulte A -h B C=A'-f. B' -f - G', 
c'est-à-dire que la somme des trois angles est la même dans 
les deux triangles. 

Pour le prouver , faites AK=AI et joignez G'K, voti? 
aurez le triangle G'AK égal au triangle BAI. Car dans ces 



(1) Cette supposition n'exclut pas le cas où le côté moyen AG serait 
égal à l'un des extrêmes AB ou BG. 



18 



GtOMtTEIl. 



deux triangles 9 Tangle comman A est compris entre cbiés 
égaux chacun à chacun, savoir: AC:9ABy et AK^sAl. 
Donc le troisième côté C'K est égal au troisième BI ; donc 
aussi l'angle ACK ss ABC , et l'angle AKC s= AIB. 

Je dis maintenant que le triangle B'C'K est égal au 
triangle AGI, car la somme des deux angles adjacents 

s. AKC'-h C'KB' est égale à deux angles droits*, ainsi que 
la somme des deux angles AIC+AIB; retranchant de part 
et d'autre les angles égaux AKC, AIB, il restera l'angle 
CKB'=3bA1G. Ces angles égaux dans les deux triangles 
sont compris entre côtés égaux chacun à chacun 5 savoir , 
G'K=IB=GI, et KB' = AK=AI, puisqu'on a supposé 
AB'=3AI=âAK. Donc les deux triangles B'G'K, AGI, 

6. sont égaux*; donc le côté G'B'=AG, l'angle B'G'K» 
AGB, et l'anglb KB'C'=GAI. 

11 suit de là l** que l'àngle AG'B' désigné par G' est com- 
posé de deux angles égaux ^ux angles B et G du triangle 
ABG, et qu'ainsi on a G' =B -h G ; 2° que l'angle A du 
triangle ABG est composé de l'angle A' ou G'AB' qui 
appartient au triangle AB'G' et de l'angle GAI égal à 
l'angle B' du même triangle , ce qui donne A=A' + B'; 
donc A + B-f.G = A'-f.B'-+-G'. D'ailleurs puisqu'on a 
par hypothèse AC < AB et par conséquent G'B'<AC', on 
voit que dans le triangle AG'B' l'angle en A, désigné 
par A' , est moindre que B', et comnie la somme des deux 
est égale à l'angle du triangle proposé , il s'ensuit qu'on 
a l'angle A'<iA. 

Si on applique la même construction au triangle AB'C% 
pour former un troisième triangle AG"B" dont les angles 
seront désignés par A", B", G", on aura semhlahlement 
les deux égalités G" = C'-+- B', A'=A"-*-B", d'où résulte 
A'+B'-f-C' = A"-HB''-^C". Ainsi la somme des trois 
angles est la même dans ces trois triangles : on aura en 
même temps l'angle A" <^ 7 A', et par conséquent A" 
<iA. 

Gontinuant indéfiniment la suite des triangles AG^' , 
AG''B", etc., on parviendra à un triangle abc dans lequel 
la somme des (rois angles sera toujours la même que dans 



IIVII I. 



19 



le triangle proposé ABC et qui aura l'angle a plus petit 
que tel terme qu'on voudra de la progression décroissante 
iA,iA,iA, etc. 

On peut donc supposer cette suite de feriangles prolongée 
jusqu'à ce que l'angle a soit moindre que tout angle donné. 

Et si au moyen du triangle aôc on construit le triangle 
suivant a'6'e% la somme des angles a' + h' de celui*ci sera 
égale à l'angle a, et sera par conséquent moindre que tout 
angle donné ; d'où Ton voit que la somme des trois angles 
du triangle a'B'c' se réduit presque au seul angle c'. 

Pour avoir la mesure précise de cette somme , prolon- 
geons le côté aV vers d\ et appelons a/ l'angle extérieur 
è^o'd' ; cet angle dr', joint à l'angle c' du triangle 
fait une somme égale à deux angles droits'*' ; ainsi en dé- * pr. ». 
signant l'angle droit par on aura e'=âD — s'} donc 
la somîne des angles du triangle a'c^b^ sera 

Mais on peut concevoir que le triangle a'c'b' varie dans 
ses angles et ses côtés , de manière à représenter les trian- 
gles successifs qui naissent ultérieurement de Ta même 
construction et s'approchent de plus en plus de la limite 
oÀ les angles a* et b' seraient nuls. Dans cette limite la 
droite aV^i' se confondant avec a'b', les trois points a', e', h\ 
finissent -par être exactement en ligne droite; alors les 
angles b' et s' deviennent nuls en même temps que a', et 
la quantité âD + a'-f-^ — s, qui mesure la somme des 
trois angles du triangle a^c'b^, se réduit à SD, donc dans 
tout triangle la tomme de» troie onglée eei égale à deux anglee 
droite. 

CeroUaire I. Deux angles d'un triangle étant donnés, 
ou seulement leur somme , on connaîtra le troisième en 
retranchant la somme de ces angles de deux angles 
droits. 

IL Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux 
angles d'un autre triangle , chacun à chacun , le troisième 
de l'un sera égal au troisième de l'autre , et les deux 
triangles seront équiangles entre eux.. 



20 



ciostran. 



III; Dans nn triangle il ne pent y aToîr qu'on seul 
angle droit ; car 8*il y en arait denx, le troiMème derrait 
être nol ; à plos forte raiton nn triangle ne peat4l aymr 
qn'nn seul an^e obtus. 

IV. Dans un triangle rectangle la somme des deux an- 
gles aigus est ^^le à un angle droit. 

Y. Dans un triangle éqnilatëral chaque angle est le 
tiers de deux angles droits ou les deux tiers d'un angle 
droit. Donc si Tangle droit est exprimé par 1, Fan^ du 
triangle ëquilatéral le sera par f . 

VI. Dans tout triangle ABC si on prolonge le côté AB 
Ters D , l'angle extérieur GBD sera égal à la somme des 
deux intérieurs opposés A et C ; car en ajoutant de part 
et d'autre ABC, les deux sommes sont égales à deux angles 
droits. 

PBOPOSraON XX. 
TiioBÈn. 

La somme de tous les angles intérieurs d'un polygone 
est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a 
d'unités dans le nombre des côtés moins deux. 

Soit ABGD etc., le polygone proposé; si du sommet 
fig. 4a. d'un même angle A , on mène à tons les sommets des 
angles opposés les diagonales AG , AD , A£ , etc. » il est 
aisé de voir que le polygone sera partagé en cinq triangles, 
s'il a sept côtés; en six triangles, s'il avait huit côtés; et 
en général , en autant de triangles que le polygone a de 
côtés moins deux ; car ces triangles peuvent être conâ* 
dérés comme ayant pour sommet commun le point A , et 
pour bases les différents côtés des deux polygones, ex- 
cepté les deux qui forment l'angle A. On voit en m»ie 
temps que la somme des angles de tous ces triangles ne 
diffère point de la somme des angles du polygone; donc 
cette dernière somme est égale i autant de fois deux an- 
gles droits qu*il y a do triangles , c'est-à-dire , qu'il y a 
d'unités dans le nombre des côtés du polygone moins 
deux. 



LIVBB I. 



Corollaire 1. La somme des angfles d*un quadrilatère 
est ég^ale à deux angles droits multipliés par 4 — 2, ce qui 
fait quatre angles droits. Donc si tous les angles d'un 
quadrilatère sont égaux, chacun d'eux sera un angle 
droit; ce qui justifie la définition xvn où l'on a supposé 
que les quatre angles d'un quadrilatère sont droits , dans 
lè cas du rectangle et du carré. 

IL La somme des angles d'un pentagone est égale à 
deux angles droits multipliés par S — S /ce qui fait 6 an- 
gles droits. Donc lorsqu'un pentagone est iquiangle, c'est* 
â-dire lorsque ses angles sont égaux les uns aux autres, 
chacun d'eux est égal au cinquième de six angles droits , 
ou aux I d'un angle droit. 

in. La somme des angles d'un hexagone est de 2 x (6 — 2) 
ou 8 angles droits; donc dans l'hexagone équiangle, chaque 
angle est f ou j d'angle droit. 

Scholie. Si on voulait appliquer cette proposition à un fig- 4^- 
polygone dans lequel il y aurait un ou plusieurs angUê 
rentrante y il faudrait considérer chaque angle rentrant 
comme étant plus grand que deux angles droits. Mais , 
pour éviter tout embarras , nous ne considérerons ici et 
dans la suite, que les polygones à angles saillantê, qu'on 
peut appeler autrement jvo/yyon^^ convexes. Tout polygone 
convexe est tel, qu'une ligne droite, menée comme on 
voudra , ne peut rencontrer le contour de ce polygone 
qu'en deux points. 

PROPOSITION XXI. 

Si deux lignes droites AB, CD, sont perpendiculatres fig. 
à une troisième FG, ces deux lignes seront parallèles y 
c^est'à'dire qu'elles ne pourront se rencontrer à quelque 
distance gfu'ùn les prolonge. 

Car si elles se rencontraient en un point 0, il y aurait 
deux perpendiculaires OF , OG , abaissées d'un même 
point sur une même ligne FG, ce qui est impossible * pr. i5. 



13 



GtOXtTRM. 



. 6. dans le premier cas , le côté CB serait égal à £F*; dans. 
,1e second , GB serait plus petit qae £F ; or l'an et l'autre 
est contraire à la supposition ; donc Tangle BAC est plus. 
Çrand que £DF. 

/ PROPOSITION XI. 

Deux triangles sont égaux y lorsqu'ils ont les trots 
côtés égaux chacun à chacun, 

a3. Soit le côté AB=DE , AC =DF , BC=;EF, je dis qu'on 
aura l'angle A = D, B=E, C = F. 

€ar si l'angle A était plus grand que l'angle D, comme 
les côtés AB, AG, sont égaux aux côtés DE, I>F, chacun 
à chacun, il s'ensuirrait , par le théorème précédent, 
que le côté BG est plus grand que EF; et si l'angle A 
était plus petit que l'angle D, il s'ensuivrait que le côté 
BC est plus petit que EF; or, BG est égal à EF; donc 
l'angle A ne peut être ni plus grand ni plus petit que 
l'angle D; donc il lui est égal. On prourera de même 
que Tangle B=:E, et que l'angle G=F. 

Scholie. On peut remarquer que les angles égaux sont 
opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux A et D 
sont opposés aux côtés égaux BG, EF. 

PROPOSITION XII. 
tb£orèhe. 

Dans un triangle tsoscèle , les angles opposés aux 
côtés égaux sont égaux. 
a8. Soit le côté AB = AG , je di» qu^'on aura l'angle G=B. 
Tirez la ligne AD du sommet A au point D, milieu de la 
hOfSe BC, les deux triangles ABD, ADC, auront les trois côtés 
chacun à chacun ; savoir AD commun, ABs AC par 
hypothèse, et BD=DG par construction ; donc , en vertu 
du théorème précédent , l'anglp B est égal à l'angle G. 



LIVEB I. 



2d 



deax floinmes sont égales chacune a deux angles droits. 
Prenez ensuite MNisFM et joignez ^FN; Fangle AMF, 
extérieur au triangle FMN , est égal à la somme des deux 
intérieurs opjposés MFN, MNF* ; ceux-ci sont égaux entre 
eux , puisqu'ils sont opposés à des côtés égaux MN , FM ; 
donc l'angle AMF ou son égal MFG est double de MFN ; 
donc la droite FN divise en deux parties égales Tangle 
GFM et rencontre la ligne AB en un point N situé à la dis- 
tance MN=FM. 

11 suit de la même démonstration que si on prend 
NP=FN, on déterminera sur la ligne AB le point P où 
aboutit la droite FP qui fait Fangle GFP égal à la moitié 
de l'angle GFN , ou au quart de l'angle GFM. 

On peut donc prendre ainsi sucessivement la moitié , le 
quart, le huitième, etc., de l'angle GFM, et les lignes qui 
opèrent ces divisions, rencontreront la ligne AB en des 
points de plus en plus éloignés , mais faciles à déterminer, 
puisque MN=FM, NP=FN, PQ=PF, etc. On peut même 
observer qùe chaque distance d'un de ces points d'inter- 
section au point fixe F, n'est pas tout à-fait double de la 
distance du point d'intersection précédent, car FN, par 
exemple, est moindre que FM-f-MN ou 2FM; on a pa- 
reillement FP< 2FN, FQ < 2FP, etc. 

Mais en continuant de soas-diviser l'angle GFM en 
raison double, on parviendra bientôt à un angle GFZ plus 
petit que l'angle donné GFD, et il sera encore vrai que 
FZ prolongée rencontre AB en un point déterminé : donc 
à plus forte raison la droite FD comprise dans l'angle 
EFZ , rencontrera AB. 

Supposons 2<* que la somme* des deux angles intérieurs , 
AËF+GFE est plus grande que deux angles droits, si Ton 
prolonge AË vers B et CF vers D , la somme des quatre 
angles AEF, BEF, GFE, EFD, sera égale à quatre angles 
droits; donc si de cette somme on retranche AEF + GFE 
plus grande que deux angles droits , il restera la somme 
BEF 4- EFD plus petite que deux angles droits. Bone 
suivant le premier cas les lignes EB, FD, prolongées 
soffisamment, doivent se rencontrer. 



ttÊOXÉTRIB. 



Corollaire^ Par un point donné F on ne peat mener 
qa'une seule parallèle a la ligne donnée AB ; car ayant 
tiré F£ à volonté , il n'y a qu'une ligne FG qui fasse la 
somme des deux angles BËF+ËFG, égale à deux angles 
droits; toute autre droite FD ferait la somme des deux 
angles BEF+EFD plus petite ou plus grande que deux 
droits y et rencontrerait par conséquent la ligne AB. 

PROPOSITION XXIV. 

THÉORÈXB. 

fig. 38. Si deux lignes parallèles AB, CD, sont rencontrées 
par une sécante £F, la somme des angles intérieurs 
AGO, GOC, sera égale à deux angles droits. 

Car si elle était plus grande on plus petite , les deux 
droites AB, CD, se rencontreraient d'un côté ou de 

* pr. a3. l'autre* et ne seraient pas parallèles. 

Corollaire I. Si l'angle GOC est droit , l'angle AGO 
sera aussi un angle droit ; donc toute ligne perpendicu- 
laire à l'une des parallèles est perpendiculaire à l'autre. 

Corollaire II. Puisque la somme AGO + GOC est égale 
à deux angles droits , et que la somme GOD + GOC est 
aussi égale à deux angles droits ; si on retranche de part et 
d'autre GOC, on aura l'angle AGO = GOD. D'ailleurs 

* pr. 5. AGO=BGE , et GOD = COF* ; donc les quatre angles 

aigus AGO, BGE, GOD, COF, sont égaux entre eux; il 
en est de même des quatre angles obtus AGE, BGO, GOC, 
DOF. On peut observer de plus qu'en ajoutant l'un des 
quatre angles aigus à l'un des quatre obtus, la somme sera 
toujours égale à deux angles droits. 

Scholie, Les angles dont on vient de parler , comparés 
deux à deux, prennent différents noms. Nous avons déjà 
appelé les angles AGO, GOC, intérieurs d'un même côté; 
les angles BGO, GOD, ont le même nom ; les angles AGO, 
GOD, s'appellent allemee-intemes^ ou simplement alterne* ; 
il en est de même des angles BGO , GOC. Enfin on appelle 
internee-extemea les angles EGB , GOD, ou EGA, GOC, et 
alternes-externes les angles EGB , COF , ou AGE , DOF. 



LIVEB 1. 



25 



Gela posé on peut regarder les propositions suivantes comme 
étant déjà démontrées. 

P Les angles intérieurs d'un même côté , pris ensemble, 
▼aient deux angles droits. 

2® Les angles alternes-internes sont égaux, ainsi que les 
angles internes-externes , et les angles alternes-externes. 

Réciproquement si dans ce second cas , deux angles de 
même nom sont égaux , on peut conclure que les lignes 
auxquelles ils se rapportent sont parallèles. Soit, par 
exemple, l'angle AGO=GOD; puisque GOG + GOD est 
égal à deux droits, on aura aussi AGO + GOC égal à deux 
droits, donc'*' les lignes AG, CO, sont parallèles. '* pr. sa, 

PROPOSITION XXV. 

THÉORÈHB. 

Deux lignes AB, CD, parallèles à une troisième EF, <îg. 39- 
sonl parallèles entre elles. 

Menez la sécante PQR perpendiculaire à EF. Puisque AB 
est parallèle à £F, la sécante' PR sera perpendiculaire à 
AB*; de même puisque CD est parallèle à EF, la sécante ^^l^'^; 
PR sera perpendiculaire à CD. Donc AB et CD sont per- 
pendiculaires a la même droite PQ ; donc elles sont paral- 
lèles"". *pr. ai. 

- PROPOSITION XXVI. 

THiOlÈMB. 

Deux parallèles sont partout paiement distantes. 

Étant données les deux parallèles AB, CD, si par deux fig- 4o. 
points pris à volonté, on élève sur AB les deux perpendi- 
culaires £G, FH, les droites £G, FH, seront en même 
temps perpendiculaires à CD ; je dis de plus que ces * pr. 34. 
droites seront égales entre elles. 

Car en tirant GF, les angles GFE, FGH, considérés par 
rapport aux parallèles AB, CD, seront égaux comme ^^^^ 
alternes-internes* ; de même puisque les droites EG , FH, pr. a4. 



S6 



sont perpendiculaires à une même droite AB , et par con- 
séquent parallèles entre elles , les angles EGF , GFH , 
considérés par rapport anx parallèles G£ , FH , seront 
égaux comme alternes-internes. Donc les deux triangles 
£F6 , FOU , ont un côté commun FG adjacent à deux 
angles égaux , chacun à chacun ; donc ces deux triangles 
v^- 7* sont égaux ; donc le côté £G qui mesure ta distance des 
parallèles AB , CD , au point £, est égal au côté FH , qui 
mesure la distance de ces mêmes parallèles au point F. 

PROPOSITION XXVIL 
niioRft». 

Cg. 4i. ' St deux angles BAC , DEF, ont lea côtés parallèles ^ 
chacun à chacun j et dirigés dans le même sens , ces 
deux angles seront égaux. 

Prolongez , s^il est nécessaire , DE jusqu'à la rencontre 
de AC en G ; l'angle DEF est égal à DGC, parce que EF 
* pr. a4. est parallèle à GC* ; l'angle DGG est égal a BAC , parce que 
DQ est parallèle à AB; donc Tangle DEF est égal à BAC. 

SchoUe. On met dans cette proposition la restriction que 
le côté EF soit dirigé dans le même sens que AC et ED 
dans le même sens que AB ; la raison en est que si on pro- 
longe FE vers H , l'angle DEH aurait ses côtés parallèlea à 
ceux de l'angle BAC , mais ne lui serait pas égal. Dans ce 
cas , l'angle DE et l'angle BAC feraient ensemble deux 
angles droits. 



PROPOSITION XXVIII. 

TBtORÈHI. 

Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux y 
f ainsi que les angles opposés. 

Cg. 44. Tirez la diagonale BD, les deux triangles ADB, DBC, 
ont le côté commun BD ; de plus , à cause des parallèles 

♦ pr 24. AD, BC, l'angle ADB = DBC* , et à cause des parallèles 
AB, CD, Vangle ABD = BDC;donc les deux triangles 



LIVRE I. 27 

> 

ABB, DBC , sont égaux'*' ; donc le côté AB opposé à Tan- • pr. 7. 
gle ADB est égal au côté DG opposé à Tangle égal DBG, 
et pareillement le troisième c6lé AD est égal au troidème 
'BC; donc les côtés opposés d*un parallélogramme sont 
égauxk 

£n second lieu, de Tégalité des mêmes triafigles il s en- 
suit que Tangle A est égal à l'angle G, et aussi que l'angle 
ADG , composé des deux angles ADB, BDG, est égal a 
l'angle ABG , composé des deux angles DBG, ABD , donc 
les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux. 

Corollaire^ Donc deux parallèles AB, CD, comprises entre 
deux autres parallèles AD, BG, sont égales. 

PROPOSITION XXIX. 

TBiOlÈHB. 

Si dans un quadrilatère ABGD les côtés opposés sont fig. 44- 
égaux j en sorte qu'on ait AB = CD, et AD = BG, les 
côtés égaux seront parallèles^ et la figure sera un pa- 
rallélogramme. 

Car, en tirant la diagonale BD, les deux triangles ABD, 
BDG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun ; donc 
ils seront égaux ; donc l'angle ADB opposé au côté AB, 
est égal à l'angle DBG opposé au côté CD ; donc le côté 'pr. «4. 
AD est parallèle à BG. Par une semblable raison , AB est 
parallèle à CD ; donc le quadrilatère ABGD est un parallé- 
logramme. 

PROPOSITION XXX. 

THiORfcHE. 

Si deux côtés opposés AB, CD, d'un quadrilatère sont 
égaux et parallèles y les deux autres côtés seront pareil- 
lement égatêx et parallèles y et la figure ABGD sera un 
parallélogramme. 

Soit tirée la diagonale BD ; puisque AB est parallèle à 
CD, les angles altenies ABD, BDG, sont égaux : d'ail- ♦ pr. 34. 



18 



GtOHtTRII. 



deux triangles, l'angle commun A est compris entre côtés 
égaux chacun à chacun, savoir: ACassAB, et AKssAl. 
Donc le troisième côté G'K. est égal au troisième BI ; donc 
aussi Tangle ACK=: ABC, et l'angle AKC=: AIB. 

Je dis maintenant que le triangle B'C'K est égal au 
triangle AGI, car la somme des deux angles adjacents 

s. AKG' + C'KB' est égale à deux angles droits*, ainsi que 
la sonmie des deux angles AIG+AIB; retranchant de part 
et d'autre les angles égaux AK.G', AIB, il restera l'angle 
G'K.B'asAlG. Ges angles égaux dans les deux triangles 
sont compris entre côtés égaux chacun à chacun , savoir , 
G'K=IB = GI, et KB' = AK=AI, puisqu'on a supposé 
AB'=9AI=âAK. Donc les deux triangles B'G'K, AGI, 

6. sont égaux*; donc le côté G'B'=îAG, l'angle B'G'K= 
AGB, et Tanglb KB'G'=GAI. 

11 suit de là 1® que l'àngle AG'B' désigné par G' est com- 
posé de deux angles égaux aux angles B et G do triangle 
ABG, et qu'ainsi on a G'=B + G ; 2® que l'angle A du 
triangle ABG est composé de l'angle A' ou G'AB' qui 
appartient au triangle AB'G' et de l'angle GAI égal à 
l'angle B' du même triangle , ce qui donne A=A'-hB'; 
donc A •+ B G = A' -h B' -H G'. D'ailleurs puisqu'on a 
par hypothèse AC < AB et par conséquent G'B'<AC', on 
voit que dans le triangle AG'B' l'angle en A, désigné 
par À' , est moindre que B', et comnie la somme des deux 
est égale à l'angle du triangle proposé , il s'ensuit qu'on 
a l'angle A' <T A. 

Si on applique la même construction au triangle AB'G', 
pour former un troisième triangle AG"B" dont les angles 
seront désignés par A", B", G", on aura semhlahlement 
les deux égalités G" = C'-*. B', A'=A''-+-B", d'où résulte 
A'-i-B'-i-C' = A"-4-B"H-C". Ainsi la somme des trois 
angles est la même dans ces trois triangles : on aura en 
même temps l'angle A" <^ j A', et par conséquent A'' 
<iA. 

Continuant indéfiniment la suite des triangles AG'B% 
AG'^B", etc., on parviendra à un triangle aèc dans lequel 
la somme des (rois angles sera toujours la même que dans 



LIYRI I. 



19 



le triangle proposé ABC et qui aura l'angle a plus petit 
que tel terme qu'on roudra de la progression décroissante 
iA,^A,iA, etc. 

On peut donc supposer cette suite de triangles prolongée 
jusqu'à ce qae l'angle a soit moindre que tout angle donné. 

£t si au moyen du triangle abc on construit le triangle 
suivant a'è*e\ la somme des angles a' + de celui-ci sera 
égale à l'angle a, et sera par conséquent moindre que toot 
angle donné ; d'où Ton yoit que la somme des trois angles 
du triangle a'è'c' se réduit presque au seul angle 

Pour avoir la mesure précise de cette somme , prolon- 
geons le côté aV vers (2% et appelons s/ l'angle extérieur 
^c'(2'; cet angle a?', joint à l'angle c' du triangle a'6'c% 
fait une somme égaie à deux angles droits* ; ainsi en dé- * pr. a. 
signant l'angle droit par D, on aura <?'=2D — jr'; donc 
la somine des angles du tringle aV^ sera 

âD + a'-*.^' — ar'. 

Mais on peut concevoir que le triangle a'c'h' varie dans 
ses angles et ses côtés , de manière à représenter les trian- 
gles successifs qui naissent ultérieurement de Ta même 
construction et s'approchent de plus en plus de la limite 
où les angles et b' seraient nuls. Dans cette limite la 
droite a'c'd' se confbndant avec ti^b', les trois points a', c*, b% 
finissent par être exactement en ligne droite; alors les 
angles b' et s* deviennent nuls en môme temps que a', et 
la quantité âD + a'-t-^ — qui mesure la somme des 
trois angles du triangle a'c'b^, se réduit à SD, donc dan^ 
toui triangïê la toràme deê iroh an^eê est ègaî&a deux angle* 
droilê. 

Corollaire I. Deux angles d'un triang^ étant donnés ^ 
ou seulement leur somme , on connaîtra le troisième en 
retranchant la somme de ces angles de deux angles 
droMs. 

11. Si deux angles d'un triangle sont égaux a deux 
angles d'un autre triangle , chacun à chaonn » le troisième 
de l'an sera égal au troisième de l'autre , et les deux 
triangles seront équiangles entre eux.. 



GÉOltTRIE. 



III. Dans un triangle il ne peut y avoir qu'an seul 
angle droit ; car s'il y en avait deux, le troisième devrait 
être nul ; à pi as forte raison un triangle ne peut-il avoir 
qu'un seul angle obtus. 

IV. Dans un triangle rectangle la somme des deux an- 
gles aigus est égale à un angle droit. 

y. Dans un triangle équilatëral chaque angle est le 
tiers de deux angles droits ou les deux tiers d'un angle 
droit. Donc si l'angle droit est exprimé par 1 , l'angle du 
triangle équilatëral le sera par |. 

YI. Dans tout triangle ABC si on prolonge le côté AB 
vers D , l'angle extérieur CED sera égal à la somme des 
deux intérieurs opposés A et G ; car en ajoutant de part 
et d'autre ABC, les deux sommes sont égales à deux angles 
droits. 

PROPOSITION XX. 

THiORÈIE. 

La somme de tous les angles intérieurs d'un polygone 
est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a 
d'unités dans le nombre des côtés moins deux. 

Soit ABCD etc., le polygone proposé; si du sommet 
49. d'un même angle A , on mène à tous les sommets des 
angles opposés les diagonales AC , AD , A£ , etc. , il est 
aisé de voir que le polygone sera partagé en cinq triangles, 
s'il a sept côtés; en six triangles, s'il avait huit côtés; et 
en général , en autant de triangles que le polygone a de 
côtés moins deux ; car ces triangles peuvent être consi- 
dérés comme ayant pour sommet commun le point A , et 
pour bases les différents côtés des deux polygones, ex- 
cepté les deux qui forment l'angle A. On voit en même 
temps que la somme des angles de tons ces triangles ne 
diffère point de la somme des angles du polygone; donc 
cette dernière somme est égale à autant de fois deux an- 
gles droits qu'il y a de triangles , c'est-à-dire , qu'il y a 
d'unités dans le nombre des côtés du polygone moins 
deux. 



LIVRE I. 3t 

Corollaire 1. La tomme des angles d'un quadrilatère 
est égale à deux angles droits multipliés par \ — 2, ce qui 
fait quatre angles droits. Donc si tous les angles d'uti 
quadrilatère sont égaux, chacun d'eux sera un angle 
droit ; ce qui justifie la définition xyn où l'on a supposé 
que les quatre angles d'un quadrilatère sont droits , dans 
le cas du rectangle et du carré. 

IL La somme des angles d'un pentagone est égale a 
deux angles droits multipliés par S — S /ce qui fait 6 an- 
gles droits. Donc lorsqu'un pentagone est èquiangUj c'est* 
à-dire lorsque ses angles sont égaux les uns aux autres, 
chacun d'eux est égal au cinquième de six angles droits , 
ou aux I d'un angle droit. 

in. La somme des angles d'un hexagone est de 2 x (6 — 2} 
ou 8 angles droits; donc dans l'hexagone équiangle, chaque 
angle est § ou j d'angle droit. 

Scholie, Si on voulait appliquer cette proposition à un fig. 4^- 
polygone dans lequel il y aurait un ou plusieurs angUê 
rentranUj il faudrait considérer chaque angle rentrant 
comme étant plus grand que deux angles droits. Mais , 
pour éviter tout embarras , nous ne considérerons ici et 
dans la suite, que les polygones à angles saillant*, qu'on 
peut appeler autrement jpo/yy<m^.r convexes. Tout polygone 
convexe est tel, qu'une ligne droite, menée comme on 
voudra , ne peut rencontrer le contour de ce polygone 
qu'en deux points. 

PROPOSITION XXI. 

Si deux lignes droites AB, CD, sont perpendiculaires fig. 36. 
à une troisième FG, ces deux lignes seront parallèles^ 
c'est-à-dire qu^ elles ne pourront se rencontrer à quelque 
distance ^u'on les prolonge. 

Car si elles se rencontraient en un point 0, U y aurait 
deux perpendiculaires OF , OG, abaissées d'un même 
point G sur une même ligne FG, ce qui est impossible * pr. i5. 



22 



GÉOliTRlE. 



PROPOSITION XXII. 

THiORfeHE. 

ûg. 36. Si deux lignes droites AB , CD , font avec une troi- 
sième EF, deua; angles intérieurs BEF, DFE, dont la 
somme soit égale à deux angles droits, les lignes AB, CD, 
seront parallèles. 

Si les angles BEF, DFE, étaient ëganx, ils seraient 
droits l'un et l'autre, et on tomberait dans le cas de la 
proposition précédente; supposons donc qu'ils sont iné- 
gaux et par le point F, sommet du plus grand , abaissons 
FG perpendiculaire sur AB. 

Dans le triangle EFG., la somme des deux angles aigus 

*Jo;4?' PEG + EFG est égale à un angle droit*, cette somme 
étant retranchée de la sondme BEF + DFE égale par hypo- 
thèse à deux angles droits, il restera l'angle DFG égal à un 
angle droit. Donc les deux lignes AB, CD, sont perpendicu- 

* pr. ai. lairei i une même ligne FG, donc elles sont parallèles *, 

PROPOSITION XXIII. 

THÉOalWI. 

flg- S7. Si deux lignes droites AB, CD, font avec une troi- 
sième EF, deux angles intérieurs d'un même côté, dont 
la somme soit plus petite ou plus grande que deux an- 
gles droits, les lignes AB, CD ^ prolongées su^amment, 
devront se rencontrer. 

Soit 1* la somme BEF + EFD plus petite que deux an- 
gles droits, menez FG de manière que Tangle EFG=AEF, 
TOUS aurez la somme BEF + EFG égale à la somme BEF + 
AEF et par conséquent égale à deux angles droits, et 
puisque BEF + EFD est plus petite que deux angles droits , 
la droite DF sera comprise dans l'angle EFG. 

Par le point F tirez une oblique FM qui rencontre AB 
en M, Vangle AMF sera égal à GFM, puisqu'on ajoutant 
de part et d'autre une même quantité EFM + FEM, les 



LIVRE I. 2S 

deux sommes sont égales chacune à deax angles droits. 
Prenez ensuite MN ^ FM et joignez ; Tangle AMF, 
extérieur au triangle FMN , est égal à la somme des deux 
intérieurs opposés MFN, MNF* 5 ceux-ci sont égaux entre H'^ g? 
eux , puisqu'ils sont opposés à des côtés égaux MN , FM ; 
donc Tangle AMF ou son égal MFG est double de MFN ; 
donc la droite FN divise en deux parties égales Tangle 
GFM et rencontre la ligne AB en un point N situé à la dis- 
tance MN=FM. 

Il suit de la même démonstration que 91 on prend 
NP=FN, on déterminera sur la ligne AB le point P où 
aboutit la droite FP qui fait Fangle GFP égal à la moitié 
de l'angle GFN , ou au quart de l'angle GFM. 

On peut donc prendre ainsi sucessivement la moitié , le 
quart, le huitième, etc., de l'angle GFM, et les lignes qui 
opèrent ces divisions, rencontreront la ligne AB en des 
points de plus en plus éloignés , mais faciles à déterminer, 
puisque MN=FM, NP=:FN, PQ=PF, etc. On peut même 
observer qtie chaque distance d'un de ces points d'inter- 
section au point fixe F, n'est pas tout à-fait double de la 
distance du point d'intersection précédent, car FN, par 
exemple, est moindre que FM+MN ou dFM; on a pa- 
reillement PP< 2FN, FQ < 2FP, etc. 

Mais en continuant de sous-diviser l'angle GFM en 
raison double, on parviendra bientôt a un angle GFZ plus 
petit que l'angle donné GFD, et il sera encore vrai que 
FZ prolongée rencontre AB en un point déterminé : donc 
à plus forte raison la droite FD comprise dans l'angle 
EFZ , rencontrera AB. 

Supposons 2® que la somme* des deux angles intérieurs , 
AËF + GFË est plus grande que deux angles droits, si Ton 
prolonge AË vers B et CF vers D , la somme des quatre 
angles AEF, BËF, CFË, ËFD, sera égale à quatre angles 
droits; donc si de cette somme on retranche AËF+GFE 
plus grande que deux angles droits , il restera la somme 
BËF + ËFD phis petite que deux angles droits. Donc 
suivant le premier cas les lignes ËB, FD, prolongées 
suffisamment, doivent se rencontrer. 



GÊOHtTIIE. 



Corollaire. Par un point donné F on ne peut mener 
qa*une seule parallèle à la ligne doAnée AB ; car ayant 
tiré F£ à volonté , il n'y a qu'une ligne FG qui fasse la 
somme des deux angles BEF+EFG, égale à deux angles 
droits; toute autre droite FD ferait la somme des deux 
angles BEF+ËFD plus petite ou plus grande que deux 
droits , et rencontrerait par conséquent la ligne AB. 

PROPOSITION XXIV. 

THÉOBfelB. 

fig. 38. Si deux lignes parallèles AB, CD, sont rencontrées 
par une 'sécante EF, la somme des angles intérieurs 
AGO, GOC, sera égale à deux angles droits. 

Car si elle était plus grande on plus petite , les deux 
droites AB, CD, se rencontreraient d*un côté ou de 

* pr. a3. l'autre'^ et ne seraient pas parallèles. 

CoroUaire I. Si l'angle GOC est droit , l'angle AGO 
aera aussi un angle droit ; donc toute ligne perpendicu- 
laire à l'une des parallèles est perpendiculaire à l'autre. 

Corollaire Puisque la somme AGO+GOG est égale 
à deux angles droits , et que la somme GOD + GOC est 
aussi égale à deux angles droits ; si on retranche de part et 
d'autre GOC , on aura l'angle AGO = GOD. D'ailleurs 

* pr. 5. AGO=BGE , ét GOD = COF* ; donc les quatre angles 

aigus AGO, BGE, GOD, COF, sont égaux entre eux; il 
en est de même des quatre angles obtus AGE, BGO, GOC, 
DOF. On peut obseryer de plus qu'en ajoutant l'un des 
quatre angles aigus à l'un des quatre obtus, la somme sera 
toujours égale à deux angles droits. 

Scholie, Les angles dont on Tient de parler , comparés 
deux à deux , prennent différents noms. Nous avons déjà 
appelé les angles AGO , GOC , intérieure d'un même côté; 
les angles BGO, GOD, ont le même nom ; les angles AGO, 
GOD, s'appellent tdtemee'interneey ou simplement oZ/^mef ; 
il en est de même des angles BGO , GOC. Enfin on appelle 
intemee-^xtemee les angles EGB, GOD, ou EGA, GOC, et 
altemei-exiemee les angles EGB , COF ^ ou AGE , DOF. 



i 

LIVRE 1. 25 

Gela posé on pent regarder les propositions suivantes comme 
étant déjà démontrées. 

1° Les angles intérieurs d'un même côté , pris ensemble, 
▼aient deux angles droits. 

2° Les angles alternes-internes sont égaux, ainsi que les 
angles internes-externes , et les angles alternes-externes. 

Réciproquement si dans ce second cas , deux angles de 
même nom sont égaux , on peut conclure que les lignes 
auxquelles ils se rapportent sont parallèles. Spit , par ^ 
exemple, Fangle AGO=:GOD; puisque GOG + GOD est 
égal à deux droits, on aura aussi AGO + GOG égal à deux 
droits, donc''' les lignes AG, GO, sont parallèles. '*pr. aa. 

PROPOSITION XXV. 

THiORÈIB. 

Deus lignes AB, CD, parallèles à une troisième EF, H- Sg- 
sont parallèles entre elles . 

Menez la sécante PQR perpendiculaire à EF. Puisque AB 
est parallèle à EF, la sécante' PR sera perpendiculaire a 
AB"**; de même puisque CD est parallèle à EF, la sécante ^r^'^; 
PR sera perpendiculaire à CD. Donc AB et GD sont per- 
pendiculaires à la même droite PQ ; donc elles sont paral- 
lèles*, 'pr. 21. 

^ PROPOSITION XXVI. 

THiORÈHB. 

Deux parallèles sont partout également distantes. 

Étant données les deux parallèles AB, CD, si par deux H- 4o- 
points pris à volonté , on élève sur AB les deux perpendi- 
culaires EG, FH, les droites EG, FH, seront en même 
temps perpendiculaires à CD * ; je dis de plus que ces * pr. a/|. 
droites seront égales entre elles. 

Car en tirant GF, les angles GFE, FGH, considérés par 
rapport aux parallèles AB, CD, seront égaux comme ^^^^ 
alternes-internes'*' ; de même puisque les droites EG , FH, pr. 34* 



26 



GtOMtTlII, 



sont perpendiculaires à une même droite AB , et par con- 
séquent parallèles entre elles, les angles £GF , GFH , 
considérés par rapport aux parallèles G£ , FH , seront 
égaux comme altemes-int^es. Donc les deux triangles 
£FG , FGU , ont un côté commun FG adjacent à deux 
angles égaux , chacun à chacun ; donc ces deux triangle» 
7* sont égaux donc le côté £G qui mesure la distance des 
parallèles AB , CD , au point £ , est égal au côté FH , qui 
mesure la distance de ces mêmes parallèles au point F. 

PROPOSITION XXVII. 

THtORiMB. 

Gg. 4i. ' Si deux angles BAC , DEF, ont les côtés parallèles y 
chacun à chacun y et dirigés dans le même sens j ces 
deux angles seront égaux. 

Prolongez , s*il est nécessaire , D£ jusqu'à la rencontre 
de AC en G; l'angle D£F est égal à DGG, parce que £F 

* pr. a4. est parallèle à GG* ; l'angle DGG est égal a BAC , parce que 

DQ est parallèle à AB; donc l'angle D£F est égal à BAC. 

Scholie, On met dans cette proposition la restriction que 
le côté £F soit dirigé dans le même sens que AC et £D 
dans le même sens que AB ; la raison en est que si on pro- 
longe F£ vers H , l'angle D£H aurait ses côtés parallèles à 
ceux de l'angle BAC , mais ne lui serait pas égal. Dans ce 
cas , l'angle D£ et l'angle BAC feraient ensemble deux 
angles droits. 

PROPOSITION XXVIII. 

THÉORfelE. 

i 

Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux , 
ainsi que les angles opposés. 

fig. 44. Tirez la diagonale BD, les deux triangles ADB, DBC, 
ont le côté commun BD ; de plus, à cause des parallèles 

* pr. 24 AD, BC, l'angle ADB = DBC* , et à cause des parallèles 

AB, CD, l'angle ABD = BDC; donc les deux triangles 



LIVIE I. 27 

> 

ABB, DBC , sont égaux"*" ; donc le côté AB opposé à Fan- * pr. 7. 
gle ADB est égal au côté DG opposé à l'angle égal DBG, 
et pareillement le troisième côté AD est égal au troisiième 
'BG; donc les côtés opposés d'un parallélogramme sont 
égauxk 

En second lieu, de Fégalité des mêmes triangles il s'en- 
suit queTangle A est égal à Fangle G, et aussi que Fangle 
ADG , composé des deux angles ADB, BDG, est égal a 
l'angle ABG , composé des deux angles DBG, ABD , donc 
les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux. 

Corollaire. Donc deux parallèles AB, CD, comprises entre 
deux autres parallèles AD, BG, sont égales. 

PROPOSITION XXIX- 

THÉOIÈM. 

Si dans un quadrilatère ABGD les côtés opposés sont fig. 44- 
égaux, en sorte qu'on ait AB = GD, et AD = BG, les 
côtés égaux seront parallèles^ et la figure sera un pa- 
rallélogramme. 

Car, en tirant la diagonale BD, les deux triangles ABD, 
BDG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun ; donc 
ib selront égaux; donc l'angle ADB opposé au côté AB, 
est égal à l'angle DBG opposé au côté GD ; donc * le côté 'pr. »4- 
AD est parallèle à BG. Par une semhlahle raison , AB est 
parallèle à GD ; donc le quadrilatère ABGD est un parallé- 
logramme. 

PROPOSITION XXX. 

THÉORfcHB. 

Si deux côtés opposés AB, GD, d'un quadrilatère sont 
égaux et parallèles, les deux autres côtés seront pareil- 
lement égaux et parallèles , et la figure ABGD sera un 
parallélogramme. 

Soit tirée la diagonale BD ; puisque AB est parallèle à 
GD, les angles alternes ABD, BDG, sont égaux : d'ail- * pr. 34. 



28 



GtOHÉTftIB. 



leors le côté AB = DC, le côté DB est commun , donc le 

* pr. 6. triangle ABO est égal au triangle DBG* ; donc le côté 

AD=^C, Fangle ADB=DBG, et par conséquent AD est 
parallèle à BG ; donc la figore ABGD est un parallélo- 
gramme. 

PROPOSITION XXXI. 

THÉOlÈaB. 

fis* 4^- Les deux diagonales AG, DB, d^un parallélogramme 
se coupent mutuellement en deux parties égales. 

Gar , en comparant le triangle ADO au triangle GOB , 
*pr. a4. on trouve le côté AD=GB, l'angle ADO=CBO*; et 

* pr. 37. l'angle DAO = OGB; donc ces deux triangles sont égaux* ; 

donc AO, côté opposé à l'angle ADO , est égal à OG , côté 
opposé à l'angle OBG ; donc aussi DO=OB. 

SchoUe. Dans le cas du losange , les côtés AB , BG , étant 
^[aux, les triaogles AOB , OBG, ont les trois côtés égaux 
chacun à chacun , et sont par conséquent égaux ; d'où il 
suit que l'angle AOB=BOG, et qu'ainsi les deux diago- 
nales d'un losange se coupent mutuellement à angles droits. 



MA V\A/\AA/W\AAA/WWV\A/V'\WWV\/VV\'WA W\ VV\ X'W \\f\ VV\/WV V\A WWXA/WXVU 



LIVRE IL 



LE CERCLE ET LA MESURE DES ANGLES. 
Divimnoifs. 

I. La circonférence du cercle est une ligne conrbe, dont fig. 46. 
tous les points sont également distants d'un point intérieur 
qu'on appelle centre. 

Le cercle est l'espace* terminé par cette ligne courbe. 

m, B. Quelquefois dans le discours on confond le cercle avec sa cir- 
conférence ; mais il sera toujours facile de rétablir l'exactitude des 
expressions, en se souvenant que le cercle est une surface qui a lon- 
gueur et largeur, tandis que la circonférence n'est qu'une ligne. 

IL Tonte ligne droite CA, CE, CD, etc., menée du 
centre à la circonférence, s'appelle rayon ou demi-diamètre; 
toute ligne, comme AB, qui passe par le centre et qui est 
terminée de part et d'autre à la circonférence , s'appelle 
diamètre. 

En Tertn de la définition du cercle, tous les rayons sont 
égaux; tous les diamètres sont égaux aussi , et doubles du 
rayon. 

III. On appelle are une port^pn de circonférence telle 
queFHG. 

La carde ou soue-tendant» de l'arc est la ligne droite FG 
qui joint ses deux extrémités. ' 

lY. Segment e%i la surface ou portion de cercle comprise 
entre l'arc et la corde. 

N. B. A la même corde FG répondent toujours deux arcs FHG, FE6, 
et par conséquent aussi deux segnaents ; mais c'est toujours le plus 
petit dont on entend parler, à moins qu'on n'exprime le contraire. 

y. Secteur est la partie du cercle comprise entre un arc 
DE et les deux rayons CD, CE, menés aux extrémités de 
cet arc. 



SO GtOXtTRIE. 

H' \j' VI. On appelle l^ne inscrite dans le cercle , celle dont 
les extrémités sont à la circonférence, comme AB. 

Angle inscrit j un angle tel que BAC, dont le sommet 
est a la circonférence , et qui est fornlé par deux cordes. 

Triangle inscrit, un triangle tel que BAC , dont les trois 
angles ont leurs sommets à la circonférence. 

Et en général Jigure inscrite , celle dont les angles ont 
leurs sommets à la circonférence : en même temps on dit 
que le cercle est circonscrit à cette figure, 
fig. 48. VU. On appelle sécante une ligne qui rencontre la cir- 
conférence en deux points : telle est AB. 

VIII. Tangente est une ligne qui n'a qu'un point de com- 
mun avec la circonférence : telle est CD. 

Le point commun M s'appelle point de contact. 

IX. Pareillement deux circonférences sont tangentes 
l'une à l'autre , lorsqu'elles n'ont qu'un point de commun. 

lig. i6o. X. Un polygone est circonscrit à un cercle, lorsque tous 
ses côtés sont des tangentes à la circonférence; dans le 
même cas on dit que le cercle est inscrit dms le polygone. 

PROPOSITION PREMIÈRE. 

THiORÈllé 

fig. 49. Tout diamètre AB divise le cercle et la circonférence 
en deux parties égales. 

Gar^ion applique la figure AEBsur AFB, en conservant 
la base commune AB, il fàudra que la ligne courbe AEB 
tombe exactement sur la ligne courbe AFB , sans quoi il y 
aurait dans l'une ou dans l'autre des points inégalement 
éloignés du centre, ce qui est contre la définition du cercle. 

PROPOSITIOiN II. 

^ TltOlÈHE* 

Toute corde est plus petite que le diamètre. 
fig. 49. Car si aux extrémités de la cordé AD on mène les 
rayons AC, CD , on aura la ligne droite AD ^ AC -h CD, 
ou AD<AB, 



/ 



UYR£ II. 



Corollaire. Donc la plus grande ligne droite qu'on puisse 
inscrire dans un cercle est égale à son diamètre. 

PROPOSITION III. 

TBtOlÈHE. 

Une ligne droite ne peut rencontrer une circonfé- 
rence en plus de deux points. 

Car si elle la rencontrait en trois, ces trois points se- 
raient également distants du centre ; il y aurait donc trois 
droites égales menées d*un même point sur mne même ligne 
droite, ce qui est impossible ^l^'?* 

PROPOSITION IV. 

THftOBtal. 

Dans un même cercle ou dans des cercles égaux y les arcs 
égaux sont sous-tendus par des cordes égales ^ et récipro- 
quement les cordes égales sous-tendent des arcs égaux. 

Le rayon AG étant égal au rayon EO, et Tare AMD égal à fig. 5o. 
Tare £NG, je dis que la corde AD sera égale à la corde £G. 

Car le diamètre AE étant égal au diamètre ËF, le demi- 
cercle AMDB pourra s'appliquer exactement sur le demi- 
cercle ËNGF, et la ligne courbe AMDB coïncidera entiè- 
rement avec la ligne courbe ENGF. Mais on suppose la 
portion AMD égale à la portion ENG; donc le point 
D tombera sur le point G; donc la corde AD est égale 
à la corde EG» 

Réciproquement, en supposant toujours le rayon AC 
s=£0, si la corde AD=EG, je dis que l'arc AMD sera 
égal à l'arc ENG. 

Car en tirant les rayons CD, 00, les deux triangles 
ACD, EOG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun, 
saToir, ACsEO, CD=OG, et AD=EG; donc ces trian- 
gles sont égaux ; donc l'angle ACDssEOG. Mais en posant * u, t. 
le demi-cercle ADB sur son égal EGF, puisque l'angle * 
ACD=EOG , il est clair que le rayon CD tombera sur le 



GtOMÊTIlIE. 



rayon OG, et le point D sur le point G; donc Farc AMD est 
égal à l'arc ENG. 

PROPOSITION V. 

THÉORÈHK. 

Dans le même cercle ou dans des cercles égaux y un 
• plus grand arc est sous-tendu par une plus grande 

corde y et réciproquement y si toutefois les arcs dont il 
s'agit sont moindres qu'une demi-circonférence. 
fig. 5o. Car soit l'arc AH plus grand que AD, et soient menées 
les cordes AD, AH, et les rayons CD, CH : les deux côtés 
AC, CH, du triangle ACH sont égaux aux deux côtés AC, 
CD, du triangle ACD : l'angle ACH est plus grand que 

* io> I- ACD ; donc* le troisième côté AH est plus grand que le 

troisième AD; donc la corde qui sous-tend le plus grand 
arc est la plus grande. 

Réciproquement , si Ifi corde AH est supposée plus 
grande que AD, on conclura des mêmes triangles que 
l'angle ACH est plus grand que ACD, et qu'ainsi l'arc AH 
est plus grand que AD. ' 

ScTiolie, Nous supposons que les arcs dont il s'agit sont 
plus petits que la demi-circonférence. S'ils étaient plus 
grands , la propriété contraire aurait lieu ; l'arc augmen- 
tant, la corde diminuerait, et réciproquement : ainsi l'arc 
AKBD étant plus grand que AKBH, la corde AD du 
premier est plus petite que la corde AH du second* 

PROPOSITION VI. 

THÉORÈHK* 

6g. 5i. Le rayon CG, perpendiculaire à une corde AB, divise 
cette corde et l'arc sous-tendu AGB, chacun en deux 
parties égales. 

Menez Ws rayons CA, CE; ces rayons sont, par rap- 
port à ia perpendiculaire CD, deux obliques égales; 

• i€, I. dope ils s'écartent également de la perpendiculaire * ; 

donc AD=DB. 



LIVRE If. 



En second lieu , puisque AD=DB , CG est une perpen- 
diculaire élevée sur le milieu de AB ; donc * tout point de * 17, 
cette perpendiculaire doit être également distant des deux 
extrémités A et B. Le point G est un de ces points; donc 
la distance AG=:BG. Mais si la corde AG est égale à la 
cbrde GB , l'arc AG sera égal à l'arc GB * ; donc le rayon * pr 
CG, perpendiculaire à la corde AB, divise Tare sous-tendu 
par cette corde en deux parties égales ail point G. 

Sehêliê. Le centre G , le milieu D de la corde AB , et 
le milieu G de Tare sous-tendu par cette corde , sont trois 
points situés sur une même ligne perpendiculaire, à la 
corde. Or, il suffît de deux points pour déterminer la posi- 
tion d'une ligne droite ; donc toute ligne droite qui passe 
par deux des points mentionnés , passera nécessairement 
par le troisième, et sera perpendiculaire à la corde. 

Il s'ensuit aussi que la perpendietdaire élevée sur h milieu 
d'une corde fasse par le centre et par le milieu de Varc sous^ 
tendu par cette co7*de% 

Car cette perpendiculaire n'est autre <)ue celle qui serait 
abaissée du centre sur la même corde , puisqu'elles pas^nt 
tontes deux par lé milieu de la corde. * 

PROPOSITION vn. 

THÊORÊHE. 

Par trois points donnés, A, iB, C, non en ligne fig. 
droite, on peut toujours faire passer une circonférence, 
mais on n'en peut faire passer qu'une. 

Joignez AB , BC , et divisez ces deux droites en deux 
parties égales par les perpendiculaires D£ , FG ; je dis 
d'abord que ces perpendiculaires se rencontreront en un 
point 0. 

Car les lignes DE , FG , se couperont nécessairement si 
elles ne sont pas parallèles. Or supposons qu'elles fussent 
parallèles ; la ligne AB, perpendiculaire à DE , serait per- 
pendiculaire à FG* , et l'angle K serait droit ; mais BK , * %k 
prolongement de BD , est différente de BF , puisque les 
trois points A , B , G , ne sont pas en ligne droite ; donc il 

3 



Zi GtoxiTaiB. 

y aurait deux perpendiculaires BF, BK, ahaissées d*un 

* i5. 1. même point sur la même ligne, ce qui est impossible*; donc 

les perpendiculaires DE , FG, se couperont toujours en un 
point O. 

Maintenant le point G, comme appartenant à la perpen- 

* J7. 1. diculaire DE, est à égale distance des deux points A et B*; 

le même point O, comme appartenant à la perpendioa- 
laire FG, est à égale distance des deux points B, G ; donc 
les trois dbtances OA , OB, OC, sont égales ; donc la eir- 
oonférence décrite du centre et du rayon OB passera par 
les tr(HS points donnés A, B, G. 

11 est prouvé par^la qu'on peut toujours faire passer 
une circonférence par trois points donnés , non en ligne 
droite ; je dis de plus qu'on n'en peut faire passer qu'une. 

Car s'il y avait une seconde circonférence qui passai 
par les trois points donnés A, B, G, son centre ne pourrait 

* 17, 1. être hors de la ligne DË'*',pnisqn'alors il serait in^le- 

ment éloigné de A et de B ; il ne pourrait être non plus 
hors de la ligne FG par une raison semblable ; donc il 
serait à-la-fois sur les deux lignes DE, FG. Or deux lignes 
droites ne peuvent se couper en plus d'un point ; donc il 
n'y a qu'une circonférence qui puisse passer par trois 
points donnés. 

Corollaire. Deux circonférences ne peuvent se rencon- 
trer en plus de deux points; car si elles avaient trois points 
communs , elles auraient le même centre , et ne feraient 
qu*une seule et même circonférence. 

PROPOSITION VUI. 

TfltoatKl. 

Deux cordes égales sont éffitlemeni éloignées du cen- 
tre ; el de deux cardes inhales, la plus peiUe est la plus 
éloignée du ventm, 
r.^'. 53. lo Suit la corde AB ««DE : diviseï ces cordes en deox 
également par les perpendiculaires CF, CG, el tiiei les 
rayons G A, Cl). 

Los trUnglos mUnglos CAF , DGG» ont les hypoténuses 



iivai II. 



CA , CD, égales ; de plus le côté AF, moitié de AB, est éigal 

au GÔto DGy moitié de DE ; donc ces triangles sont égaux * i8, i. 

et le troisième côté GF est égal au troisième GG; donc , 

1° les deox cordes égales AB, DE, sont également ëloignées 

du centre. 

â*" Soit la corde AH pins grande que DE , l'arc AKH 
sera plus grand que Tare DME''' : sur l'arc AKH prenez la * pr. ^. 
partie ANB =DME y tirex la corde AB , et abaisser GF , 
perpendiculaire sur cette corde, et GI, perpendiculaire sur 
AH ; il est clair qae GF est plos grand que GO, et GO plus 
grand que GI"*" ; donc à pins forte raison GF ^ GL Mais ' 16, f . 
GFssGG , puisque les cordes AB , DE , scmt égales f donc 
on a GG^GI; donc de deux cordes inégales Irplus petite 
est la plus éloignée du centre. 

PROPOSITION IX. 

TfltOatHB. 

La perpendiculaire BD , menée à rextr&nité du «g. 54. 
rayon CA, est une tangente à la circonférence. 

Gar toute oblique GE est plus longue que la perpendi- 
culaire GA'''; donc le point £ est hors du cercle; donc la * 16, i. 
L'gne BD n^a que le point A commun avec la circonfé- 
rence; donc BD est une tangente Méf. a. 

Scholie. On ne peut mener par un point donné A qu'une 
seule tangente AD à la circonférence ; car si on en pouvait 
mener une autre, cette-ci ne serait plus perpendiculaire 
au rayon GA; donc, par rapport à cette nouvelle tan- 
gente , le rayon GA serait une oblique , et la perpendicu- 
laire, abaissée du centre sur cette tangente, serait plus 
courte que GA ; donc cette prétendue tangente entrerait 
dans le cercle, et serait une sécante. 

PROPOSITION X. 

TItOltMB. 

Deux parallèles AB, DE, interceptent sur la circon- fig. 55. 
férence des arcs égaux MN , PQ. 
Il peut arriver trois cas : 



GtOMtTlII. 



1« Si les deax parallèles sont sécantes, menex le rayun 
eu perpendicolaire à la corde MP, il sera en même temps 
1. perpendiculaire à sa parallèle NQ * ; donc le point H sera 

* 6. à la fois le milieu de l'arc MHP et celui de l'arc NHQ * ; 

on aura donc l'arc MH = HP, et l'arc NH = HQ : delà 
lésulte MH— NH=HP— HQ, c'est-à-dire MN=PQ. 
56. 2* Si des deux parallèles AB , DE , l'une est sécante , 
l'autre tangente; au point de contact H menex le rayon 

• 9. CH ; ce rayon sera perpendiculaire à la tangente DE * , 

et aussi à sa parallèle MP. Hais puisque CH est perpendi- 
culaire a la corde MP, le point H est le milieu de l'arc 
MHP ; donc les arcs IfH, HP, compris entre les parallèles 
AB , DE , sont ^aux. 

S<» Enfin si les deux parallèles DE , IL , sont tangentes^ 
l'une en H , l'autre en K, menex la sécante parallèle AB , 
▼ous aurez , par ce qui vient d'être démontré , MH=HP 
et MK=KP; donc l'arc entier HMK=HPR, et de plus 
on voit que chacun de ces arcs est une demi -circonfé- 
rence. 

PROPOSITION XI, 
TatoBÈn. 

Si deux circonférences se coupent en deux points, la 
ligne guipasse par leurs centres sera perpendiculaire à 
la corde qui Joint les points d'intersection, et ta divisera 
en deux parties égales. 

Car lu ligne AB , qui joint les points d'intersection , est 
^vî Us oorde commune aux deux ceroles. Or, si sur le milieu 
de cette corde on élève une perpendiculaire, elle doit 
*6. passer par chacun des deux centres C et D*. Mais par 
deux points donnés on no peut mener qu'une seule ligne 
droite ; dono la ligne droite, qui passe par les centres, sera 
perpendiculaire sur le milieu de la corde comm«ne. 



UTRE II. 



PROPOSITION XII. 

THÉORÈME. 

Si la distance des deux centres est plus courte que 
la somme des rayons^ et si en même temps le plus grand 
rayon est moindre que la somme du plus petit et de la 
distance des centres ^ les deux cercles se couperont. 

Car pour qu'il y ait lieu à intersection , il faut que le 
triangle CAD soit possible : il faut donc non seulement que 
CD soit AC + AD , mais aussi que le plus grand rayon 58^. 
AD soit <^AC + CD. Or , tontes les fois que le triangle CAD 
pourra être construit y il est clair que les circonférences 
décrites des centres C et D, se couperont en A et B. 

PROPOSITION XIIL 

THtORÈHE. 

Si la distance CD des centres de deux cercles est 
égale à la somme de leurs rayons C A , AD , ces deux 
cercles se toucheront extérieurement. 

Il est clair qu'ils auront le point A commun; mais ils 
n'auront que ce point ; car, pour qu'ils eussent deux points 
communs , il faudrait que la distance des centres fût plus 
petite que la somme des rayons. 

PROPOSITION XIV. 

THÉORÈME. 

Si la distance CD des centres de deux cercles est 
égale à la différence de leurs rayons CA, AD, ces, deux 
cercles se toucheront intérieurement. 

D'abord il est clair qu'ils ont le point A commun : ils 
n'en peuvent avoir d'autre ; car pour cela il faudrait que 
le plus grand rayon AD fût plus petit que la somme faite 
da rayon AC et de la distance des centres CD''' , ce qui n'a * la. 
pas lieu. 

Corollaire. Donc, si deux cercles se touchent, soit intÂ- 



fi#OHftT«ll. 

l'ieurcment , soit extérieurement , les centres et le point de 
ccHitact sont sur la même ligne droite. 
tî6o? Scholie. Tons les cercles qui ont lenrs centres sur la 
droite CD^ et qui passent par le point A, sont tangents les 
uns aux autres ; ils n'ont entre eux que le seul point A de 
commun. £t si par le point Aon mène AE peipendiculaire 
à CD, la droite A£ sera une tangente commune à tous ce» 
cercles. 



PROPOSITION XV. 

THftORtMl. 

fig. 6u Dans te même cercle ou dans des cercles égaux j les 
angles égaux ACB, DCE» dont le sommet est au centre , 
interceptent sur la circonférence des arcs égaux AB, DE. 

Réciproqu^fnent, si les arcs AB, DE, sont égaux , les 
angles ACB, DCE, seront aussi égaux. 

Car, 1» siFangle ACB est égal à Tangle DCE, ces deux 
angles pourront se placer l'un sur l'autre ; et comme leurs 
côtés sont égaux, il est clait que le point A tombera en D, et 
le point B en E. Mais alors l'arc AB doit aussi tomber sur 
lare DE; car ai les deux arcs n'étaient pas confondus en 
un seul , il y aurait dans l'un ou dans l'autre des points 
inégalement éloignés du centre, ce qui est impossible ; 
donc l'arc AB=DE. 

Si on suppose AB=DE, je dis que l'angle ACB sera 
égal à DCE ; car si ces angles ne sont pas égaux , soit ACB 
le plus grand , et soit pris ACI=DCE ; on aura , par ce qui 
Tient d'être démontré , AI == DE : mais , par hypothèse , 
l'are AB==DE; donc on aurait AI=AB, ou la partie égale . 
au tout, ce qui est impossible f donc l'angle ACB=DCE. 



LIVRE II. 



PROPOSITION XVI. 

TBtORÈHE. 

Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, si fig. 62. 
deux angles au centre ACB, DCE, sont entre eux comme 
deux nombres entiers , les arcs interceptés AB , DE , 
seront entre eux comfne les mêmes nombres , et on 
aura cette proportion : angle ACB : angle DCE : : 
arc AB : arc DE. 

Supposons , par exemple , que les angles AGfi , DCE , 
soient entre eux comme 7 est à 4 ; ou , ce qui revient au 
même, supposons que 1 angle M, qui servira de commune 
mesure, soit contenu sept fois dans l'angle ACB , et quatre 
dans l'angle DCE. Les angles partiels ACm, mCtty nCp, etc. 
DCxf afCy, etc. , étant égaux entre eux, les arcs partiels 
Awi, mtty np, etc., Da?, xy, etc. , seront aussi égaux entre 
eux*; donc l'arc entier AB sera à l'arc entier DE comme * i5. 
7 est à 4. Or il est évident que le même raisonnement 
aurait toujours lieu , quand à la place de 7 et 4 on aurait 
d^autres nombres quelconques ; donc , si le rapport des 
angles ACB, DCE, peut être exprimé en nombres entiers, 
les arcs AB,'DE, seront entre eux comme les angles ACB , 
DCE. 

Sckolïe, Réciproquement, si les arcs AB, DE, étaient 
entre eux comme deux nombres entiers , les angles ACB , 
DCE, seraient entre eux comme les mêmes nombres, et on 
aurait toujours ACB : DCE :: AB : DE ; car les arcs partiels 
Am, mn, etc., Dx, ^ry, etc., étant égaux, les angles partiels 
ACm^ mCn, etc. , DC^ , xCy, etc. , sont aussi égaux. 

PTOPOSITION XVII. 

THÉOaÊHE. 

Quel que soit le rapport des deux angles ACB, ACD , fig. 63-. 
ces deux angles serçnt toujours entre eux comme les arcs 
AB , AD^ interceptés entre leurs côtés et décrits de leurs 
sommets comme centres avec des rayons égaux. 



40 



GtOKÉTRIB. 



Supposons le plus petit angle placé dans le plus grand : 
8Î la proposition énoncée n'a pas lieu , l'angle ACB sera à 
l'angle ÂCD comme l'arc AB est à- un arc plus grund ou 
phis petit que AD. Supposons cet arc plus grand , et repré- 
sentons-le par AO, nous aurons ainsi ; 

Angle ACB : angle ACD :: arc AB : arc AO. 

Imaginons maintenant que l'arc AB soit divisé en parties 
égales dont chacune soit plus petite que DO , il y aura au 
moins un point de division entre D et : soit I ce point , 
et joignons CI ; les arcs AB , AI , seront entre eux comme 
deux nombres entiers , et on aura en vertu du théorème 
précédent : 

Angle ACB : angle ACI :: arc AB : arc AI. 

Rapprochant ces deux proportions l'une de l'autre , et 
observant que les antécédents sont les mêmes , on en con- 
clura que les conséquents sont proportionnels , et qu'ainsi 

Angle ACD ; angle ACI :: arc AO : arc AI. 

Mais l'arc AO est plus grand que l'arc AI : il fondrait 
donc, pour que la proposition subsistât , que l'angle ACD 
fut plus grand que l'angle AGI ; or, au contraire il est plus 
petit ; donc il est impossible que l'angle ACB soit à l'angle 
ACD comme J'arc AB est à un arc plus grand que AD. 

On démontrerait par un raisonnement entièrement sem- 
blable que le quatrième terme de la proposition ne peut 
être plus petit que AD; donc il est exactement AD; donc 
on a la proportion : 

Angle ACB : angle ACD :: arc AB : arc AD. 

Corollaire. Puisque l'angle au centre du cercle et l'arc 
intercepté entre ses côtés ont unè telle liaison que quand 
l'un augmente ou diminue dans un rapport quelconque, 
l'autre augmente ou diminue dans le même rapport, on est 
en droit d'établir l'une de oeA grandeurs pour la mesure 
de l'autre : ainsi nous prendrons désormais l'arc AB pour 
la mesure de l'angle ACB. Il fout seulement observer, dans 
la comparaison des angles entre eux , que les arcs qui leur 
servent de mesure doivent être décrits avec des rayons égaux; 
c'est ce que supposent toutes les propositions précédentes. 

Scholie I. Il parait plus naturel de mesurer une quantité 



LIVRE tf. 41 

par Hne quantité de la même espèce , et sur ce principe 
il eonviendrait de rapporter tous les angles à l'angle droit : 
.ainsi l'angle dtoit étant l'unité de mesure -, un angle aigu 
serait exprimé par un nombre compris entre et 1 , et 
un angle obtu» par un nombre entre 1 et S. Maïs cette 
manière d'exprimer les angles ne serait pas la plus com- 
mode dans l'usage ; on a trouvé beaucoup plus simple de 
les mesurer par des arcs .de eerde , à cause de la facilité 
de faire des arcs égaux à des arcs donnés , et pour beau- 
coup d'autres raisons. Au reste, la mesure des angles 
par les arcs de cercle est en quelque sorte indirecte , il n'en 
est pas moins facile d'obtenir par leur moyen la mesure 
directe et absolue ; car si vous comparez l'arc qui sert de 
mesure à un angle avec le quart de la circonférence, vous 
aurez lè rapport de l'angle donné à l'angle, droit , ce qui 
est la mesure absolue. 

Scholie II. Tout ce qui a été démontré dans les trois 
propositions précédentes pour la comparaison des angles 
avec leurs arcs , a lieu également pour la comparaison des 
secteurs avec les arcs : car les secteurs sont égaux lorsque 
les angles le sont, et en général ils sont proportionnels 
aux aiigles ; donc deux secteurs ACB , ACD, pris dans le 
même cercle ou dans des cercles égauXy sont entre euS comme 
les arcs A6 , AD, hases de ces mêmes secteurs. 

On voit par-là que les arcs de cercle qui servent de me- 
sure aux angles peuvent aussi servir de mesure aux diffé- 
rents secteurs d'un même cercle ou de cercles égaux. 

PROPOSITION XVIII. 

TBftORÊHE. 

L'angle inscrit BAD a pour n^esure la moitié de l'arc ^fes^ 
BD compris entre ses côtés. 

Supposons d'abord que le centre , du cercle soit situé 
dans l'angle BAD , on mènera le diamètre A£ et les rayons fig- 64. 
GB) CD. L'angle BCË , extérieur au triangle ABC , est égal 
à la somme des deux intérieurs CAB, ABC' : mais le*i9it* 
triangle BAC étant isoscèle , l'angle GAB =; ABC ; donc 



4S otoitniB. 

Tangle BCE est double de BAC. L'aogle BCE, commo 
angle au centre, a pour metare l'arc BE; donc l'angle 
BAC aura pour mesure la moitié de BE. Par une raison 
semblable, Tangle CAD aura pour mesure la moitié de 
ED ; donc BAC + CAD ou BAD aura pour mesure la moitié 
de BE+ED ou la moitié de BD. 
fig- 65. Supposons en second lieu que le centre G soit situé hors 
de Fangle BAD; alors menant le diamètre AE, Fangle BAE 
aura pour mesure la moitié de BE, l'angle DAE la moitié 
de DE; donc leur différence BAD aura pour mesure la 
moitié de BE moins de la moitié de ED, ou la moitié de 
BD. 

Donc tout angle inscrit a pour mesure la moitié de l'arc 
compris entre ses côtés, 
fig. 66 CoroUairê I. Tous les angles BAC, BDC, etc., inscrits 
dans le même segment sont égaux; car ils ont pour mesure 
la moitié du même arc BOG. 
67. II. Tout angle BAD inscrit dans le demi-cercle est 
un angle droit ; car il a pour mesure la moitié de la demi- 
circonférence BOD , ou le quart de la circonférence. 

Pour démontrer la même chose d'une autre manière , 
tirez le rayon AG; le triangle BAC est isoscèle, ainsi l'an* 
gle BAGsABG; le triangle CAD est pareillement isoscèle ; 
donc l'angle CAD=ADC; donc BAC + CAD ou BAD = 
ABD+ADB. Mais si les deux angles B et D du triangle 
ABD valent ensemble le troisième BAD , les trois angles 
du triangle vaudront deux fois l'angle BAD; ils valent 
d'ailleurs deux angles droits; domc l'angle BAD est un 
angle droit. 

fig 66. III. Tout angle BAC inscrit dans un segment plus grand 
que le demi-cercle , est un angle aigu ; car il a pour 
mesure la moitié de l'arc BOG moindre qu'une demi- 
circonférence. 

Et tout angle BOG , inscrit dans un segment plus petit 
que le demi-cerçle, est un angle obtus ; car il a pour me- 
sure la moitié de l'arc BAC plus grande qu'une demi* 
circonférence. 

iîg. 68. IV. Les angles opposés A et G d'un quadrilatère inscrit 



LIVBE II. 4â 

ABCD, valent ensemblç deux angles droks; car Tangle 
BAD a pour mesure la moitié de Tare BCD , l'angle BGD a 
pour mesure la moitié de l'arc BAD ; donc les deux angles 
BAD , BGD , pris ensemble , ont pour mesure la moitié de 
la circonférence ; donc leur somme équivaut à deux angles 
droits. 

PROPOSITION XIX. 

THiOBÈHB. 

L'angle BAC, formé par une tangente et une corde y fig. ^. 
a pour mesure la moitié de Varc AHDC compris entre 
ses côtés. . 

Au point de contact A menez le diamètre AD; l'angle 
BAD est droit'*' , il a pour mesure la moitié de la demi-cir- *9. 
conférence AMD , l'angle D AG a pour mesure la moitié de 
DG ; donc BAD-f DAG ou BAC a pour mesure la moitié de 
AMD , plus la moitié de DG , ou la moitié de l'arc entier 
AMDG. 

On démontrerait de même que l'angle GAE a pour me- 
sure la moitié de l'arc AG compris entre ses côtés. 



Problèmes relatifs auœ detur premiers livres. 

PIOBLÈHK PREHIBR. 

Diviser la droite donnée AB en deux parties égales, «g- 70- 
Des points A et B , comme centres , avec un rayon plus 
grand que la moitié de AB , décrivez deux arcs qui se cou- 
pent en D; le point D sera également éloigné des points A 
et B : marquez de même au-dessus ou au-dessous de la ligne 
AB un second point £ également éloigné dqs points A et B , 
par les deux points D et Ë, tirez la ligne DE ; je dis que 
DE coupera la ligne AB en deux parties égales au point G. 

Car les deux points D et E étant chacun également éloi- 
gnés des extrémités A et B , ils doivent se trouver tous deux 
dans la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB. Mais. 



44 



GtOHÉTlIE. 



par deux points donnés il ne peut passer qu'une seule ligne 
droite; donc la ligne DE sera cette perpendiculaire elle- 
même qui coupe la ligne AB en deux parties égales aa 
point C. 

PBOBLÈHS n. 

1 

Cg. 7»- Par un point donné sur la ligne BC, élever une 
perpendiculaire à cette lign^. 

Prenez les points B et G à égale distance de A , ensuite 
^ des points B et G , comme centres , et d'un rayon plus grand 
que BA , décriyez deux arcs qui se coupent en D ; tirez AD 
qui sera la perpendiculaire demandée. 

Car le point D étant également éloigné de B et de G , ap- 
partient à la perpendiculaire éleyée sur le milieu de BG; 
donc AD est cette perpendiculaire. 

SchoUe^ La même construction sert à faire un angle droil 
BAD en un point donné A sur une ligne donnée BG. 

PBOBIÈHB III. 

r.g. 7a. D'un point A , donné hors de la droite BD, abaisser 
une perpendiculaire sur cette droite. 

Du point A , comme centre , et d'un rayon suffisamment 
grand, décrivez un arc qui coupe la ligne BD aux deux 
points B et D ; marquez ensuite un point £ également dis- 
tant des points B et D , et tirez A£ qui sera la perpendicu- 
laire demandée. 

Gar les deux points A et £ sont chacun également dis- 
tants des points B et D ; donc la ligne A£ est perpendicu- 
laire sur le milieu de BD. 

PBOBLÈHB iv. 

fig. 73 ^4u point A de la ligne AB, faire un angle égal à 
l'angle donné K. 

Du sommet R, comme centre , et d'un rayon à volonté , 
décrivez Tare IL terminé aux deux côtés de l'angle ; du. 
point A , comme centre , et d'un rayon AB égal à RI , dé- 
crivez l'arc indéfini BO ; prenez ensuite un rayon égal à la 



LITRE n. 45 

eorde LI ; <Lu point B , comme centre , et de ce rayon ^ dé- 
crivez un arc qai coope en D l'arc indéfini BO ; tirez AD , 
et rangle DAB sera égal à l'angle donné K. 

Car les deux arcs BD , LI , ont des rayons égaux et des 
cordes égales ; donc Us sont égaux * ; donc l'angle BAD s * 4, 
IKL. 

PBOBLiHK y. 

Diviser un angle ou un arc donné en deux parties fig. 
égales, 

1° S'il faut diviser l'arc AB en deux parties égales, des 
point A et B , comme centres ^ et avec un même raypn , 
décrirez deux arcs qui se coupent en D ; par le point D et 
par le centre G tirez CD qui coupera l'arc AB en deux par- 
ties égales au point £. 

Car les deux points C et D sont chacun également dis- 
tants des extrémités A et B de la corde AB ; donc la ligne 
CD est perpendiculaire sur le milieu de cette corde ; donc 
elle divise l'arc AB en deux parties égales au point * 6, 

â° S'il faut diviser en deux parties égales l'angle ACB , 
on commencera par décrire du sommet C , comme centre , 
l'arc AB , et le reste comme il vient d'être dit. Il est clair 
que la ligne CD divisera en deux parties égales Tangle 
ACB, - 

Scholie, On peut, par la même construction , diviser cha- 
cune des moitiés AE , £B , en deux parties égales ; ainsi , 
par des sous-divisions successives , on divisera un angle ou 
un arc donné en quatre parties égales , en huit , en seize , etc. 

PROBLÈME VI. 

Par un point donné A, mener une parallèle à la fig. 
ligne donnée BC. 

Du point A , comme centre , et d'un rayon suffisamment 
grand , décrivez l'arc indéfini £0 ; du point £ , comme 
centre , et du même rayon , décrivez l'arc AF , prenez £D= 
AF , et tirez AD qui sera la parallèle demandée. 

Car en joignant A£ , on voit que les angles alternes AEF , 



46 



GiOlliTBlI. 



£ AD , sont égaux ; donc les lignes AD , £F , sont parallè- 
*a4»i' les*. , 

PROBLÈIB TII. 

£g. 76. Deux angles ketJi d'un triangle étant donnés , trou- 
ver le troisième. 

Tirez la ligne indéfinie DEF , faites an point £ Tangle 
DEG= A , et l'angle C£H=:B : l'angle restant HEF sera 
le troisième angle requis ; car ces trois angles pris ensem- 
ble valent deux angles droits. 

PROBiJùiB ym. 

Hg. 77. Étant donnés deux côtés B et C» d'un triangle et Van- 
gle A qu^ils comprennent , décrire le triangle. 

Ayant tiré la ligne indéfinie D£ , faites au pointD l'angle 
EDF égal a l'angle donné A; prenez ensuite DG=By 
DH=C , et tirez QH ; DGH sera le triangle demandé. 

PBOBLtaB IX. 

Étant donnés un côté et deux angles dun triangle, 

décrire le triangle. 

Les deux angles donnés seront ou tous deux adjacents au 

côté donné, ou l'un adjacent , l'autre opposé : dans ce der- 
* pr. 7. nier cas , cherchez le troisième tous aurez ainsi les deux 

angles adjacents. Cela posé , tirez la droite DE égale au 
fig. 78. côté donné , faites au point D l'angle EDF égal à l'un des 

angles adjacents , et au point £ l'angle DEG égal à l'autre ; 

les deux lignes DF» EG , se couperont en H , et DEH sera le 

triangle requis. 

PROBLÈME X. 

Les trois côtés A , B , C , d'un triangle étant donnés , 
décrire le triangle. / 
79* Tirez DE égal aujîôté A; du point £, comme centre , 
et d'un rayon égal au second côté B , décrirez un arc ; du 
point D, comme centre, et d'un rayon égal au troisième 



LIVBE II. 



47 



eôtë C , déorivez un antre arc qui coupera le premier en F; 
tirez DF, EF, et D£F sera le triangle requis. 

Schûlie. Si l'un des côtés était plus grand que la somme 
des deux autres , les arcs ne se couperaient pas ; mais la 
solution sera toujours possible , si la somme des deux côtés, ' 
pris.comme on voudra , est plus grande qne le trrâième. 

PROBLÈME XI. 

Étant donnés deux côtés k et ^ d'un triangle ^ avec 
Vangle C opposé au côté 'B^ décrire le triangle. 

Il y a deux cas : si Tangle G est droit ou obtus , faites fig. 80. 
l'angle EDF égal à l'angle C ; prenez D£=A ; du point £ , 
comme «entre , et d^ rayon égal au côté donné B , décri- 
vez un arc qui coupe en F la ligne DF ; tirez ££, et DEF 
sera le triangle demandé. 

Il faut , dans ce premier cas , que le côté B soit plus 
grand que A , car l'angle C étant droit ou obtus , est le 
plus grand des angles du triangle ; donc le côté opposé doit 
être aussi le plus grand. 

Si l'angle G est aigu , et que B soit plus grand que A , fig. 81 . 
la même construction a toujours lieu , et D£F est le triante 
requis. 

Mais si , l'angle G étant aigu , le côté B est moindre que fig. 8a. 
A , alors l'arc décrit du centre £ avec le rayon £Fs=:;B , 
coupera le côté DF en deux points F et G /situés du môme 
côté de D ; donc il y aura deux triangles D£F , DEG, qui 
satisferont également au problème. 

Scholie^ Le problème serait impossible dans tous les cas, 
si le côté B était plus petit que la perpendiculaire abaissée 
de £ sur la ligne DF. 

PROBLÈME xn. 

Les côtés adjacents AetB d'un parallélogramme étant fig. 83. 
donnés avec l'angle C qu'ils comprennent, décrire le 
parallélogramme. 

Tirez la ligne DE=A , faites au point D l'angle FDEssG, 
prenez DFs?J3 ; décrivez deux arcs , l'un du point F comme 



48 



GÈOMiTin. 



centre , et d*un rayon FG=D£ , l'autre du point Ë comme 
centre , et d'un rayon £G=DF : au point G , où ces deux 
arcs se coupent, tirez FG, £G ; etDEFG sera le parallélo- 
gramme demandé. 

Car, par construction , les côtés opposés sont égaux , 
* 3o, I. donc la figure décrite est un parallélogramme Z**, et ce pa- 
rallélogramme est formé arec les côtés donnés et l'angle 
donné. 

Corollaire. Si l'angle donné est droit, la figure sera 
un rectangle; si, de plus, les côtés sont égaux, ce sera 
un carré. 

PBOBLÈmi XIÏI. 

Trouver le centre d'un cercle ou d'un arc donné, 
^s- ^^ Prenez à volonté dans la circonférence ou dans l'arc trois 
points A , B , G ; joignez ou imaginez qu'on joigne AB et 
BC , divisez ces deux lignes en deux parties égales par les 
perpendiculaires DE , FG ; le point , où ces perpendicu*» 
laires se rencontrent , sera le centre cherché. 

Seholte. La même construction sert à faire passer une cir- 
conférence par les trois points donnés A , B 9 G , et aussi à 
décrire une circonférence dans laquelle le triangle donné 
ABG soit inscrit. 

PROBLÈME XIV. 

Par un point donné mener une tangente à un cercle 
donné. 

fig. 85. Si le point donné A est sur la circonférence , tirez le 
rayon G A , et menez AD perpendiculaire à GA ; AD sera 
*9, a. la tangent^ demandée *. 

fig. 86. Si le point A est hors du cercle , joignez le point A et le 
centre parla ligne droite GA ; divisez G A en deux également 
au point ; du point , comme centre , et du rayon OC , 
décrivez une circonférence qui coupera la circonférence 
donnée au point B ; tirez AB , et AB sera la tangente de- 
mandée. 

Gar en menant CB , l'angle GBA , inscrit dans le demi- 



# LITRE II. 49 

cercle , est un angle droit * ; donc AB est perpendiculaire à * i8, a. 
Textrémité du rayon CB , donc elle est tangente. 

Seholie, Le point A étant hors du cercle , on voit qu'il y 
a toujours deux tangentes égales AB , AD , qui passent par 
le point A : elles sont égales , car les triangles rectangles 
CBA , CBA ont l'hypoténuse CA commune , et le côté 
CB=CD ; donc ils sont égaux * ; donc AD = AB , et en * i8, i. 
même temps l'angle GAD=sGAB. 

PROBLÈME XV. 

Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC^ fig. 87. 

Divisez les angles A et B en deux également par les lignes 
AO et BO qui se reitcotitreront eti Q ; du point O abaissez 
les perpendiculaires OD, 0£, OF, sur les trois côtés du 
triangle ; je dis que ces perpendiculaires seront égales 
entre elles ; car, par construction , l'angle DAO = OAF, 
langle droit ADO=AFO; donc le troisième angle AOD 
est égal au troisième AOF. D'ailleurs le côté AO est com- 
mun aux deux triangles AOD, AOF, et les angles adjacents 
au côté égal sont égaux ; donc ces deùx triangles sont égaux; 
donc DO = OF. On prouvera de même que les deux trian- 
gles BOD, BOË, sont égaux; donc 0D=:0£, donc les 
trois perpendiculaires OD , 0£ , OF, sont égales entre elles. 

Maintenant si du point O , comme centre , et du rayon 
OD , on décrit une circonférence , il est clair que cette cir- 
conférence sera inscrite dans le trîanjgle ABC ; car le côté 
AB , perpendiculaire à l'extrémité du rayon OD , est une 
tangente : il en est de même des côtés BG, AG. 

Sçhoh'ê, Les trois lignes qui divisent en deux également 
les trois angles d'un triangle , concourent en un même 
point. 

PROBLÈME XVI. 

Sur une droite donnée AB , décrire un segment capa- S^'g^f 
ble de l'angle donné G , c'est-à-dire , un segment tel que - 
tous les angles qui y sont inscrits soient égaux à V angle 
donné Ça* 

Prolongez AB vers D , faites au point B l'angle DB£=C, 

4 



GÉOliTlIB. 



tïrêz BO pcrpendicalaire à B£ , et GO perpendicalaire sar 
le miliea de AB ; du poiot de rencontre O , comme centre , 
et du rayon OB , décrivez un cercle , le segment demandé 
sera AMB. 

Car puisque BF est perpendiculaire à l'extrémité du rayon 
OB , BF est une tangente , et l'angle ABF a pour mesure la 
* 19, 2. moitié de Tare AKB"*" ; d'ailleurs l'angle AMB , comme 
angle inscrit , a aussi pour mesure la moitié de l'arc AKB , 
donc l'angle AMB = ABF=EBD = G ; donc tous les an- 
gles inscrits dans le segment AMB sont égaux à l'angle 
donné G. 

Scholie. Si l'angle donné était droit , le segment cherché 
serait le demi-cercle décrit sur le diamètre AB. 

pioBitXB xvn, 

Cg- 90- Trouver le rapport numérique de deux lignes droites 
données KR^ CD , si toutefois ces deux lignes ont entre 
elles une mesure commune^ 

Portez la plus petite CD sur la plus grande AB autant de 
fois qu'elle peut y être contenue ; par exemple, deux fois, 
avec le reste B£« 

Portez le reste B£ sur la ligne CD , autant de fois qu'il 
peut y être contenu, une fois, par exemple, avec le reste DF, 

Portez le second reste DiF sur le premier BE , autant de 
fois qu'il peut y être contenu , une fois , par exemple , avec 
le reste BG. 

Portez le troisième reste BG sur le second DF, autant de 
fois qu'il peut y être contenu* 

Continuez ainsi jusqu'à ce que vouS;ayez un reste qui soit 
contenu un nombre de fois juste dans le précédent. 

Alors ce dernier reste.sera la commune mesure des lignes 
proposées , et , en le regardant comme l'unité , on trouvera 
aisément les valeurs des restes précédents et enfin celles des 
* deux lignes proposées, d'où l'on concluera le rapport en 
nombres. 

Par exemple , si l'on trouve que BG est contenu deux fois 
jusfe dans FD , BG sera la commune mesure des deux lignes 



LITRE II. S 1 

proposées. Soit B0= 1 , ou aura FDsS ; mais £B contient 
une fois FD plus GB ; donc £B=:â ; CD contient une fois 
EB plus FD ; donc CD=ô ; enfin AB contient deux fois CD 
plus ËB ; donc AB=13 ; donc le. rapport des deux lignes 
AB , CP , est celui de 13 à S. Si la tigne CD était prise pour 
unité, là ligne AB serait et si la ligne AB était prise pour 
unité, la ligne CD serait 

Scholie, La méthode qu'on vient d'expliquer est la même 
que prescrit l'arithmétique pour trouver le commun diviseur 
de deux nombres ; ainsi elle n'a pas besoin d'une autre dé- 
monstration. 

Il est possible que , quelque loin qu'on continue l'opéra- 
tion, on ne trouve jamais un reste qui soit contenu un nom- 
bre de fois juste dans le précédent. Alors les deux lignes 
n'ont point de commune mesure , et sont ce qu'on appelle 
incommensurables : on en verra ci-après un exemple dans 
le rapport de la diagonale au c6té du carré. On ne peut 
donc alors trouver le rapport exact en nombres : mais en 
négligeant le dernier reste , on trouvera un rapport plus ou 
moins approché, selon que l'opération aura été poussée plus 
ou moins* loin. 

PROBLÈME XVIII. 

Deux angles A B étant donnés , trouver leur com^ fig. 91 
mune mesure y s'ils en ont une ^ et de là leur rapport en 
nombres. 

Décrive! avec des rayons égaux les arcs CD , EF, qui 
servent de mesure à ces angles ; procédez ensuite pour la 
comparaison des arcs CD , EF, comme dans le problème 
précédent ; car un arc peut être porté sur un arc de même 
rayon, comme une ligne droite sur une ligne droite. Vous 
parviendrez ainsi à la commune mesure des arcs CD , EF, 
s'ils en ont une, et à leur rapport en nombres. Ce rapport 
sera le même que celui des angles donnés * ; et si DO est * 17, a 
la commune mesure des arcs , DAO sera celle des angles. 

Scholie, On peut ainsi trouver la valeur absolue d'un 
angle en comparant l'arc qui lui sert de mesure à toute la 



52 



GÉOltÉTRIS. 



circonférence : par exemple , si Tare CD est à la circonfé- 
rence comme 3 est à 25 , Vangle A sera les ^ de qnatre 
angles droits , ou ^1 d'un angle droit. 

Il pourra arriver aussi que les arcs comparés n'aient pas 
de cortimune mesure ; alors on n'aura pour les angles que 
des rapports en nombres plus ou moins approchés , selon 
que l'opération aura été poussée plus ou moins loin. 



LIVRE IIL 



. LES PROPORTIONS DES FIGURES. 

QÊFIIIITIOIIS. 

}. J'appellerai^yt^r^^ équivalentes cellie» dont les surfaces 
sont égales*. 

Deux figures peuvent être équivalentes , quoique très- 
dissemblables : par exemple , un cercle peut être équiva 
lent à un carré , un triangle à un rectangle , etc. 

La dénomination de figures égales sera conservée à celles 
qui , étant appliquées l'une sur Fautre , coïncident dans 
tous leurs points : tels sont deux cercles dont les rayons 
sont égaux , deux triangles dont les trois côtés sont égaux 
chacun à chacun , etc. 

II. Deux figures sont êemblablesy lorsqu'elles ont les an- 
gles égaux chacun à. chacun et les côtés homologues propor- 
tionnels. Par côtés homologues on entend ceux qui ont la 
même position dans les deux figures , ou qui sont adjacents 
à des angles égaux. Ces angles eux-mêmes s'appellent angles 
homologues» 

Deux figures égales sont toujours semblables ; mais deux 
figures semblables peuvent être fort inégales. 

III. Dans deux cercles différents , on appelle arcs sem- 
hlahleSj secteurs semblables , segments semblables , ceux qui 
répondent à des angles au centre égaux. 

Ainsi l'angle A étant égal à l'angle O , l'arc BG est sem- fig. 9a. 
blable à l'aro DE , le secteur ABC au secteur ODE, etc. 

IV. La hauteur d'un parallélogramme est la perpendicu- 
laire EF qui mesure la distance des deux côtés opposés AB , fig. 93. 
CD , pris pour bases. 

Y. La hauteur d'un triangle est la perpendiculaire AD 



o4 CiOHfiTKIE. 

^g' 94 abaissée du sommet d'un angle A sur le côté opposé BC . 
pris pour base. 

fig- 95. YI. La hauteur àn trapèze est la perpendiculaire £F me- 
née entre ses deux côtés parallèles AB , CD. 

VII. Vair» ou la surface d*une figure sont des termes à 
. peu près synonymes. L'aire désigne plus partimilièreraent 
la quantité superficielle de la figure en tant qu'elle est me- 
' surée ou comparée à d^autres surfaces. 

IV. B. Pour rintelligence de ce livre et des suivants y il faut avoir 
présente la théorie des proportions, pour laquelle nous renvoyons 
«ux traités ordinaires d'arithmétiquo et d'algèbre. Nous ferons seule- 
ment une observation , qui est très-importante pour fixer le vrai sens 
des propositions , et dissiper toute obscurité , soit dans l'énoncé , soit 
dans les démonstrations. 

Si on a la proportion A : B :: G : D , on sait que le produit des extrêmes 
A. X B est égal au produit des moyens B X C. 

Cette vérité est incontestable pour les nombres ; elle l'est aussi pour 
des grandeurs quelconques , pourvu qu'elles s'expriment ou qu'on les 
imagine exprimées en nombres ; et c'est ce qu'on peut toujours sup- 
poser : par exemple, si A, B , C, D , sont des lignes , on peut imaginer 
qu'une de ces quatre lignes, ou une cinquième, si l'on veut, serve à 
toutes de commune mesure et soit prise pour unité ; alors A , B , C , D, 
représentent chacune un certain nombre d'unités , entier ou rompu , 
commensurable ou incommensurable , et la proportion entre les lignes 
A , B , G , D , devient une proportion de nombres. 

Le produit des lignes A et D , qu'on appelle aussi leur rectwigle, 
n'est donc autre chose que le nombre d'unités linéaires contenues dans 
A , multiplié par le nombre d'unités linéaires contenues dans B ; et on 
conçoit facilement que ce produit peut et doit être égal à celui qui ré • 
suite semblablement des lignes B et C. 

Les grandeurs A et B peuvent être d'une espèce , par exemple , des 
lignes , et les grandeurs G et D d'une autre espèce , par exemple , des 
surfaces ; alors il faut toujours regarder ces grandeurs comme des nom- 
bres : A et B s'exprimeront en unités linéaires, G et B en unités superfi- 
cielles, et le produit AXD sera un nombre comme le produit BxG. 

En général, dans toutes les opérations qu'on fera sur les proportions, 
il faut toujours regarder les termes de ces proportions comme autant de 
nombres , chacun de l'espèce qui lui convient , et on n'aura aucune 
peine à concevoir ces opérations et les conséquences qui en résultent. 

Nous devons avertir aussi que plusieurs de nos démonstrations sont 
fondées sur quelques-unes des règles les plus simples de l'algèbre , les- 
quelles s'appuient elles-mêmes sur les>xiomes connus: ainsi, si l'on a 



LITBE III. 



6S 



A = B4-C } et qu'on multiplie chaque membre par une même quantité 
M , on en conclut AxM = BxM + CIXM4 pareillement si l'on a A = 
B-]-C et D=E — C, et qu'on ajoute les quantités égales , en effaçant 
+ C et — C qui se détruisent, on en conclura A+D = B4-E» et ainsi 
des autres. Tout cela est assez évident par soi-même ; mais , en cas de 
difficulté , il sera bon de consulter les livres d'algèbre , et d'entre*mêler 
ainsi l'étude des deux sciences. 

' , PROPOSITION PREMIÈRE. 

THtOaÈHI. 

Les parallélogrammes qui ont des bases égales et des 
Jiauteurs égales y sont équivalents. 

Soit AB la base commune des deux parallélogrammes fig. 96. 
âBCD, ABEF, puisqu'ils sont supposés avoir la même hau- 
teur, les bases supérieures DG, FE , seront situées sur une 
même ligne parallèle à AB. Or on a par la nature des paral- 
lélogrammes AD=BG , et AF=BE; par la même raison on 
a DC=AB, et FE=AB; donc DC=FE; donc retranchant 
.DÇ et FE de la même ligne DE , les restes CE et DF seront 
égaux. 

Il suit de là que les triangles DAF, GBD, sont équilaté- 
raux entre eux , et par conséquent égaux. 

Mais si du quadrilatère ABED on retranche le triangle fig. 96. 
ADF, il reste le parallélogramme ABEF; et si du même qua- 
drilatère ABED on retranche le triangle CBE, il reste le 
parallélogramme ABCD ; donc les deux parallélogrammes 
ABCD, ABEF, qui ont même base et même hauteur, sont 
équivalents. 

Corollaire. Tout ^parallélogramme ABCD est équivalent 
au rectangle ABEF de même base et de même hauteur, fig. 97- 

PROPOSITION II. 

THÉOBÈHS. 

Tout triangle K&C est la moitié du parallélogramme H- a»- 
ÀBCD qui a même base et même hauteur. 
Car les triangles ABC , ACD, sont égaux *. * 28, i. 



56 gAohétbib. 

Corollaire I. Donc un triangle ABG est la moitié du rec- 
tangle BGEF qui a même base BG et même hauteur AO ; 
car le rectangle BGEF est équivalent au parallélogramme 
ABGD. 

Corollaire II. Tous les triangles qui ont des bases égales 
et des hauteurs égales , sont équivalents. 

PROPOSITION IlL 

THtOlÈHS. 

Deux rectangles de même hauteur sont entre eux 
comme leurs bases, 
99- Soient ABGD , AEFD , deux rectangles qui ont pour hau- 
teur commune AD ; je dis qu'ils sont entre eux comme leurs 
bases AB , AE. 

Supposons d'abord que les bases AB, AE , soient com- 
mensurables entre elles, et qu'elles soient, par exemple, 
comme les nombres 7 et 4 : si on divise AB en 7 parties 
égales , AE contieadra k de ces parties , élevez à chaque 
point de division une perpendiculaire a la base , vous for- 
merez ainsi sept rectangles partiels , qui seront égaux entre 
eux , puisqu'ils auront même base et même hauteur. Le rec- 
tangle ABGD contiendra sept rectangles partiels , tandis que 
AEFD en contiendra quatre \ donc le rectangle ABGD est 
au rectangle AEFD comme 7 est à 4, ou comme AB est a 
AE. Le même raisonnement peut être appliqué à tout autre 
rapport que celui de 7 à -4 ; donc , quel que soit ce rapport^ 
pourvu qu'il soit commensurable , on aura , 

ABCD: AEFD:: AB:AE. 

fig. 100. Supposons , en second lieu , que les bases AB, AE, soient 
incommensurables entre elles \ je dis qu'on n'en aura pas 
moins, 

ABGD : AEFD :: AB : AE. 

Gar si cette proportion n'est pas vraie , les trois premiers 
termes demeurant les mêmes , le quatrième sera plus grand 



LIVRE III. 57 

OU plus petit qùe AE. Supposons qu'il soit plus grand ét 
^u'on ait , 

ABGD : AEFD :: AB : AO. 

Divisez la ligne AB en parties égales plus petites que EO , 
il y aura au moins un point de division I entre E et : par 
ce point élevez sur AI la perpendiculaire IK ; les bases AB, 
AI, seront commensurables entre elles, et ainsi on aura, 
par ce qui vient d'être démontré , 

ABCD:A1RD::AB:AI. 

Mais on a , par hypothèse , 

ABGD : AEFD ::AB:AO. 

Dans ces deux proportions les antécédents sont égaux ; 
donc les conséquents sont proportionnels, et il en résulte , 

AIKD : AEFD::AI:AO. 

Mais AO est plus grand que AI ; donc , pour que cette 
proportion subsistât, il faudrait que le rectangle AEFD fût 
plus grand que AIKD ; or, au contraire , il est plus petit; 
donc la proportion est impossible.; donc ABGD ne peut être 
à AEFD comme AB est à une ligne plus grande que AE. 

Par un raisonnement entièrement semblable , on prou- 
verait que le quatrième terme dg la proportion ne peut être 
plus petit que AE ; donc il est égal à AE. 

Donc , quel que soit le rapport des bases , deux rectangles 
de même hauteur ABGD, AEFD, sont entre eux comme 
leurs bases AB, AE- 

PROPOSITION IV- 

THÉOBÈHE. 

Deux rectangles quelconques ABGD , AEGF, sont fig. loi. 
entre eux comme les produits des bases multipliés par 
les hauteurs^ de sorte qu'on a ABCDiAEGF: :AB x AD: 
AExAF. 

Ayant disposé les deux rectangles de manière que les an- 
gles en A soient opposés au sommet , prolongez les côtés 



b8 GÉOMÉTRIE. 

G£, CD, jusqu'à leur rencontre en H ; les deux rectangles 
ABGD, AËHD, ont même hauteur AD ; ils sont donc entre 
eux comme leurs bases AB, A£ : de même les deux 
rectangles AËHD, AEGF, ont même hauteur AE, ils sont 
donc entre eux comme leurs bases AD, AF, ainsi on aura 
les deux proportions, 

ABCD : AEHD :: AB : AE. 
AEHD: AEGF::AD:AF. 

Multipliant ces proportions par ordre, et observant 
que le moyen terme AËHD peut être omis comme multi- 
plicateur commun â l'antécédent et au conséquent, on 
aura , 

ABCD : AEGF :: AB x AD : AE x AF. 

Schoîîe. Donc on peut prendre pour mesure d'un rectan- 
gle le produit de sa base par sa hauteur, pourvu qu'on en- 
tende par ce produit celui de deux nombres , qui sont le 
nombre d'unités linéaires contenues dans la base, et le 
nombre d'unités linéaires contenues dans la hauteur. 

Cette mesure , d'ailleurs , n'est pas absolue , mais seule- 
ment relative; elle suppose qu'on évalue semblablement un 
antre rectangle en mesurant ses côtés par la même unité 
linéaire ; on obtient ainsl'^^n second produit , et le rapport 
des deux produits est égal à celui des rectangles , confor- 
mément à la proposition qu'on vient de démontrer. 

Par exemple , si la base du rectangle A est de trois unités 
et sa hauteur de dix , le rectangle sera représenté par le 
nombre S x 10 , ou SO , nombre qui ainsi isolé ne signifie 
rien ; mais si on a un second rectangle B dont la base soit 
de douxe unités et la hauteur de sept , le second rectangle 
sera représenté par le nombre 7 x lâ, ou 84 T de là on 
conclura que les deux rectangles A et B sont entre eux: 
comme 80 est à 84 ; donc si on convenait de prendre le 
rectangle A pour lunité de mesure dans les surfaces , le 
rectangle B aurait alors pour mesure absolue , e*est-à- 
dire qu'il serait égal à d*unités superficielles. 

Il est plus ordinaire et plus simple de prendre le carré 



IIYBE Ilf, ^9 

ponr l'unité de surface , et on choisit le carré dont le côté 
est r.unité de longaeur ; alors la mesure que nous avons 
regardée simplement comme relative devient absolue : par 
-exemple le nombre 30 , par lequel nous avons mesuré le 
rectangle A, représeni^SO unités superficielles, ou 30 de fig. 102. 
ces carrés dont le eèté est égal à Funité : c'est ce que la 
fig. 102 rend sensible. 

On confond assez souvent en géométrie le produit de 
deux lignes avec leur rectangle , et cette expression a même 
passé en arithmétique pour désigner le produit de deux 
nombres inégaux , comme on emploie celle de carré pour 
exprimer le produit d'un nombre multiplié par lui-même. 

Les carrés des nombres 1, 2, 3, etc., sont 1^ 9, etc. 
Aussi voit-on que le carré fait sur une ligne double est qua- fig. lu'î. 
drnple ; sur une ligne triple , il est neuf fois plus grand , et 
ainsi de suite. 

PROPOSITION V. 

THÉORÈME. 

L'aire d'un parallélogramme quelconque est égale au 
produit de sa base par sa hauteur. 

Car le parallélogramme ABCD est équivalent au rec- fig- 97- 
tangle ABEF, qui a même base AB et même hauteur BE*; * i- 
or celui-ci a pour mesure AB X BE*, donc AB x BE est égal •A- 
à Taire du parallélogramme ABCD. 

Corollaire, Les parallélogrammes de même base sont 
entre eux comme leurs hauteurs , et les parallélogrammes 
de même hauteur sont entre eux comme leurs bases ; car 
A, B,.C, étant trois grandeurs quelconques , on a géné- 
ralement A X C : B X C :: A : B. 

PROPOSITION VI. 

TBÉOBÈnE. 

L'aire d'un triangle est égale au produit de sa base 
par la moitié de sa hauteur. 

Car le triangle ABC est la moitié du parallélogramme fij? io\. 



I 



60 GtOltTlIK. 

a. ABCE , qui a même base BG et même haateur AD"** : or, fa 
5. surface du parallélogramme = BG x AD*'' ; donc celle du 

triangle = ^ BG X AD, ou BC x i AD. 

Corollaire, Deux triangles de même hauteur sont entre 

eux comme leurs bases , et deux triangles de même base 

sont entre eux comme leurs hauteurs. 

PROPOSITION VII. 

TBtOBÈHS. 

fîg. io5. L'aire du trapèze ABCD est égale à sa hauteur EF, 
multipliée par la demi-somme des bases parallèles, 
AB , CD. 

Par le point I , milieu du côté CB , menez KL parallèle 
au côté opposé AD , et prolongez DC jusqu'à la rencontre 
de KL. 

Dans les triangles IBL, IGK, on a le côté IB = IG par 
construction , l'angle LIB=C1K , et l'angle IBL = IGK , 
a4> I- puisque CK et BL sont parallèles *'y donc ces triangles sont 
I- égaux *^ donc le trapèze ABGD est équivalent au parallé- 
logramme ADKL , et il a pour mesure EF x AL. 

Mais on a AL=DK , et puisque le triangle IBL est égal 
au triangle KGI, le côté BL=GK ; donc AB+ CD±=AL 
+ DK=âAL ; et ainsi AL est la demi-somme des bases AB , 
CD ; donc enfin l'aire du trapèze ABCD est égale à la hauteur 
EF multipliée par la demi*somme des bases AB, CD , ce qui 

s'exprime ainsi : ABGD=EF ^— ^ 

SchoUe. Si par le point I , milieu de BC , on mène IH , 
parallèle à la base AB , le point H sera aussi le milieu de 
AD , car la figure AHIL est un parallélogramme , ainsi que 
DHIK, puisque les côtés opposés sont parallèles : on a donc 
AH=IL et DH=IKj or, IL=IK , puisque les triangles 
BIL, CIK, sont égaux; donc AH=DH. 

On peut remarquer que la ligne HT — AL — 

donc l'aire du trapèze peut s'exprimer aussi par EF x HI : 
elle est donc égale à la hauteur du trapèze multipliée par 
la ligne qui joint les milieux des côtés non parallèles. 



UVRS 111. 



61 



PROPOSITION VIII. 

THtORÈHB. 

Si une ligne AC est divisée en deux parties AB , BC , «g it G- 
ie carré fait sur la ligne entière AC contiendra le carré 
fait sur une partie AB , plus le carré fait sur l'autre 
partie BC , plus deux fois le rectangle compris sous les 

deux parties AB , BC , ce qu'on exprime ainsi y AC 
ou (AB+BC) =ÂB+BC+2ABxBC. 

Constraisez le carré ACDE /prenez AF=AB , menez FG 
parallèle à ÀC , et BH parallèle à AE. 

Le carré ABCD est divisé en quatre parties : la première 
ÀBIF est le carré fait sur AB, paisqa*on a pris AF=AB: 
la seconde IGDH est le carré fait sur BC ; car puisqu'on a 
AC=^A£, et ABsAF, la différence AC— AB est égale à la 
différence AE — AF , ce qui donne BC=EF ; mais à cause • 
des parallèles IG=BC , et DG=EF, donc HIGD est égal 
au carré fait sur BC. Ces deux parties étant retranchées du 
carré total, il reste les deux rectangles BCGI, ËFIH, qui 
ont chacun pour mesure AB x BC ; donc le carré fait sur 
AC, etc. 

Scholie, Cette proposition revient à celle qu'on démontre 
en algèbre pour la formation du carré d'un binôme, et qui 
est ainsi exprimée : 

(a + =a' 2 a3 + 5». 
PROPOSITION IX. 

THtORÈHE. 

Si la ligne AC est la différence des deux lignes AB , fig 107. 
BC , le carré fait sur AC contiendra le carré de AB , 
plus le carré de BC , moins deux fois le rectangle fait 

sur AB et BC ; c'est-à-dire qu'on aura AC ou (AB — BC) 
== AB +BG — 2 AB x BC. 
Construisez le carré ABIF, prenez AE=AG, menez CG 



6i 



GtOStTBIE. 



parallèle à BI, HK parallèle à AB, et achevez le carre 
EFLK. 

Les deux rectangles GBIG, GLKD ont chacun pour 
mesure AB x BG : si on les retranche de la figure entière 

ABILKEA, qui a pour valeur AB+BG, il est clair qu'il 
restera le carré AGDE , donc , etc. 

^ Sckolie, Gette proposition revient à la formule d^algèbre 
(a—by — 2 a^. 

PROPOSITION X. 

THioaÈHI. 

Le rectangle fait sur la somme et la différence de deux 
n g. io8. lignes y est égal à la différence des carrés de ces lignes : 

ainsi on a (AB+BC) X (AB— BC)=AB— Bc! 

Gonstruisez sur AB et AG les carrés ABIF, AGDE ^ pro*" 
longez AB d'une quantité BK=BG, et achevez lé rectangle 
AKLE. 

La base AK du rectangle est la somme des deux lignes 
AB , BC , sa hauteur AE est la différence de ces mêmes 
lignes; donc le rectangle AKLE=(AB+BG) x (AB— BC). 
Mais ce même rectangle est composé des deux parties ABHE 
+BHLK ; et la partie BHLK est égale au rectangle EDGF, 
car BH=DE et BK=EF; donc AKLE— ABHE + EDGF. 
Or, ces deux parties forment le carré ABIF moins le carré 
DHIG , qu\ est le carré fait sur BG ; donc enfin (AB + BC) 

X (AB-^BG)=AB— BC.' 
Sckolie. Gette proposition revient à la formule d'algèbre 

PROPOSITION XI. 

THtORÈHE* 

Le carré fait sur l'hypoténuse d'un triangle 7^ectangle 
est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres 
côtés, 

H' '09- . Soit ABC un triangle rectangle en A : ayant formé des 



LIVBE III. 



6a 



carres sur les trois^ côtés, abaissez de l'angle droit sur 
l'hypoténuse la perpendiculaire AD que vous prolongerez 
jusqu'en £; tirez ensuite les diagonal^ss AF, CH. 

L'angle ABF.est composé de l'angle ABC plus l'angle 
droit GBF : l'angle G6H est composé du même angle ABC 
plus l'anple droit ABH; donc l'angle ABF=HBC. Mais 
AB=Bfircomme côtés d'un même carré , et BF=BG par la 
même raison ; donc les triangles ABF, HBG, ont un angle 
égal compris entre côtés égaux ; donc ils sont égaux. 

Le triangle ABF est la moitié du rectangle ADEF (ou 
pour abréger BE) qui a même base BF et même hauteur 
BD *. Le triangle HBG est pareillement la moitié du carrç • v 
AH ; car l'angle BAG étant droit ainsi que BAL , AG et AL 
ne font qu'une même ligne drçite parallèle à HB ; donc le 
triangle HBG et le carré AH, qui ont la base commune BH, 
ont aussi la hauteur commune AB ; donc le triangle est la 
moitié du carré. 

On a déjà prouvé que le triangle ABF est égal au trian- 
gle HBG ; donc le rectangle BDEF, double du triangle ABF^ 
est équivalent au carré AH , double du triangle HBG. Ûn 
démontrera de même que le rectangle GDEG est équivalent 
an carré AI ; mai» les deux rectangles BDEF, GDEG , pris 
ensemble , font le carré BGGF ; donc le carré BGGF, fait 
sur.l'hypoténnse , est égal à la somme des carrés ABH^L , 
AGIK, faits sur les deux autres côtés ; ou, en d'autres termes, 

BC=ÂB*+Âc! 

Corollaire I. Donc le carré d'un des côtés de l'angle droit 
est égal an carré de l'hypoténuse moins le carré de l'autre 

côté , ce qu'on exprime ainsi : AB=BG — AG. 

Corollaire H. Soit ABGD un carré, AC sa diagonale; le fig- 

triangle ABG étant rectangle et isoscèle , on aura AG=AB 

-l-BC=2AB ; donc le carré fait sur la diagonale AG est 
double du carré fait êur le côté AB. 

On peut rendre sensible cette propriété en menant par les 
points A et G des parallèles à BD , et par les points B et D 
des parallèles à AC : on formera ainsi un nouveau carré 



64 cÉextTRiE. 

EFGH qui sera le carré de AG. Or, on voit que EFGH con- 
tient, hait triangles égaux à ABË , et que ABGD en contient 
quatre ; doncle carré EFGH est double de ABGD. 

Puisque AG : AB :: 2 : 1 , on a , en extrayant la racine 
carrée , AG : AB :: ^2 : 1 ; donc la diaganaU d*un carré est 
ineomtnenêurabU avec son côté. 

G'est ce qu'on développera davantage dans une aàtre 
occasion. 

Hg. 109. Corollaire III. On a démontré que le carré AH est équi- 
valent au rectangle BDEF ; or, a cause de la hauteur com- 
mune BF, le carré BGGF est au rectangle BDEF comme la 
base BG est à la base BD ; donc , 

BG':ÂB*::BG:BD. 

Donc le carré de Vhypoténuêe est au carté d'un des côtéede 
l'angle droit comme Vhypoténuêe est au segment adjacent h ce 
côlé. On appelle ici segment la partie de l'hypoténuse déter- 
minée parla perpendiculaire abaissée de l'angle droit; ainsi 
BD est le segment adjacent au côté AB, et DG est le segment 
adjacent au côté AG. On aurait semblablement , 

BC:ÂC'::BG:GD. 

Corollaire IV. Les rectangles BDEF, DCGE , ayant aussi 
la même hauteur, sont entre eux comme leurs bases BD , 

GD. Or, ces rectangles sont équivalents aux carrés AB) ÂG ^ 
donc, 

ABMg"::BD:DG. 
Donc les carrés des deux côtés de l'angle droit sont entre 
eux comme les segments de l'hypoténuse adjacents à ces côtés. 



PROPOSITION XII. 

^ THÉORÈas. 

fig. no. Dans un triangle ABC , si l'angle G est aigu , le carré 
du côté opposé sera plus petit que la somme des carrés 
qui comprennent l'angle C; et si l'on abaisse AD per- 



LivBB m. 65 

pendiculaire sur BC , la différence sera égale au double 
du rectangle BC x CD ; de sorte qu'on aura y 

ÂB=ÂC +BC— 2BC X CD. 

Il y a deax cas. 1<> Si la perpendiculaire tombe au-dedans 
du triangle ABC, on aura BDssBC — CD, et par conséquent * 9. 

BD^BC+CD— 2BC x CD. Ajoutant de part et d'autre Id! 
et observant qne les triangles rectangles ABD , ADC , don- 

nentTD+BD=lB etÂD+DÎG=l[C, on aura ÂB=BC' 

+ AC— 2BCxCD. 

2® Si la perpendiculaire AD tombe bors du triangle 
ABC, on aura BD = CD — BC , et par conséquent *'9- 

Bd'=CD'+BC — âCDxBC. Ajoutant de part et d'autre 

AD , on en conclura de même , 

ÂB=5bC+Âc1-2BC x CD. 

PROPOSITION XIII. 

THtOEtlB. 

Dans un triangle ABC , si l'angle C est obtus, le carré fig. i 
du côté opposé AB sera plus grand que la somme des carrés 
des côtés qui comprennent V angle C , et si on abaisse AD 
perpendiculaire sur BC , la différence sera égale au dou- 
ble du rectangle BC x CD, <fe sorte qu'on aura, 

ÂB=ÂC+BCV2 BC x CD. 

La perpendiculaire ne peut pas tomber au-dedans du 
triangle; car si elle tombait , par exemple , en E , le triangle 
AGE aurait à la fois l'angle droit E et l'angle obtus G , ce 
qui est impossible * ; donc elle tombe au-dehors , et on a * i9' 

BD=BC+CD. De là résulte * BDi=BC+CD+2BCxCD. • 8. 
Ajoutant de part et d'autre AD et faisant les réductions 
comme dans le théorème précédent , on en conclura AB 
=BC+ÂC+JBCxCD. 

5 



66 CtOHiTRIB. 

Seholie. Le triangle rectangle est le seul dans lequel la 
somme des carrés de deux côtés soit égale au earré du 
troisième ; car si Tangle compris par ces cètés est aigu , la 
, somme de leurs carrés sera plus grande que le carré du 
côté opposé ; s'il est obtus , elle sera moindre. 

PROPOSITION XIV. 

THiOBÈKB. 

fig. lia. Dans un triangle quelconque ABC, si on mène du 
sommet au milieu de la base la ligne AE , je dis qu'on 

flwra AB+AC=2 IË+2BÊ'. 

Abaisser la perpendiculaire AD sur la base BG , le trian- 
gle AEG donnera par le théorème xii, 

aS=IÊ + EC— a EG X ED. 
^ Le triangle ABE donnera par le théorème xiii , 
Ib=AE+ÊB+ÎEB X ED. 
Donc y en ajoutant et observant que £B=EG, on aura , 

15+Tc=2"ÂE+2iÊB! 

Corollaire, Donc , dane tout parallélogramme , la somme 
des carrée des eôtée eet égale à la eomme des carrée dee dia- 
* gonalee* 

fig. ii3. Gar les diagonales AG, BD, se coupent mutuellement 
' 3i, I. en deux parties égales au point E * ; ainsi le triangle ABC 
donne , 

ÂB+BC=2ÏË+2BE- 

Le triangle ADG donne pareillement , 

ÂD + DC=2lÊ+2DÊ! 

Ajoutant membre à membre , en observant que BEsDE , 
on aura , 

AB+ 15 + DC + BC = 4ÂE + k DÊ! 
Mais 4 AÉ est le carré de âAE ou de AG ; 4DË est le 



LIYBt III. 



67 



carré de BD; donc la somme des carrés des côtés est égale 
à la somme des carrés des diagonales. 

PROPOSITION XV. 

TBÉORÈn. 

La ligne DE, menée parallèlement à la base (Tun fig. 114. 
triangle ABC , divise les côtés AB , AG , proportionnel- 
lement; de sorte qu'on a AD : DB : : A£ : £G. 

Joignez BE et DC , les deux triangles BDE, DEC, ont 
même base DE ; ils ont aussi même iiantenr, puisque les 
sommets B et G sont situés sur une parallèle à la base ; donc 
ces triangles sont équivalents * >: 

Les triangles ADE , BDE , dont le sommet commun est 
E , ont même bauteur et sont entre eux comme leurs bases 
AD, DB * ; ainsi on a , * 6. 

AD£:BDE::AD:DB. 

Les triangles ADE , DEC , dont le sommet commun est 
D , ont aussi même bauteuir, et sont entre eux comme leurs 
bases A£, EC ;'dono , 

ADE:DEC::AE;EC. 

Mais le triangle BDEsDEC ; donc , à cause du rapport. / 
commun dans ces deux proportions , on en conclura AD : 
DB::AE:EC. 

Corollaire l. De là résulte componendo AD+DB : AD :: 
AE+EG : AE , ou AB : AD :: AC : AE , et aussi AB : BD 
- :: AG : CE. 

Corollaire 11. Si entre deus droites AB , CD, on mène tant fig. ii5. 
de parallèles qu'on voudra AG, EF, GH, BD, etc., ces droites 
seront coupées proportionnellement, et on aura AE : GF :: 
EG : FH : : GB : HD. 

Car soit le point de concours des droites AB , CD ; 
dans le triangle OEF, où la ligne AC est menée parallèlé- 
ment à la base EF, on aura OE r AE :: OF : CF, ou OE : 
OF : : AÉ : GF. Dans le triangle OGH , on aura seiùblable- 
ment OE : EG : : OF : FH , ou OE : OF : :EG : FH ; donc , 



68 OtOMlTBIl. 

a cause du rapport comman , OE : OF, cet deas propor- 
tions donnent AE : CF : : EG : FH. On démontrera de la 
môme manière que EG : FH : : GB : HD , et ainsi de snite i 
donc les lignes AB , CD , sont coupées proportionnellement 
par les parallèles EF, GH , etc. 

PROPOSITION XVI. 

TBtOliMB. 

iig. ii6. Réciproquement sites côtés AB , AG , sont coupés pro- 
portionnellement par la ligne DE , en sorte qu'on ait AD 
: DB : : AE : EC , je dis que la ligne DE sera parallèle 
à la base GB* 

Car si DE n*est pas parallèle à BC , supposons que DO 
en soit une ; alors , suivant le théorème précédent , on aura 
AD : BD : : AO : OC. Mais, par hypothèse , AD : DB :: 
AE : EG ; donc on aurait AO : OG : : AE : EG ; proportion 
impossible , puisque d'une part l'antécédent AE est plus 
grand que AO , et que de l'autre le conséquent EG est plus 
petit que OC ; donc la parallèle à BC menée par le point D 
ne peut différer de DE ; donc DE est cette parallèle. 

Scholtê.Lsi même conclusion aurait lieu si on supposait la 
proportion AB : AD : : AG : AE. Car cette proportion don- 
nerait AB — AD : AD :: AG — AE : AE , ou BD : AD ; : 
CE : AE. 

PROPOSITION XVII. 

THtORfeHB. 

fig- 1 17* La ligne AD , qui divise en deux parties égales l'angle 
BAC d'un triangle, divisera la base BC en deux seg^ 
ments BD, DG , proportionnels aux côtés adjacents AB , 
AG ; de sorte qu'on aura BD : DG :: AB : AG. 

Par le point G menez CE parallèle à AD jusqu'à la ren- 
contre de BA prolongé. 

Dans le triangle BGE , la ligne AD est parallèle a la base 
• i5. CE ; ainsi on a la proportion *, 

BD:DG:;AB:AE. 



N 



LIYBB III. 



69 



Mais le triangle ACE est isoscèle; car, à caase des parai- 
lèles AD, CE, l'angle AÇE=DAC, et l'angle AEC=BAD*: •a4. 
or, par hypothèse , DAC=BAD ; clone l'angle ACE=AEC , 
et par suite AE=AC * ; substituant donc AC à la place de * i3, 
AE dans la proportion précédente , on aura , 

BD:DC: :AB:AC. 

PROPOSITION XVIII. 
tbAokème. 

Deux triangles ëquiangles ont les côtés homologues 
proportionnels et sont semblables . 

Soient ABC, CDE , deux triangles qui ont les angles égaux fig. i 
chacun à chacun, savoir BAC=GDE, ABC=DCE, et 
ACB=DEC ; je dis que les côtés homologues ou adjacents 
aux angles égaux, seront proportionnels, de sorte qu'on 
aura BC : CE : : AB : CD : : AC : DE. 

Placez les côtés homologues BC , CE , dans la même di- 
rection , et prolongez les côtés BA , £D , jusqu'à ce qu'ils 
se rencontrent en F. 

Puisque BCE est une ligne droite , et que l'angle BCA 
=C£D , et s'ensuit que AD est parallèle à DE Pareille- * 
ment , puisque l'angle ABC =DCE , la ligne AB est paral- 
lèle à DC; donc la figure ACDF est un parallélogramme. 

Dans le triangle BFE la ligne AC est parallèle a |a base 
FE , ainsi on a BC : CE : ; BA : AF *. A la place de ÀF met- • i5. 
tant son égale CD, on aura, 

BC:CE::BA:CD. 

Dans le même triangle BFE , si on regarde BF comme la 
base , CD est une parallèle à cette base y et on a la propor- 
tion BC : CE i : FD : DE. A la place de FD mettant son 
égale AC , on aura , 

BC : CE : : AC : DE. 

Enfin de ces deux proportions qui contiennent le même 
rapport , BC : CE , on peut conclure aussi, 

AC : DE : : BA : CD. 



70 fiftoMtnu. 

Donc les triangles éqnisngliw ABC, GDE, ont les c6tà 
homologoes proportionnels : mais, snirant lâ définition II, 
denx figures sont semblables, lorsqu'elles ont à la fois les 
angles chacan a cbacnn , et les côtés homologues 

proportionnels; donc les triangles équiangles BAC, CDE, 
sont deux figures semblables. 

Corollaire, Pour que deux triangles soient semblables, il 
suffit qu'ils aient deux angles égaux chacun à chacun , car 
alors le troisième sera égal de part et d'autre , et les deux 
triangles seront équiangles. 

SekoUe, Remarques que , dans les triangles semblables , 
les côtés homol(^es sont opposés à des angles égaux ; ainsi 
Fangle ACB étant égal à DEC , le côté AB est homologue à 
DC; de même AC et DE sont homologues comme étant 
opposés aux angles égaux ABC , DCE : les côtés homo- 
logues étant reconnus , on forme aussitôt les proportions : 

AB : DC : : AC :DE : : BC : CE. 

PROPOSITION XIX. 
TSiomloix. 

Deux triangle» qui ont les côtés homologues propor- 
tionnels ^ sont équiangles et semblables. 
fig. 110. Supposons qu'on ait BC:EF: : ABsDE:: AC:DF; je 
dis que les triangles ABC , DEF, auront les angles égaux, 
'savoir, A=D , B=E , C=P. 

Faites au point E l'angle F£G=B et au point F l'angle 
EFG=C, le troisième G sera égal au troisième A, et les 
deux triangles ABC, £FG, seront équiangles; donc on 
aura par le théorème furécédent BC : E^: : AB : EG: mais, 
par hypothèse, BC : EF : : AB : DE ; doncEG=DE. On aura 
encore , par le même théorème , BC : EF : : AC : FG ; or on 
a , par hypothèse, BC : EF : : AC : DF ; donc FG=DF ; donc 
les triangles EGF, DEF, ont les trois côtés égaux chacun à 
• II, 1. chacun; donc 'ils sont égaux *. Mais , par construction, le 
triangle EGF est équiangle au triangle ABC; dono aussi les 
triangles DEF, ABC , sont équiangles et semblables. 



LIYBB 111. 



71 



. SckoUe I, On voit par ces deux dernières propositions , f 
que dans les triangles , l'égalité des angles est une suite» 
do la proportionnalité des côtés, et réciproquement, de 
sorte qu'âne de ces conditions suffît pour assurer la simili- 
tude des triangles. Il n'en est pas de même dans les figures 
de plus de trois côtés ; car, dès qu'il s'agit seulement des 
quadrilatères , on peut , sans changer les angles , altérer la 
proportion des cotés , ou , sans altérer les côtés , changer 
les angles ; ainsi la proportionnalité des côtés ne peut être 
une suite de l'égalité des angles , ni vice vertâ. On voit, par fig. 
exemple , qu'en menant EF parallèle à 6G , les angles du 
quadrilatère AËFD sont égaux à ceux du quadrilatère 
ABGD ; mais la proportion des côtés est différente : de 
même, sans changer les quatre côtSs AB , BG , GD, AD, on 
peut rapprocher ou éloigner le point B du point D , ce qui 
altérera les angles. 

SehùlieW^ Les deux propositions précédentes qui n'en font 
proprement qu'une, jointes à celle du carré de l'hypoténuse, 
sont les propositions les plus importantes et les plus fécondes ' 
de la géométrie ; elles suffisent presque seules à toutes les 
applications et à la résolution de tous les problèmes : la 
raison en est que toutes les figures peuvent se partager en 
triangles, et un triangle quelconque en deux triangles rec- 
tangles. Ainsi les propriétés générales des triangles ren- 
ferment implicitement celles de toutes les figures. 

PROPOSITION XX. 
THioRtn. 

Deux triangles qui ont un angle égal compris entre 
côtés proportionnels , sont semblables. 

Soit l'angle A=D , et supposons qu'on a'ABrDE.'.-AGrDF; fig- 
je dis que le triangle ABG est semblable à DEF. 

Prenez AG=sDE et menez GH parallèle à BG: l'angle 
AGH sera égal à l'angle ABG ; et le triangle AGH sera ** a4 
équiangle au triangle ABG; on aura donc AB:AG::AG:AH; 
mais, par hypothèse, AB:DE::AG:DF, et par construction 
AG=D£, donc AH=DF. Les deux triangles AGH , DEF, 



72 



GÉOHÊTRIK. 



ont donc an angle ëgal compris entre côtés égaux; donc ils 
sont égaux. Or le triangle AGH est semblable à ABC ; donc 
BEF est aussi semblable à ABC. 

PROPOSITION XXI. 

THÊOatHB. 

Deux triangles qui ont les côtés homologues parallèles, 
ou qui les ont perpendiculaires chacun à chacun , sont 
semblables. 

fig. 1 a3. Car, l"» si le côté AB est parallèle à DE , et BG à EF, Fan- 

• a7» 1. gle ABC sera égal à DEF * ; si de plus AC est parallèle à 

DF, l'angle ACB sera égal à DFE , et aussi BAC à EDF : 
donc les triangles ABC , DEF, sont équiangles ; donc ils 
sont semblables* 

fig i>4- S** Soit le côté DE perpendiculaire à AB , et le côté DF à 
AC; dans le quadrilatère AIDH les deux angles I et H se- 
ront droits ; les quatre angles valent ensemble quatre angles 

* 10, 1. droits ; donc les deux restants lAH, IDH, valent deux 

angles droit. Mais les deux angles EDF, IDH , valent aussi 
deux angles droits ; donc Fangle EDF est égal à lAH ou BAC : 
pareillement si le troisième côté EF est perpendiculaire au 
troisième BC, on démontrera que l'angle DFE = C, et 
DEF=B; donc les deux triangles ABC, DEF, qui ont les 
côtés perpendiculaires chacun à chacun , sont équiangles 
et semblables. 

Scholie, Dans le cas des côtés parallèles , les côtés homo- 
logues sont les côtés parallèles , et, dans celui des côtés 
perpendiculaires , ce sont les côtés perpendiculaires. Ainsi, 
dans ce dernier cas, DE est homologue à AB, DF à AC, 
et EF à BC. 

V Le cas des côtés perpendiculaires pourrait offrir une situa- 
tion relative des deux triangles , différente de celle qui est 
supposée dans la fig. Iâ4 ; mais l'égalité des angles respecti£s 
se démontrerait toujours , soit par des quadrilatères tels que 
AIDH , dont deux angles sont droits, soit par la comparai- 
son de deux triangles qui , avec des angles opposés au som- 
mely auraient lâtaofin un angle droit : d'ailleurs , on pourrait 
iMi toppCMT ^'on a construit au dedans du triangle 



' m 



LIVRE III. 73 

ABC un triangle DEF, dont les côtés seraient parallèles 
à ceux du triangle comparé à ABC , et alors la démon- 
stration rentrerait dans le cas de la fîg. 124. 

PROPOSITION XXII. 

THiORÈMB. 

Les lignes AF, AG, etc. , menées comme on voudra fig* laS. 
par le sommet d^un triangle, divisent proportionnelle- 
ment la base BG et sa parallèle DE , de sorte qu'on a 
1)I:BF::IK:FG::KL:GH, etc. 

Car, puisque DI est parallèle à BF, le triangle ADI est 
éqniangle a ABP , et on a la proportion DI : BF : : AI : AF ; 
de même IK étant parallèle à FG , on a AI:AF::IK:FG; 
donc , à eause du rapport commun AI : AF, on aura DI : 
BF : : IK : FG. On tronrera semblablement IK : FG : : KL : 
GH , etc. ; donc la ligne DE est diviâée aux points I, K, L, 
comme la base BG l'est aux points F, G , H. 

Corollaire, Donc , si BC était divisée en parties égales 
aux points F, G, H, la parallèle DE serait divisée de même 
en parties égales aux points I , K , L. 

PROPOSITION XXIIL 

THÉOEÈMS. 

Si de l'angle droit A d'un triangle rectangle on abaisse fig. ia6. 
la perpendiculaire AD sur l'hypoténuse: 

1° Les deux triangles partiels ABD, ADC , seront 
semblables entre eux et au triangle total ABC ; 

2** Chaque côté AB ou AC sera moyen proportionnel 
entre l'hypoténuse BC et le segment adjacent BD ou DC ; 

3** La perpendiculaire AD sera moyenne proportion- 
nelle entre les deux segments BD , DC. ' 

Car, 1® le triangle BAD et le triangle BAC ont l'angle 
commun B ; de pins Tangle droit BDA est égal à l'angle 
droit BAC; donc le troisième angle BAD de l'on est égal au 
troisième C de Vautre ; donc ces deux triangles sont équian- 



74 



GtOMÉTftlB. 



gles et semblables. On démontrera de même que le triangle 
DAGest semblable au triangle BAC ; donc les trois triangles 
sont éqaiangles et semblables entre eux. 

S** Puisque le triangle BAD est semblable au triangle BAC, 
lenrs côtés homologues sont proportionnels. Or, le côté BD 
dans le petit triangle est homologue à BA dans le grand , 
parce qu'ils sont opposés à des angles égaux, BAD, BGA; Thy 
poténuse BA du petit est homologue à Thypoténuse BC du 
grand ; donc on peut former la proportion BD : BA ::BA : BC. 
On aurait de la même manière DC : AC : : AG : BC ; donc , 
2^ chacun des côtés AB , AC , est moyen proportionnel 
entre Thypoténuse et le segment adjacent à ce côté. 

Enfin , la similitude des triangles ABD , ADC , donne, 
en comparant les cotés homologues , B]> : AD : : AD : DC ; 
donc, 8® la perpendiculaire AD est moyenne proportion- 
nelle entre les segments BD , DC de l'hypoténuse. 

- Scholie, La proportion BD : AB : : AB : BC donne , en 

■ ■ ■» 

égalant le produit des extrêmes à celui des moyens • AB^ 

BDxBC. On a de mémeÂÎG'=DCxBC ; doncAB+ÂC^ 
BD X BC4- DC X BC ; le second membre est la même chose 

que (BD+DC) x BC, et il sè réduit à BC x BC ou BC ; donc 

— a —-a ■ » a 

on a AB+AC = BC ; donc le carré fait sur l'hypoténuse BC 
est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés 
AB , AC. Nous retombons ainsi sur la proposition du carré' 
de l'hypoténuse par une voie très-différente de celle que 
nous avions suivie ; d'où l'on voit qu'à proprement parler, 
la proposition du carré de l'hypoténuse est une suite de la 
proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles. 
Ainsi lès propositions fondamentales de la géométrie se 
réduisent, pour ainsi dire , à celle-ci seule, que les trian- 
gles équiangles ont leurs côtés homologues proportionnels. 

Il arrive souvent, comme on vient d'en voir Un exemple, 
qu'en tirant des conséquences d'une ou de plusieurs propo- 
sitions , on retombe sur des propositions déjà démontrées. 
En général , ce qui caractérise particulièrement les théo- 
rèmes de géométrie , et ce qui est une preuve invincible de 



. UVEE lU. 75 

leur certUude , c'est qn'eo les combinant ensemble d'une 
manière quelconque , pourvu qu'on raisonne juste , on 
tombe toujours sur des résultats exacts. Il n'en serait pas 
de même si quelque proposition était fausse, ou n'était 
vraie qu'à peu près ; il arriverait souvent que , par la com- 
binaison des propositions entre elles , l'erreur s'accroîtrait 
et deviendrait sensible. (Test ce dont on voit des exemples 
dans toutes les démonstrations où nou^ nous servons de la 
réduction h l'abêurde. Ces démonstrations , où l'on a pour 
but de prouver que deux quantités sont égales, consistent à 
faire voir que , s'il y avait entre elles la moindre inégalité, 
on serait conduit par la suite des raisonnemens à une ab- 
surdité manifeste et palpable ; d'où l'on est oblige de con- 
clure que ces deux quantités sont égales. 

Corollaire, Si d'un point A de la circonférence on mène fig. 
les deux cordes AB, AG , aux extrémités du diamètre BG , 
le triangle BAG sera rectangle en A donc , 1® laperpen- " i8 
diculaire AD esi moyenne proportionnelle entre les deux eeg^ 
mentt BD, DC , du diamètre, ou , ce qui revient au même , 

le carrré AD est égal au rectangle BD X DC. 

La corde AB est moyenne proportionnelle entre le dia- 
mètre BG et le eegment adjacent BD , ou ce qui revient au 

même , AB^BD x BC. On a semblablement AC4=:GD x BC ; 

donc AB : AG : : BD : DC ; et si on compare AB à BG , on 

aura AB:BC::BD:BC ; on aurait de même AG:BC'::DG:BG. 
Ces rapports des carrés des côtés , soit entre eux, soit avec 
le carré de l'hypoténuse, ont été déjà donnés dans les 
corol. III et IV de la prop. xi. 

PROPOSITION XXIV. 

THÉORÈME. 

Deux triangles qui ont un angle égal sont entre eux 
comme les rectangles des côtés qui comprennent Vangle H- 
égal. Ainsi le triangle ABC est au triangjer AJ^E comme 
le rectangle AB x AC est au rectangle AD x AE. 



76 



GiOHtTBIE. 



Tirez BE ; les deux triangles A6E , ADE , dont le som- 
met commun est E , ont môme hauteur, et sont entre eux 
* 6. comme leurs bases AB, AD donc, 

AB£:AD£::AB:AD. 

On a de même, 

ABG:ABE::AG:AE. 

Multipliant ces deux proportions par ordre , et omettant le 
commun terme ABE , on aura , 

ABC : ADE : : AB X AG : AD x AE. 

Corollaire», Donc les deux triangles seraient équivalents , 
si le rectangle AB x AG était égal au rectangle AD X AE , 
ou si on avait AB : AD : : AE : AG , ce qui aurait lieu si la 
ligne DG était parallèle à BE. 

PROPOSITION XXV. 

THtOKtSE. 

Deux triangles semblables sont entre eux comme les 
carrés des côtés homologues. 
laa. Soit l'angle A= D et l'angle B =E ; d'abord à cause des 
angles égaux A et D, on aura, par la proposition précédente, 

ABG : DEF : : AB x AG : DE X DF . 

On a d'ailleurs, à cause de la similitude des triangles , 

AB:DE::AG:DF. 

Et si on multiplie cette proportion terme à terme par la 
proportion identique , 

AG:DF::AG;DF, 

il en résultera, 

' 'ABxAG:DExDF::AC':DF' 

Donc , 

ABG:DEF::AC:DF." 
Donc deux triangles semblables , ABG , DEF, sont entre 



lIVRB Ilï. 77 

eux comme les carrés des côtés homologues ÂG, DF, ou 
comme les carrés de deux autres côtés homologues quel- 
conques. 

PROPOSITION XXVÏ. 

THÉOEÈMB. 

Deux polygones semblables sont composés d'un m^ne 
nombre de triangles semblables chacun à chacun et sem- 
blablement disposés. 

Dans le polygone A6GDE , menez d'un même angle A les fig. i 
diagonales AG , aux autres angles. Dans Fautre polygone 
FGHIK , menez semblahlement de Tangle F homologue à 
A , les diagonales FH , FI aux autres angles. 

Puisque les polygones sont semblables , l'angle ABC est 
égal à son homologue FGH et de plus les côtés AB , BG, * déf. 
sont proportionnels aux côtés FG , GH ; de sorte qu'on a 
AB : FG::BG : GH. Il suit de là que les triangles ABC, FGH, 
ont un angle égal compris entre côtés proportionnels ; donc 
ils sont semblables* ; donc l'angle BGA est égal à GHF. Ces * ao. 
angles égaux étant retranchés des angles égaux BGD , GHI, 
les restes AGD , FHI seront égaux : mais puisque les trian- 
gles ABC , FGH sont semblables , on a AG : FH : : BG : GH ; 
d'ailleurs , à cause de la similitude des polygones *, BG : déf. a 
GH::GD:HI; donc AG: FH::GD :HI : mais on a déjà vu 
que l'angle AGD=FHI; donc les triangles AGD , FHI, ont 
un angle égal compris entre côtés proportionnels , donc ils 
sont semblables. On continuerait de même à démontrer la 
similitude des triangles suivants, quel que fût le nomibre 
des côtés des polygones proposés; donc deux polygones 
semblables sont composés d'un même nombre de triangles 
semblables et semblahlement disposés. 

Scholie, La proposition inverse est également vraie : Si 
deux polygones sont composée Hun même nombre de trianglee 
semhlahlee et semblahlement disposés ^ ces deus polygones se- 
ront semblables. 

Car la similitude des triangles respectifs donnera l'angle 
ABG=FGH, BGA=GHF, ACD=FHI; doncBCD=GHI, 



78 



GtOVtTBIB. 



de même GDE = HIK, etc. De plus, on aura AB:FG: : 
BG : GH : : AG : FH : : CD : HI, etc.; donc les deux polygones 
ont les angles égaux et les côtés proportionnels ; donc ils 
sont semblables. 

PROPOSITION XXVII. 
Titoaisi. 

Lèé contours ou périmètres des polygones semblables 
sont comme les côtés homologues , et leurs surfaces sont 
comme les carrés de ces mêmes côtés. 
39- Gar, 1^ puisqu'on a , par la nature des figures sembla- 
bles , AB : FG : 3 BG : GH : : GD : HI, etc. , on peut conclure 
de cette suite de rappojjls égaux : La somme des antécédents 
AB+BG+GD , etc., périmètre de la première figure, est à 
la somme des conséquents FG+GH+HI, etc., périmètre 
de la seconde figure , comme un antécédent est à son con- 
séquent , ou comme le côté AB est à son homologue FG. 
2"* Puisque les triangles ABG, FGH sont semblables , on 

25. a * ABG : FGH :: AG* : FH*; de même les triangles sem- 
blables AGD, FHI, donnent AGD : FHI :: ÂG\- FH'; donc, 
à cause du rapport commun AG' : FH*, on a 

ABG : FGH :: AGD : FHI. 
Par un raisonnement semblable on trouverait 
AGD. FHI:: ADE:FIK; 

et ainsi de suite , s*il y avait un plus grand nombre de 
triangles. De cette suite de rapports égaux on conclura : 
La somme des antécédents ABG+AGDh-ADE, ou le poly- 
gone ABGDË, est à la somme des conséquents FGH + FHI + 
FIK, ou au polygone FGHIK, comme un antécédent ABC 
est à son conséquent FGH, ou comme ÂB* est à FG*; donc 
les surfaces des polygones semblables sont entre elles 
comme les carrés des côtés homologues. 

Corollaire. Si on construit trois figures semblables dont 
les côtés homologues soient égaux aux trois côtés d'un 



LITRE III. 



triangle rectangle , la figure faite sur k grand côté sera 
égale à la somme des deux antres : car ces trois figurer 
sont proportionnelles aux carrés de leurs côtés homolo- 
gues ; or, le carré de l*h3rpoténu8e est égal à la somme des 
carrés des deux autres côtés ; donc , etc. 

PROPOSITION XXVIII. 

THÉORÈMB. 

Les parties de deux cordes AB , CD , qui se coupent fig- i3o. 
dans un cercle, sont réciproquement proportionnelles , 
c'est^'dire qu'on a AO : DO :: CD : OB. 

Joignez AG et BD : dans les triangles ÂGO, BOD, les 
angles en sont égaux comme opposés au sommet; Fangle 
A est égal à l'angle D , parce qu'ils sont inscrits dans le 
même segment par la même raison l'angle G = B ; donc * 18, 3. 
ces triangles sont semblables , et les côtés homologues don- 
nent la proportion AO : DO : : GO : OB. 

Corollaire. On tire de là AOxOB=DOxGO: donc le 
rectangle des deux parties de l'une des cordes est égal au 
rectangle des deux parties de l'autre. 

PROPOSITION XXIX. 

THÉORÈÉB. 

Si d'un même point , pris hors du cercle, on mène H- i^i. 
les sécantes OB, OC , terminées à Fàrc concave BG , les 
sécantes entières seront réciproquement proportionnelles 
à leurs parties extérieures, c'est-à-dire qu'on aura 
OB : OG :: OD: OA. 

Gar, en joignant AG, BD, les triangles OAG , QBD, ont 
l'angle commun; de plus l'angle B = G *; donc ces *i8, a. 
triangles sont semblables ; et les côtés bomologues donnent 
la proportion , 

OB : OG :: OD : OA. 

CoroUaire, Donc le rectangle OA x OB , est égal au 
rectangle OGxOD. 



80 



OÉOKÉTBIB. 



Schoïtê. On peut remarquer qae cette proposition a beau- 
coup d'analogie avec la précédente , et qu'elle n'en diffère 
qu'en ce que les deux cordes AB, CD, au lieu de se couper 
dans le cercle, se coupent au-dehors. La proposition sui- 
Tante peut encore être regardée comme un cas particulier 
de celle-ci. 

PROPOSITION XXX. 

THtOBftmB. 

fig. i3a. Si du même point G, pris hors du cercle, on mène 
une tangente G A et une sécante. OC , la tangente sera 
moyenne proportionnelle entre la sécante et sa partie 
extérieure; de sorte qu'on aura OC : OA : : OA : OD ] ou , 
ce qui revient au même, OA=GC x OD. 

Car, en joignant AD et AC, les triangles OAD, OAC, ont 
l'angle commun ; de plus l'angle OAD , formé par une 
* 19* a. tangente et une corde a pour mesure la moitié de l'arc AD, 
et l'angle C a la même mesure ; donc l'angle OAD=sC ; donc 
les deux triangles sont semblables , et on a la proportion , 

_^ OC: OA::OA:OD, 
qui donne OA:^C x OD. 

PROPOSITION XXXL 

THiOEÈKB. 

fig. i33. Dans un triangle ABC, si on divise V angle A en deux par-- 
fies égales par la ligne AD, le reeiafigle des côtés AB, AC , 
sera égal au rectangle des segments BD, DC, plus au carré 
de la sécante AD. 

Faitea passer une circonférence par les trois points A, B , C , prolon- 
gez AD jusqu'à la circonférence , et joignez CE. 

Le triangle BAD est semblable au triangle EAC; car, par hypothèse, 
l'angle BAD = EAC; de plus rangle B=:E, puisqu'ils ont tous deux 
pour mesure la moitié de l'arc AC? donc ces triangles sont semblables, 
et les côtés homologues donnent la proportion BA : A£ : : AD : AC : de 
là résulte BAXAC=:AEXAD; mais AE=;:AD + DE, et en multi- 
pliant de part et d'autre par AD, un a AExAD =Td x ADxDE • 
« a8. d'ailleurs AD X DE = BD X DC * ; donc enfin 

BA X AC =rÏD +BD X DC. 



L1VBB m. 



81 



PROPOSITION XXXII. 

THtORftMB. 

Dan$ tout triangle ABC , le rectangle èee deux cotée AB , fig- i34. 
AC, eet égal au. rectangle compris par le diamètre CE du 
cercle circonscrit et la perpendiculaire AD aJbadêêée sur le 
troisième côté BC. 

Car, en joignant A£ , les triangles ABD , AEG , sont rectangles , Tun 
en B , l'autre en A ; de plus l'angle B=£ ; donc ces triangles sont sem- 
blables y et ils donnent la proportion AB : CE : : AD : AC ; d'où réisulte 
ABxACsCExAB; 

Corollaire. Si on multiplie ces quantités égales par la même quan- 
tité BC, on aura AB X ACxBC=:GE X AD xBC. Or, ADxBC est le 
double de la surface du triangle * ; donc le produit des trois côtés éTun * 6. 
triangle est égal à ea eurface multipliée par le double du diamètre du 
cercle circonscrit. 

Le produit de trois lignes s'appelle quelquefois un eolide , par une 
raison qu'on Terra ci-après. Sa valeur se conçoit aisément, en imagi- 
nant que les lignes sont réduites en nombres , et multipliant les nom- 
bres dont il s'agit. 

Soholie. On peut démontrer aussi que la eurface d*un triangle eet 
égale à son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle 
inscrit. 

Car les triangles AOD , BOC , AOC , qui ont leur sommet commun en fig. 87. 
O , ont pour hauteur commune le rayon du cercle inscrit ; donc la 
somme de ces triangles sera égale à la somme des bases AB , BC , AC , 
multipliée par la moitié du rayon OD ; donc la surface du triangle ABC 
est égale à son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle 
inscrit. . ^ 

PROPOSITION xxxm. 

THtOBtal. 

Dans tout quadrilatère inscrit ABCD , h rectangle des Gg. i35. 
deux diagonales AC , BD , est égal h la somme des rectangles 
des côtés opposés y de sorte qu'on a 

AC x BD=i AB X CD + AD X BC. 

Prenes l'arc CO=AD, et tirei BO qui rencontre ia'diagonale 'AC 
cnl. * ^ 

L'angle ABDc=CBI , puisque l'un a pour mesure la moitié de AD , et 
l'autre la moitié de CO égal à AD. L'angle ADB=BCI, parce qu'ils 

6 



8S GtOMtTftlI. 

•ont iitfcritf dans le même segment AOB ; donc le triangle ABB est 
semblable au triangle IBG , et on a la proportion AD : CI :: BD : BG ; d'où 
résulte AD X BC=rOI X BD. Je dis maintenant que le triangle ABI est 
semblable au triangle BDG ; car l'arc AD étant égal à GO , si on ajoute 
de part et d'autre OD , on aura l'atc AO 2=DG; donc l'angle ABI= 
DBG ; de plus l'angle BAI = BDG , parée qu'ils sont inscrits dans le 
même segment; donc les triangles ABI, DBG , sont semblables, et les 
côtés homologues donnent la proportion AB : BD :: AI: CD ; d'où résulte 
ABXGD = AIXBD. 

AjoutMit les deux rétullats trott^éi, et obserrint que AI X BD-f-CI 
X BD 9 (AI+GI) X BDs ACx BD, on aurà AD X BG+AB X CDss 
AGXBD. 

Scholie, On peut démontrer de la même manière un autre théorème 
sur le quadrilaièfe inscrit. 

Le triangle ABD semblable à BIC , donne la proportion BD : BC : : 
AB:BI,d'où résulte BIxBD = BGxAB. Si enjoint GO, le triahgle 
IGO, semblable à ABI , sera semblable à BDG , et donnera la proportion 
BD:GO::DG:OI;d'où résulte 01 XBD=: GO XDG, ou, é eause de 
GO =3 AD^ 01 X BD =s AD X DG. Ajoutant les deux résultats , et obser- 
vant que BI X BD 4* 01 X BD se réduit à BO X BD , on aura , 

BOXBD=ABXBC + ADXDC. 

Si on eût pris BP = AD, et qu'en^jBÛt tiré GKP, on aurait trouvé par 
des raisonnemens semblables, 

GPXGA=: AB X AD+ BGXGD. 

Hais Tare BP étant égal à GO , si on ajoute de pari ét d^autre BC, 
on aura l'arc GBP = BGO , donc la corde CP est égale à la corde BO , 
et par conséquent les rectangles BO X BD et CP X GA sont entre eux 
conmie BD est à GA ; donc , 

BD : GA :: AB XBG + AD XDC : ADx AB+ BG XGD. 

Donc les deux diagonalee d'un quadrilathre inscrit sont entre elles 
comme les sommes 4^ fetiunft&s dei têtés tjui aboutissent à leun 
extrémités^ 

Ces deux théorèmes peuvent servir à trouver les diagonales quand 
on connaît les côtés. 

PROPOSITION XXXIV. 

THiORÈHI. 

6g. i36. Soit V un point donné au^dans du eereUêur h rayon AC, 
et êoit prié un point Q au-dehors sur le prolongement du 
mém ratfoH , dé êûTie qn'mi ait CP : CA : îCA : CQ ; « d'un 
point quelcoH^uê M de la eiYeoT^hvnà» on mène aux deu» 



LIYBE III.^ 8S 

pointé P 0^ Q Uê droites MP9 MQ , j€ dis qtae ces droites 
seront partout dans un mime rapport j et qu'en aura MP :MQ 
: : AP : AQ. 

Car on a , par hypothèse , GP : GA : : GA : GQ ; mettant GM à la place 
de GA , on anra GP : GM : : GM : GQ, donc les triangles GPM , GQH , ont 
un angle égal G compris entre côtés proportionnels ; donc ils sont sem- 
blables * ; donc le troisième côté MP est au troisième MQ comme GP * ao, 3. 
est a GM eu GA. Mais la proportion GP : GA ; : GA : GQ donne , divi- 
dende , GP : GA : : GA— GP : GQ— G A , ou GP : GA : : AP : AQ , donc MP . 
MQ:;AP;AQ. 



Problèmes relaMfs au Livre III. 

Dimstr une liffhè droitê donnée en tant de parties 
égnks qu'on tondra, où en parties proportionnelles à 
des lignes données. 

V Soit proposé de diviser la ligse AB en cinq paritea ^g- >37- 
égales ; par Textrémité A on mènera la droite indéfinie . AG« 
et prenant AG d*ane grandeur quelconque , on porter^^AG 
cinq fois sur AG. On joindra le dernier point de division G 
et l'extrémité B par la ligi^e GB , puis on mènera GI paral- 
lèle à 6B ; je dis que AI sera la cinquième partie de la 
ligne AB , et qu'ainsi en portant AI cinq fois sur AB , la 
ligne AB sera divisée en cinq parties égales. 

Gar, puisque GI cet parallèle à Gfi^ les côtés AG» AB, 
sont coupés prc^ortionnellement en G et I *^ Mais AG est * i5. 
la cinquième partie de, AG ; donc AI est la oinquièmo 
partie de AB. 

2'' Soit proposé de diviser la ligne AB en parties propor- fig. i38. 
tionnelles aux lignes données R. !Par l'extrémilé A ' 

00 tirera l'indéfinie AG9 on prendra AGisP, GBœQi 
D£=R, on joindra les extrémités, E et B, et par les peiats 
G, D, on mènera GI, DK, parallèles à EB4 je dis que la 
ligne AB sera divisée en parties AI, IK, KB, proportion- * 
nelles aux lignes données P, Q, A. 

'Gar, à cause des parallèles GI, DK, £B, les parties AI, 



84 



GÉOmtTBIl. 



* i5. IK, RB9 sont proportionnelles aux parties AC, CD, DE * ; 
et par constraction celles-ci sont égales aux lignes données 
P, Q, R. 

PBOBLfcHI II. 

Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes 
données A, G. 

fig. 139. Tirez les deux' lignes indéfinies DE , DF, sous un angle 
quelconque. Sur DE prenez DA=A et DB=B, sur DF 
prenez DG=G, joignez AG, et par le point B menez BX 
parallèle à AG ; je dis que DX sera la quatrième propor- 
tionnelle demandée : car, puisque BX est parallèle à AG , 
on a la proportion DA : DB :: DG : DX ; or, les trois pre- 
miers termes de cette proportion sont égaux aux trois 
lignes données ; donc DX est la quatrième proportionnelle 
demandée. 

Corollaire. On trouYcra de même une troisième propor- 
tionnelle aux deux lignes données A, B, car elle* sera la 
même que la quatrième proportionnelle aux trois lignes A, 
B,C. 

PBOBLiVB m. 

Trouver une moyenne proportionnelle entre deux 
lignes données A 6/ B. 

«g. i4o. Sur la ligne indéfinie DF prenez DE=A, et EF=B; sur 
la ligne totale DF comme diamètre , décrivez la demi-cir- 
conférence DGF ; au point E élevez sur le diamètre la 
perpendiculaire EG, qui rencontre la circonférence en G ; 
je dis qu6 EG sera la moyenne proportionnelle cherchée. 

Gar la perpendiculaire G£, abaissée d'un point de la 
circonférence sur le diamètre, est moyenne proportionnelle 
*23. entre les deux segmens du diamètre DE, EF*:or, ces 
segmens sont égaux aux lignes données A et B. 



LIVBI ni. 



raoBLimi iT. 

Diviser la ligne donnée AB en deux parties , de ma- fig. i 
tiière que la plus grande soit moyenne proportionnelle 
entre la ligne entière et Vautre partie. 

A Textrémité B de la ligne AB éleyez la perpendiculaire 
BG égale à la moitié de AB ; du point G comme centre , et 
du rayon CB décrivez une circonférence , tirez AG, qui 
coupera la circonférence en D, et prenez AF= AD; je dis 
que la ligne AB sera divisée au point F de la manière de- 
mandée , c'est-à-dire qu'on aura AB : AF :: AF : FB. 

Gar AB étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon GB, 
est une tangente ; et si on prolonge AG jusqu'à ce qu'elle 
rencontre de nouveau la circonférence en Ë , on aura * * 5(k 
A£ : AB :: AB : AD ; donc , dividendo, AE—AB : AB :: AB 
— AD : AD. Mais, puisque le rayon BG est la moitié de AB, 
le diamètre DE est égal à AB, et par conséquent AE — AB 
=AD=AF ; on a aussi, à cause de AF=AD, AB — AD=FB; 
donc AF ; AB :: FB : AD ou AF ; donc , invertendo, AB : AF 
:: AF : B. 

Seholie. Gette sorte de division de la ligne AB s'appelle 
division en moyenne et extrême raison : oti en verra des 
usages. On peut remarquer que la sécante AE est divisée 
en moyenne et extrême raison au point D; car, puisque 
AB=DE, on a AE : DE :: DE : AD. 

PROBLkMI V. 

Par un point donné A dans l'angle donné BGD, tirer fig. 
la ligne BD de manière que les parties AB AD, com- 
prises entre le point A et les deux côtés de l'angle y 
soient égales. 

Ppr le point A menez AE parallèle à GD, prenez BE=GE, 
et par les points B et A tirez BAD, qui sera la ligne 
demandée. 

Gar, AE étant parallèle à GD , on a BE : EG :: BA : AD ; 
or, BE=EG ; donc BA=AD. 



86 



«AOHtTlU. 



^pionÈn VI. 

Faire un carré équivalent à tm parallétofframme ou 

à un triangle donné* 
i4S* 1"* Soit ABGD le parallélopramine donné, AB la base, 

DE sa hauteur : entre AB et DE cherchei une moyenne 
r. s. proportionneUe XY je dis que le carré fait sur XT sera 

équivalent au parallélogramme ABGD, Car on a, par 

construction, AB:XT :: XY:DE; donc XYsABxDE r or 

AB X DE est la mesure du parallélogramme, et XY* celle 
du carré , donc ils sont équivalens. 
i44- S* Soit ABC le triangle donné, BG sa Base, AD sa hau- 
teur : prencB une moyenne proportionnelle entre BG et la 
moitié de AD , et soit XY cette moyenne ; je dis que le 
carré fait sur XY sera équivalent au triangle ABC. 

Gar , puisqu'on a BG : XY :: XY : \ AD , il en résulte 

XYssBCx-AD, donc le carré fidt sur XY est équivalent 
au triangle ABC. 

rmotttn vn. 

145. Faire sur la ligne donnée AD un re^tmgle ÂDEX 
éqmieahmJt au rectangle dommé ABFC. 

Cberckei une quatrième proportionnelle aux trois lignes 
AD, AB, AC, et soit AX œtte quatrième proportionnelle, je 
dis que le rectangle fait sur AD et AX sera équivaksnl an 
rectangle ABFG. 

Car, puisqu'on a AD : AB :; AC: AX, il en iwilte AD 
xAXsdkBxAC; donc le rectangle ADEX cit équivalent 
auredanf^ ABFC. 

14^ Treemr en lignes U rapport du rectangle des deux 
l^fnes dmnées ketj^au rechmgle des tteux l^mes ébmr 
nétsQHTï. 

Soit X une quatrtèaie propoHwuMne mx trais i^Mi 



LITRE m. 



87 



B, G, D ; je dis qoe le rapport Ses dei|x lignes À el X sera 
égal à celui des deux rectangles A x C X D. 

Car, puisqu'oiia B:G::D:X, il en résulte G xBssBx X; 
donc A X B : G X D :j A x B : B X X :: A : X. 

Corollairê. Donc, pour avoir la rapport des earrës faits 
sur les lignes données A et G, cherchez une troisième pro- 
portionnelle X aux lignes A et G , en sorte qu*on ait A : G :: 
G :'X, et vous «ures A"* : G> :: A : X. 

' FROBLfeMXIX. 

Trouver en lignes le rapport du produit des trais «g. i4d- 
lignes données A , B , C ^ au produit des trois lignes 
données P, Q, R. 

Anx trois lignes données P, A, B, cherchez une quatrième 
proportionnelle X : aux trois lignes données G , Q , R , 
cherchez une quatrième proportionelle Y. Les deux lignes 
X, Y, seront entre elles comme les produits A x B x G, P x 
QxR. 

Gar , pubqne P : A :: B : X , on a A x B=P X X; et, en 
multipliant de part et d'antre par G , A x B x G=G x P x X. 
De même, puisque G : Q :: R : Y, ilen résulte Q x R=zC x Y; 
et , multipliant de part et d'antre par P , on a P X Q x R= 
P X G X Y, donc le produit A x B x G est an produit P x Q K R 
commeGxPxX est à PxGx Y, on eomme X est à Y. 

PROBLkSB X. 

Faire un triangle équivalent à un polygone donné. 

Soit ABGDE le polygone donné. Tirez d'abord la diago- 
nale GE, qui retranche le triangle GDE; par le point D fig. i^e. 
menez VF pisirallèle à CE jusqu'à la rencontre de AE pro^ 
longé; joignez GF, et le polygone A^CDE sera équivalent 
au polygone ABCF qui a un côté de m(Hns« 

Gsir les triangles GDE, CFE, ont la base commune GE; 
ils ont aussi même hauteur, puisque leurs sommets D, F , 
sont situés sur une ligne DF parallèle à la base ; donc ces 
triangles sont équivalons. Ajoutant de part et d'autre la 



78 



GtOVtTBIl. 



■ 



de même GDE = HIK, etc. De plus, on aura AB:FG: : 
BG :OH : : AG : FH : : GD : HI, etc«; doncles deux polygones 
ont les angles égaux et les côtés proportionnels ; donc ils 
sont semblables. 

PROPOSITION XXVII. 

TltOBiSI. 

Lèé contours ou périmètres des polygones semblables 
sont comme les côtés homologues, et leurs surfaces sont 
comme les carrés de ces mêmes côtés. 
^6- i»9> Gar, 1"* puisqu'on a, parla nature des figures sembla- 
bles, AB : FG : : BG : GH : : GD : HI, etc. , on peut conclure 
de cette suite de rappojjls égaux : La somme des antécédents 
AB+BG+GD , etc., périmètre de la première figure, est à 
la somme des conséquents FG+GH+HI, etc., périmètre 
de la seconde figure , comme un antécédent est à son con- 
séquent , ou comme le côté AB est à son homologue FG. 
Puisque les triangles ABG, FGH sont semblables , on 

• «5. a * ABG : FGH :: ÂC' : FH*; de même les triangles sem- 
blables AGD, FHI, donnent AGD : FHI :: ÂG\- FH'; donc, 
à cause du rapport commun AG' : FH*, on a 

ABG : FGH ;: AGD : FHI. 
Par un raisonnement semblable on trouverait 

AGD: FHI :: ADE : FIK; 

et ainsi de suite , s*il y avait un plus grand nombre de 
triangles. De cette suite de rapports égaux on conclura : 
La somme des antécédents ABG + AGD h- ADE, ou le poly- 
gone ABGDE, est à la somme des conséquents FGH + FHI + 
FIK, ou au polygone FGHIEL, comme un antécédent ABG 

est à son conséquent FGH, ou comme AB' est a FG'; donc 
les surfaces des polygones semblables sont entre elles 
comme les carrés des côtés homologues. 

Corollaire. Si on construit trois figures semblables dont 
les côtés homologues soient égaux aux trois côtés d'un 



LIVRE III. 



triangle rectangle , la figure faite sur le grand côté sera 
égale à la somme des deux autres : car ces trois figurer 
sont proportionnelles aux carrés de leurs côtés homolo- 
gues ; or, le carré de l'hypoténuse est égal a la somme des 
carrés des deux autres côtés ; donc , etc. 

PROPOSITION XXVIII. 

THÉORkMI. 

Les parties de deux cordes AB , CD , qui se coupent fig- i3o. 
dans un cercle, sont réciproquement proportionnelles, 
c'est-à-dire qu'on a AO : DO :: CO : OB. 

Joignez AG et BD : dans les triangles ÂGO , BOD , les 
angles en O sont égaux comme opposés au sommet; Tangle 
A est égal à l'angle D , parce qu'ils sont inscrits dans le 
même segment par la même raison l'angle C=:B ; donc * is, a. 
ces triangles sont semblables , et les côtés homologues don- 
nent la proportion AO : DO : : CO : OB. 

Corollaire» On tire de là AO x OB=J)0 X CO donc le 
rectangle des deux parties de l'une des cordes est égal au 
rectan|;le des deux parties de l'autre. 

PROPOSITION XXIX. 

THÉORÈÉB. 

Si dun même point , pris hors du cercle, on mène fig- i3i. 
les sécantes OB, OC , terminées à F arc concave BG, les 
sécantes entières seront réciproquement proportionnelles 
à leurs parties extérieures, c'est-à-dire qu'on aura 
OB:OC::OD:OA. 

Car, en joignant AG, BD, les triangles OÂG, QBD, ont 
l'angle commun; de plus l'angle B = C *; donc ces *i8, a. 
triangles sont semblables; et les côtés bomologues donnent 
la proportion , 

OB : OC :: OD : OA. 

Corollaire, Donc le rectangle OA X OB , est égal au 
rectangle OGxOD. 



90 



GÊOMftTBIB. 



ÏEOBLftlB XIY. 

Deux figures semblables étant données , construire 
une figure semblable qui soit égale à leur somme au à 
leur différence. 

Soient A et B deux côtés homologues des figures don- 
nées, cherchez un carré égal à la somme ou à la différence 
des carrés faits sur A et B ; soit X le côté de ce carré , X 
sera dans la figure cherchée le côté homologue à A et B 
dans les figures données. On oonstruira ensuite la figure 
elle-même par le problème précédent. 

Car les figures semblables sont comme les carrés des 
côtés homologue^; or, le carré du côté X est égal à la 
somme ou à la différence des carrés faits sur les côtés ho- 
mologues A et B ; donc la figure faite^ sur le côté X est 
égale à la somme ou à la différence des figures semblables 
faites sur les côtés A ei B. 

rftOBLÈHB XV. 

Construire une figure semblable à une figure donnée, 
et qui soit à cette figure dans le rapport donné deJlà^» 
Soit A^un côté de la figure donnée, X le côté homologue 
dans la figure cherchée ; il faudra que le carré de X soit au 
* 27. carré de A comme M est à N *^ On trouvera donc X par le 
problème xn ; connaissant X, le reste, s'achèvera par le pro- 
blème xin. 

PBOBLÈMB XVI. 

i5i. Construire une figure semblable à la figure P et équi- 
valente à la figure Q. . 

Cherchez le côté M du carré équivalent à la figure P , et 
le côté N du carré équivalent à la figure Q. Soit ensuite X 
une quatrième proportionnelle aux trois lignes données M, 
N, AB; sur le côté X, homologue à AB, décrivez une fi- 
gure semblable à la figure P; je dis qu'elle sera de plus 
équivalente a la figure Q. 

Car en appeknt Y la figure faite sur le côté X, on aura 



UYBK iir. 



91 



P ; Y :: AB : X; mais , par construction , AB : X :: M : N , 

■a a a a % % ^ 

OU AB : X :: M : N ; donc P : Y :: M : N. Mais on a aussi, 
par construction , M'=P et N'=Q ; donc P : Y :: P : Q; 
donc Y=Q ; donc la figure Y est semblable à la figure P, et 
équivillente à la figure Q. 

PIOIUSHK XYU. 

Cansfrutre un rectangle équivalent à un carré donné Sg. is%, 
C , et dont les côtés adjacens fassent une somme donnée 
AB. 

Sur AB , comme diamètre, décrivez une demi-circonfé- 
rence, menez parallèlement au diamètre la ligne D£ à une 
distance AD égale au côté du carré donné G. Du point Ë , 
où ]a parallèle coupe la circonférence , abaissez sur le dia- 
mètre la perpendiculaire EF ; je dis que AF et FB seront les 
côtés du rectangle cherché. 

Car leur somme est égale à AB ; et leur rectangle AF x 
FB est égal au carré de £F ou au carré de AD ; donc ce * a5. 
rectangle eat équivalent au carré donné G. 

Scholie, Il faut , pour que le problème soit possible , que 
la distance AD n'excède pas le rayon., c'est-à-dire que le 
côté du carré G n^excède pas la moitié de la ligne AB. 

PaOBLtHB XTIII. 

Construire un rectangle équivalent à un carré C, c^fig. i53. 
dont les côtés adjacens aient entre eux la différence don- 
née AB. 

Sur la ligqe donnée AB , comme diamètre , décrivez und 
circonférence ; à l'extrémité du diamètre , menez la tan- 
gente AD égale au côté da carré G : par le point D et le 
centre tirez la sécante DE; je dis que DE et DF seront 
les côtés adjacens du rectangle demandé. 

Car 1<» la difierence de^es côtés est égale au diamètre EF 

ou AB ; 2» le rectangle DE x DF est égal à AD**; donc ce • 3p. 
rectangle sera équivalent au carré donné C. 



92 OtOKÉTBIl. 

PIOBLilE XIX, 

Trouver la commune mesure^ y en a une, entre 
la diagonale et le côté du carré. 

fig. 154. SoitÂBGG un carré quelconque , AG sa £agonale. 
prob. 17 II ^^^^ d'abord porter GB sur CA autant de fois qu'il peut 
%. liv. y ^^jQ contenu et pour cela, soit décrit du centre G et du 
rayon ÇB le demi-cercle DBE : on sait que GB est contenu 
une fois dans AG avec le reste AD , le résultat de la pre- 
mière opération est donc le quotient 1 ayec le reste AD, 
qu'il faut comparer avec BG ou son égale AB. 

On peut prendre AF=AD , et porter réellement AF sur 
AB ; on trouverait qu'il y est contenu deux fois avec un 
reste : mais comme ce reste et les suivans vont en dimi- 
nuant, et que bientôt ils échapperaient par leur petitesse , 
ce ne serait là qu'un moyen mécanique imparfait , d'oà l'on 
ne pourrait rien conclure pour décider si les lignes AG, GB, 
ont entre elles ou n'ont pas une commune mesure : or il est 
un moyen très-simple d'éviter les li^es décroissantes , et 
de n'avoir à opérer que sur des lignes qui restent toujours 
de la même grandeur. 
En effet , l'angle ABG étant droit , AB est une tangente , 

* 3o. et AE une sécante menée du même point , de sorte qu'on a"" 

AD:AB:: AB:AE. Ainsi dans la seconde opération, où il 
s'pgit de comparer AD avec AB , on peut , au lieu du rap- 
port de AD à AB , prendre celui de AB à AE : or AB ou 
son égale GD est contenue deux fois dans AE avec le reste 
AD ; donc le résultat de la seconde opération est le quotient 
2 avec le reste AD qu'il faut comparer à AB. 

La troisième opération , qui consiste à comparer AD avec 
AB, se réduira de même à comparer AB ou son égale GD 
avec AE , et on aura encore 2 pour quotient et AD pour 
reste. 

De là on voit que l'opération ne sera jamais terminée , et 
qu'ainsi il n'y a pas de commune mesure entre la diagonale 
et le côté du carré : vérité qui était déjà connue par l'arith- 

• II. métique (puisque ces deux lignes sont entre elles :; \/ 2:1)*, 



LITME III. 



93 



mais qui acquiert un plus grand degré de clarté par la 
résolution géométrique. 

SchoUe. Il n'est donc pas possible non plus de trouver en 
nombres le rapport exact de la diagonale au côté du carré ; 
mais on peut en approcher tant qu'on voudra au moyen de 
la fraction continue qui est égale à ce rapport. La première 
opération a donné pour quotient 1 ; la seconde et toutes les 
autres à l'infini donnent 2 : ainsi la fraction dont il s'agit 
estl+., 

etc. à l'infini. 

Par exemple , si on calcule cette fraction jusqu'au qua- 
trième terme inclusivement , on trouve que sa valeur est 
1 ^ ou 4^ ; de sorte que le rapport approché de là diagonale 
au côté du carré est : : 41 : 29. On trouverait un rapport 
plus approché en calculant un plus grand nombre de 
termes. 



LIVRE IV. 



LES POLYGONES RÉGULIERS, ET LA MESURE 
DU CERCLE, 

OÉriNITION. 

Un polye^nd qui est i ia fois éqaiangle et ëqnilatéral , 
«'appelle polygone règîdiê9/'. 

Il y a des polygones réguliers de fout nombre de côtés. 
Le triangle éqnilatëral est celui de trois c6tës ; et le càrré, 
eelui de quatre. 

PROPOSlTIOif PREMIÈRE. 

THÉORftHB. 

Deux polygones réguliers d'un même nombre de côtes 
sont deux figures semblables. 
fig. i55. Soient, par exemple, les deux hexagones réguliers 
XBCDEF, abcdef; la somme des angles est la même dans 
Tune et dans Tautre figure; elle est égale à huit angles 
*a8, 1. droits *. L'angle A est la sixième partie de cette somme 
aussi bien que l'angle a; donc les deux angles A et a sont 
égaux ; il en est par conséquent de même des angles B et 
b, des angles CetCy etc. 

De plus, puisque par la nature de ces polygones les 
côtés AB, BC, CD, etc., sont égaux, ainsi que àby hc, 
cd, etc., il est clair qu'on a les proportions AB:a^::BC: 
hc:iQX>i cd, etc. ; donc les deux figures dont il s'agit ont 
les angles égaux et les côtés homologues proportionnels ; 
* *ifv ^3.* ^^^^ semblables *. 

Corollaire. Les périmètres de deux polygones réguliers 
d'un même nombre de côtés sont entre eux comme les 



LITRE lY. 



c6të9 homologues , et leurs aorfiaces sont comme les carrës 

(le ces mêmes côtés *, * 27, 3. 

Sehûlie, L'angle d'un polygone régulier se détermine par 
le nombre d^ ses côtés comme celui d'un polygone 
équiangle * 20, i. 

^ PROPOSITION II. 

Tout polygone régulier peut être inscrit dans le cercle, 
et peut lut être circonscrit. 

Soit ABGDË, eto. « ïe porygone dont U s'agii, imagines fig. i56. 
qu'on fasse passer une circonféreince par leë trois points 
B , G ; soit O son centre^ et OP la perpefidiculaire abaissée 
sur le milieu du cité BG ; jo%uez AO ei OD . 

Le quadrilatère OPCD et le quadrilatère OPBA peuvent 
être superposés : en effet le côté OP est commun , l'angle * 
OP(k=OPB, puisqu'ils sont droits; donc le tsèté PG s'appli- 
quera sur son égal PB, et le point G tombinra en B* De plus, 
par la nature du polygone , l'angle PGD=sPB A , donc GD 
prendra le direction BA , et puisque GD=BA , le point D 
tombera en A, et les deux quadrilatères coïncideront entiè- 
rement l'un avec l'autre. La distance OD est donc égale à 
AO , et par conséquent la circonférence qui passe par les 
trois points A , B , C , paAsera aussi par le point D : mais , 
par un raisonnement semblable , on prouvera que la cir- 
conféi^nce qui passe par les trois sommets B, G, D, passera 
par le sommet suivant Ë, et ainsi de suite; donc la même 
circonférence qui passe pàr les. points A, B/C, passe par 
tous les sommets des angles du polygone , et le polygone 
est inscrit dans cette circonférence. 

En second li^u , par rapport a cette circonférence , tous 
les côtés AB, BG , GD ^ etc., sont des cordes égales ; elles 
sont donc également éloignées du centre *^ donc si du point * 8,a . 
0, comme centre , et du rayon OP, on dé^t une circonfé- 
rence , cette circonférence touchera le côté BG et tous les 
autrea côtés du polygone, chacun dans son milieu, et la^ 



96 eftOMÈTRIB. 

circonférence sera inscrite dans le polygone, ou le polygone 
circonscrit a la circonférence. 

Scholie I. Le point O, centre commun du cercle inscrit et 
du cercle circonscrit , peut être regardé aussi comme le 
centre du polygone , et par cette raison on appelle angle au 
centre y l'angle AOB formé par les deux rayons menés aux 
extrépiités d'un même côté AB. 

Puisse toutes les cordes AB, BG, etc., sont égales, il est 
clair que tous les angles au centre sont égaux, et qu'ainsi 
la valeur de chacun se trouve en divisant quatre angles 
droits par le nombre des côtés du polygone. 

Scholie II. Pour inscrire un polygone régulier d'un cer- 
tain nombre de côtés dans une circonférence donnée, il ne 
s^agit que de diviser la circonférence en autant de parties 
6g. i58. égales que le polygone doit avoir de côtés; car, les arcs 
étant égaux, les cordes AB, BG, CD, etc., seront égales; 
les triangles ABO, BOG , GOD , etc. , seront égaux aussi, 
parce qu'ils sont équilatéraux entre eux; donc tous les 
angles ABG, BGD, GDE, etc. , seront ^ux ; donc la figure 
ABCDE, etc., sera un polygone régulier. 

PROPOSITION III. 

• Inscrire un carré dans une circonférence donnée. 
fis. 157. Tirez deux diamètres AG , BD , qui se coupent à angles 
droits ; joignez les extrémités A, B, G, D, et la figure ABCD 
sera le carré inscrit : car les angles AOB, BOG, etc., étant 
égaux, les cordes AB, BG, etc., sont égales. 

Scholie, Le triangle BOG étant rectangle et isoscèle , on 
* II» 3. a BG : BO :: ^ â. 1 ; donc U côté du carré inscrit est au 
rayon comme la racine carrée de ^ est à r unité. 

PROPOSITION IV. 

PBOBLftHS. 

Inscrire un hexagone régulier et un triangle équila- 
téral dans une circonférence donnée, 
fig- i58. Supposons le problème résolu , et soit AB un côté de 



LIVEE IV. 



97 



rhexagone inscrit ; si on mène les rayons AO, OB , je dis 
que le triangle AOB sera équilatéraL 

Car l'angle AOB est la sixième partie de quatre angles 
droits ; ainsi en prenant Tangle droit pour unité, on aura 
AOB=|=^ : les deux autres angles ABO, BAO, du même 
triangle Talent ensemble 2 — f ou |, et comme ils sont 
égaux, chacun d'eux =|, donc le triangle ABO est ëquila- 
térai ; donc le côté de Fhexagone inscrit est égal au rayon. 

n suit de là que pour inscrire un hexagone régulier dans 
une circonférence donnée , il faut porter le rayon six fois 
sur la circonférence, ce qui ramènera au même point d'où 
on était parti. 

L'hexagone ABGDËF étant inscrit, si Ton joint les som- 
mets des angles alternatiTement , on formera le triangle 
équilatéral AGE. 

Scholie. La figure ABGO est un parallélogramme et même 
un losange, puisque AB=BG=s:GO=:AO ; donc * la somme ' i4> 3. 

des carrés des diagonales AG+BO, ést égale à la somme des 

carrés des côtés , laquelle est 4 AB ou 4 BO ; retranchant 

de part et d'autre BO, il restera AG^sS BO ; donc AG : BO :: . 
3 : 1, ou AG : BO :: |/ 3 : 1 ; donc UeéU du triangle équi- 
laièral in»erit ê»t au rayon comme la racine .carrée de h cet 
k Vunifé, 

PROPOSITION V. 

PBOBLteS. 

Inscrire dans un cercle donné un décagone régulier, 
ensuite un pentagone et un pentédécagone. 

Divisez le rayon AO en moyenne et extrême raison au Og. iSg. 
point M *, prenez la corde AB égale au plus grand seg- * p*^J**- 
ment OM, et AB sera le côté du décagone régulier qu'il 
faudra porter dix fois sur la circonférence. 

Gar en joignant MB, on a par construction AO : OM : : 
OM : AM; ou, à cause de AB=OM, AO : AB : : AB : AM; 
donc les triangles ABO, AMB, ont un angle commun A 
compris entre côtés proportionnels; donc ils sont sem- 

7 



98 



GtoatTMIE. 



blables Le triangle OAB est isoscèle , donc le triangle 
AMB Test aassi , et on a AB = BM : d'aillears AB =s OM ; 
donc aossi MBssOM ; donc le triangle BMO est isOBoèle. 
L'angle AMB , extérieur au triangle i808cèle BMO , est 
19» I. double de Tintërieur *; or Tangle AMB=MAB; donc le 
triangle OAB est tel que chacun des angles à la base, OAB 
ou OBA, est double de Tangle au sommet ; donc les trois 
angles du triangle valent cinq fois l'angle O, et ainsi l'angle 
est la cinquième partie de deux angles droits , ou la 
dixième de quatre : donc l'arc AB est la dixième partie 4e 
la circonférence , et la corde AB est le côté du décagone 
régulier. 

Corollaire L Si on joint de deux en deux les sommets du 
décagone régulier, on formera le pentagone régulier AGEGL 

Corollaire IL AB étant toujours le côté du décagone, soit 
AL le côté de l'hexagone; alors l'arc BL sera, par rapport 
à la eircoâférence, ^ — ou -y; donc la corde BL sera le 
côté du pentédécagone ou polygone régulier de 15 côtés. 
On voit en même temps que l'arc CL est le tiers de GB. 

Scholie, Un polygone régulier étant inscrit , si on divise 
les arcs sons-tendus par ses côtés en deux parties égales , 
et qu'on tire les cordes des dêrai««rcs , celles-ci formeront 
un nouveau polygone régulier d'un nombre de côtés 
double : ainsi on voit que le carré peut sertir à inscrire 
successivement des polygones réguliers de 8, 16, ^% etc., 
côtés. De même l'hexagone servira à inscrire des polygones 
réguliers de 12, 24, -48, etc., côtés; le décagone, des poly- 
gones de 20, 40, 80, etc., côtés; le pentédécagone , des 
polygones de 80, 60, 120, etc., côtés (1). 

PROPOSITION VI. 

PBOBLtME. 

«g. 160, Étant donné le polygone réffUiter inscrit ABCD , etc, 
circonscrire à la même circonférence un polygone sem- 
blable. 

(l) On a cru long-temps que ces polygones étaient les seuls qui pus- 
sent être inscrits par les procédés de la^géométrie élémentaire ^ ou, ce 



UVRK IT. 



99 



Au point T, mâieu de l'arc AB , venez la tangente GH, 
qui sera parallèle à AB'*' ; faites la même chose au milieu de * lo, s. 
chacun des autres arcs BG , CD , etc. ; ces tangentes forme- 
ront par leurs intersections le polygone régulier circonscrit 
GHIK , etc. , semblable au polygone inscrit. 

Il est aisé de voir d'abord que les trois points 0, B, H, 
sont en ligne droite^ car les triangles rectangles OTH, 
OHN, ont l'hypoténuse commune OH , et le côté OTas(^; 
donc ils sont égaux * ; donc l'angle TOUaHON , et par * i8, i. 
conséquent la Hjgne OH passe par le point B milieu de l'arc 
TN : par la même, raison le point I est sur le prolongement 
de OC , etc. Mais , puisque GH est parallèle à AB.et HI à 
BG, l'angle GHI = ABG'^; de même HIKeaBGD, etc.; * >6, i. 
donc les angles du polygone circonscrit sont égaux à. ceux 
du polygone inscrit. De plus , à cause de ces mèmes: paral- 
lèles, on a GH : AB :: OH : OB, et HI: BG OH:OB; 
donc GH:AB::HI:BG. Mais AB=:BG, donc GHsHI. 
Par la même raison HI = IS. « etc. ; donc les côtés du po- 
lygone circonscrit sont égaux entre eux ; donc oe polygone 
est régulier et semblable an polygone inscrit. 

Corollaire I. Réciproquement , si on donnait le polygone 
circonscrit GHIK, etc. , et qu'il fallut tracer par son moyen 
le polygone inscrit ABG, etc. , on voit qu'il sufiirait de mener 
aux sommets G , H , I, etc. , du polygone donné les lignes 
OG , OH , etc. , qui rencontreraient la circonférence aux 
points A , B , G , etc. ; on joindrait ensuite ces points par 
les cordes AB , BG, etc., qui formeraient le polygone in- 
scrit. On pourrait aussi , dans le même cas , joindre tout 
simplement les points de contact, T, N, P, etc. , par les 
cordes TN , NP , etc. , ce qui fortnerait également un poly- 
gone inscrit semblable au circonscrit. 

Corollaire II. Donc on peut circonscrire à un cercla donné 

qui revient au même , par la résolution des équations du premier et du 
secoad degré : mais H. Gauas a prouvé, dans son ouvrage intitulé Dis- 
quiaitioneê ArithmeHçœ, Lipêi/Bf 1801, qu'on peut inscrire par de sem- 
blables moyens le polygone régulier de dix-sept côtés, et en général 
celui de 2"+! côtés, pourvu que 2"+l soit un nombre premier. 




100 



GÉOMÊTBIE, 



tous les polygones réguliers qu'on sait inscrire dans ce cercle^ 
et réciproquement. 

* 

PROPOSITION VII. 

THtORÈHI. 

L'atre d'un polygone régulier est égale à son périmètre 
multiplié par la moitié du rayon du cercle inscrit. 
fig. i6o. Soit, par exemple , le polygone régulier GHIK, etc. , le 
triangle GOH a pour mesure GH x ^OT ^ le triangle OHI 
a pour mesure HI x ^ON : mais ON=OT ; donc les deux 
triangles réunis ont pour mesure ( GH + HI) x jOT. En 
continuant ainsi pour les autres triangles, on yerra que la 
somme de tous les triangles , ou le polygone entier a pour 
mesure la somme des bases GH , HI , IK , etc. , ou le pé- 
rimètre dii polygone , multiplié par {OT , moitié du rayon 
du cercle inscrit. 

Scholie, Le rayon du cercle inscrit OT n'est autre chose 
que la perpendiculaire abaissée du centre sur un des côtés; 
on l'appelle quelquefois Y apothème du polygone. 

PROPOSITION VIIL 

THÉORÈME. 

Les périmètres des polygones routiers d'un même 
nombre de côtés sont comme les rayons des cercles cir- 
conscrits y et aussi comme les rayons des cercles inscrits : 
leurs surfaces sont comme les carrés de ces mêmes 
rayons. 

fij.^. i6i. Soit AB un côté de l'un des polygones dont il s'agit, 
son centre , et par conséquent AO le rayon du cercle cir- 
conscrit, et OD, perpendiculaire sur AB, le rayon du cercle 
inscrit ; soit pareillement ah le côté d'un autre polygone 
semblable , o son centre , oa et od les rayons djes cercles cir- 
conscrit et inscrit. Les {)érimètres des deux polygones sont 
entre eux comme les côtés AB et ah; mais les angles A et o 
sont égaux comme étant chacun moitié de l'angle du poly- 



LIVHB IV. 



101 



gone; il en est de même des angles B et & ; donc les triangles 
ABO y ahOf sont semblables, ainsi qne les triangles ADO , 
ado; donc AB : ab :: AO : ao :: DO : do; donc les périmètres 
des polygones sont entre eax comme les rayons AO, a<7, 
des cercles circonscrits , et aussi comme les rayons DO, doy 
des cercles inscrits. 

Les surfaces de ces mêmes polygones sont .entre elles 
comme les carrés des côtés homologues AB , ai ; elles soiit 
par conséquent aussi comme les carrés des rayons des. 
cercles circonscrits AO, aoy ou comme les carrés des 
rayons des cercles inscrits OD , od, 

PROPOSITION IX. 

LKMHE. 

Toute ligne courbe ou polygone qui enveloppe (tune 
extrémité à l'autre la ligne convexe kTAB est plus longue 
que la ligne enveloppée AMB. 

Nous avons déjà dit que par ligne convexe nous enten- fi^- 16:^. 
dons une ligne courbe ou polygone , ou en partie courbe 
et en partie polygone , telle qu'une ligne droite ne peut 
la couper en plus de deux points. Si la ligne AMB avait des 
parties rentrantes ou des sinuosités , elle cesserait d'être 
convexe , parce qu'il est aisé de voir qu'une ligne droite 
pourrait la couper en plus dé deux points. Les arcs de 
cercle sont essentiellement convexes; mais la proposition 
dont il s'agit maintenant s'étend à une ligne quelconque qui 
remplit la condition exigée. 

Gela posé , si la ligne AMB n'est pas plus petite qne toutes « 
celles qui l'enveloppent, il existera parmi ces dernières une 
ligue plus courte que toutes les autres , laquelle sera plus 
petite que AMB , ou tout au plus égale a AMB. Soit ACDËB 
cette ligne enveloppante ; entre les deux lignes menez par- 
tout où vous voudrez la droite PQ , qui ne rencontre point 
la ligne AMB , ou du moins qui ne fasse que la toucher , la 
droite PQ est plus courte que PGDEQ, donc , si à la partie 
PCDEQ on substitue la ligne droite PQ , on aura la ligne 



103 



GiOM&TRII. 



eovdoppante APQB plus courte qiie APDQB. MaU , par 
hypothèse , celle-ci doit être la plus courte de toutes ; donc 
cette hypothèse ne saurait subsister ; donc toutes les lignes 
enveloppantes sont plus longues que AMB. 
fig. i63. Seholie, On démontrera absolument de la même manière 
qu'une ligne conyexe et rentrante sur elle-même AMB, est 
plus courte que tonte ligne qui TenTelopperait de toutes 
paits^ soit que la ligne enyeloppanteFHG touche AMB en un 
ou plusieurs points, soit qu'elle l'environne sans la toucher. 

PROPOSITION X. 

LEHHE. 

Deux circonférences concentriques étai^l données ^ on 
peut toujours inscrire dans la plus grande un polygone 
régulier dont les côtés ne rencontrent pas la plus petite , 
et on peut aussi circonscrire à la plus petite un polygone 
régulier dont les côtés ne rencontrent pas la grande de 
sorte que dans l'un et dans l'autre cas les côtés du poly- 
gone décrit seront renfermés entre les deux circonfé- 
rences.^ 

6g. 164. Soient GÀ , CB , les rayons des deux circonférences don- 
nées. Au point A menez la tangente DE terminée à la grande 
circonférence en D et Ë : inscrivez dans la grande circon- 
férence l'un des polygones réguliers qu'on peut inscrire par 
les problèmes précédents , divisez ensuite les arcs sous- 
tendus par les côtés en deux parties égales , et menez les 
cordes des demi-arcs ; vous aurez un polygone régulier d'un 
nombre de côtés double. Continuez la bissection des arcs 
jusqu'à ce que vous parveniez à un arc plus petit que DBE. 
Soit MBN cet arc ( dont le milieu est supposé en B ) ; il est 
clair que la corde MN sera plus éloignée du centre que DË, 
et qu'ainsi le polygone régulier dont MN est le côté ne 
saurait rencontrer la circonférence dont GA est le rayon. 

Les mêmes choses étant posées , joignez GM et GN qui 
rencontrent la tangente DE en P et Q ; PQ sera le côté d'un 
polygone circonscrit à la petite circonférence , semblable 



LIVRS lY. 



m 



au polygone inscrit dans la grande, dqnt le côté est MN. 
Or il est clair que le polygone circonscrit qui a pour côté 
PQ, ne saurait rencontrer la grande circonférence, puisque 
CP est moindre que CM. 

Donc , par la même construction , on peut décrire un 
polygone régulier inscrit dans la grande circonférence , et 
un polygone semblable circonscrit à la petite , lesquels au- 
ront leurs côtés compris entre les deux circonférences. 

Scholie, Si on a deux secteurs concentriques FCG, IGH, 
on pourra de même inscrire dans le plus grand une portion 
de polygone régulier^ ou circonscrire au plus petit une por- 
tion de polygone semblable , de sorte que les contours des 
deux polygones soient compris entre les deux cireonfé* 
rences : il suffira de diviser Tare FBG successivement 
en â, 4, 8, 16, etc» , parties égales , jusqu'à ce qu'on 
parvienne à une partie plus petite que DB£. 

Nous appelons ici portion âe polygone régulier la figure 
terminée par une suite de cordes égales inscrites dans l'arc 
FG d'une extrémité à l'antre. Cette portion a les propriétés 
principales des polygones réguliers , elle a les angles égaux, 
et les côtés égaux , elle est à la fois .inscriptible et circon* 
soriptible au cetcle; cependant elle ne ferait partie d'un po- 
lygone régulier proprement dit, qu'autant que l'arc sous- 
tendu par un de ses côtés serait une partie aliquote de 1» 
circonférence. 

PROPOSITION XI. 

THÉORÈMI. 

^ Les circonférences des cercles sont entre elles comme 
les rayons y et leurs surfaces comme les carrés, des rayons. 

Désignons, pour abréger, par cire, CA la circonférence fig. i65. 
qui a'pour rayon CA ; je dis qu'on aura cire. CA : cire, 
OB:;CA:OB. 

Car , si cette proportion n'a pas lieu , CA sera a OB 
comme cire. CA est à un quatrième terme plus grand ou 
plus petit que cire. OB : supposons-le plus petit , et soit , 
s'il est possible, CA : OB cire, CA : cire, OD. 



GtOliTRIB. 



Inscriyei dans la circonférence dont OB est le rayon un' 
polygone régulier ËFGKLE, dont les côtés ne rencontrent 
* 10. point la circonférence dont OD est le rayon * ; inscrivez un 
polygone semblable MNPTSM dans la circonférence dont 
G A est le rayon. 

Gela posé, puisque ces polygones sont semblables , leurs 
périmètres MNPSM, ËFGKE sont entre eux comme les 
*8. rayons G A , OB , des cerles circonscrits et on aura 
HNPSM : EFGKE :: GA : OB ; mais , par hypothèse, GA : 
OB :: eirc. GA : être. OD ; donc MNPSM : EFGKE :: cire. CA : 
être. OD. Or, cette proportion est impossible, car le contour 
* 9. MNPSM est moindre que eire, GA"*" , et au contraire EFGKE 
est plus grand que être. OD; donc il est impossible que GA 
soit a OB comme env. GA est à une circonférence plus 
petite que être. OB , ou , en termes plus généraux , il est 
impossible qu'un rayon soit à un rayon comme la circon- 
férence décrite du premier rayon est à une circonférence 
plus petite que la circonférence décrite da second rayon. 

De là je conclus qu'on ne peut avoir non plus, G A est à 
OB comme être» GA est à une circonférence plus grande 
que être, OB ; car si cela était , on aurait , en renversant 
les rapports : OB est à GA comme une circonférence plus 
grande que eire. OB est à être. G A , ou , ce qui est la même 
chose , comme eire. OB est à une circonférence plus petite 
que être. GA ; donc un rayon serait à un rayon comme la 
circonférence décrite du premier rayon est à une circonfé- 
rence plus petite que la circonférence décrite du second 
rayon , ce qui a été démontré impossible. 

Puisque le quatrième terme de la proportion GA : OB :: 
eire. GA : X ne peut être ni plus petit ni plus grand que 
eire. OB , il faut qu'il soit à eire. OB; donc les circon- 
férences des cercles sont entre elles comme les rayons. 

Un raisonnement et une construction entièrement sem- 
blables serviront à démontrer que les surfaces des cercles 
sont comme les carrés de leurs rayons. 

Nous n'entrerons pas dans d'autres détails sur cette pro- 
posidon , qui d'ailleurs est un corollaire de la suivante. 
6g. 166. Corollaire. Les arcs semblables AB « DE , sont coiiune* 



l 



LIVRE ir. 105 

leurs rayons AG , DO , et les secteurs semblables ACB , 
D0£, sont comme les carrés de ces mêmes rayons.^ 

Car , puisque les arcs sont semblables , Tangle G est égal 
à l'angle 0*; or l'angle G est à quatre angles droits comme y^f'^^ 
Tare AB est à la circonférence entière décrite du rayon 
AG*, et l'angle est à quatre angles droits comme l'arc ^17, a. 
DE est à la circonférence décrite du rayon OD ; donc les 
arcs AB, DE, sont entre eux comme les circonférences 
dont ils font partie : ces circonférences sont comme les 
rayons AG , DO , donc are AB : arc DE :: AG : DO. 

Par la même raison les secteurs AGB , DOE, sont comme 
les cercles entiers, ceux-ci sont comme les carrés des 

rayons ; donc êect. AGB : sect. DOE :: AG : DO. 



PROPOSITION XII. 



THÉORÈME. 

L'aire du cercle eH égale au produit de sa circonfé- 
rence par la moitié du rayon. 

Désignons par surf. GA la surface du cercle dont le rayon 
est G A ; je dis qu'on aura 9Uff* GAs^GA x cire. G A. 

Garsi^ GA x cire, GA n'est pas l'aire du cercle dont GA fig> i;^- 
est le rayon , cette quantité sera la mesure d'un cercle plus 
grand ou plus petit. Supposons d'abord qu'elle est la me- 
sure d'un cercle plus grand , et soit , s'il est possible , \ GA 
X cire. Qk^êurf. GB. 

Au cercle dont le rayon est GA circonscrivez un polygone 
régulier DEFG, etc. , dont les côtés ne rencontrent pas la 
circonférence qui a GB pour rayon* ; la surface de ce po- * 10. 
lygone sera égale à «on contour DE + EF + FG + etc» 
multiplié parfAG* : mais le contour du pblygone et plus *7- 
grand que la circonférence inscrite , puisqu'il l'enveloppe 
de toutes parts ; donc la surface du polygone DEFG , etc. , 
est plus grande que^AG x cire. AG , qui , par hypothèse, 
est la mesure du cercle dont GB est le rayon ; donc le po- 
lygone serait plus grand que le cercle. Or au contraire il 
est plus petit , puisqu'il y est contenu; donc il est impos-. 







106 GÉoi«Taii. 

sible que j CA x cire. CA soit plus grand que surf. CA , 
ou , en d'autres termes , il est impossible que la circonfé- 
rence d*un cercle multipliée par la moitié de son rayon soit 
la mesure d'un cercle plus grand. 

Je dis en second lieu que le môme produit ne peut être 
la mesure d'un cercle plus petit ;.et, pour ne pas changer 
de figure , je supposerai qu'il s'agit du cercle dont GB est le 
rayon ; il faut donc prouver que 7 GB x eirc. GB ne peut 
être la mesure d'un cercle plus petit , par exemple , du cer- 
cle dont le rayon est GA. En effet, soit, s'il est possible, 
V GB X cirù. GB = êurf. GA. 

Ayant fait la même construction que ci-dessus , la surface 
du polygone DEFG , etc. , aura pour mesure (DE +EF + FG 
+etc. ) X 7 GA ; mais le contour DE + EF + FG + etc. , 
est moindre que cire. GB qui l'enveloppe de toutes parts; 
donc l'aire du polygone est moindre que ^ GA X cire, GB , 
et à plus forte raison moindre que ^ GB x cire. GB. Gette 
dernière quantité est , )mr hypothèse , la mesure du cercle 
dont G A est le rayon; donc le polygone «erait moindre qae 
le cercle inscrit , ce qui est absurde ; donc il est impossible 
que la circonférence d'un cercle , multipliée par la moitié 
de son rayon , soit la mesure d'un cercle plus petit. 

Donc enfin la circonférence d'un cercle n^ltipliée par la 
moitié de son rayon est la mesure de ce même cercle. 

fig. 168, Corollaire I. La surface d'un secteur est égale à l'arc de 
ce secteur multiplié par la moitié du rayon. 

Gar le secteur AGB est au cercle entier comme l'aro AMB 
* 17. 9. est à la circonférence entière ABD ou comme AMB x 
7 AC est à ABD x 7 AG. Mais le cercle entier =ABD x 7 AG; 
dond le secteur AGB a pour mesure AMB X 7 AG. 

Corollaire II. Appelons sr la circonférence dont le diamè- 
tre est l'unité ; puisque les circonférences sont comme les 
rayons ou comme les diamètres , on pourra faire cette pro- 
portion : le diamètre 1 est à sa circonférence t comme le 
diamètre âG A est à la circonférence qui a pour rayon GA ; 

fig. i65. de sorte qu'on apra 1 : :: 2GA : cire. G A ; donc cire. G A 
= X GA. Multipliant de part et d'autre par 7 GÀ, on 
aura 7 GA x cire. GAœt x GA, ou turf. GA=st. CA; 



LIVRE lY. 



107 



donc la surface d'un cercle eet égale au produit du carré de 
son rayon par le nomère constant qui représente la circon- 
férence dont le diamètre est \ ^ ou le rapport de la circonfé- 
rence au diamètre. 

Pareillement la surface du cercle qui a pour rayon OB 

sera égale à ir x OB ; or t x GA : x OB :: GA : OB; donc 
les surfaces des cercles sont entre elles comme les carrés de 
leurs rayons j ce qui s'accorde ayec le théorème précédent. 

Scholie. Nous avons déjà dit que le problème de la qua- 
drature du cercle consiste à trouver un carré égal en sur- 
face à un cercle dont le rayon est connu ; or on vient de 
prouver que le cercle est équivalent au rectangle fait sur la 
circonférence et lamoitîé du rayon , et ce rectangle se change 
en carré en prenant une moyenne proportionnelle entre ses 
deux dimensions'*' : ainsi le problème de la quadrature du * 
cercle se réduit à trouver la circonférence quand on connaît 
le rayon , et pour cela il suifit de connaître le rapport de la 
circonférence au rayon ou au diamètre. 

Jusqu'à présent on n*a pu déterminer ce rapport que d'une 
manière approchée ; mais l'approximation a été poussée si 
loin , que la connaissance du rapport exact n'aurait aucun 
avantage réel sur celle du rapport approché. Aussi cette 
question , qui a beaucoup occupé les géomètres lorsque les 
méthodes d'approximation étaient moins connues, est main- 
tenant reléguée parmi les questions oiseuses dont il n'est 
permis de s'occuper qu'à ceux qui ont à peine les premières 
notions de géométrie. 

Archimède a prouvé que le rapport de la circonférence 
au diamètre est compris entre 3^ et 3^ ; ainsi ^ ou ^ est 
une valeur déjà fort approchée du nombre que nous avons 
représenté par t , et cette première approximation est fort 
en usage à cause de sa simplicité. Métiue a trouvé pour le 
même nombre la valeur beaucoup plus approchée 77^. 
Enfin la valeur de développée jusqu'à un certain ordre 
de décimales, a été trouvée par d'autres calculateurs 
3,U15926535897982 , etc. , et on a eu la patience de pro- 
longer ces décimales jusqu'à la cent vingt-septième ou même 



108 



GtOMtTBlB. 



jusqu'à la cent-quarantième. Il est évident qu'une telle 
approximation équivaut à la vérité , et qu'on ne connaît pas 
mieux les racines des puissances imparfaites. 

On expliquera , dans les problèmes suivants , deux des 
méthodes élémentaires les plus simples pour obtenir ces ap- 
proximations. 

PROPOSITION XIII. 

PROBLÈMB. 

Étant données les surfaces d'un polygone résulter 
inscrit et d'un polygone semblable circonscrit, trouver 
les surfaces des polygones réguliers inscrit et circonscrit 
d'un nombre de côtés double. 

169. Soit AB le côté du polygone donné inscrit j £F parallèle 
à AB , celui du polygone semblable circonscrit^ G le centre 
du cercle; si on tire la corde AM et les tangentes AP, BQ, 
la corde AM sera le côté du polygone inscrit d'un nombre 
de côtés double ; et PQ double de PM sera celui du polygone 

* 6. semblable circonscrit *• Cela posé , comme la même con- 
struction aura lieu dans les différents angles égaux à ACM , 
il suffit de considérer l'angle ACM seul , et les triangles qai 
y sont contenus seront entre eux comme les polygones en- 
tiers. Soit A la surface du polygone inscrit dont AB est on 
côté, B la surface du polygone semblable circonscrit, A' la 
surface du polygone dont AM est un côté , B' la surface du 
polygone semblable circonscrit ; A et B sont connus , il s'agit 
de trouver A' et B'. 

1° Les triangles AGD , ACM, dont le sommet commun est 
A , sont entre eux comme leurs bases GD , GM ; d'ailleurs 
ces triangles sont comme les polygones A et A' dont ils fon^ 
partie; donc A 2 A' GD : GM. Les triangles GAM , GME, 
dont le sommet commun est M, sont entre eux comme leurs 
bases CA , CE ; ces mêmes triangles août comme les polygo-' 
nés A' et B dont ils font partie ; donc A' : B u Cl : GE. Mais 
à cause des parallèles ÂD , ME . on a CD : CM :: GA : CE ; 
donc A : A' 1: A' î B ; donc le ptilyguuc Â' , Tun de ceux que 



LIVRE IV. 



109 



Von cherche , est moyen proportionnel entre les deux poly- 



gones connus A et B , et on a par conséquent A' == \/A x B. 

2<> A cause de la hauteur commune CM , le triangle GPM 

est au triangle GP£ comme PM est à PEl , mais la ligne GP 

divisant en deux parties égales l'angle MGE , on a PM : ''17 

PE :: GM : GE :: GD : GA :; A : A' ; donc GPM : GPE :: A : A', 

et par suite , GPM : GPM + GPE , ou GME :: A : A + A'. 

Mais GMPA ou âGMP et GME sont entre eux comme les 

polygones B' et B dont ils font partie ; donc B' : B :: SA : 

A + A'. On a déjà déterminé A' ; cette nouvelle proportion 

ir^f . T>/ 2A X B , 
déterminera B , et on aura B =-t p ; donc , au moyen 

des polygones A, et B ^ il est facile de trouver les polygones 
A' et B' qui ont dei^x fois plus de côtés. 

PROPOSITION XIV. 

PROBLÈHB. . . < , . ' 

Trouver le rapport approché de la ctrconférehce au 
diamètre. 

Soit le rayon du cercle = 1 , le côté du carré inscrit sera 
y^^*9 celui du carré circonscrit sera égal au diamètre 2 ; * 3 
donc la surface du carré inscrit =S, et celle du carré 
circonscrits 4. Maintenant , si on fait A = â et B =4 , on 
trouvera par le problème précédent l'octogone inscrit A'= 

16 

^/ 8=2,8284271 , et l'octogone circonscrit B'=5 -75= 

À + yo 

3,31^7083. Gonnaissant ainsi les octogones inscrit et cir- 
conscrit , on trouvera par leur moyen les polygones d'un 
nombre de côtés double ; il faudra de nouveau supposer A 

=2,8284271, B = 8,81 37085, et on auraA'=i/ AxB 

= 3,0614674, et B'=||^^^=8,1828979. Ensuite cespo- 

lygones de 16 côtés serviront à connaître ceux de 82 ^ et on 
continuera ainsi jusqu'à ce que le calcul ne donne plus de 
différence entre les polygones inscrit et circonscrit, au 
moins dans l'ordre de décimales auquel on s'est arrêté , qui 



110 



GtOHiTRIB. 



est le septième dans cet ei^inaple. Arrivé à ce point , on con- 
clura que le cercle est égal au dernier résultat , car le cer- 
cle doit toujours être compris entre le polygone inscrit et le 
polygone circonscrit; donc si ceux-ci ne diffèrent point 
entre eux jusqu'à un certain ordre de décimales , le cercle 
n'en différera pas non plus jusqu'au mèoÈe ordre. 

Voici le calcul de ces polygones prolongé jusqu'à ce qu'ils 
ne diffèrent plus dans le septième ordre de décimales. 



Nombre des côtés. Polygone innerit. Poljgene circonscrit. 

4 2,0000000 ...... 4,0000000 

8 2,8284271 ...... S,S137085 

16 8,0614674 8,1825979 

32 8,1214431 8,1517249 

64 8,1865485 8,1441184 

128 8,1403811 8,1422286 

256 8,1412772 3,1417504 

512 8,1415188 3,1416321 

1024 3,1415729 8,1416025 

2048 3,1415877 3,1415951 

4096 3,1415914 8,1415933 

8192 ...... 8,1415923 8,1415928 

16384 3,1415925 3,1415927 

32768 ...... 8,1415926 8,1415926 

De là je conclus que la surface du cercle sr=3,14 15926. 
On pourrait avoir du doute sur la dernière décimale à cause 
des erreurs qui viennent des parties négligées ; mais le calcul 
a été fait avec une décimale de plus, pour être sûr du résul- 
tat que nous venons de trouver jusque dans la dernière dé- 
cimale. 

Puisque la surface du cerde est égale à la demi-circonfé- 
rence multipliée par le rayon , le rayon étant 1 , la demi- 
circonféreni^ est 8, 1415926 ; ou bien le diamètre étant 1 , 
la circonféreB<ee est 8^1415926 ; donc le rapport de la cir- 
conférence au diamètre désigné ci-dessua par 7=3, 1415926 . 



UVRE IV. 111 



PROPOSITION XV. 



I.EMHB. 



Le triangle CÂB eet équivalent au triangle ieoscèleDCE^ fig' 170. 
qui a le même angle G , et dont le côté GE égal à GD eet moyen 
proportionnel entre G A et GB. De plue, H V angle CAB eet 
droit, la perpendiculaire GF àbaiseée sur la haee du triangle 
ieoêcèle , sera moyenne proportionnelle entre le côté CA et la 
demi-somme des côtés GA, GB. 

Car, 1» à cause de l'angle commun G, lê triangle ABG est au triangle 

isoscèle UGE comme AG X GB est à DGX G£, ou DG*; donc ces irian- * a4, 3. 

gles seront équivalents, si DG== AG X GB, ou si BG est moyenne pro- 
portionnelle entre AG et CB. 

2** La perpendiculaire GGF coupant en deux parties égales l'angle 
AGB, on a* AG : GB :: AG î GB, d'où résulte, componendo, AG : AG + GB * 17, 3, 
ou AB :: AG : AG -|- GB ; mais AG est à AB comme le triangle AGG est 
au triangle AGB ou 2GDF; d'ailleurs, si l'angle A est droit, les triangles 
rectangles AGG, GBF, seront semblables, et donneront AGG : GBF :: 

AC'CF'donc, 

ÏG*: 2Cf':: AG :AC + GB. 

Multipliant le second rapport par AG, les antécédents deviendront égaux, 

et on aura par conséquent 2GF=AG X (AG + CB), ou GF = AC X 
^AG I CB ^ 

( — X j ; donc 2^ si l'angle A est droit , la perpendiculaire GF sera 

moyenne proportionnelle entre le côté AG et la demi*«omme des côtés 
AG, GB. 

PROPOSITION XVL 

PROBLÈME. 

Trouver un cercle qui difflre aussi peu qu'on voudra d'un 
polygone régulier donné. 

Soit proposé , par exemple f le carré BMNP ; abaissez du centre G la ^g* 17'* 
« perpendiculaire GA sur le côté MB , et joignez GB. 

Le cercle décrit du rayon GA est inscrit dans le carré , et le cercle 
décrit du rayon GB est .circonscrit à ce même carré ; le premier sera 
plus petit que le carre, le second sera plus grand; mais il s'agit de 
resserrer ces limites. 

Prenez GD et G£ égales chacune à la moyenne proportionnelle entre 



/ 



112 



GiOVtTBIE. 



i5. 



CA. et GB f et joignes EB ; le triangle uoscèle GB£ sera équivalent au 
triangle CAB*; faites de même pour chacun des huit triangles qui com- 
posent le carré, tous formeres ainsi un octogone régulier équivalent 
au carré BMNP. Le cercle décrit du rayon GF , moyen proportionnel 

entre GA et ^^"j"^^-» sera inscrit dans l'octogone f et le cercle décrit 
2 

du rayon GD lui sera circonscrit. Ainsi le premier sera plus petit que le 
carré donné et le second plus grande 

Si on change de la même manière le triauf^le rectuigle GDF en un 
triangle isoscèle équivalent , on formera par ce moyen un polygone ré- 
gulier de seize côtés , équivalent au carré proposé, he cercle inscrit 
dans ce polygone sera plus petit que le carré, et le cercle circonscrit 
sera plus grand. 

On peut continuer ainsi jusqu'à ee que le rapport entre lé rayon du 
cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit diffère aussi peu qu'on 
voudra de l'égalité. Alors l'un et l'autre cercle pourront être regardés 
comme équivalents au carré proposé. 

Scholie. Yoici à quoi se réduit la recherche des rayons successifs . 
Soit a le rayon du cer(^e inscrit dans l'un des polygones trouvés , ( le 
rayon du cercle circonscrit au même polygone ^ soient a' et V les rayons 
semblables pour lé polygone suivant qui a un nombre de côtés double. 
Suivant' ce que nous avons démontré , h' est une moyenne proportion- 
neille entra a et h, et a' est une moyenne proportionnelle entre a 

et dé sorte qu'on aura V^Vay^h, et 0'= 

donc les rayons a et d'un polygone étant connus , on en conclut faci- 
lement les rayons a* et V du polygone suivant : et on continuera ainsi 
jusqu'à ce que la différence entre les deux rayons soit devenue insen- 
sible \ alors l'un ou l'autre de ces rayons sera le rayon du cercle équi- 
valent au carré ou au polygone proposé. 

Gette méthode est facile à pratiquer en lignes , puisque elle se réduit 
à trouver des moyennes proportionnelles successives entre des lignes 
connues ^ mais elle réussit encore mieux en nombres , et c'est une des 
plus commodes que la géométrie élémentaire puisse fournir pour trou- 
ver promptement le rapport approché de la circonférence au diamètre. 
Soit le côté du carré = 2 , le premier rayon inscrit GA sera 1 , et .le 
premier rayon circonscrit GB sera ^2 ou 1,4142136. Faisant donc 
0=1 , 6 = 1,4142136, on trouvera 6'= 1, 1892071 , et 0' = 1,0986841. 
Ges nombres serviront à calculer les suivants d'après la loi de conti- 
nuation. 

Voici le résultat du calcul fait jusqu'à sept ou huit chiffres par les 
tables de logarithmes ordinaires. 



UVRB IV. lis 

Rayons des cercles circoBscrils. Rayons des cercles inscrits. 

1,4142136 1,0000000. 

1,1892071 1,0986841. 

1,1430500 1,1210863. 

1,1320149 1,1265639. 

1,1292862 1,1279257. 

1,1286063 1,1282667. 

t 

Maintenant que la première moitié des chiffres est la même des deux 
côtés , on pourra, au lieu des moyens géométriques, prendre les moyens 
arithmétiques , qui n'en diffèrent que dans les décimales ultérieures. 
De cette manière Topération s'ahrége beaucoup , et les résultats sont : 

1,1284360 1,1283508. 

1,1283934 1,1283721. 

1,1283827 1,1283774. 

1,1283801 1,1283787. 

1,1283794 1,1283791. 

1,1283792 1,1283792. 

Donc 1,1283792 est A très peu près le rayon du cercle égal en surface 
au carré dont le côté est 2. De là il est facile de trouver le rapport dfi 
la circonférence au diamètre : car on a démontré -que la surface du cercle 
est égale au carré de son rayon multiplié par le nombre c; donc, si on 
dÎTise la surface 4 par le carré de 1,1283792, on aura la valeur de «r, 
qui se trouve par ce calcul de 3,1415926, etc., comme on Ta trouvée 
par une autre méthode. 



APPENDICE AU LIVRE IV. 

DÉFIIflTlONS. 

I. On appelle maximum la quantité la plus grande entre toutes celles 
de la même espèce ; minimum la plus petite. 

Ainsi le diamètre du cercle est un maximum enlre toutes les lignes 
qui joignent deux points de la circonférence , et la perpendiculaire est 
un minimum entre toutes les droites menées d'un point donné à une 
* ligne donnée. 

n. On appelle figures isopérimHres celles qui ont des périmètres 
égaux. 



8 



114 



OtOHtTK». 



PROPOSITION PREMIÈRE. 

THiORtME. 

Entre ioue lee trianglee de même haee et de même périmètre, 
/| triangle maximum eet celui dane lequel lee déux côtée non 
déterminée eont égaux. 
fig. 17s. Soit AC = GB, et AM4-MB = AG4-GB; je dis que le triangle iso- 
scèle AGB est plus grand que le triangle AMB qui a même base et même . 
périmètre. 

Du point G , comme centre , et du rayon GA = GB , décrivez une cir- 
conférence qui rencontre CA prolongé en B; joignez DB; et l'angle DBA, 
i5| s. inscrit dans le demi-cercle, sera un angle droit*. Prolongez la perpen- 
diculaire DB Ters N, faites MN=:MB, et joignez AN. Enfin des points 
M et G abaissez HP et GG , perpendiculaires sur DN. Puisque GB=GD et 
MN=: MB, on a AG+ GB=:AD, et AM + MB = AM -f HN. Mais 
AG-f GB = AM4.MB; donc AD = AM -f MN ; donc AD>AN:or si 
l'oblique AD est plus grande que l'oblique AN , elle doit être plus 
éloignée de la perpendiculaire AB; donc DB^BN; donc BG, qui est 

* la» I. moitié de BD *, sera plus grande que BP moitié de BN. Mais les triangles 

ABC, ABM, qui ont même base AB , sont entre eux comme leurs hau- 
teurs BG , BP ; donc , puisqu'on a BG ^ BP , le triangle isoscèle ABC 
est plus grand que le non-isoscèle ABM de même base et de même pérî- 
/ mètre. 

PROPOSITION II. 

THtORÈMB. 

Entre toue leepolggonee ieopérimètree et d'un même nombre 
de côtée y celui qui eet un maximum a eee côtée égaux. 

fig. 173. Gar soit ABGD£F le polygone mtixifniMH f si le côté BG n'est pas égal 
à GD , faites sur la base BD un triangle isoscèle BOD qui soit isopéri- 

* pr. I. mètre à BGD, le triangle BOD sera plus grand que BCD*, et par con- 

séquent le polygone ABODEF sera plus grand que ABGDËF ; donc ce 
dernier ne serait pas le maximum entre tous ceux qui ont le même 
périmètre et le même nombre de côtés, ce qui est contre la supposition. 
On doit donc avoir BG=GD : on aura par la même raison GD=D£ , 
D£=:£F, etc.; donc tous les côtés du polygone maximum sont égaux 
entre eux. 



LIYBE IT. 



115 



PROPOSITION III. 

TfliORÈMB. 

De tou9 les triangles formés avec deux côtés donnés faisant 
entre eux un angle h volonté ^ le maxiraam est celui dans U' 
quel les deux côtés donnés font un angle droit* 

Soient les deux triang^les BAC , BAD , qui ont le côté AB commun , et fig* 174* 
le côté AG=AD ; si l'angle BAC est droit, je dis que le triangle BAC 
sera plus grand que le triangle BAB , dans lequel Tangle en A est aigu 
ou obtus. 

Car la base AB étant la même , les deux triangles BAC , BAB , sont 
comme les hauteurs AG , D£ : mais la perpendiculaire B£ est plus 
courte que l'oblique AB ou son égale AG ; donc le triangle BAD est 
plus petit que BAC. 

PROPOSITION IV. 

THiORÈlS. 

De tous les polygones formés avec des côtés donnés et un 
dernier à volonté, le maxiraam doit être tel que tous ses angles 
soient inscrits dans une demi-circonfirence dont le côté in* 
connu sera le diamètre. 

Soit ABGBEF le plu» grand des polygones formés avec les côtés don- %. 175. 
nés AB, BG, GB, DE, £F, et un dernier AF à volonté ; tirez les diagonales 
AD, DF. Si Tangle ADF n'était pas droit , on pourrait , en conserrant les 
parties ABGD, DEF, telles qu'elles sont, augmenter le triangle ADF, 
et par conséquent le polygone entier , en rendant l'angle ADF droit , 
conformément à la proposition précédente ; mais ce polygone ne peut 
plus être augmenté , puisqu'il est supposé parvenu à son maximum ; 
donc l'angle ADF est déjà un angle droit. Il en est de même des angles 
ABF, ACF, AEF ; donc tous les angles A, B, G, D, E, F, du polygone 
maximum sont inscrits dans une demi-circonférence dont le côté indé- 
terminé AF est le diamètre. 

Seholie, Cette proposition donne lieu à une question ; savoir , s'il y 
a plusieurs lâanières de 'former un polygone avec des côtés donnés , et 
un dernier inconnu qui sera le diamètre de la demi-circonférence dans 
laquelle les autres côtés sont inscrits. Avant de décider cette question, 
il faut obserrer que si une même corde AB sous-tend des arcs décrits 
de différents rayons AC, AD, l'angle au centre appuyé sur cette corde fig- 176. 
sera le plus petit dans le cercle dont le rayon est le plus grand ; ainsi 
ACB < ADB. En effet l'angle ADO = ACD + CAD * j donc ACD < ADO , * 37, i. 
et en doublant de part<et d'autre on aura ACB <^ ADB. 



116 



GtOMtTBII. 



PROPOSITION V- 

THtORtU. 

Il n'y a qu'une manâre de former le polygone ABCDEF , 
avec deê côtés donnée et un dernier inconnu qui eoit le diamè- 
tre de la demi'drcenférence dans laquelle lee autree côtés sont 
inscrits. 

fig* 175. tCar , lupposons qu'on a trouTé un cercle qui satisfasse à la question ; 
si on prend un cercle plus grand, les cordes ÂB, BG, CD, etc., répon- 
dront à des angles au centre plus petits. La somme de ces angles au 
centre sera dono moindre que deux angles droits ; ainsi les extrémités 
des côtés donnés n'aboutiront plus aux extrémités d'un diamètre. L'in- 
convénient contraire aura lieu si on prend un cercle plus petit ; donc 
le polygone dont il s'agit ne peut être inscrit que dans un seul cercle. 

Scholie. On peut changer à Yolonté l'ordre des côtés AB, BG, CD, etc., 
et le diamètre du cercle circonscrit sera toiyours le même , ainsi que 
la surface du polygone ; car, quel que soit l'ordre des arcs AB,BG, etc., 
il suflSt que leur somme fasse la demi-circonférence, et le polygone 
aura toujours la même surface, puisqu'il sera égal au demi-cercle 
moins les segmens AB, BG , etc., dont la somme est toi]jours la même. 

PROPOSITION VI. 

THtOltMB. 

De tous les polygones formés avec des côtés donnés , le 
maximam est celui qu'on peut inscrire dans un cercle. 
^g- i??* Soit ABGDEFG le polygone inscrit, et àbcdefy le non-imicriptible 
formé avec des côtés égaux, en sorte qu'on ait AB=afr,BG=frc,etc.; 
je dis que le polygone inscrit est plus grand que l'autre. 

Tires le diamètre £M ; joignez AH , MB ; sur 06 = AB faites le triangle 
abm égal é ABM , et joignes em. 

En vertu de la proposition IV, le polygone EFGAH est plus grand que 
efyam , à moins que celui-ci ne puisse être pareillement inscrit dans 
une demi-circonférence dont le côté em serait le diamètre , auquel cas 
les deux polygones seraient égaux en vertu de la proposition V. Par la 
même raison le polygone EDGBH est plus grand que edcbm, sauf la mqpe 
exception où il y aurait égalité. Donc le polygone entier EFGAMBGDE 
est. plus grand que efgambcde, à moins qu'ils ne soient entièrement 
égaux: mais ils ne le sont pas , puisque l'un est inscrit dans le cercle, 
et l'autre est supposé non^inscriptible j donc le polygone inscrit est le 
plus grand. Retranchant de part et d'autre les triangles égaux ABM, 
abm, il restera le polygone inscrU ABGDEFG plus grand que le non- 
insoriptible àbcdefy. 



LIVRE IV. 



Scholie, On démontrera , comme dans la proposition V, qu'il ne peut 
y avoir qu'un seul cercle, et par conséquent qu'un seul polygone 
maximum qui satisfasse à la question ; et ce polygone serait encore 
de même surface , de quelque manière qu'on changeât l'ordre de ses 
côtés. 

PROPOSITION VII. 

THtOlÈHB. 

Le polygone réguUer est un maximum entre tous lee poly- 
gones ieopêrimètreê et d'un même nombre de côtés. 

Car, suivant le théorème II, le polygone maximum a tous ses côtés 
égaux; et, suivant le théorème précédent, il est inscriptible dans lis 
cercle; donc ce polygone est régulier. 

PROPOSITION VIII. 

LIKKB. 

Deux angles au centre , mesurés dans deux cercles dtffé- 
rente, sont entre eux comme les arcs compris divisés par leurs 
rayons % 

AB DEé 
Ainsi l'angle G est à l'angle comme lé rapport ^ est au rapport 6g. 178. 

D'un rayon OF égal à AG décrivez l'arc FG compris entre les côtés 
OD, 0£, prolongés; à cause des rayons égaux AG, OF, on aura d^abord 
f^Y^ FG 

C : :: AB : FG * , ou :: ^ ^pQ* ^^'c ^ cause des arcs semblables FG, * 17. 

FG 

SE , on a * FG : DE :: FO : DO ; donc le rapport — est égal au rapport * i ^ 
^ , et on a par conséquent ^ • " ^ ' gô' 



PROPOSITION IX, 

THÉORÈXB* 

De dev^ polygones réguliers isopérimktres , celui quia le 
plus grand nombre de côtés est le plus grand. 

Soit DE le demi-côté de l'un des polygones, son centre, 0£ son fig< 179. 
apothème ; soit AB le demi-côté de l'autre polygone , G son centre , 
€B son apothème. On suppose les centres et G situés à une distance 
quelconque OG, et les apothèmes, 0£, GB, dans la direction OG : 
ainsi DOE et AGB seront les demi-angles au centre dés polygones , et 
cfimme ces angles ne sont pas égaux, les lignes GA, OD, prolongées, 
se rencontreront en un point F ; de ce point abaisses sur OG.la perp'tn- 



118 



GiOHiTlIB. 



dicuhdre F6; def points et G, oomme centres, décrivex les ares 
GI, GH, terminés aux côtés OF, CF. 

GI GH 

Cela posé, on aura par le lemme précédent ® • ^ Qg* qqî ®^ 
est au périmètre du premier polygone comme l'angle est à quatre 
angles droits , et AB est au périmètre du second conune l'angle G est à 
quatre angles droits ; donc , puisque les périmètres des polygones sont 

GI m 

égaux, DE : AB :: : G, ouDE : AD :: : t;--. Multipliant les antécédente 

par OG et les conséquente par GG, on aura DE X OG : AS X GG :: GI : GH. 
Mais les triangles semblables ODE , OFG, donnent 0£ : OG ::D£:FG, 
d'où résulte DE X OG = 0£ X FG ; on aura de même AB X CG=: GB X FG ; 
doncOExFG:GBxFG::GI:GH, ou OE : GB :: Gf : GH. Si donc on fait 
Toir que l'arc GI est plus grand que l'arc GH , il s'en suivra que l'apo- 
tbème OE est plus grand que GB. 

De l'autre côté de GF soit faite la figure CSix entièrement égale à 
la figure GG^;, de sorte qu'on aitGK = GG, l'angle HGK=HGG, et 
l'arc Kr = â7G,la courbe KxGi enveloppera l'ac KHG, et sera plus 
* 9> grande que cet arc *. Donc Gtx > moitié de la courbe , est plus grande 
que GH moitié de l'arc ; donc , à plus forte raison , GI est plus faraud 
que GH. 

Il résulte de là que l'apothème OE est plus grand que GB : mais les 
deux polygones ayant même périmètre sont entre eux conune leurs 
' 7* apothèmes donc le polygone qui a pour demi-côté DE est plus iprand 
que celui qui a pour demi-côté AB : le premier a le plus de côtés , 
puisque son angle au centre est le plus petit ; donc de deux polygones 
réguliers isopérimètres , celui qui a le plus de côtés est le plus grand. 

PROPOSITION X. 

^ THtOBÈHB. 

i8o. Le cercle est plus grand que tout polygone isopérimètre. 

Il est déjà prouvé que de tous les polygones isopérimètres et d'un 
même nombre de côtés le polygone régulier est le plus grand ; ainsi il 
ne s'agit plus que de comparer le cercle à un polygone régulier quel- 
conque isopérimètre. Soit Al le demi-côté de ce polygone, G son 
centre. Soit dans le cercle isopérimètre l'angle DOE=AGI, etconsé- 
quemroent l'arc DE égal au demi-côté AI. Le polygone P est au cercle 
G comme le triangle AGI est au secteur ODE; ainsi on auraP : G:: |AI 
XGl:iDExO£::GI:OE. Soit menée au pQÎnt E la tangente £G qui 
rencontre OD prolongé en G; les triangles semblables AGI, GOE, don- 
neront la proportion GI : OE :: AI ou DE : GE ; donc P : G :: DE : GE , ou 
comme DE X ^ OE qui est la mesure du secteur DOE est à GE Xi OE 
qui est la mesure du triangle GOE : or le secteur est plus petit que le 
triangle ; donc P est plus petit que G, donc le cercle est plus grand-que 
tout polygone isopérimètre. ^ 



AAA VV1AAAVV\ VVV/VV\VV\'VV\VVVVV\AAAAV\V%AVV%V\A'VV\ VVV^^ 



LIVRE V. 



LES PLANS ËT LES ANGLES SOLIDES. 

DÈFlNITlOIfS. 

L Une ligne droite est perpendiculaire a un plan , lors- 
qu'elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent 
par son pied dans le plan Réciproquement le plan est 'pr. 4. 
perpendiculaire à la ligne. 

Le pied de la perpendiculaire est le point où cette ligne 
rencontre le plan. 

IL Une ligne est pallalèle à un plan, lorsqu'elle ne peut 
le rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge l'un et 
l'autre. B.ëciproquement le plan est parallèle à la ligne. 

III. Deux plane eont parallèles entre eux , lorsqu'ils ne 
peuvent se rencontrer à quelque distance qu'on les pro- 
longe l'un et l'autre. 

IV. Il sera démontré* que l'intersection commune de *pr. 3, 
deux plans qui se rencontrent est une ligne droite : cela 
poséi r angle ou Vinelinaieon mutuelle de deux plans est la 
quantité plus ou moins grande dont ils sont écartés l'un de 
l'autre; cette quantité se mesure^ par l'angle que font * pr. 7. 
entre elles les deux perpendiculaires menées dans chacun 

de ces plans au même point de l'intersection commune. 

Cet angle peut être aigu , droit, ou obtus. 

y. S'il est droit, les deux^Zan^ sont perpendiculaires 
entre eux. 

YI. Angle solide est Tespace angulaire compris entre plu- 
sieurs plans qui se réunissent en un même point. 

Ainsi l'angle solide S est formé par la réunion des plans fig. 199 
ASB, BSC,CSB,DSA. 

Il faut au mollft trois plans pour former un angle solide. 



GiOKftTIIS. 



PROPOSITION PREMIÈRE. 

THtORiU. 

Une ligne droite ne peut être en partie dans un plan , 
en partie au dehors. 

Car, suivant la définition du plan, dès qu'une ligne droite 
a deux points communs avec un plan , elle est tout entière 
dans ce plan. 

Scholîe. Pour reconnaître si une surface est plane , il faut 
appliquer une ligne droite en différents sens sur cette sur- 
face^ et Toir si elle touche la surface dans toute son 
étendue. 

PROPOSITION U. 

% 

THiORtME. 

Deux lignes droites qui se coupent sont dans un même 
plan j et en déterminent la position, 

/ig. i8i. Soient AB , AG, deux lignes droites qui se coupent en 
À : on peut concevoir un plan où se trouve la ligne droite 
AB; si ensuite on fait tourner ce plan autour de AB, jus- 
qu'à ce qu'il passe par le point G, alors la ligne AG, qui a 
deux de ses points A et G dans ce plan, j sera tout entière^ 
donc la position de ce plan est déterminée par la seule con- 
dition de renfermer les deux droites AB , AG. 

Corollaire I. Un triangle ABG , ou trois points A, B , G , 
non en ligne droite, déterminent la position d'un plan. 

fig. ï8a. Corollaire IL Donc aussi deux parallèles AB, GD, dé- 
terminent la position d'un plan ; car si on mène la sécante 
EF, le plan des deux droites AE, EF, sera celui des pa- 
rallèles AB, CD. 

PROPOSITION m. 

THÊORiME. 

Si deux plans se coupent^ leur intersection commune 
sera une ligne droite. 
Gar, si dans les points communs aux jftsux plans on en 



LIVHI V. 



121 



trouTait trois qui ne fassent pas en li^e droite , les deux 
plans dont il sîagit, passant chacun par ces trois points , ne 
feraient qu*un seul et même plan * , ce qui est contre la * i. 
supposition. . 

PROPOSITION IV. 

THÉORtKE. 

Si une ligne droite liP est perpendiculaire à deux au- fig. iSS. 
très PB , PC , qui se croisent à son pied dans le plan MN , 
elle sera perpendiculaire à une droite quelconque PQ 
menée par son pied dans le même plan y et ainsi elle sera 
perpendiculaire au plan MN. 

Par un point Q , pris à volonté sur PQ, tirez la droite ' 
BC dans l'angle BPC , de manière que BQs=QC* , joigne» " 
AB, AQ, AC. 

La base BC étant divisée en deux parties égales au point 
Q , le triangle BPC donnera * , * i4> 3- 

PG'+râ=2PQ + 2QC. 
Le triangle BAC donnera pareillement , 

ÏC + Âb'=2ÂQ + 2QC! 

Retranchant la première égalité de la seconde , et obser- 
Tant que les triangles APC , APB, tous deux rectangles en 

P , donnent ÂC ~ PC ="ÂP , et AB — PB = AP"; on aura , 

AP+ AP=2AQ— 2PqV 

Donc , en prenant les moitiés de part et d'autre , on a 

AP"=ÂQ— ou ÂQ==ÂP'+ PQ, donc le triangle 
APQ est rectangle en P* ; donc AP est perpendiculaire à PQ. • i3, 3. 

SchoUe. On voit par là , non seulement qu'il est possible 
qu'une ligne droite soit perpendiculaire à toutes celles qui 
passent par son pied dans un plan , mais que cela arrive 
toutes les fois que cette ligne est perpendiculaire à deux 
droites menées dans le plan ; c'est ce qui démontre la légi- 
timité de la définition I. 



ISS 



etOHtTlIB. 



Corollaire I. La perpendiculaire AP est plos courte 
qu*nne oblique quelconque AQ ; donc elle mesure la yraie 
distance du point A au plan PQ. 

Corollaire IL Par un point P donné sur un plan , on ne 
peut élever qu'une seule perpendiculaire a ce plan ; car si 
on pouvait élever deux perpendiculaires par le même point 
P , conduisez , suivant ces deux perpendiculaires , un plan 
dont Vintersection avec le plan MN soit PQ ; alors les deux 
perpendiculaires dont il s'agit seraient perpendiculaires à 
la Ugne PQ , au même point et dans le même plan , ce qui 
est impossible. 

Il est pareillement impossible d'abaisser d'un point donné 
hors d,*un plan deux perpendiculaires a ce plan , car soient 
AP, AQ, ces deux perpendiculaires , alors le triangle APQ 
aurait deux angles droits APQ, AQP, ce qui est impossible. 

PROPOSITION V. 

THiORtMB. 

Les obliques également éloignées de la perpendiculaire 
sont égales ; et , de deux obliques inégalement éloignées 
de la perpendiculaire, celle qui s'en éloigne le plus est 
la plus longue. 

184. Car les angles APB , APC , APD étant droits , si on sup- 
pose les distances PB , PC , PD , égales entre elles , le» 
triangles APB , APC , APD , auront un angle égal compris 
entre côtés égaux ; donc ils seront égaux ; donc les hypo- 
ténuses ou les obliques AB , AC , AD , «seront égales entre 
elles. Pareillement, si la distance PB est plus grande que 
PD ou son égale PB , il est clair que l'oblique AË sera plus 
grande que AB , ou son égale AD. 

Corollaire, Toutes les obliques égales AB, AG, AD, etc., 
aboutissent S la circonférence 6CD , décrite du pied de la 
perpendiculaire P comme centre ; donc étant donné un 
poiîit A hors d'un plan , si on veut trouver sur ce plan le 
point P où tomberait la perpendiculaire abaissée de A , il 
faut marquer sur ce plan trois points B , G , D , également 



uvai V. 128 

éloignés du poiat A, et chercher ensuite le centre du 
cercle qui passe par ces points ; ce centre sera le point 
cherché P. 

Scholte» L'angle ABP est ce qu'on appelle Vinclinaison de 
V oblique AB eur le plan MN ; on voit que cette inclinaison 
est égale pour toutes les obliques AB, AG, AD, etc., qui 
s'écartent également de la perpendiculaire; car tous les 
triangles ABP, AGP, ADP, etc., sont égaux entre eux. 

PROPOSITION VI. 

THÉORftn. 

Soit AP une perpendiculaire au plan MN et BG une fig- i85. 
ligne située dam ce plan ; si du pied P de la perpendi- 
culaire on abaisse PD perpendiculaire sur BC , et qtûon 
joigne AD, je dis que AD sera perpendiculaire à BC. 

Prenez DB=DG, et joignez PB, PG, AB, AC : puisque 
DB=DC, l'oblique PB = PG; et par rapport à la perpen- 
diculaire AP, puisque PB=PG, l'oblique AB=AC*;'5. 
donc la ligne AD a deux de ses points A et D également 
distants des extrémités B et G ; donc AD est perpendiculaire 
sur le milieu de BG. 

CaroUaire. On voit en même temps que BG est perpen- 
diculaire au plan APD, puisque BG est perpendiculaire 
à la fois aux deux droites AD , PD. 

Seholie. Les deux lignes AË, BG, offrent l'exemple de 
deux lignes qui ne se rencontrent point, parce qu'elles 
ne sont pas situées dans un même plan. La plus courte 
distance de ces lignes est la droite PD , qui est à la fois 
perpendiculaire à la ligne AP et à la ligne BG. La distance 
PD est la plus courte entre ces deux lignes ; car si on joint 
deux autres points , comme A et B , on aura AB ^ AD , 
AD > PD ; donc , à plus forte raison , AB > PD. 

Les deux lignes A£ , GB , quoique non situées dans un 
même plan , sont censées faire entre elles un angle droit , 
parce que AD et la parallèle menée par un de ses points 
à la ligne BG feraient entre elles un angle droit. De même 
la ligne AB et la ligne PD , qui représentent deux droites 



OÉOHtTllI. 



quelconques non situées dans le même plan , sont censées 
faire entre elles le même angle que ferait avec AB la pa- 
rallèle à PD menée par un des points de AB. 

PROPOSITION VII. 

THiORÈHE. 

fig. i8& Si la ligne AP est perpendiculaire au plan MN , 
toute ligne DE parallèle à AP sera perpendiculaire au 
même plan. 

Suivant les parallèles AP , DE , conduisez un plan dont 
rintersection avec le plan MN sera PD ; dans le plan MN 
menez BG perpendiculaire à PD, et joignez AD. 

Suivant le corollaire du théorème précédent , BG est per- 
pendiculaire au plan APDE ; donc l'angle BDË est droit : 
mais l'angle ËDP est droit aussi , puisque AP est perpendi- 
culaire à PD , et que DE est parallèle à AP ; donc la ligne 
DE est perpendiculaire aux deux droites DP , DB ; donc 
elle est perpendiculaire à leur plan MN. 

Corollaire I. Réciproquement si les droites AP , DE sont 
perpendiculaires au même plan MN, elles seront parallèles ; 
car si elles ne l'étaient pas , conduisez par le point D une 
parallèle à AP, cette parallèle sera perpendiculaire au 
plan MN; donc on pourrait, par un même point D , élever 
deux perpendiculaires à un même plan, ce qui est impos- 
• 4* Bible *. 

Corollaire IL Deux lignes A et B , parallèles à une troi- 
sième G , sont parallèles entre elles ; car imaginez un plan 
perpendiculaire à la ligne G , les lignes A et B , parallèles a 
cette perpendiculaire, seront perpendiculaires au même 
plan; donc, par le corollaire précédent , elles seront paral- 
lèles entre elles. 

Il est entendu que les trois lignes ne sont pas dans le 
a5, 1. même plan, sans quoi la proposition serait déjà connue 



LITBE y. 



125 



PROPOSITION VIIL 

THtORÈBS. 

St ia ligne AB est parallèle à une droite CD menée fi;. 187. 
dans le plan MN , elle sera parallèle à ce plan. 

Car si la ligne AB , qai est dans le plan ABGD , rencon- 
trait le plan MN , ce ne pourrait être qu'en quelque point 
de la ligne CD , intersection commune des deux plans : or, 
AB ne peut rencontrer CD , puisqu'elle lui est parallèle ; 
donc elle ne rencontrera pas non plus le plan MN ; donc 
elle est parallèle à ce plan * déf. %, 

PROPOSITION IX. 

THiOlÈHB. 

Deux plans 'iSS ^ PQ, perpendiculaires à une même fig. 188. 
droite AB, sont parallèles entre eux. 

Car s'ils se rencontraient quelque part, soit un de 
leurs points communs , et joignez OA , OB ; la ligne AB , 
perpendiculaire au planMN, est perpendiculaire à la droite 
OA menée par son pied dans ce plan ; par la même raison 
AB est perpendiculaire à BO; donc OA et OB seraient 
deux perpendiculaires abaissées du même point sur la 
même ligne droite , ce qui est impossible ; donc les plans 
MN , PQ , ne peuyent se rencontrer ; donc ils sont paral- 
lèles. 

PROPOSITION X. 

THÉORÈHI. 

Les intersections £F, GH, de deux plans parallèles fig. 189. 
MN , PQ , par un troisième plan FG , sont parallèles. 

€ar si les lignes EF, GH , situées dans un même plan , 
ne sont pas parallèles, prolongées elles se rencontreront; 
donc les plans MN , PQ , dans lesquels elles sont , se ren- 
contreraient aussi ; donc ils ne seraient pas parallèles. 



126 



PROPOSITION XI. 

fig. 1^8. La ligne AB , perpendiculatre au plan MN , est per- 
pendtculatre au plan VQ^ parallèle à Mil, 

Ayant tiré à volonté la ligne BG dans le plan PQ , suivant 
AB et BG , conduisez un plan ABC dont l'intersection avec 

* 10. le plan MN soit AD, l'intersection AD sera parallèle à BG"*" ; 

mais la ligne AB perpendiculaire au plan MN est perpen- 
diculaire à la droite AD; donc elle sera aussi perpendicu- 
laire à sa parallèle BG ; et puisque la ligne AB est perpen* 
diculaire à toute ligne BG menée par son pied dans le plan 
PQ, il s'ensuit qu'elle est perpendiculaire au plan PQ* 

PROPOSITION XII. 

THiORftHI* 

fis. 189. Les parallèles EG , FH, comprises entre deux plans 
parallèles MN, PQ, sont idoles. 

Par les parallèles EG, FH, faites passer le plan EGHF, 
qui rencontrera les plans parallèles suivant EF et GH. Les 

* io* intersections EF , GH , sont parallèles entre elles* , ainsi 

que EG, FH; donc la figure EGHF est un parallélo- 
gramme; donc EG = FH. 

Corollaire, Il suit de là que deux plans parallèles sont 
partout à égale distance; car si EG et FH sont perpendicu- 
laires aux deux plans MN , PQ , elles seront parallèles entre 
* 7. elles*; donc elles sont égales. 

PROPOSITION XIII. 

THÉORÈIU. 

-H» 190- Si deux angles CAE, DBF, non situées dans le même 
plan, ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le même 
senSf ces angles seront égaux et leurs plans seront parai- 
lèles. 

Prenez AGssBD, AEs=BF, et joignez GE, DF, AB , 



LIVIB y. 



CD , £F. Puisque AG est égale et parallèle à BD, la figure 
ABDC est lin parallélogramme*; donc CD est égale et * n. 
parallèle à AB. Par une raison semblable £F est égale et 
parallèle a AB ; donc aussi CD est égale et parallèle à £F, 
la figure CËFD est donc un parallélogramme , et ainsi lé 
côté CE est égal et parallèle à DF ; donc les triangles CAE , 
DBF, sont équilatéraux entre eux ; donc l'angle GAEss 
DBF. 

En second lieu je dis que le plan AGE est parallèle au 
plan BDF; car, supposons que le plan parallèle à BDF, 
mené par le point A , rencontre les lignes GD , £F , en 
d'autres points que G et £, par exemple en G et H ; alors, 
suivant la proposition xii, les trois lignes AB, GD, FH, 
seront égales : mais les trois AB, GD, EF, le sont déjà; 
donc on aurait GD^GD, et FH=ËF, ce qui est absurde, 
donc le plan AGE est parallèle à BDF. 

Corollaire. Si deux plans parallèles MN , PQ , sont ren- 
contrés par deux autres plans GABD, EABF, les angles 
CAE , DBF , formés par l6s intersections des plans paral- 
lèles , seront égaux ; car l'intersection AG est parallèle à 
BD*, AE l'est à BF , donc l'angle GAEasDBF. « u 

PROPOSITION XIV. 

TfltOBÈlI. 

Si trois droites AB, GD, EF, non situées dans le fig. 
même plan y sont égales et parallèles, les triangles AGE, 
BDF, formés de part et d'autre en joignant les extrémités 
de ces droites , seront égaux , et leurs plans seront paral- 
lèles. 

Car, puisque AB est égale et parallèle à GD, la figure 
ABDG est un parallélogramme; donc le côté AG est égal et 
parallèle à BD. Par une raison semblable les côtés AE, 
BF , sont égaux et parallèles , ainsi que CE , DF; donc les 
deux triangles AGE , BDF , sont égaux : on prouvera d'ail- 
leurs , comme dans la proposition précédente , que leurs 
plans sont parallèles. 



138 



OtOMÉTEIB. 



PROPOSITION XV. 

TBiOlftU. 

Deuse droites comprises entre troU plans parallèles, 
sont coupées en parties proportionnelles, 

iig. 191. Supposons que la ligne AB rencontre les plans parallèles 
MN, PQ , RS , en A , E , B , et que la ligne CD rencontre les 
mêmes plans en G, F , D ; je dis qu'on aura A£:£B:: 
CF : FD. 

Tirez AD qui rencontre le plan PQ en G, et joignez 
AG, £G, GF, BD; les intersections EG, BD, des plans 
* 10. parallèles PQ, RS, parle plan ABD, sont parallèles'*'; donc 
AE : EB :: AG : GD ; pareillement les intersections AG, GF, 
étant parallèles , on a AG : GD :: GF : FD ; donc, à cause du 
rapport commun , AG : GD , on aura AE : EB :: GF : FD. 

PROPOSITION XVI. 

fig. iga. Soit ABCD un quadrilatère quelconque situé ou non situé 
dans un même plan ; ei on coupe les côtés opposés propor- 
tfonnellement par deux droites EF . GH , de êorte qu'on ait 
AE:EB::DF:FG, BG : GG ;: AH : HD; <7f> que Us 
droites EF , GH , se couperont en un point M , de manière 
qu'on aura HM : MG :: AE : EB , ^/ EM : MF :: AH : HD. 

Conduises raÎTant AD un plan quelconque A&HcD qui ne paste pas 
suivant GH ; par les points E , B , C , F , menez é GH les parallèles £e , 
Bh,Co, ¥ff qui renoontrent ce plan ene,hfC, f, A cause des parallè- 

**lo[l\ °" 6H:Hc::BG:GG::AH:HD; donc*Mes 

triangles kïLh, DHo, sont semblables. On aura ensuite Ae : «6 ; : AE :EB, 
et D/* : /b : : DF : FG } donc A.0 zebii'Df: fc, ou , componendo, Ao : D/: : 
Afr : De; mais, à oause des triangles semblables AH6, DHc, on a Ab : 
Do : : AH : HD ; donc A0 : D/* : : AH : HD : d'ailleurs les triangles AH6 , 
cHD, étant semblables, l'angle HA» =HD/*; donc les triangles AH0 , 

"90,3. mf, sont semblables*, donc langle AH0=DH/*. Il s'ensuit d'abord 
que éUf eêi une ligne droite , et qu'ainsi les trois parallèles Ee^GH, Vf, 
sont situées dans un même plan, lequel contiendra les deux droites 
EF, GH; donc oelha^ei doivent se couper en un point M. Ensuite, 
à cause des parallèles £0, MH, Vf, on aura £M : MF : : «H : H/*. : 
AH:HD. 



LIVRE T. 



129 



1?ar une construction semblable , rapportée au côté AB , on démon- 
trerait que Hlil : MG : : AË : £B. 

PROPOSITION XVIL 

TBÉOBtBI. 

Vem^lè coinpris entre les deux plans MAN , M , fig. 193 
péût être mesuré y œnformément à la définition ^ par 
Vangle NAP que font entre elles les deux perpendicu. 
laires AN, AP, menées dans chacun de ces plans à l'in- 
tersection commune AM. 

Poitf démôntrer la légitimité de cette mesure , il faut 
prouvei:,. !'' qu'elle eat constante , on qu'elle serait la même 
es quelque point de l'intersection commune qu'on menât 
les deux perpendiculaires. 

En ^et , si on prend un autre point H , et qu'on mène 
M G dan» le plan MN, et MB dans le plan MP , perpendi- 
cnlaîre^ à l'intersection commune AM ; puisque MB et AP 
sont perpendiculaires à une même ligne AM , elles sont 
parallèlee entre elles. Par la même raison MG est parallèle 
à AN; donc l'angle BMG=PAN*; donc il est indifférent " i3. 
de mener les perpendiculaires au point M ou au point A ; 
l'angle compris sera toujours le même. 

Il faut prouver que si l'angle des deux plans augmente 
ou diminue dans un certain rapport, Tangle PAN augmen- 
tera ou diminuei^a dans le même rapport. 

Dans le plan PAN décrivez du centre A et d'un rayon à 
volonté l'arc NDP , du centre M et d'un rayon égal décri- 
Ttsz l'arc GEB, tirez AD à volonté; les deux plans PAN, 
BMG, étant pierpendiculaires à une même droite MA, se- , " 
ront parallèles*; donc les intersections AD, ME , de ces * 9. 
denx plans par un troisième AMD, seront parallèles ; donc 
l'angle BME sera égal à PAD *. « i3. 

Appelons pour un moment coin l'angle formé par deux 
plans MP , MN ; cela posé , si l'angle DAP était égal à DAN , 
il est clair que le coin DAMP serait égal au coin DAMN ; 
car la base PAD se; placerait exactement sur son égale DAN , 
la hauteur AM serait toujours la même; donc les deux 

9 



130 



GÉOHÉTIIC. 



coin» coïncideraient l'un avec TaHtre. On voit de même 
que si Fangle DAP était contenu un certain nombre de foîs 
juste dans Tangle PAN, le coin DAMP serait contenu autant 
de fois dans le eoin PAMN. D'ailleurs , du rapport en nom* 
bre entier à un rapport quelconque la conclusion est légi- 
time , et a été démontrée dans une circonstanca tout-à-fait 
* 17- semblable*; donc quel- que soit le rapport de Tangle.DAP 
à l'angle PAN , le coin DAMP sera dans *ce mêpie rapport 
avec le coin PAMN ; donc l'angle NAP peut être pris pour 
la mesure du coin PAMN , ou de l'angle que font entre eux 
les deux plans MAP , M AN. 

SeholU. ti en est des angles formés par dèux'pléns eorinme 
des angles formés par deux droites. Ainsi, lorsque deox 
plans se traversent mutuellement , les angles opposé»* au 
sommet sont égaux , et les angles adjacents valent ensem- 
ble deux angles droits ; donc si un plan est perpendiculaire 
à un autre, celui-ci est perpeiyliculaire au premier. Pa- 
reillement dans la rencontre des plans parallèles par un 
troisième plan , il existe les mômes égalités et les mêmes 
propriétés que dans la rencontre de deux lignes parallèles 
par une troisième ligne. 

PROPOSITION XVIII. 

THtORÈHE. 

fig- 194. La ligne AP étant perpendiculaire au plan MN, tout 
plan APB, conduit suivant AP, sera perpendiculaire 
au plan HN. 

ScMt BG l'interscjction des plans AB , MN; si dans le plan 
MN on mène DE perpendiculaire à BP , la ligne AP , étant 
perpendiculaire au plan MN , sera perpendiculaire à cha« 
cune des deux droites BC , DE : mais l'angle APD , formé 
par les deux perpendiculaires PA , PD , à l'intersection com- 
mune BP , mesure l'angle des deux plans AB , MN ; donc , 
puisque cet angle est droit , les deux plans sont perpendi- 
♦ déf. 5. culaires entre eux *• 

Scholiê.liOtw^p trois droites, telles que AP, BP, DP, 
sont perpendiculaires entre elles , chacune de ces droites 



uvRB y. 



est perpendiculaire an plan des deux autres et les trois 
plans sont perpendiculaires ebtre eux. 

PROPOSITION XIX. 

THtOatMI. 

Si le plan AB esi perpendiculaire au plan MN, et fig. 194. 
que dam le plan AB on mène la ligne P A perpendicu-- 
latre à l'tntersectim commune PB , Je dis que PA sera 
perpendiculaire au plan HN. 

Car si dans le plan MN on mène PD perpendiculaire à 
Pfi, l'angle APD sera droit, puisque les plans sont perpen- 
diculaires entre eux ; donc la ligne AP est perpendiculaire 
aux deux droites PB , PD ; donc elle est perpendiculaire à 
leur plan MN. 

Corollaire. Si le plan AB est perpendiculaire au plan MN, 
et que par un point P de l'intersection commune on élève 
une perpendiculaire au plan MN; je dis que cette. perpen- 
diculaire sera dans le plan AB , car , si elle n*y était pas , 
on pourrait mener dans le plan AB une perpendiculaire AP 
à l'intersection commune BP, laquelle serait en même temps 
perpendiculaire au plan MN ; donc au même point P il y 
aurait deux perpendiculaires au plan MN ; ce qui est impos- 
sible*. *4- 

PROPOSITION XX. 

THtORÈMIi. 

Si deux plans AB , AD , sotii perpendiculaires à un ng. 194. 
troisième MN , leur intersection commune AP sera per- 
pendiculaire à ce troisième plan. 

Car si par le point P on élève une perpendiculaire, au 
plan MN, cette perpendiculaire doit se trouver à la fois 
dans le plan AB et dans le plan AD*; donc elle est leur 'cor. 19. 
intersection commune AP. 



lU GftOHlTail. 

PROPOSITION XXI. 

THtOlÈBI. 

fig. 195. «Si un angle solide est formé par trois angles planSî, 
la somme de deux quelconques de ces angles sera plus 
grande que le troisième. 

Il n'y a lieu à démontrer la proposition que lorsqné l'an- 
gle plan qu'on compare a la somme des deux autres est 
plos grand que chacun de ceux-ci. Soit donc l'angle solide 
S formé par trois angles plans ASB , ASC , BSG , et suppo- 
sons que l'angle ASB soit le plus grand des tnûs ; je dis 
qu'on aura ASB < ASC + BSC. 

Dans le plan ASB faites l'angle BSD = BSC, tirei à 
volonté la droite ADB; et, ayant pris SC=SD, jeijgnei 
AC , BC. 

Les deux côtés BS , SD, sont égaux aux deux BS, SC, 
rangle BSD=BSG; donc les deux triangles BSD, BSC, 
sont égaux ; donc BD=BG. Mais on a AB < AC + BC; 
retranchant d'un côté BD , et de l'autre son égale BC , il 
restera AD<^ AC. Les deux côtés AS, SD, sont ^ux aux 
• deux AS, se, le troisième AD est plus petit que le troi- 

* 10, 1. sième AC; donc* l'angle ASD< ASC. AjontantBSDsBSC, 
on aura ASD + BSD ou ASB < ASC + BSC. 

PROPOSITION XXU. 
ntovUx. 

La soMune des angles plans qui finment un angle 
solide, est toujours wurindre que quatre angles droits. 
fig Coupet l'angle solide S par un plan qudconque ABCDE ; 

d'un point O pris dans ce plan menei à tous les angles les 
lignes OA , OB , OC, OD, 0£. 

La somme des angles des triani^ ASB , BSC , etc., for- 
més autour du sommet S, équivaut i la somme des angles 
d'un pareil nombre de trian^ AOB , BOC, etc., forma 
autour du sommet O. Mais au point B les an|^ ABO, OBC, 
pris ensendile, font l'angle ABC plus petit que la somme 



uvai y. 1S3 

des aingles ABS , SBC'*' ; de même au point G on a BGO + * ai. 
OCD <^ BCS + SGD ; et ainsi à tons les angles du polygone 
ABCDË. n suit de la que dans les triangles dont le sommet 
est en O , la somme des angles à la base est plus petite que 
la somme des angles a la base dans les triangles dont le 
sommet est en S ; donc , par compensation , la somme, des 
angles formës autour du point O est plus grande que. la 
somme des angles autour du point S. Mais la somme des 
angles autour du point O est égale à quatce angles droits * ; * 5, i. 
donc la somme des angles q^i forment l'angle solide S est 
môindre que quatve angles droits. 

Scholiê. Cette démonstration suppose que Fangle solide ^ 
est convexe , ou que le plan d'une face prolongée ne peut 
jamais couper l'angle solide; s'il en était autrement, la 
soibme des angles plans n'aurait plas de l»oi:nes et pourrait 
être d'une grandeur quelconque. 

PROPOSliTION XXIIL 
THtOBiai. 

Si deux angles solides sont composés de trois angles 
pbms égaux chacun à chacun , les plans dans lesquels 
sont les angles égaux seront également inclinés entre eux s 

Soit l'angle ASG=DTF, l'angle ASB=DTË, et l'angle fig. 197. 
BSG =£TF; je dis que les deux plans ASC , ASB , auront 
eptre eux une inclinaison égale à celle des plans t)TF , 
DTE. 

Ayant pris SB à volonté , menez BO perpendiculaire au 
plan ASC; du point 0, où cette perpendiculaire rencontre 
le plan, menez OA, OC, perpendiculaires sur SA, SG; 
joignez AB , BG ; prenez ensuite TË =:SB ; menez EP per- 
pendiculaire sur le plan DTF; du point P menez PD, PF , 
perpendiculaires sur TD , TF; enfin joignez DE, £F. 

Le triangle SAB est rectangle en A , et le triangle TDË 
en D *, et puisque l'angle ASB=DTE, on a aussiSBA=;TED. * 6. 
D'ailleurs SB =TË; donc le triangle SAB est égal a^ trian- 
gle TDE*; donc SA = TD , et AB=DE. On démontrera '5, 1, 
semblablement que SG=TF, et BC=5=EF. Cela posé, le qua- 



GtOMtTBIB. 



drilatère SAOC est égal au quadrilatèfe TDPF ; car posant 
l'angle ASC sur son égal DTF, à eaase de SA=:TD et 
SCssTF , le point A tombelra en D et le point G en F. En 
môme temps AO , perpendiculaire à SA , tombera sar DP 
perpendiculaire à TD, et pareillement OG sur FF ; donc 
le point O tombera sur le point P, et on aura AO=^DP. 
Mais les triangles AOB , DPE ^ sont rectani^les en et P , 
l'hypoténuse AB = D£, et le côté AO = DP; donc ces 
X- triangles sont égaux * ; donc l'angle OAB = PDE. L'angle 
OAB est l'inclinaison des deux plans ASB, ASG; l'angle 
PDE est celle des deux plans DTE, DTF; donc ces deiTx 
inclinaisons sont égales entre elles. 

Il faut obserrer cependant que l'angle A du triangle 
rectangle OAB n'est proprement l'inclinaison desdeivc plans 
ASB, ASG , que lorsque la perpendiculaire BO tombe, .par 
rapport à SA, du môme côté que SC; si elle tombi^it de 
l'autre côté, alors l'angle des deux plans serait obtus, et, 
joint à l'angle A du triangle OAB , il ferait deux angles 
droits. Mais dans le môme cas l'angle des deux plans TDE , 
TDF, serait pareillement obtUs^ et, joint à l'angle D du 
triangle DPE , il ferait deux angles droits ; donc , comme 
l'angle A serait toujours égal à D , on conclurait de môme 
que l'inclinaison des deux plans ASB , ASG , est égale à 
çelle des deux plans TDE , TDF. 

Seholie. Si deux angles solides sont composés de trois 
angles plans égaux chacun à chacun, et qu'en môme temps 
les angles égaux ou homologues soient àiêfOM de la même 
manière dans les deux angles solides , alors ces angles se- 
ront égaux , et posés l'un sur l'autre ils coïncideront. En 
effet on a déjà vu que le quadrilatère SAOG peut être placé 
sur son égal TDPF \ ainsi en plaçant SA sur TD, SG tombe 
sur TF, et le point sur le point P. Mais , à cause de l'éga- 
lité des triangles AOB, DPE, la perpendiculaire OB au 
plan ASG est égale à la perpendiculaire PE au plan TDF ; 
de plus ces perpendiculaires sont dirigées dans le môme 
sens; donc le point B tombera sur le point £ , la ligne SB 
sur TE, et les deux angles solides coïncideront entièrement 
l'un avec Vautre. 



LIVRE y. 



135 



Cette coïncidence cependaïit n'a lieu qu'en supposant 
que les angles plans égaux sont disposés de là même ma- 
nière dans les deux angles solides ; car si les angles plans 
égaux étaient disposés dans un ordre inverse ^ ou , ce qui 
revient au même , si tes perpendictilaires OB, PE, au lieu 
d'être dirigées dans le même sens par rapport aux plans 
ASG , DTF , étaient dirigées en sens contraires , alors il 
serait impossible* de faire coïncider les deux angles solides 
l'un * aTec. l'autre. Il n'en serait cependant pas moins vrai , 
conformément au théotème, que les plans dans lesquels 
sont les angtes égaux seraient également inclinés entre eux ; 
de sorte que les deux angles solides seraient ég;aux dans 
toutes leurs parties constituantes , sans néanmoins pouvott 
être superposés. Celte sorte d'égalité, qui n'est pas ab- 
solue ou de superposition , mérite d'être distinguée par une 
dénomination particulière : nous l'appellerons égalOé par 
ffméirie. 

Ainsi les deux angles solides dont il s'agit, qui sont for- 
més, par trois angles plans égaux chacun à chacun, mais 
disposés dans ui^ ordre inverse , s'appelleront angles égaux 
par syméMs^ ou simplement angles symétriques. 

La même remarque s'applique aux angles solides formés 
de plu» de trois angles plans : ainsi un angle solide formé 
par les angles plans A , B, C, D , ^, et un autre angle 
solide formé par les mêmes angles dans un ordre inverse 
A, £, D, C, B, peuvent être tels que les plans dans lesquels 
sont les angles égaux soient également inclinés entre eux. 
Ces deiix angles solides, qui seraient égaux sans que la 
superposition fût possible, s'appelleront angles solides égaux 
par symétrie y ou angles solides symétriques. 

Dans les figures planes il n'y a point proprement d'égalité 
par symétrie , et toutes celles qu'on voudrait appeler ainsi 
seraient des égalités absolues ou de superposition : la raison 
en est qu'on peut renverser une figure plane , et prendre 
indifféremment le dessus pour le dessous. Il en est autre- 
ment dans les solides , où la troisième dimension peut être, 
prise dans deux sens différents. ' 



136 



GÉOltTRIC. 



PROPOSITION xxrv. 

PHOBLftlB. 

Étant donnés les trots angles plans qui forment un 
^mgle solide y trouver par une construction plane V angle 
que deux de ces plans font entre eux. 
H' iqB- Soit S l'angle solide proposé , dans lequel on oonnait les 
trois angles plans ASB , ASC , BSC ; on demande l'angle 
qne font entre eax deux de ces plans, par exemple les plans 
ASB, ASC. 

Imaginons qu'on ait fait la m^nie construction que dans 
le théorème précédent , l'angle OAB serait l'angle requis, 
n s'agit done de trouver le même angle par une construc- 
tion plane ou tracée sur un plan. 

Pour cela faites sur un plàn les angles B%A, ASC, 
B''SG , égaux aux angles BSA , ASC , BSG , dans la figure 
solide ; prenez B'S et B'^S égaux chacun à BS de la figure 
solide ; des points B' et B" abaisse^ B'A et B^G perpendicu- 
laires sur SA et SG , lesquelles se rencontreront en un 
point 0. Du point A comme centte et du rayon AB' décrivez 
la demi-circonférence B'^Ë ; au point élevez sur B^Ë la 
perpendiculaire Oh y qui rencontra la circonférence en h , 
joignez A^, et l'angle ËA^ sera l'inclinaison cherchée des 
deux plans ASG , ASB , dans l'angle solide. 

Tout se réduit à faire voir que le triangle AO^ de la 
fi^re plane est égal au triangle AOB de la figure solide. 
Or les d^ux triangles B'SA , BSA , sont rectangles en A , les 
angles en S sont égaux ; donc les angles en B et B' sont 
pareillement égaux • Mais l'hypoténuse SB' est égale à l'hy- 
poténuse SB ; donc ces triangles sont égaux ; donc SA de 
la' figure plane est égale à SA de la figure solide, et aussi 
AB', ou son égale kh dans la figure plane est égale à AB 
dans la figure solide. Qn démontrera de même que SG est ' 
égal de part et d'autre ; d'où il suit que le quadrilatère 
S AOG est égal dans l'une et dans l'autre figure , et qu'ainsi 
AO de la figure plane est égal à AO de la figure solide ; 
donc dans l'une et dans l'autre les triangles rectangles 



IIVRI V. 



137 



AObj AOB, ont l'hypoténuse é^ale et tm côté égal ; donc 
ils sont égaux, et l'angle EAd, trouvé par la constrnçtion 
plane , est égal à riRolinaison des deux plaps SAB, SAC , 
dans Tangle solide. ; 

Lorsque le point toinbe entre A et B' dans la fi^rq 
plane, Fangle ËA^ devient obtus, et mesure toujours la 
vraie inclinaison des plans : c'est pour cela que Ton a dé- 
signé par EAôy et non par OA^^ l'inclinaison demandée » 
afin que la même solution convienne a tous les cas sans 
exception. 

Scholie, On peut demander si , en prenant trois angles 
pians à tolonté , on pourra former avec ces trois angles 
plans un angle solide. 

D'abord il faut que la somme des trois angles donnés 
soit plus petite que quatre angles droits , sans quoi un angle 
solide ne peut être formé*; il faut de plus qu'après avoir * a», 
pris deux des angles à volonté B'SA, ASC, le troisième 
CSW^ soit tel , que la perpendiculaire B"G au côté SG ren- 
contre le diamètre B'Ë entre ses extrémités B' et £. Ainsi 
les limites de la grandeur de l'angle GSB'' sont celles qui 
font aboutir la perpendiculaire B'^G aux points B' et £, De 
ces points abaissez sur GS les perpendiculaires B^I, EK, 
qui rencontrent en I et K la circonférence décrite du rayon . 
SB'', et les Umites de l'angle GSB"" seront CSI et GSK. 

Mais dans le triangle isoscèle B'SI, la ligne CS prolongée 
étant perpendiculaire à la base Bl, on a l'angle GSIa 
GSB' = ASC+ASB'. Et dans le triangle isdscèle ËSK^ la 
ligne se étant perpendiculaire à ËR , on a langle 
CSK==GSË. D'ailleurs , à cause des triangles égaux ASE, 
ASB', l'angle ASE=ASB'; donc CSE out:SK==ASC — 
ASB\ 

Il résulte de là que le problème sera possible toutes les 
fois que le troiàième angle GSB'' sera plus petit que la 
somme des de^x autres ASC, ASB', et plus grand que leur 
différence : condition qui s'accorde avec le théorème xxif 
car , en vertu de ce théorème , il faut qu'on ait CSB" < 
ASC + ASB'; il faut aussi qu'on ait ASC < GSB" + ASB' ,^ 
ouCSB">ASG — ASB'. 



1^8 



GftOHtTRTI. 



PROPOSITION XXV. 

PROBLÈME. 

Étant donnés deux des trois angles plans qui forment 
un angle solide y avec l'angle que leurs plans font entre 
eux, trouver le troisième angle plan. 

H' '98- Soient ASC , ASB', les deox angles plans donnés^ et sup- 
posons pour un moment qiie CSB" soit le troisième angle que 
l'on cherche, alors, en faisant la même construction que 
dans le problème précédent, Tangle compris entre les plans 
des deux premiers serait £A^. Or, de même qu'on dét^- 
mine l'angle EA& par le moyen dé CSB" les deux autres 
étant donnés, de même on peut déterminer GSB" par le 
moyen de EA^, ce qui résoudra le problème proposé. 
' Ayant pris. SB' à volonté , abaissez sur SA la perpendi- 
culaire indéfinie B'E, faites l'angle EA& égal à l'angle des 
deux plans donnés ; du point h où le côté A^ rencontre la 
circonférence décrite du centre A et du rayon AB', abaissez 
sur AE la perpendiculaire bOy et du point O abaissez sur 
se la perpendiculaire indéfinie OCB", que tous terminerez 
en Bî' de manière que SB"= SB' ; l'angle CSB" sQra le troi- 
sième angle plan demandé. 

Car si on forme un angle solide avec les trois angles plans. 
B'SA , ASC , CSB", l'inclinaison des plans où sont les an- 
^es donnés ASB^ ASC , sera égale à l'angle donné EA&. 

fig. 199. Scholie, Si un angle solide est quadrujjle, ou formé par 
quatre angles plans ASB , B3C , CSD , DS A , la connais- 
sance de ces angles ne suffit pas pour déterminer les^incli- 
naisons mutuelles de leurs plans ; car avec les mêmes angles 
plans on pourrait former une infinité d'angles solides* Mais 
si on ajoute une condition , par exemple , si on donne l'in- 
clinaison des deux plans ASB , BSC , alors l'angle solide 
est entièrement déterminé , et on pourra trouver l'inclinai- 
son de deux de ses plans quelconques. Ën effet , imaginez 
un angle solide triple formé par les angles plans ASB , 
BSC, ASC; les deux premiers angles sont donnés, ainsi 
que l'inclinaison de leurs plans; on pourra donc déter- 



LIVRE V. ' 139 

miner, par le problème qu'on vient de résoudre, le troi- 
sième angle ASC. Ensuite, si on considère l'angle solide 
triple formé par les angles plans ASC, ASD , DSC, ces 
trois angles sont connus; ainsi l'angle solide est entièrement 
déterminé. Mais l'angle solide quadruple est formé par la 
réunion des deux angles solides triples dont on vient de 
parler; donc, puisque ces angles partiels sont connus et 
déterminés , l'angle total sera pareillement connu et déter- 
miné. 

L'angle des deux, plans ASD, DSC, se trouverait immé- 
diatement par le moyen du second angle solide partiel. 
Quant à l'angle des deux plans BSC , CSI>, il faudrait dans 
un angle solide partiel chercher l'angle cômpris entre les 
deux plans ASC, DSC^ et dans l'autre l'angle compris entre 
les deux pleins AS6^ BSC; la somme de ces deux angles 
serait l'angle compris entre les plans BSC», DSC. 

On trouvera de la même manière que , pour déterminer 
un angle solide quintuple , il faut connaître , outre les cinq 
angles plans qui le composent , deux des inelinaisons mu- 
tuelles de leurs planâ; il en faudrait trois dans l'angleisolide 
sextuple, et ainsi de suite. 



vv\ vwrtvx vv\vvvvv^MA'^aA'vv\aaa'vvva/v\^v\vw\vv\vv%w\vv»vv\^VVA^ 



LIVRE VL 



DESÎOLYÈDRES, 

' * BtFÎIITTIOIlS. 

I. On appelle, *oî£de polyhdf;e^ ou simplement polyèdre^, 
tout solide termii^ë par des plans ou (les .faces planes.. ( Qes 
plans sont ^ nécessairement terminés' eux-mêmes par des 
lignes droites.) On appelle en particulier /«/raèif*^ le solide 
qui a quatre ikceft ; hexaèdre cefui qui e%ai six yooiàkdre celui 
qui en a huit; dcdécàêdre ^gAxxi qui en^a doux^; ico*aèdre 
celui qui en a vingt 9 etc. 

Le tétrfièdre est le plus simple des polyèdres ; car il faut 
an àioins. trois plans pour former, un angle solide , et ces 
trois plaps laissept un vide qoi, pour être fermé, exigfe.au 
moins un quatrième plan. • . 

IL I/'intersection commune de deux faces adjacentes d'un 
polyèdre s'appelle ô$té .où aré/e du pblyèdrfe. 

m. On appelle polyèdre né^ulier cc^lui doïit toutes les 
f«ices sont des polygones réguliers égaux , et dont tous les 
angles solides "bont égaux entre ejix. Ces polyèdres sont au 
nombre de cinq, ^oyez l'appendice^ aux Uvres, VI et Vil. 

lY. Le prisme est un solide compris sous plusieurs plans 
parallélogrammes, terminés dé part et d'autre par deux 
plans polygones égaux et parallèles, 

Pour construire ce solide, soit ABGÏ)£ un polygone quel- 
conque ; si dans un plan parallèle à ABC, ou mène les lignes 
fig. aoo. FG, <jH, HI, etc., égales et parallèles aux côtés AB, BC, 
CD, etc., ce qui formera le polygone FGHIK égal à ABCDË; 
si ensuite on joint d'un plan à l'autre les sommets ^es an- 
. gles homologues par les droites AF, BG, CH, etc., les faces 
ABGF, BCHG, etc. , seront des parallélogrammes , et le 
solide ainsi formé ABCDEFGHIR sera un prisme. 



LIVRE TI. 



141 



V. Lès polyjiotieft égaux et parallèles ABGDË , FGHIK , 
s'appellent les baM du prisme; les aatres plans parallélo- 
grammes pris ensemble* constitaent la turf ace huéràle ou 
convexe du frisme. Les droites égalés AF , ^G, GH» etcl , 
s'appellent les cotée da prisme. 

VI. La hauieuY du frUme est la distance ' de ses deux 
bases, on la perpendiculairé abaissée d'un point de la base 
supérieure sur le plan de la base intérieure. 

VIL Un prieme est droit lorsque les côtés AF , BG , etc. , 
sont perpendiculaires aux plans des bases , alors chacun 
d'eux est égal à la hauteur di^ prisme. Dani^ tout autre cas 
le prisme est oblique, et la hauteur est plus petite que le 
côté. 

y III. Mn prisme est triangulaire , quadrarigulairè, penia* 
gonaif hexag&nal, eic, y selon que la base est tin triangle, tin 
quadrilatère, un pentagone, un Wxagone, etCé 

IX. Le prisme qui a pour base un parallélogramme , a fig. 3q6. 
toutes ses faces parallélogrammiques; il s'appelle paràtté- 
Upipiède^ ' 

Le puràllélipipède est rectangle lorsque toutes ses faces 
sont des rectangles. 

X. Parmi les paraUélipipèdes rectangles on distingue le 
cube ou hexaèdre régulier compris sous six carrés égaux. 

XI. La pyramide ést ie solide formé lorsque plusieùrs.fig. 196. 
plans triangulaires 'partent d'Qninémé point S, et sont 
terminés aux ditférents côtés d'un même plan polygonal 
ABCDE, ^ . ' 

Le polygona ABGOfi s'appellé Wbaee de la pyramide , le 
point S en est le eontmet, M l'ensemble des triangles ASB\ 
BSCvCtc, formç l'a Surface convexe ou latèralè de la pyra- 
mide. 

XII. La hauUur d% la pyramide est la pei^pendiculaire 
abaissée du sûmniet sur 1& plan de la base, prolongé s'il est 
nécessaire. 

XIII. La pyramide est triangulaire, quadr angulaire ^ etc., 
selon que la base est un triangle, uh quadrilatère, etc. 

Xiy. Une pyramide est régulière y lorsque la base est un 
polygone régulier, et qu'en même temps la perpendiculwre 



GftOHÉTElB. 



abaissée du sommet sur le plan de la base passe par le 
centre de cette base : cette ligne s'appelle alors Yasse de la 
pyramide. 

XV. Diagonalê d'un polyèdre est la droite qui joint les 
sommets de deux angles solides non adjacents. 

XYI. J'appellerai polyèdres 9yMiriqu»ê deux polyèdres 
qui , ayai^t une base commune , sont construits semblable- 
ment , l'un au-dessus du plan de cette base, l'autre au-des- 
sous 9 avec cette condition que les sommets des- angles 
solid99 homologues soient situés à égales distances du plan 
de la base, sur une même droite perpendiculaire a ce plan, 
fig. Par exemple, si la droite SX est perpendiculaire au plan 
ABC, et qu'au point O , où elle rencontre ce plan , elle smt 
divisée en deux parties égales, les deux pyramides SABG , 
TABG , qui ont la base commune ABC , seront de}ix polyè- 
dres symétriques. 

XVII. Deux pyramideê triangulaires sont eemblaèlee^ 
lorsqu'elles ont deux fàces semblables cbacune à châcune , 
semblablement placées et également inclinées entre elles, 
fig. ao3. Ainsi, en supposant les angles ABGcsDEF, BAGcsEDF, 
ABS=D£T, BAS=£DT, si en outre l'inclinaison des plans 
ABS, ABC, est iégale à celle de leurs bo.molognesD7E,J)£F, 
les pyramideS'SABC, TD£F, seront semblables. . 

XYIII. Ayant formé un triangle avec les sommets de 
trois angles pris sur une même face ou base d'un polyèdre, 
on peut imaginer qû^ les .sonimets des différents angles 
solides du polyèdre , situés hors du plan de cette base^ 
soient ceux d'autant de pyramides^ triangulaires qui ont 
pour base commune fe triangle désigné, et chacune de 
ces pyramides déterminera la position de chaque angle 
solide du polyèdre par rapport à la base. Gela posé : 

Deux polyèdres sont semblables lorsqu'-ayapt des bases 
semblables , les sommets des angles solides homologues , 
hors de ces. bases, sont déterminés * par des pyramides 
triangulaires semblables chacune i ch^icune. 

XIX. J'appellerai éommets d'un polyèdre les pcùnts situés 
aux sommeta de ses différents angles solides. 

iV. B. Tous les polyèdres que nous considérons sont des polyèdres à 



LIVRE YI. 



angles saillants ou polyèdres convexes. Ifous appelons ainsi ceux dont la 
surface ne peut être rencontrée par une ligne droite en plus de deux 
points. Dans ces sortes de polyèdres le plan prolongé d'une face ne peut 
couper le solide ; il est donc impossible que le polyèdre soit en partie 
au-d^essus du plan d'une surface , et ea partie au-dessous il est tout 
entier d'un même côté de ce plan. 

PROPOSITION PREMIÈRE. 

THftOBtn. 

Deux polyèdres ne peuvent apoir les mêmes sommets 
et en même nombre sans coïncider l'un avec l'autre. 

Car supposons l'un des polyèdres déjà construit , si on 
veut en construire un autre qui ait les mêmes sommets et 
en même nombre , il faudra que les plans de celui-ci ne 
passent pas tous par les mêmes points que dans le premier, 
sans quoi ils ne différeraient pas l'un de l'antre : mais 
alors il est clair que quelques-uns des nouveaux plans cou- 
peraient le premier polyèdre ; il y aurait des sommets au- 
dessus de ces plans, et des sommets au-dessous, ce qui ne 
peut convenir â un polyèdre convexe : donc, si deux polyè- 
dres ont les mêmes sommets et en même nombre , ils doi- 
vent nécessairement coïncider l'un avec l'autre. 

Sehofiê. Étant donnés de position les points A, B, C, 
È., etc., qui doivent servir de sommets à un polyèdre, il est 
facile de décrire un polyèdre. 

Ghoisissec d'abord trois points voisins, D, E, H, tels que fig. 

plan BEH passe, s'il y a lieu, par de nouveaux points K, 
G, mais làisse tous les autres d'un même côté, tous au- 
dessus du plan ou tous au-dessous ; le plan DEH ouDEHKC, 
ainsi déterminé, sera une face du solide. Suivant un de ses 
côtés EH, conduisez un plan que vous ferez tourner jusqu'à 
ce qu'il rencontre un nouveau sommet F, ou pluaieurs à la 
fois F, I; vous aurez une seconde face qui sera FEH ou 
FEHI. Continuez ainsi en faisant passer des plans par les 
c6tés trouvés jusqu'à ce que le solide soit terminé de toutes 
parts : cé solide sera le polyèdre demandé , car il n'y en a 
pas deux qui puissent avoir les mêmes sommets. 



m 



StOMtTUB. 



PROPOSITION II. 

THtORtMK. 

Dans Hetix polyèdres symétriques les faces hontoloffues 
sont égaleschaeune à chacune , et rinclïnaison de deux 
faces adjacentes , ulans un de ces solides , est égale à 
l'inclinaison des fouies homçlogues dans Pautre. 
fig. ao5. Soit ABCBE la base çommane aiïx deux polyèdres ; soient 
M et N lefe sommets de deux angles solides quelconques de 
Fun des polyèdres , et N' lés sommets homologues de 
Fautre polyèdre; il faudra, suivant la défibitiob , que les 
droites MM', NN', soient perpendiculaires au plan ABC, et 
qu'elles soient divisées en deux parties égales aux points m 
et n où elles renconirent ce plan. Gela posé , je dis que la 
distance MN est égale à M'N'. 

Car si on fait tourner le trapèze mWWn autour de mn 
jusqu'à ce que son plan s'applique sur le plan imMN^; à 
cause de» angles droits en m et en n, le côté mM' tombera 
sur son égal mM , et nN' sur nN ; donc Tes deux trapèzes 
coïncideront, et on aura MN = M'N'. ' 

Soit P un troisième sommet du polyèdre supérieur, et P' 
sonliomologue dans l'autre, ou aura de même MP=s:M'P' et 
NP=N'P'; donc le triangle MNP, ^td joint trois sommet* 
quelconques du polyèdre supérieur, est égal au triangle M'N'P' 
qui Joint le* trois sommets homologues de Vautre polyèdre. 

Si parmi ces triangles on considère seulement ceux qui 
sont formés à la surface des. polyèdres, on peut déjà con- 
clure que les surfaces des deux polyèdres sont composées 
d'un même nombre de triangles égaux chs^cun à chacun. 

Jé dis maintenant qtie si des triangles sont dans au même 
plan sur une sifrface et forment une même face polygone , 
les triangles homologues seront dans un même pbin sur 
l'autre surface et formeront une face polygone égale. 

En eflFet, soient MPN, NPQ, deux triangles adjacents 
qu'on suppose dans un même plan, et soient M'P'N', 
N'P'Q', leurs homologues. On a Pangle MNP = M'N'P', 
l'angle PNQs=P'N'Q'; et si on joignait MQ et M'Q', le 



LIVRE VI. 



triangle MNQ serait égal à M'N'Q', ainsi on aurait l'angle 
MNQ=M'N'Q'. Mais puisque MPNQ est un seul plan, on 
a rangle MNQ=MNP+PNQ; donc on aura aussi M'N'Q' 
=M'N'P'+P'N'Q'- Or, si les trois plans M'N'P', P'N'Q', 
M'N'Q' n'étaient pas confondus en un seul, ceâ trois plans 
formeraient un angle solide, et on aurait * l'angle M'N'Q'< * ao, 5. 
M'N'P'+P'N'Q'; donc, puisque Cette condition n'a pas lieu, 
les deux triangles M'N'P', P'N'Q', sont dans un même plan. 

Il suit de là que chaque face, soit triangulaire, soit poly- 
gone , dans un polyèdre , répond à une face égale dans 
l'autre, et qu'ainsi les deux polyèdres sont compris sous un 
même nombre de plans égaux, chacun à chacun. 

Il reste à prouver que l'inclinaison de deux faces adja- 
ceiites quelconques dans l'un des polyèdres est égale à 
rinclinàisoii des deux faces homologues dans l'autre. 

Soient MPN, NPQ, deux triangles formés sur l'arête t;om- 
mune NP dans les plans des deux faces adjacentes ; soient 
M'P'N', N'P'Q', leurs homologues ; on peut concevoir en N 
un angle solide formé par les trois angles plans MNQ, 
MNP , PNQ , et en N' un angle solide formé par les trois 
M'N'Q', M'N^P', P'N^Q'. Or, on a déjà prouvé que ces angl^ 
plans sont égaux chacun à chacun ; donc Tinclinaisoii des 
deux plans MNP, PNQ, est égale à celle de leurs homolo- 
gues M'N'P', P'N'Q' *. -ai, 5. 

i)ôtic , dans les pôlyèdres symétriques , les faces sont 
égales chacune à chacune , et les plans de deux faces quel- 
conques adjacentes d'un des solides, ont entre eux la 
même inclinaison que les plans des deux faces homologues 
de raùtre solide. 

Schoîte. On peut remarquer qiie les angle» solide» d'un 
polyèdre sont lès symétriques des angles solides de l'autre po- 
lyèdre; dar si l'angle solide N est formé parles plans MNP, 
PNQ, QNR< etc., son homologue N' est formé par les plans 
M'N'P', P'N'Q', Q'N'R', etc. Ceux-ci paraissent disposés 
dans le même ordre que les autres ; mais comme les deux 
angles solides sont dans une situation inverse l'un par rap- 
port à l'autre , il s'ensuit que la disposition réelle des plans 
qui forment l'angle solide N' est l'inversé de celle qui a 

10 



GiOHÉTEIK. 



lieu dans Tangle homologue N. D'ailleurs les inclinaisons 
des plans consécutifs sont égales dans l'un et dans l'autre 
angle solide; donc ces angles solides sont symétriques l'un 
de l'autre* F'oyet U êcholie de laprop. XXIII, liv. V. 

Cette remarque prouve qu'un j^o/y^r» quelconque ne peut 
avoir qu'un seul polyèdre eymàtrique^ Car si on construisait 
sur une autre base un nouveau polyèdre symétrique au 
polyèdre donné, les angles solides de celui-ci seraient tou- 
jours symétriques des angles du polyèdre donné ; donc ils 
awaient égaux à ceux du polyèdre symétrique construit sur 
la première base. D'ailleurs les faces bomologues seraient 
toujours égales ; donc ces deux polyèdres symétriques con- 
struits sur une base ou sur une autre auraient les faces égales 
et les angles solides égaux; donc ils coïncideraient par la 
superposition, et ne fmdent qu'un seul et même polyèdre. 

PROPOSITION m. 
irtoatni. 

Deux prismes sont égaux lorsqu'ils ont un angle 
solide compris et^fre trois plans égaux chacun à chacun 
et semhlablement placés. 
fis. aoo. Soit la base ABGDE égale à la base mèede, le parallélo- 
gramme ABGF égal au parallélogramme migfy et le parallé- 
logramme BCHG égal an parallélogramme heig; je dis que 
le priime ABQ sera égal au prisme ofct. 

Car soit poaae la base ABCDE sur son ^ale eMr, œs 
deux bases coïncideront : mais les trœs angles pUns qui 
tonnent Tan^ solide £ sont ^ux aux trois an^es pluis 
qui fonrait l'anf^ solide h, chacun à cbacun, savoir, ABC 
=««r» ABGseif» el GBC=y«<r; de plus ces an^ sont 
semUaUement placés : donc les an|^ solides B et ^ sosil 
égaux, et par conséquent le côté BG tombetm sur sob égal 
On voit aussi qu'à cause des panllâogramnws ^ox 
ABGF, eigf, le coté GF tombara sur son égal j/, et sembla * 
blemoit GH sur gi; doue la base supéEieiiie FGHIK coïn- 
cidera entimBttat ^vee sm égale j^icft^ el les éen solides 



LIVBE vr. 



seront confondus en un seul , puisqu'ils auront les mêmes 
sommets *. ■ , * i. 

Corollaire • Deux prUmeê droite qui ont dee baeee égalée et 
de» hauteure égalée eoni égaux. Car ayant le côté AB égal à 
ah, et la hauteur BG égale khgy le rectangle ABGF sera 
égal au rectangle ahgf; il en sera de même des rectangles 
BGHG, hghc; ainsi les trois plans qui fonnent Tangle solide 
B sont égaux aux trois qui forment Tangle solide h. Donc 
les deux prismes sont égaux. 

PROPOSITION IV. 

THtORtSB. 

Dans tout parallélipipède les plans oppùsés sont égaux 
et parallèles. 

Suivant la définition de ce solide , les bases ABCD , fig. ao6. 
EFGH , sont des parallélogrammes égaux , et leurs côtés 
sont' parallèles : il reste clone à démontrer que la même 
chose a lieu pour deux faces latérales opposées , telles que 
AEHD, Bf GC. Or, AD est égale et parallèle à BG , puisque 
la figure ABGD est un parallélogramme; par une raison 
semblable AE est égale et parallèle à BF : donc Fangle D AE 
est égal à Uangle CBF*, et lé plan DAE parallèle à CBF 5 i3, 5. 
donc aussi le parallélogramme DAEH est égal au parallélo- 
gramme GBFG. On démontrera de même que les parallélo- 
grammes opposés ABFË, DCGH, sont égaux et parallèles. 

CoroUaire, Puisque le parallélipipède est un solide com- 
pris sous six plans dont les opposés sont égaux et paral- 
lèles, il s'ensuit qu'une face quelconque et son opposée 
peuvent être prises pour les bases du parallélipipède. 

Scholie. Étant données trois droites, AB, AE, AD, passant 
par un même point A, et faisant entre elle» des angles 
donnés, on peut sur ces trois droites construire un parallé- 
lipipède ; il faut pour cela mener par l'extrémité de chaque 
droite un plan parallèle au plan des deux autres ; savoir, 
par le point B un plan parallèle à DAE, par le point D un 
plan parall^ à BAE, et par le point E un plan parallèle à 



146 GiOHÉTAIK. 

lieu dans Fangle homologue N. D'ailleurs les inclinaisons 
des plans consécutifs sont égales dans l'un et dans l'autre 
angle solide ; donc ces angles solides sont symétriques l'on 
de l'autre. Vm/et le êcholiê de laprop. XXIII, liv. V. 

Cette remarque prouve qpi^xux polyèdre quelconque nepetU 
avoir qu'un eeul polyèdre eymàtrique. Car si on construisait 
sur une autre base un nouveau polyèdre symétrique an 
polyèdre donné, les angles solides de celui-ci seraient tou< 
jours symétriques des angles du polyèdre donné ; donc ils 
seraient égaux à ceux du polyèdre symétrique construit m 
la première base. D'ailleurs les faces bomologues seraient 
toujours égales ; donc ces deux polyèdres symétriques con- 
struits sur une base ou sur une autre auraient les faces égales 
et les angles solides égaux; donc ils coïncideraient par la 
superposition, et ne feraient qu'un seul et même polyèdre. 

PROPOSITION III. 

THtOBÈmi^. 

Deux prismes sont égaux lorsqu'ils oni un angle 
solide compris entre trois plans égaux chacun à chacun 
et semblablement placés. 
(îg. aoo. Soit la base ABGDE égale à la base ahede, le parallélo- 
gramme ABGF égal au parallélogramme ab§if, et le parallé- 
logramme BGHG égal au parallélogranune bchg; je dis que 
- le prisme ABGI sera égal au prisme abet. 

Car soit posée la base ABGDE sur son égale abcde, ces 
deux bases coïncideront : mais les trois angles plans qai 
forment l'angle solide B spnt égaux aux trois angles plans 
qui forment l'angle solide b, chacun à chacun, savoir, ABC 
zsiabe, ABQ^sabg, et GBG=^^<?; de plus ces angles so 
semblablement placés : donc les angles soUdes B et ^ 
égaux, et par conséquent le côté BG tombera sur se* 
è^. On voit aussi qu'à cause des parallélogramme 
ABGF, ab^, le côté GF tombera sur son égal gf. 
blement GH sur gk; donc la base supérieure ^ 
Cidera entièrement lavec son égsAe^hik, e* ' 



)nt 

IX*, * 3. 
CCD, 



l,STVXY,fig. 
'jones égaux. 
inme étant les 
L troisième plan 
ipris entre les pa- 
llie; dpnc NO est 
s côtés OP, PQ,QR, 
IX respectÎTement aux 
ion STVXY. D'ailleurs 
iips parallèles , il s'ensuit 
le la première iiection, «ont 
jles STV, TVX , etc. , de la 
»nsNOPQR, STVXY, sont des 



m 



GiomtTRii. 



BAD. Les rencontres mutaelles de ces plans formennit le 
parallëlipipède demandé. 

PROPOSITION V. 

THtOBÈMI. 

Dans ioui parcUlélipipède les angles solides opposés 
sont symétriques l'un^de r autre; et les diagonales menées 
par les sommets de ces angles se coupent mutuellement 
en deux parties égales. 
fig. ao6. Comparons, par exemple, Taiigle solide A à son opposé 
G; Tangle £AB, égal à EFB, est aussi égal à HGC, l'angle 
DAE=:DHE = CGF, et l'angle DAB=DCBr=HGF; donc 
les trois angles plans qui forment l'angle solide A sont 
égaux aux trois qui forment l'angle solide G , chacun à 
chacun ; d'ailleurs il est facile de voir que leur disposition 
est différente dans l'un et dans l'autre ; donc l** les deux 
* a3> 5. angles solides A et G sont symétriques l'un de l'autre 

En second lieu , imaginons deux diagonales EC , AG , 
menées l'une et l'autre par des sommets opposés : puisque 
AE est égale et parallèle à GG , la figure AEGG est un pa- 
rallélogramme ; donc les diagonales £G, AG , se couperont 
mutuellement en deux parties égales. On démontrera de 
même que la diagonale EG et une autre BF se couperont 
ausH en deux parties égales ; donc 2<> les quatre diagonales 
6e couperont mutuellement en deux parties égales , dans 
un même point qu'on peut regarder comme le centre du 
parallélipipède. 

PROPOSITION VI. 

THftoaÈHt. 

fig. «07. Le plan BDHF, qui passe par deux arêtes parallèles 
opposées BF, DH , divise le parallélipipède AG en deux 
prismes triangulaires ABDHEF , GHFBCD , symétri- 
ques Vun de l'autre. 
D'abord ces deux solides sont des prismes ; par les trian- 



L1VRV TI. 149 

pies ABD , EFH , ayaat leuri côtés égaux et parallèles , 
sont égaux , et en même temps les foces latérales ABFE , 
ADH£ , BDHF, sont des parallélogrammes ; donc le so- 
lide ABDHËF est un prisme : il en est de m'ème du solide 
GHFBCD. Je dis maintenant qi|e ces deux prismes sont 
symétriques l'un de l'autre. 

Sur la base ABD faites le prisme ABDE'F'H' qui soit le 
symétrique du prisme ABDEFH. Suirant ce qui a été 
démontré *, le plan ABF'Ë' est égal à ABFE> et le plan * 
ADH'Ë' est égal à ADEE ; mais si on compare le prisme 
^HFBGB au prisme ABDH'E'F', la base GHF est égale à 
ABD ; le l>ar»llé]ogramme GHDG, qui est égal à ABFE, 
est aussi égal à ABF'E', et le parallélogramme GFBG , qui 
est égal à ADHE , est aussi égal à ADH^E' ; donc les trois 
plans qui forment l'angle solide G dans^le prisme GHFBCD, 
sont égaux aux trois plans qai forment l'angle solide A dans 
le prisme ABDH'ET', cbacun à chacun , ;d'ailleurs ils sont 
disposés semblablement ; donc ces deur^rismes sont égaux"*", * 
et pourraient être superposés. Mais l'^in d'eux ABDH'ET' 
est symétrique du prisme ABDHËF ; donc l'autre, GHFBCD ^ 
mt aussi le symétrique de ABDHËF. 

PROPOSITION vn. 

iiiai. 

Dans toutprismeÂBCÎJesseciiansJiOVQK.STYXY, fis 
faites par des plans parallèles , sont des polygones égaux. 

Car les côtés NO , ST, sont parallèles , comme étant les 
intersections de deux plans parallèles par un troisième plan 
ABGF; ces mêmes côtés NO, ST, sont compris entre les pa- 
rallèles NS, OT, qui sont côtés du prisme ; dpnc NO es( 
égal à ST. Par une semblable raison les côtés OP, PQ, QR, 
etc., de la section NOPQR, sont égaux respectiTcment aux 
côtés TV, yX, XY, etc., de la section STVXY. D'ailleurs 
les côtés égaux étant en m^rae temps parallèles , il s'ensuit 
que les angles NOP, OPQ, etc., de la première section, sont 
égaux respectivement aux angles STY, TYX , etc* , de la 
seconde. Donc les deuiç sections NOPQR, STVXY, sont des 
polygones égaux. 



150 



GiOIÉTRIB. 



Corollaire, Toate section faite dans un prisme parallèle- 
ment à sa base , est égale à cette base. 

PROPOSITION VIII. 

THtOSÈHB. 

fig. ao8. Les deux prismes triangulaires symétriques kSù^ 

BCDFGH , dans lesquels se décompose le parallélipipède 
AG , sont équivalents entre eux. 

Par les sommets B et F menez perpendiculairement au 
côté BF, les plans làad4!, Feh^, qui rencontreront^ d'une 
part en a, d, c, de l'autre en e, fi>,g, les trois sfutres côtés 
AE , DH , CG , du même parallélipipède ; les sections Ba<2c^ 
Tehff ', seront des parallélogrammes égaux. Ces sections sont 
égales , parce qu'elles sont faites par des plans perpendi- 
* 7. culaires à une même droite et par conséquent parallèles 
elles sont des parallélogrammes , parce que deux côtés op- 
posés d'une même section àB^ de, sont les intersectioAs de 
deux plans parallèles ABFE , DGGH , par un même plan. 

Par une raison semblable, la figure Ba^F est un parallé- 
logramme , ainsi que les autres faces latérales BFgc , eéUiff, 
* déf. 4. adhe, du solide BadcFehg ; donc ce solide est un prisme ; 
et ce prisme est droit , puisque le côté BF est perpendicu- 
laire au plan de la base. 

Gela posé , si par le plan 6FHD on divise le prisme droit 
BA en deux prismes triangulaires droits oMèEhy BdcFhg; 
je dis que le prisme triangulaire oblique ABDEFH, sera 
équivalent au prisme triangulaire droit dBdeFh, 

En effet ces deux prismes ayant une partie commune 
ABDA^F, il sufi&ra de prouver que les parties restantes , 
savoir, les «olides BakDdy YeEMh sont équivalents entre 
eux. 

Or, à cause des parallélogrammes ABFE , aBF^ > les côtés 
AEt égaux à leur parallèle BF, sont égaux entre eux ; 
ainsi , en ôtant la partie commune A^ , il restera Aa=â. 
On proiivera de même <Jue J^d = HA. 

\i , pour opérer la superposition des deux so- 
^ F«EHA , plaçons Ja base Feh sur son égale 





LITIE VI. 



Bad; alors le .point e tombant en a , et le point % en lës 
côtés «E, hH^ tomberont sur leurs égaux aÂ, iH), puis- 
qu'ils sont perpendiculaires an même plan Bad. Donc les 
deux solides dont il s'agit coïncideront entièrement l'un 
avec l'autre; donc le prisme oblique BADFEH est équiva- 
lent au prisme droit BadFeh. 

On démontrera semblablement que le prisme oblique 
BDCFHG est équivalent au prisme droit BdcYhg. Mais les 
deux prismes droits BadFeh , BdcEhg sont égaux entre eux , 
puisqu'ils ont même hauteur BF, et que leurs bases Bad, 
Bde sont moitiés d'un même parallélogramme Donc les ' 3 cor. 
deux prismes triangulaires BADFEH, BDCFHG, équiva- 
lents à des prismes égaux , sont équivalents entre eux. 

Corollaire. Tout prisme triangulaire ABDHEF est la 
moitié du parallélipipède AG, construit sur le même 
angle solide A , avec les mêmes arêtes AB , AD , AE. 

PROPOSITION IX. 

THÉORÈHB. 

Si deux parallélipipèdes AG^ AL, ont une base corn- fis- ^9- 
mune ABCD, et que leurs bases sufférieuresEFGR, IKLM, 
soient comprises dans, un même plan et entre les mêmes 
parallèles EK, HL, ces deux parallélipipèdes seront 
équivalents entre eux. 

Il peut arriver trois cas , selon que El est plus grand , 
plus petit ou égal à EF ; mais la démonstration est la même 
pour tous : et d'abcvd je dis, que le prisme triangulaire 
AEIDHM est égal au prisme triangulaire BFKCGL. 

En effet, puisque AE est parallèle à BF et HE a GF, 
l'angle AEI = BFK , HEI = GFK , et HEA = GFB. De ces 
six angles les trois premiers format l'angle solide E , les 
antres forment l'angle solide F ; donc , puisque les angles 
plans sont égaux chacun à chacun , et semblablement dis- 
posés , il s'ensuit que les angles solides E et F sont égaux. 
Maintenant , si on posé le prisme AEM sur le pristne BFL, 
et d'abord la base AEI sur la base BFK , ces deux bases 



152 



GiOHtTRII. 



ëtant égales 6oiocideront ; et puisque l'anifle soUde E est 
égal à l'angle solide F, le côté EH tombera sur sou égi^l 
: il n'en faut pas davantage pour prouver que les deux 
prismes coïncideront dans toute leur étendue ; car 1^ base 
AEI et l'arête EH déterminent le prisme AE^M , comme la 

* 3. base BFK et Taréte FG déterminent le prisme BFL"*" : donc 

ces prismes sont égaux. 

Mais si du solide AL on retranche le prisme AEM , il 
restera le parallélipipède AIL ; et si du même solide AL on 
retranche le prisme BFL, il restera le parallélipipède AEG; 
donc les deux parallélipipèdes AIL, AEG, sont équivalents, 
çntre eux. 

PROPOSITION X. 

THÉOEÈHE. 

Deux paraUélipipèdes de même base et de même hau- 
teur sont équivalents entre eux* 

6g. aïo. Soit ABCD la base commune aux deux parallélipipèdes 
AG , AL ; puisqu'ils ont même hauteur, leurs bases supé- 
rieures EFGH , IKLM , seront sur le même pls^n. De plus 
les côtés £F et AB sont égaux et parallèles , il en est de 
même de IK. et AB; donc EF est égal et parallèle a IK : 
par une raison semblable GF est égal et parallèle à LK. 
Soient prolongés les côtés EF, HG , ainsi que LK , IM , 
jusqu'à ce que les uns et> les autres forment par leurs in- 
tersections le parallélogramme NOPQ , il est clair que ce 
parallélogramme sera égal à chacune des bases EFGH, 
IKLM. Or si on imagine un troisième parfiUélipipède qui , 
avec la même base inférieure ABCD , ait pour base supé- 
rieure NOPQ , ce troisième parallélipipède serait équivalent 

* 9. au parallélipipède AG"*", puisqu'aj^ant même base inférieure, 

les bases supériepres sojait comprises dans un même plan et 
entre les parallèles GQ , FN, Par la même raison ce troi- 
sième parallélipipède serait équivalent au parallélipipède 
AL; donc les deux parallélipipèdes AG, AL, qui ont inême 
base et même hauteur, sont équivalents entre eux. 



163 



PROPOSITION XI. 

Tout parallélipipède peut être changé en un parallé- 
liptpède rectangle équivalent qui aura même hauteur et 
une base équivalente. 

Soit AG le parallélipipède proposé ; des points A , B , C, fig. sio. 
D, menez AI , BK , CL, DM , perpendiculaires au plan de 
la base , yoqs formerez ainsi le parallélipipède AL équiva- 
lent au parallélipipède AG ; et dont les faces latérales AK , 
BL , etc., seront des rectangles. Si donc la base ABCD est 
un rectangle, AL sera le parallélipipède rectangle équi- 
Talent au parallélipipède proposé AG. Mais si ABCD 
n'est pas un rectangle , menez AO et BN perpendiculaires 
sur CD, ensuite OQ et NP perpendiculaires sur la base, fig. au- 
TOUS aurez le solide ABNOIKPQ qui sera un parallélipi- . 
pède rectangle : en effet , par construction , la base ABNO 
et son opposée IKPQ sont des rectangles ; les faces laté- 
rales en sont aussi , puisque les arêtes AI , OQ, etc. , sont 
perpendiculaires au plan de la base;; donc le solide AP 
est un parallélipipède rectangle. Mais les deux paralléli- ' 
pipèdes AP, AL , peuTcnt être censés avoir même base 
ABKI et même bauteur AO : donc ils sont équivalents ; donc 
le parallélipipède AG , qu'on avait d'abord changé en un ^^^^^ 
parallélipipède équivalent AL, se trouve de nouveau cbangé 
en un parallélipipède rectangle éc[uivalent AP , qui a la 
même bauteur AI , et dont la base ABNO est équivalente à 
la base ABCD. 

PROPOSITION XIL 

T 

THÉORftMB. 

Deux parallélipipèdes rectangles AG , AL , qui ont 
la même base ABCD , sont entre ew comme leurs hau- 
teurs AE , AI. 

Supposons d'abord que les bauteurs AE, AI, soient fig. 21a, 
entre elles comme deux nombres entiers , par exemple , 
comme 15 est à 8. On divisera A£ en 15 parties égales, 



« 



1S4 GiOHÉTRII, 

dont AI contiendra 8, et par les points de division x, 
y y z, etc., on mènera des plans parallèles à la base. Ces 
plans partageront le solide AG en 15 parallëlipipèdes par- 
tiels qui seront tons égaux entre eux , comme ayant des 
bases égales et des hauteurs égales; des bases égales, parce 
que toute section comme MIKL, faite dans un prisme 
7- parallèlement à sa base ABCD , est égale à cette base * ; 
des hauteurs égales , parce que ces hauteurs sont les divi- 
sions mêmes Ax, xy, sz, etc. Or, de ces 15 parallëlipipèdes 
égaux , huit sont contenus dans AL ; donc le solide AG est 
au solide AL comme 15 est à 8, ou en général comme la 
hauteur A£ est à la hauteur AI. t 

En second lieu, si le rapport de AE à AI ne peut s'ex- 
primer en noipbres, je dis qu'on n'en aura pas moins 
êolid, AG : solid, AL :: AË : AI. Car, si cette proportion n'a 
pas lieu, supposons qu'on ait sol, AG ; soi. AL :: AE : AO. 
Divisez AE en parties égales dont chacune soit plus petite 
que 01 , il y aura au moins un point de division m entre 
et I. Soit P le parallélipipède qui a pour base ABGD et 
pour hauteur Am; puisque les hauteurs AE, Am sont entre 
elles comme deux. nombres entiers, on aura soL AG : P :: 
AE : Am, Mais on a, par hypothèse , soi, AG : soi, AL :: 
AE ; AO ; de là résulte sol. AL : P AO : Am. Mais AO est 
plus grand que Am ; donc il faudrait , pour que la propor- 
tion eût lieu, que le solide AL fût plus grand que P. Or 
au contraire il est plus petit : donc il est impossible que 
le quatrième terme de la proportion soi, AG : soL AL :: 
AE : s, soit une ligne plus grande que AI. Par un raison- 
nement semblable on démontrerait que le quatrième tçrme 
ne peut être plus petit que AI ; donc il est égal à AI ; donc 
les parallëlipipèdes rectangles de même base sont entre eux 
comme leurs hauteurs^ 

WtÔPOSITION XIII. 

THÉORÈME. 

Ê 

^miléiipijjèdes rectangles AG , AK , qui mt 
r JlB , entre eux comme leurs btises 




LIVRE VI, 



Ayant placé les deux solides Vun à côté de l'antre^ comme 
la figure les représente , prolongez le plan ONKL , jusqu'à 
cé qu'il rencontre le plan DCGH suivant PQ, vous aurez 
un troisième parallélipipède AQ, qu'on pourra comparer 
à chacun des parallélipipèdes AG, AK. Les deux solides 
AG, AQ, ayant môme basé AEHD, sont entre eux comme 
leurs hauteurs AO, AB; pareillement les deux solides AQ , 
AK, ayant même base AOLE, sont entre eux comme leurs 
hauteurs ÂJ), AM. Ainsi on aura les deux proportions , 

9ol. AG : soi. AQ ; : AB : AO , 

êoL AQ : 90Î. AK : : AD ; AM. 
Multipliant ces deux preportions par ordre, et omettant , 
dans le résultat, le multiplicateur commun 9ol, AQ, on 
aur«i , 

êol. AG : sol. AK : ; AB X AD : AO x AM. 

Mais ABx AD représente la base ABGD, et AOx AM re- 
présente la base AMNO; donc deux parallélipipèdes rec- 
tangles de même hauteur sont entre eux comme leurs 
bases. 

PROPOSITION XIV. 

THiORÈflB. 

Deux parallélifdpèdeê rectangles quelconques sont 
entre eux comme les produits de leurs bases par leurs 
hauteurs, ou comme les produits de leurs trois dimen- 
sions. 

Car ayant placé les deux solides AG , AZ , de manière fig* ai 3. 
que leurs surfaces aient l'angle commun BAE , prolongez 
les plans nécessaires pour former le troisième parallélipi- 
pède AK de même hauteur avec le parallélipipède AG. On 
aura ^ par la proposition précédente , 

êoL AG : soi. AK :: ABGD : AMNO. 

Mais les deux parallélipipèdes AK, AZ, qui ont même base 
AMNO, sont entre eux comme leurs hauteurs AE, AX^ 
ainsi on a , 

sol. AK : sol. AZ :: AE : AX. 



m 



GtOMiTlIB. 



MaltîpHant ces deux proportions par ordre , et omettant , 
dans le résultat, le multiplicateur commun êoL AS.^ on 
aura , 

sol. AG : soi. AZ : : ABCD x AE : AMNO x AX. 

A Ja place des bases ABCD et AMNO, on peut mettre 
ABx AD et AOx AM, ce qui donnera , 

sol. AG: sol. AZ : : ABx ADx AE : AOx AMx AX. 

Donc deux parallélipipèdes rectangles quelconques sont 
entre eux, etc. 

Scholie, n suit dé là qu'on peut prendre pour mesure 
d'un parallëlipipède rectangle le produit de sa base par sai 
hauteur, qu le produit de ses trois dimensions. C'est sur ce 
principe que nous évaluerons tous les autres solides* 

Pour l'intelligence de cette mesure il faut se rappeler 
qu'on entend. par produit de deux ou de plusieurs lignes , 
le produit des nombres qui représentent ces lignes , et ces 
nombres dépendent de l'unité linéaire qu'on peiit prendre 
à volonté : cela posé , le produit des trois dimensions d'un 
parallélipipède est un nombre qui ne signifie rien en lui- 
même, et qui serait différent si on avait pris une autre 
unité linéaire. Mais si on multiplie de même les trois dimen- 
sions d'un autre parallélipipède, en les évaluant d*après 
la même unité linéaire , les deux produits seront entre eux 
comme les solides , et donneront l'idée de leur grandeur 
relative. 

La grandeur d'un solide , son volume ou son étendue 
constituent ce qu'on appelle sa solidité, et le mot de solidité 
est employé particulièrement pour désigner la mesure d'un 
solide : ainsi on dit que la solidité d'un parallélipipède rec- 
tangle est égale au produit de sa base par sa hautear, ou 
au produit de ses trois dimensions. 

Les trois dimensions du cube étant égales entre elles , si 
le côté est 1 , la solidité sera 1x1x1, ou I ; si le côté 
est 2, la solidité sera 2x2x2, ou 8; si le côté est â, la * 
soliditéseraSxSxS, ou27,et ainsi de suite; ainsi les côtés 
des cubes étant conmie les nombres 1,2, S, etc., lés cubes 
eux-mêmes ou leurs solidités sont comme les nombres 1 , 



I 



LIVEl VI, 



6 , 27 , etc. De là vient qu'on appelle en arithmétique tu6e 
d'un nombre le produit qui résulte de trois facteurs égaux 
à ce nombre. 

Si on proposait de faire un cube double d'un cube donné , 
il faudrait que le côté du cube cherché fut au côté du cube 
donné comme la racine cube* de S est à l'unité. Or on 
trouve facilement , par une construction géométrique , la 
racine carrée de â ; mais on ne peut pas trouver de même 
sa racine cube , du moins par les simples opérations de la 
géométrie élémentaire , lesquelles consistent à n'employer 
que des lignes droites dont on connaît deux pointa ^ et des 
cercles dont les centres et les rayons sont déterminés. 

A raison de cette difficulté le problème de la duplication 
du ûuhe a été célèbre parmi les anciens géomètres , comme 
celui de jla trisection de l'angle y qui est à-peu-près du même 
ordre, itfais on connaît depuis long-temps les solutions dont 
ces sortes de problèmes sont susceptibles , lesquelles , quoi* 
que moins simples que les constructions de la géométrie 
élémentaire, ne sont cependant ni moins exactes, ni moins 
rigoureuses. 

PROPOSITION XV. 

THÉORÈm. 

La solidité d'un parallélipipède, et en général la 
solidité d'un prisme quelconque, est égale au produit de 
sa base par sa hauteur. 

Car 1^ un parallélipipède quelconque est équivalent à un 
parallélipipède rectangle de même hauteur et de base équi- 
valente*. Or la solidité de celui-ci est égale à sa base mul- * ii. 
tipliée par sa hauteur ; donc la solidité du premier est 
pareillement égale au produit de sa base par sa hauteur ; 

â** Tout prisme triangulaire est la moitié du parallélipi- 
pède construit de manière qu'il ait la même hauteur et une 
base double"^. Or la solidité de celui-ci est égale à sa base * & 
multipliée par sa hauteur ; donc celle du prisme triangu- 
laire est égale au produit de sa base, moitié de celle du 
parallélipipède, multipliée par sa hauteur. 



158 GiOKÉTlIB. 

â<» Un prisme qaeloonqae peut être partagé en antant de 
prismes triangulaires de même haatear qu'on peut former 
de triangles dans le polygone qai lui sert de base. Mais la 
solidité de chaque prisme triangulaire est égale à sa base 
multipliée par sa hauteur ; et puisque la hauteur est la 
même pour tous, il s*en8uitt[ue la somme de tous les pris- 
mes partiels sera égale à la somme de tous les triangles qui 
leur serrent de bases, multipliée par la hauteur commune. 
Donc la solidité d'un prisme polygonal quelconque est 
égale au produit de sa base par sa hauteur. 

Corollaire, Si on compare deux prismes qui ont même 
hauteur, les produits des bases par les hauteurs seront 
comme les bases ; donc ieux priomês do mémo hauteur sont 
entre eux comme lèure baeee; par une raison semblable, 
deus priemee de même haee sont entre eux comme leure 
hauteurs. 

PROPOSITION XVl. 

Bg. 9i4- St une pyramide SABCDE est coupée par un plan 
abd parallèle à sa base, 

V Les côtés SA, SB, SC,-... la hauteur SO, seront 
divisés proportionnellement en a, h, c,.,, et o; 

2® La section abcde sera un polytfone semblable à la 
basé ABCDE. 

Car lo les plans ABC , abc, étant parallèles , leurs inter- 
sections AB , , par un trobième plan SAB , seront paral- 
* 10, 5. lèles'i' , donc les triangles SAB , Sab, sont semblables , et 
on a la proportion SA : Sa : : SB : S^; on aurait de même 
SB : S& : : Sdx Se , et ainsi de suite. Donc tous les côtés 
SA , SB , se , etc. , sont coupés propcurtionnellement en 
a, b, e» etc. La hauteur SO est coupée dans la même pro- 
portion au point ; car BO et ^ sont parallèles , et ainsi on 
a SO : So : : SB : Sb, 

2» Puisque ab est parallèle à AB , à BC , à CD, etc., 
l'angle a«c = ABC, l'angle ^^=:s=BCD, et ainsi de suite. 
De plus, à cause des triangles semblables SAB, Sab, on a 



UYftB TI, , 159 

AB ; : : SB : Sè; et à cause des triangles semblables SBC, 
on a SB : S^ : : BG : Bc ^ donc AB : ab i : BG : be : on 
aurait die même BC : be : : GD ; ed, et ainsi de suite. Donc 
les polygones ABCD£ , aèede, ont les angles égaux chacun 
à chacun et les cètés homologues proportionnels; donc ils 
sont semblables. 

Corollaire. Soient SABCDE, 5XYZ, deux pyramides 
dont le sommet est commun , et qui ont même hauteur, ou 
dont les bases sont situées dans un même plan ; si on coupe 
ces pyramides par un même plan parallèle au plan des 
bases , et qu'il en résulte les sections abede, xyt; je dis que 
le9 sections abcde, xyz, seront enire elles comme les boises 
ABCDE,XyZ. 

Car les polygones ABCDE, abede, étant semblables^ leurs 
surfaces sont comme les carrés des côtés homologues AB , 

ab; mais AB : ab :: SA : Sa; donc ABCDE : abcde :: SÂ": Sa. 

Par la même raison , XYZ : xyz :: SX : Si. Mais puisque 
abcxyz n'est qu'un même plan, on a aussi SA : Sa :: SX : Sx; 
donc ABCDE : abcde :: XYZ : xyz; donc les sections aScde, 
syz, sont entre elles comme les bases ABCDE, XYZ. Donc 
si les bases ABCDE , XYZ sont équivalentes , les sections 
faites à égale hauteur sont paBeiUement équivalentes. 

PR0P0SITI0]>1 XYII. 

TlUORÈHI, 

Deux pyramides triangulaires qui ont des bases équi- 
valentes et des hauteurs égales y sont équivalentes. 

Soient S ABC, sabc les deux pyramides dont les bases fig. ai 5. 
ABC , abe, que nous supposons placées sur un même plan , 
sont équivalente^ et qui ont même haateur TA ; si ces 
pyramides ne sont pas équivalentes , soit sabc la plus petite 
et soit A^ la hauteur d'uji prisme qui, étant construit sur 
la base ABC , serait égal à leur différence. 

Divisez la hauteur commune AT en parties égales plus 
petites que A^ ^ et soit h une de ces parties ; par les points 
de division de la hauteur, faites passer des plans parallèles 



160 



GtOfltTRII « 



au plan des bases ; les sections faites par chacon de ces 
cor. plans dans les deux pyramides, seront équivalentes*, telles 
que DEF et àtf, GHI et ghi^ etc. Cela posé , sur les trian- 
gles ABC, DEF, GHI, etc., pris pour bases, construisez 
des prismes extérieurs qui aient pour arêtes les parties AD, 
DG, GK, etc., du côté SA; de même sur les triangles 
àtfj ghij klm, etc., pris pour bases, construisez dans la 
seconde pyramide des prismes intérieurs qui aient pour 
arêtes les parties correspondantes du côté #a; tous ces 
prismes partiels auront pour hauteur commune k, 

La somme des prismes extérieurs de la pyralnide SABG 
est plus grande que cette pyramide , la somme des prismes 
intérieurs de la pyramide saàe est plus petite que cette 
pyramide ; donc' par ces deux raisons la différence entre 
les deux sommes de prismes devra être plus grande que la 
différence entre les deux pyramides. 

Or à partir des bases ABG , abe, le second prisme exté- 
rieur DEFG est équivalent au premier prisme intérieur 
defa, puisque leurs bases DEF, def, sont équivalentes et 
qu'ils ont une même hauteur k; sont équivalents par la 
même raison le troisième prisme extérieur GfllK et le 
second intérieur ghtd, le quatrième extérieur et le troi- 
sième intérieur, ainsi de suite jusqu'au dernier des uns et 
des autres. Donc tous les prismes extérieurs dé la pyramide 
SABG , À l'exception du premier ABCD , ont leurs équiva- 
lents dans les prismes intérieurs de la pyramide êoie. Donc 
le prisme ABCD est la différence entre la somme des prismes 
extérieurs de la pyramide SABG et la somme des prismes 
intérieurs de la pyramide sabe ; mais la différence de ces 
deux sommes est plus grande que la différence des deux 
pyramides ; donc il faudrait que le prisme ABGD fût plus 
grand que le prisme ABGX ; or au contraire il est plus 
petit , puisqu'ils ont une même base ABG , et que la hauteur 
k du premier est moindre que la hauteur kx du second. 
Donc l'hypothèse d'où l'on est parti ne saurait avoir lieu ; 
donc les deux pyramides SABG , saie, de bases équivalentes 
et de hauteurs égales , sont équivalentes. 



LIVRE Vf. 



161 



PROPOSITION XVIII. 

THtORtHlE. 

Toute pyrdmide triangulaire est le tiers du prisme 
triangulaire de même base et de même hauteur. 

Soit âAËGD une pyramide triangalaire , ABCDËS un fig. ai6, 
pri&me triangalaire de même base et de même hauteur, je 
dis que la pyramide est le tiers du prisme. 

Retranchez du prisme la pyramide SABG , il restera le 
solide SAGDE, qu'on peut considérer comme une pyramide 
quadrangnlaire dont le sommet est S et qui a pour base le 
parallélogramme AGDË: tirez la diagonale G£ et conduisez 
le plan SGË qui partagera la pyramide quadrangnlaire en 
deux pyramides triangulaires SAGE , SDGE. Ges deux py- 
ramides ont pour hauteur commune la perpendiculaire 
abaissée du sommet S sur le plan AGDE; elles ont des 
bases égales , puisque les triangles AGE , DGE , sont les 
deux moitiés du même parallél(^ramme ; donc les deux 
pyraihides SAGE , SDGE , sont équiTalentes entre elles ; 
mais la pyramide SDGE et la pyramide SABG ont des 
bases égales ABG, DES; elles ont aussi même hauteur, 
car cette hauteur est la distance des plans parallèles ABG, 
DES. Donc les deux pyramides SABG , SDGE, sont équi- 
valentes ; mais on a démontré que là pyramide SDGE est 
équivalente à la pyramide SAGE ; donc les trois pyramides 
SABG, SDGE, SAGE, qui composent la prisme ABD sont 
équivalentes entre elles. Donc la pyramide SABG est le 
tiers du prisme ABD qui a même base et même hautear. 

Coroîlairei La solidité d'une pyramide triangalaire est 
égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur. 

PROPOSITION XIX. 

THtoaftKE. 

Toute pyramide SABCDE ù pour mesure le tiers du fig. 2114. 
produit de sa base ABGI)E par sa hauteur AO. 

Gar en faisant passer les plans SEB , SEG , par les diago- 

n 



GtOHtTllI. 



ilales EB , EG, on divisera la pyramide polygonale SABGDE 
en plnfienrs pyramides triangulaires qoi auront toutes la 
même hauteur SO. Mais par le théorème précédent cha- 
cune de ces pyramides se mesure en multipliant chacune 
. des bases A6E , BCE , GDE , par le tiers de sa hauteur SO; 
donc la somme des pyramides triangulaires , ou la pyra- 
mide polygonale SABGDE, aura pour mesure la somme des 
triangles ABE, BGE, GDE, ou le polygone ABGDE, mul- 
. tiplié par jSO ; donc toute pyramide a pour mesure le tiers 
du produit de sa base par sa hauteur. 

Corollaire I. Toute pyramide est le tiers du prisme de 
même base et de même hauteur. 

Corollaire II. Deux pyramides de même hauteur sont 
entre elles comme leurs bases, et deux pyramides de 
même base sont entre elles comme leurs hauteurs. 

Scholie, On peut évaluer la solidité de tout corps po- 
lyèdre en le décomposant en pyramides , et cette décom- 
position peut se faire de plusieurs manières : une des plus 
simples est de faire passer les plans de division par le 
sommet d'un même angle solide ; alors on aura autant de 
pyramides partielles qu'il y a de faces dans le polyèdre , 
excepté celles qui forment l'angle solide d'où partent les 
plans de division. 

PROPOSITION XX. 

THiOlt». 

Deux polyèdres eyméMqttes sont ëquivaietUs entre 
eux ou égaux en solidité. 
fig. aoa. Gar deux pyramides triangulaires symétriques, tellea 
que SABC , TABG , ont pour mesure commune le produit 
de la base ABG par le tiers de la hauteur SO ou TO ; donc 
ces pyramides sont équivalentes entre elles. 

â<» Si on partage d'une manière quelconque l'un des 
polyèdres symétriques eh pyramides triangulaires, on 
pourra partager de même l'autre polyèdre en pyramides 
triangulaires symétriques; or lesi pyramides triangulaires 
symétriques sont équivalentes chacune à chacune; donc 



LIYU YI. 163 

les polyèdres ei^tiera seront équivalents entre eux, on égaux 
en solidité. 

SchoUe, Cette proposition semblait résulter immédiate- 
ment de la proposition Ils où l'on a fait voir que dans deux 
polyèdres symétriques, toutes les parties constituantes ^ 
d'un solide sont égales aux parties constituantes de l'autre; 
maïs il n'en était pas moins nécessaire de la démontrer 
d'une, manière rigoureuse. 

PROPOSITION XXI. 

tBtORÈHE. 

Si une pyramide est coupée par un plan parallèle à 
sa base y le tronc qui reéte en ôtant la petite pyramide , 
est égal à la somme de trois pyramides qui auraient pour 
hauteur commune la hauteur du trône, et dont les bases 
seraient la base inférieure du tronc, sa base supérieure, 
et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases. 

Soit ABGDE u^e pyramide coupée par le plan abd parai- fig- ai?, 
lèle à la base ^ soit TFGH une pyramide triangulaire dont 
la base et la hauteur soient égales ou équivalentes à cëUes 
de la pyramide S ABGDE. On peut supposer les deux bases 
située» sur un même plan | et alors le plan abd , prolongé , 
détermiliera dans la pyramide triangulaire une section^A , 
située à la même hauteur au-dessus du plan commun des 
bases : d'où il résulte que la section>JrA est à la section abd 
comme la base FGH est à la base ABD et puisque les * i6. 
bases «ont équivalentes , les sections le seront aussi. Les 
pyramides Sabcde, Xfyh, s(mt donc équivalentes » puis- 
qu'elles ont même hauteur et des bases équivalentes. Les 
pyramides entières S ABGDE, TFGH, sont équivalentes 
par la même raison; 4onc les troncs ABDdab, FGUhfy, 
sont équivalents, et par conséquent il suffira de démontrer 
la prc^sition énoncée , pour le seul cas du tronc de pyra- 
mide triangulaire. 

Soit FGH^ un tronc de pyramide triangulaire à bases fig. ai8. 
parallèles : par les trois points F, fi, conduisez le plan 



GiOKtTRIE. 



FyH , qui retranchera du tronc la pyramide triangolaire' 
yFGH. Cette pyramide a ponr base la base inférieure 
FGH du tronc, elle a aussi pour hauteur la hauteur du 
tronc , puisque le sommet ^ est dafis le plan de la base su- 
périeure 

Après avoir retranché cette pyramide , il restera la py- 
ramide quadrangulaire sfKSF, dont le sommet est g et la 
basey%HF. Par les trois points/, H , conduisez le plan 
fgH , qui partagera la pyramide quadrangulaire en deux 
triangulaires gYfH , gfkïL, Cette dernière a pour base la 
base supérieure gfk du tronc , et pour hauteur la hauteur 

^ du tronc , puisque son sommet H appartient à la base in- 
férieure : ainsi nous avons déjà deux des trois pyramides 
qui doivent composer le tronc. 

Il reste à considérer la troisième gT^fR : or, si on mène 
parallèle à /F, et qu'on imagine une nouvelle pyramide 
/FHK , dont le sommet est K et la base , ces deux 
pyramides auront môme base ; elles auront aussi mèmp 
hauteur, puisque les sommets ^ et K sont situés sur une 
ligne parallèle à ^ et par conséqûeût parallèle au 
plan de là base; donc ces pyramides sont équivalentes. 
Mais là pyramide /FKH peut être considérée 6omme ayant 
son sommet en fy et ainsi elle aura même hauteur que le 
tronc ; quant à sa base FKH , je dis qu'elle est moyenne 
proportionnelle entre les bases FGH, fgh. En efiet les trian- 
gles FHK ont un angle égal F=/, et un côté égal FK 

3. z=zfg; on a donc* FHK ifgh : : FH :/h. On a aussi FHG : 
FHK : : FG : FK ou^. Mais les triangles semblables FGH , 
fgh , donnent FG :^ : : FH :/h; donc FGH : FHK : : FHK : 
fgh; et ainsi la base FHK est moyenne proportionnelle entre 
les deux bases FGH, fgh. Donc un tronc de pyramide 
triangulàire , à bases parallèles, équivaut à trois 'pyra- 
mides qui ont pour hauteur commune la hauteur du tronc, 
et dont les bases sont la base inférieure du tronc , sa base 
supérieure, et une moyenne proportionnelle entre ces deux 
bases. 



L1V1|E VI. 



165 



PROPOSITION XXII. 

THtORÈlB. 

St an coupe un prisme triangulaire dont ABC est la fig- a 16. 
basej par un plan DES incliné à cette base, le solide 
ABGDES , qui résulte de cette section y sera égal à la 
somme de trois pyramid^es dont les sommets sont I) , E , 
S, et la base commune ABC. 

Par les trois points S , A , C , faites pajsser le plan SAC , 
qui retranchera da prisme tronqué ABGDES la pyramide 
triangulaire SABG : cette pyramide a pour base ABC et pour 
sommet le point S. 

Après avoir retranché cette pyramide , il restera la pyra- 
mide triangulaire SAGDË , dont S est le sommet^ et ACDE 
la base. Par les trois points S , E , G , menez encore un plan 
SEG , qui divisera la pyramide quadrangulaire en deux 
pyramides triangulaires SAGE , SGDE. 

La pyramide SAEC , qui a pour base le triangle AEG et 
pour sommet le point S , est équivalente à une pyramide 
EABG, qui aurait pour base AEC et pour sommet le point 
B. Car. ces deux pyramides ont même base ; elles ont aussi 
même hauteur, puisque la ligne BS , étant parallèle à cha- 
cune des lignes AE, CD, est parallèle à leur plan AGE; 
donc la pyramide SAEG est équivalente à la pyramide 
EABG , laquelle peut être considérée CQmme ayant pour 
base ABG et pour sommet le point E. 

La troisième pyramide SGDE peut être changée d'abord 
en ASGD ; car ces deux pyramides ont la même base SCD ; 
elles ont aussi la même hauteur, puisque AE est parallèle 
au plan SGD ; donc la pyramide SGDE est équivalente à 
ASGD. Ensuite la pyramide ASGD peut être changée en - 
ABGD, car ces deux pyramides ont la base commune AGD ; 
elles ont aussi la même hauteur, puisque leurs sommets S 
et B sont situés sur une parallèle au plan de la base. Donc 
la pyramide SGDE, équivalente à ASGD, est aussi équi- 
valente à ABGD ; or, celle-ci peut être regardée comme 
ayant pour base ABG et pour sommet le point D. 



166 



GftoHtnn. 



Donc enfin , le prisme troncpië ABGDES est égal à la 
somme de trois pyramides qui ont pour base commune 
ABC , et dont les sommets sont respectivement les points 

D, E, S. 

Corollaire. Si les arêtes AE , BS , CD , sont perpendicu- 
laires an plan de la base , elles seront en même temps les 
hauteurs des trois pyramides qui composent le prisme tron- 
qué ; de sorte que la solidité du prisme tronqué sera ex- 
primée par ^ABG x AE+f ABC x BS+îABG X CD, quantité 
qui se réduit à ^ABC x (AE+BS-hCD). 

PROPOSITION XXIII. 
THtoakiB. 

Deux pyramide» triangulaires semblables ont les faces 
homologues semblables , et les angles solides homologues 
égaux. 

Suivant la définition , les deux pyramides triangpolaires 
SABC , TDEF, sont semblables si les deux triangles SAB , 
fig- ao3. ABC , sont semblables aux deux TDE , DEF, et semblable^ 
ment placés, c'est-à-dire, si l'on a l'angle ABSs=DET, 
BASssEDT, ABCniDEF, BACsssEDF, et si en outre 
l'inclinaison des plans SAB, ABC, est égale a celle des plans 
TDE , DEF : cela posé , je dis que ces pyramides ont toutes 
les faces semblables chacune à chacune , et les angles so- 
lides homologues égaux. 

Prenez BG*=ED , BHr=EF, BI=ET, et joigne» GH, 
GI , IH. La pyramide TDEF est égale à la pyramide IGBH; 
car ayant pris les côtés GB, BH, égaux aux côtés DE, EF, 
et l'angle GBH étant , par hypothèse , égal à l'angle DEF, 
Je triangle GBH est égal à DEF; donc, pour opérer la 
superposition des deux pyramides , on peut d'abord placer 
la base DEF sur son égale GBH ; ensuite , puisque le plan 
DTE est incliné sur DEF autant que le plan SAB sur ABC, 
il est clair que le plan DËT tombera indéfiniment sur le plan 
ABS. Mais , par hypothèse , l'angle DET=GBI , donc ET 
tombera sur son égale BI ; et puisque les quatre points D , 

E, F, T, coïncident avec les quatre G , B, H , 1 , il s'en- 



LIYBK VI. 



167 



guit * que U pyramide TDEF coïncide avec la pyramide * i. 
IGBH. 

Or, à c^use des triaoglçs égaux DEF, GBH , ou a Fangle 
BGHssËDF=BAG ; donc GHest parallèle à AG. Par une 
raison semblable GI est parallèle à AS ; donc le plan IGH 
est parallèle à SAG"*". De là suit que le triangle IGH , ou * i3, 5. 
son égal TDF,. est semblable à SAC * , et que le triangle * i5. 
IBH, ou son égal TËF, est semblable à SBG; donc les 
deux pyramides triangulaires sen^blables 3 ABC, TDEF, 
ont les quatre faces semblables cbacune a cbaoune : de 
plus elles ont les angles solides homologues égaux. 

Car on a déjà placé l'angle ^oli(ie £ son homologue 
B , et on pourrait faire de même pour dçux autres angles 
solides homologues ; nuiis on yçit immédiatement que deux 
angles solides homologues sont égaux » par exemple , les 
angles T etS, panse qu'ils sont formés par trois angles 
plans égaux ehacun à chacun, ,et semblablement placés. 

Donc, deux, pyramides triangulaires semblables; ont les 
Caees homologues semblables et les angles solides homolo*- 
gues égaux^ 

CàroHaiTÊ L l^es triangles semblables dans les deux pyra- 
mides fournissent les proportions AB : DE ;: BC ; EF :: AG : 
DF :: AS : PT SB : TE :: 5C : TF ; donc , dan» les pyra- 
mides iriangultUree eemUMes, les eétèê homologues sont 
proparti'ennels. 

Corollaire IL Et puisque les angles solides homologues 
sont égaux, il s'ensuit que l'ineUnaison de deux faces quel- 
conques d'une pyramide est è^le à l'inclinaison des deux 
faces homologues de la pyramide semblable. 

Corollaire m. Si on coupe la pyramide triangulaire SÀBC 
par un plan GIH parallèle à l'une des faces SAC , la pyra- 
mide partielle BGIH sera semblable à la pyramide entière 
BASC : car les triangles BGI, BGH, sont semblables aux 
triangles BAS , BAG, chacun à chaena, et semblablement 
placés; Tinclinaison de leurs plans est la même de part et 
d'autre; donc les deux pyramides sont semblables. 

Corollaire iV. En général , si on eoupe une pyramide quel- fig. 214. 
conque SASCDEpar un plan aboàe parallèle à la base, la 



168 



QtOHATRIB. 



pyramide partielle Sabcde eera eemblable à la pyramide 
entière SABCDE. Car les bases ABCDË , abede, sont sem- 
blables , et enjoignant AC, ac, on vient de prooYer que la 
pyramide triangulaire SABC est semblable à la pyramide 
S^be; donc le point S est déterminé par rapport à la base 
*4éf. i8. ABC comme le point S l'est par rapport à la base ahc*; 
donc les deux pyramides SABCDE, Sabcde, sont sem- 
blables. 

Seholie, Au lieu des cinq données requises par la défini- 
tion pour que deux pyramides triangulaires soient sembla- 
bles , on pourrait en substituer cinq autres , suivant diffo-» 
rentes combinaisons, et il en résulterait autant de théorèmes, 
parmi lesquels on peut distinguer celui-ci : Deu» pyranUdee 
triangulairee eont eemblablee lorequ'ellee oril lee eôtée homo- 
léguée proportionnele» 
fig. ao3. Car, si on a les proportioQs AB : DE :: BG : £F : : AC : 
DF :: AS : DT :: SB : TE : : SC : TF, ce qui tenferme cinq 
conditions , les triangles ABS, ABC, seront semblables aux 
triangles DËT, DEF, et semblablement placés. On aura 
aussi le trian^^ SBC semblable à TEF ; donc les trois 
angles plans qui forment l'angle solide B , seront égaux 
aux angles plans qui forment l'angle solide £, chacun à 
chacun ; d'où il suit que l'inclinaison des plans SAB, ABC, 
est égale à celle de leurs homologues TDE, DEF, et 
qu'ainsi les deux pyramides sont semblables. 

PROPOSITION XXIV. 

THÉORtn. 

Deti^ paiffèiires semblables ont les faces homologues 
semblables y et les angles solides homologueâ ^aux. 
fig. 319. Soit ABCDE la base d'un polyèdre ; soient M et N les 
sommets de deux angles solides , hors de cette base , déter- 
minés par les pyramides triangulaires M ABC , NABC, dont 
la base commune est ABC; soient dans l'autre polyèdre , 
abcde la base homologue ou semblable à ABCDE ein 
les sommets homologues à M et N , déterminés par les 
pyramides mahc, nabe, semblables aux pyramides MABC, 



LIVB» VI. 169 

NABG ; je dis d'abord que les distances MN , mn, . sont 
proportionnelles aux côtés homologaes AB, a5. 

En efiet, les pyramides M ABC, m(^e, étant semblables, 
l'incUnaison des plans MAC , BAC , est égale à celle des 
plans mac y bac; pareillement les pyramides NABG, nahc^ 
étant semblables , l'inclinaison des plans NAG , BAG , est 
égale a celle des plans nac , bac : donc , si on retranche les 
premières inclinaisons des dernières, il restera Tinclinaison 
des plans NAG , MAC , égale à celle des plans nac, mme. 
Mais 9 à cause de la similitude des mêmes pyramides , le 
triangle MAC est semblable à mac, et le triangle NAG est 
semblable i nao : donc les deux pyramides triangulaires 
MN AG 9 mnae , ont deux faces semblables chacune à cha- 
cun^, semblablement placées et également inclinées entre 
elles; donc ces pyramides sont semblables"" , et leurs côtés 
homologues donnent la proportion MN : mn :: AM : am. 
D'ailleurs AM ; am:: AB : ab; donc MN : mn : : AB : aè. 

Soient P etp deux autres sommets homologues des mêmes 
polyèdres, et on aura semblablement PN : pn :: A^ : ab, 
PM : pm i: AB : ab. Donc MN : mn : : PN : ; : PM : pm. 
Donc le triangle PNM qui joint trois sommets quelconques 
dhin polyèdre est semblable au triangle pnm qui Joint les trois 
sommets homologuer de l'autre, polyèdre, * 

Soient encore Q et ; deux sommets homologues , et le 
triangle PQN sera semblable à pqn. Je dis de plus que 
l'inclinaison des plans PQN , PMN 9 est égale i celle des 
plans pmn, 

Gar si on joint QM et qm, on aura toujours le triangle 
QNM semblable à qnm , et par conséquent l'angle QNM 
égal à qnm. Concevez en N un angle solide formé par les 
trois angles plans QNM , QNP , PNM , et «n n un angle 
solide formé par les trois angles plans qnm, qnp, pnm : 
puisque ces angles plans sont égaux chacun à chacun 9 il 
s'ensuit que les angles solides sont égaux. Donc l'inclinaison 
des deux plans PNQ^ PNM, est égale à celle de leurs 
homohffuespnqj pnm; donc 9 si les deux triangles PNQ, 
PNM , étaient dans un même plan , auquel cas on aurait 
l'angle QNM =; QNP + PNM , on aurait aussi l'angle 



170 



qnm = gnp'{'pnm, et les deux triangles qnp, pnm, seraient 
aussi dans un même plan» 

Tout ce qui vient d'être démontré a lieu, quels que 
soient les angles M, N, P, Q, comparés à leurs homolo- 
gues m, jr. 

Suj^osons maintenant que la surface de l'on des polyè- 
dres soit partagée en triangles ABC 9 AGD, MNP, NPQ, etc., 
on Toît que la surface de l'autre polyèdre èontiendra un 
pareil nombre de triangles abc, œdj mnp, npq, etc., sem- 
blables et semblablement placés ; et si plusieurs triangles , 
comme MPN, NPQ, etc., appartiennent à une même face et 
sont dans un même plan, leurs homologues mpn, npq, etc., 
seront pareillement dans un même plan. Donc toute &ce 
polygone dans un polyèdre répondra à une fsoe polygone 
semblable dans l'autre polyèdre ; donc les deux polyèdres 
seront compris sous un même nombre de plans semblables 
et semblablement placés. Je dis de plus que les angles 
solides homologues seront égaux. 

Car, si l'angle solide N , par exemple , est formé par les 
angles plans QNP , PNM , MNR , QNR , l'angle solide 
homologue n sera formé par les angles plans qttpj pnm , 
mnr, gnr. Or, ces angles plans sont égaux ehacun à cha- 
cun , et Finclinaisou de deux plans adjao^ts est égale à 
celle de leurs homologues; donc les deux angles solides 
sont égaux , comme pouvant être superposés. 

Donc enfin deux {M>lyèdres semblables ont les faces 
homologues semblable^ et les, angles solides homologues 
égaux. 

Corollaire. 11 suit de la démonstration précédente que 
si, avec quatre sommets d'un polyèdre, on forme une 
pyramide triangulaire , et qu'on en forme une seconde avec 
les quatre sommets homologues d'un polyèdre semblable, 
ces deux pyramides seront semblables ; ci^r elles auront les 
i,sch. côtés homologues proportionnels'". 

On voit en même temps que deux diagonales homolo- 
17, a. gués"*" , par exemple,. AS, an, sont entre elles comme deux 
côtés homologues AB , ab. 



uvEi yi. 



171 



PROPOSITION XXV. 

TBÉORfcltt. 

Deux polyèdres semblables peuvent se partager en un 
même nombre de pyramides triangulaires semblables 
chacune à chacme, et semblablement placées. 

Car oa a déjà vu que les surfaces de deux polyèdres 
peuvent se partager en un même nombre de triangles sem- 
blables chacun à chacun , et semblablement placés. Consi- 
dérez tous les triangles d'un polyèdre, excepté ceux qui 
forment l'angle solide A , comme les bases d'autant de pyra- 
mides triangulaires dont le sommet est en A; ces pyra- 
mides prises en&emblç composeront le polyèdre : partagez 
de même l'autre polyèdre en pyramides qui aient pour 
sommet commun celui de l'angle a homologue à A ; il est 
clair que la pyramide qui joint quatre sommets d'un po- 
lyèdre sera semblable à la pyramide qui joint les quatre 
sbmmets homologues de l'autre polyèdre. Done deux po- 
lyèdres semblables , etc. 

PROPOSITION XXVI. 
THtoat». 

Deux pyramides semblables sont entre elles comme 
les cubes des côtés homologues. 

Car deux pyramides étant semblables, la plus petite fig. a 14. 
pourra être placée dans la plus grande , de manière qu'elles 
aient l'angle solide S commun. Alors les bases ABGD£, 
ahcde, seront parallèles ; car, puisque les faces homologues 
sont semblables"^, T^gle Sah est égal à SAB^, ainsi que *aa. 
She à SBC \ donc le plan abc est parallèle au plan ABC * i3, 5. 
Cela posé , soit SO la perpendiculaire abaissée du sommet 
S sur le plan ABC , et soit o le point où cette perpendicu- 
laire rencontre le plan ahc'^ on aura, suivant ce qui a été 
déjà démontré'*' , SO : S^» : : SA : Sa : : AB : ah; et psjir con* * i5. 
séquent , 

^SO:iS<?:: AB:aA. 



173 GftOHftTRiK. 

Mais les bases ABGDË, abcde, étant des fibres semblables, 
on a, 

ABGDË : aàcde itÂBi o^' 

Multipliaot ces deux proportions terme à terme , il en ré- 
sultera la proportion y 

ABGDË X ^SO : abeâe x : : Âl': ô^; . 

* 18. or, ABGDË x j SO est la solidité de la pyramide SABGDE*, 

et aàcdeXjSo est celle de la pyramide Sabcde; donc deux 
pyramides semblables sont entre elles comme les cubes de 
leurs côtés homologues. 

PROPOSITION XXVIK 
THtoatn. 

Deux polyèdres semblables sont entre eux commfi ks 
cubes des côtés homologues. 

Car deux polyèdres semblables peuvent âtee partagés 
en un même nombre de pyramides triangulaires semblables 

* a3. chacune à chacune'". Or, les deux pyramides semblables 

APNM, apnm, sont entre elles comme les cubes des côtés 
homologues AM , am , ou comme les cubes des côtés homo- 
logues AB, ab. Le même rapport aura lieu entre deux 
autres pyramides homologues quelconques ; donc la somme 
de toutes les pyramides qui composent un polyèdre , on le 
polyèdre lui-même , est à l'autre polyèdre , comme le cube 
d'un côté quelconque du premier est au cvbe du eôté 
homologue du second.' 

Scholie général. 

On peut présenter en termes algébriques , c'est-i-4ire , 
de la manière la plus succincte , la récapitulation des prin- 
cipales propositions de ce livre concernant les solidités des 
polyèdres. / 

Soit B la base d'un prisme, H sa hauteur ; la solidité du 
prisme sera B X H ou BH. 



UYHI YI. nh 

Soit B la base d'une pyramide, H sa hauteur; la solidité 
de la pyramide sQraBxjH, ou Hx jB, ou-jBH. 

Soit H la hauteur d'un tronc de pyramide à bases paral- 
lèles , soient A et B ses bases ; y/AB sera la moyenne pro- 
portionnelle entre elles , et la solidité du tronc sera j H x 
(A + B+J/ÂB). 

Soit B la base d'un tronc de prisme triangulaire, H, H^, 
H^, les hauteurs de ses trois sommets supérieurs, la solidité 
du prisme tronqué sera |B x (H+H'+H^). 

Soient enfin P et ^ les solidités de deux polyèdres sem- 
blables , A et a deux côtés ou deux diagonales homologues 
de ces polyèdres $ on aura P : j9 : : : a^. 



LIVRE VIL 



LA SPHÈRE. 
Dtrnrinoiis. 

I. La sphère est un solide terminé par une surface courbe, 
dont tous les points sont également distants d'un point inté- 
rieur qu'on appelle centre, 
fig. aso. On peut imaginer que la sphère est produite par la révo- 
lution du demi-cercle DAË autour du diamètre DE : car 
la surface décrite dans ce mouvement par la courbe DAE 
aura tous ses points à égales distances du centre G. 

IL Le rayon de la sphère est une ligne droite menée du 
centre à un point de la surface ; le diapûtre ou axe est une 
ligne passant par le centre, et terminée de part et d'autre 
à la surface. 

Tous les rayons de la sphère sont égaux ; tous les dia- 
mètres sont égaux et doubles du rayon. 
*pr. I. IIL II sera démontré'*' que toute section de la sphère, 
faite par un plan , est un cercle : cela posé , on appelle 
grand cercle la section qui passe par le centre $ petit cercle 
celle qui n'y passe pas. 

lY. Un plan est tangent à la sphère lorsqu'il n'a qu'un 
point commun avec sa surface. 

V. Le pâle d'un cercle de la sphère est un point de la sur- 
face également éloigné de tous les points de la circonfé- 
*pr. 6. rence de ce cercle. On fera voir"^ que tout cercle, grand 
ou petit , a toujours deux pôles. 

YI. Triangle sphèrique est une partie de la surface de la 
sphère comprise par trois arcs de grands cereles. 

Ces arcs , qui s'appellent les côtés du triangle , sont tou- 
jours supposés plus petits que la demi-circonférence. Les 



LIVIE VII. 



175 



angles que leurs plans font entre eax sont les angles du 
triangle. 

VU. Un triangle sphérique prend le nom de rectangle y 
Uoêceh, iqtdlatéraly dans les mêmes cas qu'un triangle 
rectiligne. 

VIII. PolygofiB tfhériqme est une partie de la surface de 
la sphère terminée par plusieurs arcs^de grands cercles. 

IX. FiAs&au est la partie de la surface de la sphère com- 
prise entre deux demi-grands cercles qui se terminent à un 
diamètre commun. 

X. J'appellerai m» ou onglet spkériquÊ la partie du solide 
de la sphère comprise entre les mêmes demi-grands cer- 
cles , et à laquelle le fuseau sert de base. 

XI. Pyramide sphérique est la partie du solide de la 
sphère comprise entre les. plans d'un angle solide dont le 
sommet est au centre. La hmee de la pyramide est le poly- 
gone sphérique intercepté par les mêmes plans. 

XII. On appelle tome la partie de la surface de la sphère 
comprise entre deux plans parallèles ^ui en sont les haeee* 
L'un de ces plans peut être tangent à la sphère, alors la 
zone n'a qu'une base. 

XIII. SegfMwl ephèrique est la portion du solide de la 
sphère comprise eiitre deux plans parallèles qui en senties 
bases. 

^ L'un de ces plans peut être tangent à U sphère , alors le 
segment sphérique n'a qu'une base. 

XIY. La kayieur d'if,ne eane ou d'un segment est la dis- 69. aao. 
tance des deux plans parallèles qui smit les bases de la sone 
ou du segment. 

XV. Tandis que le demi-cercle DA£ tournant autour du 
diamètre DE décrit la sphère, tout secteur circulaire, 
comme DGF ou FCH, décrit un soUde qu'on appelle eec- 
ieur spkàrique. 

PROPOSITION PREMIÈRE. 

THfiORÈaB. 

Toute section de la sphère, faite par un plan, est un , 
cercle. 



176 



GÉOKftTRiK. 



iig. an. Soit AMB la section faite par un plan dam la sphère 
dont le centre est G. Du point G menés la perpendiculaire 
GO sur le plan AMB , et différentes lignes GM, GM , à dif- 
férents points de la courbe AMD qui termine la section. 

Les obliques GM, CM', CB, sont égales, puisqu'elles sont 
des rayons de la sphère, elles sont donc également éloî- 
5. gnées de la perpendiculaire^ GO'*'; donc toutes les lignes 
OM , OM', OB , sont égales ; donc la section AMB est un 
cercle dont le point est le centre. 

Corollaire I. Si la section passe par le centre de la sphère, 
son rayon sera le rayon de la sphère ; donc tous les grands 
cercles sont égaux entre eux. 

Corollaire II. Deux grands cercles se coupent toujours en 
deux parties égales \ car leur intersection commune , pas- 
sant par le centre , est un diamètre. 

Corollaire IIL Tout grand cercle divise la sphère et sa 
surface en deux parties égales ; car si , après avoir séparé 
les deux hémisphères , on les applique sur la base commune 
en tournant leur convexité du même c6lé, les deux surfa- 
ces coïncideront l'une avec l'autre, sans quoi il y aurait 
des points plus près du centre les uns que les autres. 

Corollaire IV, Le centre d'un petit cercle et celui de la 
sphère sont sur une même droite perpendiculaire au plan 
du petit cercle. 

Corollaire Y» Les petits cercles sont d'autant plus petits 
qu'ils sont plus éloignés du centre de la sphère; car plus 
la distance GO est grande, plus est petite la corde AB, 
diamètre du petit cercle AMB. 

Corollaire YI. Par deux points donnés sur la surface 
d'une sphère , on peut faire passer un arc de grand cercle ; 
car les deux points donnés et le centre de la sphère sont 
trois points .qui déterminent là position d'un plan. Si cepen- 
dant les deux points donnés étaient aux extrémités d'un 
diamètre, alors ces deux points et le centre seraient en 
ligne droite , et il y aurait une infinité de grands cercles 
qui pourraient passer par les deux points donnés. 



LIVEE VU, 



177 



PROPOSITION II. 

ntÉORÈHB. 

bans tout triangle sphérique ABC , un côté queicoh- 6g. a^, 
que est plus petit que la somme des deux autres. 

Soit le centre de la sphère , et soient menés les rayons 
OA , OB , OC. Si on imagine les plans AOB , AOG , COB , 
ces plans formeront au point nn angle solide , et les 
angles AOB, AOG, COB, auront pour mesure les côtés 
AB , AC, fie , du triangle sphérique ABC. Or, chacun des 
trois angles plans qui composent l'angle solide est moindre 
que la somme des àeux autres'"; donc un côté quelconque * si, 5. 
du triangle ABC est moindre que la somme des deux 
autres. 

PROPOSITION III. 

THÉOaftHK. 

Le plus court chemin d'un point à un autre, sur la 
surface de la sphère, est l'arc de grand cercle quijoitU 
les deux points donnés. 

Soit ANB l'arc de grand cercle qui joint les points A et ûg. i^a. 
B, et soit hors de cet arc, s'il est possible, M un point 
de la ligne la plus courte entre A et B. Par le point M 
menez les arcs de grands cercles MA, MB, et prenez 

BN:t=:MB. 

Suivant le théorème précédent l'arc ANB est plus court 
que AM+MB; retranchant de part et d'autre BN=BM , 
il reàtera AN^AM. Or, la distance de B en M , soit qu'elle 
se confonde avec l'arc BH, ou qu'elle soit toute autre ligne, 
est égale à la distance de B en N ; car en faisant tourner le . 
plan du grand cercle BM autour du diamètre qui passe par 
B , on peut amener le point M sur le point N , et alors la 
ligne la plus courte de M en B , quelle qu'elle soit , se con- 
fondra ayec celle de N en B ; donc les deux chemins de A 
en B , l'un en passant par M , l'autre en passant par N , ont 
une partie égale de M en B et de N en B. Le premier chemin 



178 



GiOHiTEIB. 



est, par hypothèse, le plus court ; donc la distance de A en 
M est plus courte que la distance tie A en ce qui serait 
ahsurde , puisque Tare AM est plus grand que AN ; donc 
aucun point de la ligne la plus courte entre A et B ne peut 
être hors de Tare ANB ; donc cet arc est lui-même la ligne 
la plus courte entre ses extrémité. 

4 

PROPOSITION IV- 

THtOlfe». 

La somme des trois côtés dCun triangle sphérique est 
moindre que la circonférence d'un grand cercle. 
fig. aa4. Soit ABC un triangle sphërique quelconque; prolongez 
les côtés AB , AG , jusqu'à ce qu'ils se rencontrent de nou- 
veau en D. Les arcs ABD , ACD , seront des demi-circon- 
férences , puisque deux grands cercles se coupent toujours 

* t. en deux parties égale»*; mats dans le triangle BÇD on a le 

* 1. côté BG<BD+GD*; ajoutant de part et d'autre AB+AG , 

on aura AB+AG+BG<ABD-(-AGD, c'est4-dire, plus petit 
qu'une circonférence. 

PROPOSITION V. 
THioafcn. 

La somme des côtés de tout polygone sphérique est 
moindre que la circonférence d'un grand cercle. 
«9.-as5. Soit , par exemple , le pentagone ABGDE : prolongea les 
côtés AB, DG, jusqu'à leur rencontre en F; puisque BG 
est plus petit queBF+GF, le contour du pentagone ABGDË 
^ • est plus petit que celui du quadrilatère AEDF. Prolongez 
de nouveau les côtés A£, FD, jusqu'à leur rencontre en G, 
on aura ED<EG+GD; donc le contour du quadrilatère 
AEDF est plus petit que celui du triangle AFG; celui-ci 
est plus petit que la circonférence d'un grand cercle; donc 
a fortiori le contour du polygone ABGDE est moindre que 
cette même circonférence. 
Scholie, Gette proposition est au fond la même que la 



LlVRt Vil. 



17« 



du livre v } car, si est le centre de la sphère , on 
peat imaginer au point O an angle s<didd formé par les an- 
gles plans AOB, BOG, GOD, etc.» et la somme de ces 
angles dmt être plos petite que quatre angles droits ^ ce qui 
ne difTère pas de la proposition présente. La démonstration 
que nous Tenons de donner est différente de oalle du Uvre v ; 
l'une et l'autre supposent que le polygone ABGDE est oon- 
vexé y ou qu'aucun côté prolongé ne coupe la figure. 

t»ROPOSITION VL 

TBÉOaiUlB. 

Si on mène le diamètre IfE perpendiculaire au plan fig. a^o. 
du grand cercle AMB , les extrémités J) etE de ce dia- 
mètre seront les pâles du cercle AMB , et de tous les 
petits cercles, comme FNG, qui lui sont parallèles. 

Car DG étant perpendiculaire au plan AMB , est perpen* 
dicujaire à toutes les droites GA, CM , GB , etc., menées 
par son pied dans ce plan; dcmc tous les arcs DA, DM, 
DB , etQ. , sont des quarts de circonférence : il en est de 
même des arcs EA, EU , EB, etc.; donc les points D et Ë 
scmt cliacun également éloignés de tous les points de la 
circonférence AMB ; donc ils sont les pôles de cette cir- 
oonférehce *. * déf. 5. 

En second lieu, le rayon DG, perpendiculaire au plan 
AMB, est perpendiculaire i son parallèle FNG; donc il 
passe par le centre O du cercle FNG'*' ; donc si on tire les * i. 
obliques DF, DN , DG , ces obliques s'écarteront également 
de la perpendiculaire DO et seront égales. Mais les cordes 
étant égales , les arcs sont égaux ; donc tous les arcs DF » 
DN, DG, etc., sont égaux entre eux ; donc le point D est le 
pôle du petit cercle FNG » et par la même raison le point E 
est l'autre pôle. 

Cerothire L Tout arc DM mené d'un point de l'arc de 
grand cercle AMB à son pôle est un quart de eirconfé- 
renée, que nous appellerons pour abréger un quadrant, ou 
un quadrant , et ce quadrant fait en môme temps un angle 



l&O 



«tOHteftII. 



droit avec Tare AM. Car la ligne DC étant perpendiculaire 
an plan AMG , toat plan DMC qui passe par la hfçne DC 
6. est perpendiculaire an plan AMC" ; donc l'angle de ces 
plans , on , suivant la déf . vi , l'angle AMD , est an angle 
droit. 

Corollaire IL Ponr trourer le pôle d'un arc donné AM , 
menefc l'arc indéfini MD perpendiculaire à AM, prenez MD 
égal à un quadrant , et le point D sera un des pôles de l'arc 
MD ; ou bien menez aux deux points A et M les arcs AD et 
MD perpendiculaires à AM , le point de concours D de ces 
deux arcs sera le pôle demandé. 

Corollaire III. Réciproquement, si la distance du point 
D à chacun des points A et M est égale à un quadrant , je 
dis que le point D sera le pôle de l'arc AM , et qu'eu même 
temps les angles DAM , AMI) , seront droits. 

Car soit C le centre de la sphère , et soient menés les 
rayonj G A , CD , CM : puisque les angles AGD , MCD , sont 
droits, la ligne GD est perpendiculaire aux deux droites 
CA , CM ; donc élle est perpendiculaire à leur plan ; donc 
le )i)oint D dst le pôle de Tare AM; et par suite les angles 
DAM , AMD , sont droits. 

SehoUe, Les propriétés des pôles permèttent de tracer sur 
la surface de la sphère des arcs de cercle avec la même 
facilité que sur une surface plane. On voit, par exemple , 
qu'en faisant tourner l'arc DF ou tonte autre ligne de même 
intervalle autour du point D , l'extrémité F décrira le petit 
cercle FNG ; et si on fait tourner le quadrant DFA autour 
du point D , l'extrémité A décrira l'arc de grand cercle 
AM. 

S'il faut prolonger l'arc AM , ou si on ne donne que les 
points A et M par lesquels cet arc doit passer, on déter- 
minera d'abord le pôle D par l'intersection de deu^^ arcs 
décrits des points A et M comme centres avec Un intervalle 
égal au quadrant. Le pôle D étant trouvé, on décrira du 
point D , comme centre et avec le même intervalle, l'arc AM 
et son prolongement. 

Enfin , s'il faut du point donné P abaisser un arc perpen- 
diculaire sur l'arc donné AM , on prolongera celui-ci en S 



LIVBE VII. 



181: 



jusqu'à ce que l'interralle PS soit égal à un quadrant ; en- 
suite du pôle S et du même interyalle on décrira l'arç PMI, 
qui sera l'arc perpendiculaire, demandé. 

PROPOSITION VIL 

THiORÈHE. 

Tout plan perpendiculaire à r extrémité d'un rayon, 
est tangent à la sphère. 

Soit FAGun plan perpendiculaire à l'extrémité du rayon fig. aa6. 
OA; si on prend un point quelconque M sur ce plan , et 
qu'on joigne OM et AM, l'angle OAM sera droit, et ainsi la 
distance ÔM sera plus grande que OA. Le point M est donc 
hors de la sphère; et, comme il en est de même de tout 
autre point du plan FAG, il s^ensuit que ce plan n'a que le 
seul point A commun avee la surface de l|i sphère ; donc il 
est tangent à cette surlace '^i * àéî. 4. 

SchoUe. On peut prouve? de même que deux sphères 
n'ont qu'un point commun, et sont par conséquent tangentes 
l'une à l'autre : lorsque la distance de leurs centres est 
égale à la somme ou à la différence de leurs rayons , alors 
les centres et le point de coiitact sont en ligne droite. 

PROPOSITION VIIL 

THÉORÈHÈ. 

II angle BAC que font entre eux deux are9 de grands fig- aa6. 
cercles AÇ , AC , est égal à V angle FAG , formé par les 
tangentes de çes arcs au peint A : ai/ a aussi pour mesure 
l'arc DE , décrit du point A comme pâle entre lès côtés 
AB, AC^ prolongés s'it est nécessaire* 

Car la tangente AF, menée dans le plan de l'arc AB, est 
perpendiculaire au rayon AO; la tangente AG, menée dans 
le plan de l'arc AG, est perpendiculaire au même rayon AO. 
Donc l'angle FAG est égal à l'angle des plans OAB, OAG'^, * 17. s. 
qui est celui des arcs AB, AG, et qui se désigne par BAG. 

Pareillement, si l'arc AD est égal à un quadrant ^ ainsi 



189 



GÉOltTMIE. 



qae A£/les H^pes OD,.OE, feront perpendiculaires a AO, 
et ranf^e DOE sera encore ëfçal à l'angle des plans AOD , 
AOE ; donc l'arc DE est la mesure de l'angle de ces plans , 
on la mesore de l'angle GAB. 

CoroUairê. Les an^es des triangles sphëriques penvent 
se comparer entre eux par les arcs de grands cercles 
décrits de leurs sommets comme pôles et compris entre 
leurs côtés : ainsi il est facile de faire un angle ^;al à un 
àngl^ donné. 

«g. »38. SchoUe. Les angles opposés an sommet , tels que AGO et 
BGN , sont égaux \ car l'un ou l'antre est toujours l'angle 
formé par les deux plans AGB, OCN. 

On Yoit aussi que dans la rencontre de deux arcs ACB, 
OGN, les deux angles adjacents AG(X, 0GB, pris ensemble , 
Talent toujours deux angles droits. 

PROPOSITION IX. 

THtOEÈKE. 

fig »>7- Étant donné h triangle ABC, si des points A, B, C , 
comme pâles, on décrit les ares EF, FD, DE, qui for- 
ment le triangle D£E*; réciproquement les trois points D, 
£, F, seront les pôles des côtés BC, AC, AB. 

Car le point A étant le pôle de l'arc EF, la distance AE 
est un quadrant; le point C étant le pôle de l'arc DE, la 
distance CE est pareillemènt un quadrant ; donc le point E 
est éloigné d'un quadrant de chacun des points A et C ; 
«6, cor. 3. donc il est le pôle de l'arc AG On démontrera de même 
que D est le pôle de l'arc BG, et F celui de l'arc AB. 

CoroBairê. Donc le triangle ABG peut être décrit par le 
moyen de DEF, comme DEF par le moyen de ABC. 

PROPOSITION X. 

THÉOaftXI. 

les mêmes choses ^t posées que dans le thtà^rême 
précédent, chaque angle de l'un des triangles ABC , DEF , 



I 



LIVRE TU. 



188 



aura pour mesure la demi^rconférence moins le côté flg< 227. 
opposé dans Vautre triangle. 

, Soient prolongés, s'il est nécessaire, les côtés ÂB, ÂG, 
jusqu'à la rencontre de £F en G et H; paisqae le point  
est le pôle de Tare GH, l'angle A aura pour mesure l'are 
GH. Mais l'arc £H est un quadrant ainsi que GF, puisque 
£ est le pôle de AH ^et F le pôle de AG; donc £H + GF 
vaut une demi-'oirconférenee. Qr EH+GF est la même 
chose que £F+GH; donc l'arc GH qui mesure l'angle A 
est égal à une demi circonférence moins le côté EF de 
môme l'angle B aura pour mesure 7 eirc. — DF et l'angle G, 
i«fv.— J>E. 

Cette propriété doit être réciproque entte les deux trian- 
gles, puisqu'ils se décrirent de la même manière l'un par 
le moyen de Tautre. Ainsi on trouTcra que les angles D, E, 
F, du triangle DEF, ont pour mesures respectiTement^e/re* 

— BG, ^€ire.'-kC,\eire, — AB. En effet l'augleD, par 
exemple, a pour mesure l'arc MI; or MI+BCssMC+BI 
=s^c^rp« : donc l'arc MI , mesure de l'angle D, t=s&{eirc. 

— BC, et ainsi des autres, 

Sekuliê. Il faut remarquer qu*outre le triangle DEF on eu fig. »aS. 
pourrait former trois autres par l'intersection des trois arcs 
DE9 EF, DF. Mais la proposition actuelle n'a lieu que pour 
le triangle central, qui est distingué des trois autres en ce 
que les deux angles A et D sont situés d'un môme côté de fig. 397. 
BC, les deux Bet E d'un mème câléde AG, et les deux G 
et F d'un même côté de AB. 

On donne différens noms aux deux triangles ABC, DEF; 
nous les appellerons /r<an^^#|9o/afrp#. 

PROPOSITION XI, 

LIMHE. 

Étant donné le triangle ABC, si du pôle A et de l'in- fig. 329. 
terval/e AG on décrit l'arc de petit cercle DEC ; si du 
pâle B et de l'intervalle BC on décrit pareillement l'arc 
DFC, et que du point D, oii les arcs DEC , DFC , se cou* 



OÉOHÉTMR. 



petit, an mène ks arcs de grtmds cercles AD, DB; je dis 
que le triangle ADB ainsi formé aura ses parties égales 
à celles du triangle AGB. 

Car par construction le côté AD = AG, DBc=BC, AB est 
commun; donc ces deux triangles ont les côtés égaux 
chacun à chacun. Je dis maintenant que les angles opposés 
aux côtés égaux sont égaux. 

En effet, si le centre de la sphère^ est supposé en 0, on 
peut concevoir un angle solide lorkné au point par les 
^is angles plans AOB, AOC, BOC ; on- peut concevoir de 
même un second angle solide formé par les trois angles 
plans AOB, AOD, BOD. Et puisque les côtés du triangle 
ABC sont égaux à ceux du triangle ADB , il s'ensuit que 
les angles plans qui forment un de ces angles solides sont 
égaux aux angles plans qui forment l'autre angle solide , , 
' 5. chacun à chacun : mais dans ce cas il a été démontré * 
que les plans dans lesquels sont les angles égaux sont éga- 
lement inclinés entre eux; donc les angles du triangle 
sphérique DAB sont égaux à ceux du triangle GAB, savoir 
DAB = BAG, DBA=:ABC, et ADB=AGB; donc les côtés 
et les angles du triangle ADB sont égaux aux côtés et aux 
angles du triangle AGB. 

Seholie. L'égalité de ces triangles n'est cependant pas une 
égalité absolue ou de superposition, car il serait impossible 
de les appliquer l'un sur l'autre exactementy à moins qu'ils 
ne fussent isoscèles'. L'égalité dont il s'agit est ce que nous 
avons déjà appelé une égalité par symétrie, et par cette 
raison nous appellerons les triangles AGB , ADB , triangles 
' symétriques, 

PROPOSITION XII. 

iTHÉORÈHI. 

Deuis triangluMÊÊSib sur la même sphère, ou sur des 
sphf^res égaies y ^ont égaua: dans toutes leurs parties, 
lorsqu ils (mâji^imgîe égal compris entre côtés égaux 




à 

I 

.41^ â 



Soit le cètë AB=£F, le côté AG=EG, et l'angle BAC fig. a3Q. 
=FEGy le triangle £FG pourra être placé sur' le triangle 
ABC ou -sur son symétrique ASD , de la même manière * 
qu'on superpose deux triangles rectilignes qui ont un angle 
égal compris entre côtés égaux. Donc toutes les parties du 
triangle EFG seront égales à celles du triangle ABC, c'estr' 
à-dire qu'outre les trois parties qui sont supposées égales , 
on aura le côté BCs==FG, l'angle ABC = EFG, et l'angle 
ACB=EGF, 

> PROPOSITION XIII. 

THÉORÈMB. 

Deux triangles situés sur h même sphère^ ou sur des 
sphères égales j sont égaux dans toutes leurs parties ^ 
lorsqu'ils ont un c^té égcU adjacent à deux angles égaux 
chacun, à chacun. 

Car l'un de ces triangles peut être placé sur l'autre ou 
sur son symétrique , comme on le fait daiis le caa pareil 
des triangles rectiligneç. F'oyez prop^ VII, liv. /. 

PROPOSITION XIV. 

THÉORt». 

Si deux triangles situés sur la même sphère , ou sur 
des sphères égales , sont équilatéraux entre eux , ils se- 
ront aussi équianglesy et les angles égaux seront opposés 
aux côtés é^aux. 

Cela est manifeste par la proposition xi , où l'on a tu fig. aag. 
qu'avec trois côtés donnés AB , AC , BG , on ne peut faire 
que deux triangles ACB, ABD, differens quant à la position 
des parties, mais égaux quant à la grandeqr de ces mêmes 
parties. Donc deux triangles équilatéraux entre eux sont ou 
absolument égaux , ou au moins égaux par symétrie ; dans 
l'un et l'autre cas ils sont équiangles , et les angles égaux 
sont opposés aux côtés égaux. 



186 



GiOlÉTMIKt 



PROPOSITION XV. 
THioRkn. 

s 

Dans tout triangle sphérique ùtoscèk les angles oppo^ 
sés aux côtés égaux sont égaux; et réciproquement , si 
deux angles d'un triangle sphérique sont égaux, le 
triangle sera isoscèle. 
fi' a3i. V Soit le côté ÀB=AG ; je dis qu'on aura l'angle G==B : 
car si du sommet A au point D, milieu de la base, on mène 
Tare AD , Jes deux triangles ABD , ADG , auront les trois 
côtés égaux chacun à chacun ; savoir, AD commun, BD = 
DG , et AB = AG : donc , par le théorème précédent , ces 
triangles auront ^les angles égaux , et on aura BsG. 

%^ Soit l'angle B = G ; je dis qu'on aura AG= AB : car 
si le côté AB n'est pas égal à AG, soit AB le plus grand des 
deux , prenez BO s= AG, et joignez OG. Les deux côtés BO, 
BG, sont égaux aux deux AG , BG ; l'angle compris par les 
premiev OBC est égal à l'angle compris par les seconds 
AGB. Donc les deux triangles fiOG, ACB, ont les autres 
* «I. parties égales et on a l'angle OGB=ABG : mais l'angle 
ABG, par hypothèse, =AGB; donc on aurait OGB^bAGB, 
ce qui est impossible; donc on ne peut supposer AB diffé- 
rent de AG; donc les côtés AB, AG, opposés aux angles 
égaux B et G , sont égaux. 

Seholie. La même démonstration prouve que l'angle BAD 
s=sDAG, et que l'angle BDA=ADG. Donc ces deux derniers 
sont droits ; donc Varc mené du sommet d'un triangle sphé-^ 
rique ieoeehle au milieu de ea haee eet perpendiculaire à cette 
base, et divise l'angle du sommet en deusù partie* égales, 

' PROPOSITION XVI. 

THtORtHB. 

^g- a32. Dans un triangle sphérique ABG, si l'angle A est 
plus grand que l'angle B, le côté BG ^)posé à l'angle A 
sera plus grand que le côté AC\ opposé à f angle B; 



f 



LIYHE VIT. 187 

réctproquemeniy si le côté BC est plus grand que CA , 
l'angle A sera plus grand que l'angle B. 

1» Soit l'angle A>B, faites l'angle BAD=B, vous aurez 
AD=DB * : mais AD+DG est plus grand que AG; à la * i5. 
place de AD mettant DB, on aura DB+DG ou BG>AG. 

2° Si on suppose BC>AG, je dis que l'angle BAC sera 
plus grand que ABG : car, si BAC était égal à ABC, on 
aurait BG— AG; et si on avait BAG<^A]BG, il s'ensuivrait, 
par ce qui vient d'être démontré , qu'on a BG^ AG ; ce qui 
est <sontre la supposition. Donc l'angle BAC est plus grand 
que ABC. > 

PROPOSITION XVII. 

Si les deux cétés AB, AG, du triangle spkérique ABG fig- ^33 
^sont ^auœ aux deux côtés DE, DF, du triangle DElP 
tracé sur une sphère égale y si fn même temps l'angle A 
est plus grand que l'angle D, je dis que le troisième côté 
BG du premier triangle sera plus grand que le ïroisième 
EF du second. 

La démonstration est absolument semlulable à celle de la 
prop. X, livre i. 

PROPOSITION XVIII. 

THiORÈHK. 

Si deux triangles tracés sur la même sphère ou sur 
des sphères égales sont équiangles entre eux y ils ser^ont 
aussi équilatéraux . 

Soient A et B les deux triangles' donnés , P et Q leurs 
triangles polaires. Puisque /les angles sont égaux dans les, 
triangles A et B, les côtés seront égaux dans les polaires P 
et Q : mais de ce que les triangles P et Q sont équilaté- * lo. 
raux entre eux , il s'ensuit qu'ils sont aussi équiangles *\ * i4<. 
enfin, de ce que les angles sont égaux dans les triangles P 
et Q , il s'ensuit * que le» côtés sont égaux dans leurs po- * la. 



T 



188 GiOHtTMB. 

laires A et B. Donc les triangles équiaogles A et Q sont en 
même temps équilatëraux entre eux. 

On peut encore démontrer la même proposition sans le 
secours des triangles polaires de la manière suivante : 
994- Soient ABC, DEF, deux triangles ëquiangles entre eux , 
de sorte qu'on ait A =D, B = £, G = F ; je dis qu'on aura 
le côté AB=DE, AC =DF, BC=EF. 

Sur le prolongement des côtés AB , AC, prenez AG=PE , 
, et AH = DF; joignez GH et prolongez les arcsBG , GH, 
jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en I et K. 

Les deux côtés AG , AH , sont par construction ^ux 
aux deux DF, DE; l'angle compris GAH = BAC=EDF; 

* la. donc* les triangles AGH, DEF» soiht égaux dans toutes leurs 

parties , donc l'angle AGH =:DEF = ABC , et l'angle AHG 
=DFE=ACB. 

Dans les triangles IBG, KJBG ^ le côté BG est commun , 
l'angle IGB»=GBK ; et puisque IGB-f BGK est égal à deux 
droiU , ainsi que GBK+IBG, il «'ensuit que BGKb=IBG. 

* i3. Donc le^ triangles IBG, GBK, sont égaux *, donc IG=fBK, 

et IB=GK. 

Pareillement, de ce que l'angle AHGssACB» on conr 
dura que les triangles ICH , HCR , ont un côté égal adja- 
cent à deux angles égaux ; donc ils sont égaux ; donc IH= 
CK,etHK=IC. 

Maintenant, si des égales BK, IG, on retranche les 
égales CK , IH , les restes BC , GH , seront égaux. D'ailleurs 
l'angle BCA=AHG, et l'angle ABC=:AGH. Donc les 
triangles ABC, AHG, ont un côté égal adjacent à deux 
angles égaux ; donc ils sont égaux : mais le triangle DEF 
est égal dans toutes ses parties au triangle AHG ; donc il 
est égal aussi au triangle ABC , et on aura AB=D£ , AC 
=DF, BC=EF ; donc , si deux triangles spbériques sont 
équiangles entre eux , les côtés opposés aux angles égaux 
seront égaux. 

Seholie. Cette proposition n'a pas lieu dans les triangles 
rectilignes , où de l'égalité des angles on ne peut conclure 
que la proportionnalité des côtés. Mais il est aisé de rendre 
compte de la différence qui se trouTC à cet égard entre les 



LIVBE VU. 



triangles rectilignes et les triangles sphériques. Daus la 
propositîoii présente , ainsi (jue dans les propositions xn , 
xnï , XIV et xYii , où il s'agît de la comparaison des trianglefi^, 
il est dit expressément qne ces triangles sonjt tracés sur la 
même sphère ou sar des sphères égales. Or les arcs sem- 
blables sont proportionnels aux rayons; donc, snr des 
sphères égales , denx triangles ne peavent être semblables 
sans être égaux. Il n'est donc surprenant que l'égalité 
des angles entraine l'égalité des côtés. 

Il en serait autrement si les triangles étaient tracés sur 
des sphères inégales ; alors les angles étant égaux , les trian- 
gles seraient semblables , et les côtés homologues seraient 
entre eux comme les rayons des sphères. 

PROPOSITION XIX. ' • :' : ' : • 

. La somme des angles de tout triangle sphén'que est 
moindre que six et plus grande que deux angles droits. 

Car \^ chaque angle d'un triangle sphérique est moindre 
qne deux angles droit» ( voyez le scholie ci-après ) ; donc la 
somme des trois angles est moindre que six angles droitu. 

2^ La mesure de chaque angle d'un tringle sphérique 
est égale à la demi-circonférence moins le côté correspon- 
-dant du triangle polaire * ; donc la somme des trois angles * 
a pour mesure trois demi-oii'conférences moins la somme 
des côtés d'un triangle polaire. Or cette dernière somme 
est plus petite qu'une circonférence * ; donc , en la retran- * 
chant de trois demi-circpnférences , le reste sera plus grand 
qu'anedemi-circonférence, qui est la mesure de deux angles, 
droits- ; donc 2^ la somme de trois angles d'un triangle sphé- 
rique est plus grande que deux angles droits. 

Corollaire I. La somme des angles d'un triangle sphérique 
n'est pas constante comme celle des triangles rectiligneB ; 
elle varie depuis deux angles droits jusqu'à six, sans pou- 
voir être égale à l'une ni à l'autre limite. Ainsi deux angles 
donnés ne font pas connaître le troisième. 



190 



GÉOmÉTRlI. 



CoroUairê IL Un triangle sphërique peut avoir deux ou 
trois angles droits , deux ou trois angles obtus* 

fig. a35. Si le triangle ABC est hi-reciangU j c'est-à-dire , s'il a 
deux angles droits B et G , le sommet A sera le pMe de la 
* 6. base BC * ; et les côtés AB , AC , seront des quadrants. 

«Si en outre Tanglé Aest droit, le triangle ABC sera tri- 
rectangle, ses angles seront tous droits et ses côtés des qua- 
drants. Le triangle tri-rectimgle est contenu huit fois dans 
la surface de la sphère ; c'est ise que l'on Tmt par la fig. 
en supposant Farc MN égri à un quadrant. " 

Seholie. Nous avons supposé dans tout ce qui précède, 
et conformément à la définit, vi, que les triangles sphériqoes 
ont leurs côtés toujours plus petits que la demi-circonfé* 
rence ; alors il s'ensuit que les «angles sont toujours plus 

6g. aa4- petits que deux angles droits : car, si le côté AB est moindre 
que la demi-circonférence , ainsi que AG , ces arcs doivent 
être prolongés tous deux pour se ^ncontrer en D. Or les 
deux angles ABG , GBD , pris ensemble , valent deux angles 
droits; donc l'angle ABG tout seul est moindre que deux 
angles droits. 

Nous observerons cependant qu'il existe des triangles 
sphériques dont certains côtés sont plus grands que la 
démî-circonférence , et certaine angles plus grands que 
deux angles droits. Car,' si on prolonge le côté AG en une 
circonférence entière AGE , ce qui reste , en retranchant de 
la demi sphère le triangle ABGj est un nouveau triangle, 
qu'on peut désigner aussi par ABG , et dont les côtés sont 
AQ , BC, AEDG. On voit donc que le côté AEDG est plus 
grand que la demi-circonférence AED ; mais en même temps 
l'angle opposé en B surpasse deux angles droits de la quan- 
tité GBD. 

Au reste , si on a exclu de la définition les triangles dont 
les côtés et les angles sont si grands , cW que leur résolu* 
tion ou la détermination de leurs parties se réduit toujqurs à 
celle des triangles renfermés dans la définition. En eSet, on 
voit aisément que si on connaît les angles et les côtés du trian- 
gle ABC, on connaîtra immédiatement les angles et les côtés 
du triangle de même nom qui est le reste de la demi-sphère. 



LIVBK.VII. 10S 

qui ont les côtés égaux chacun à chacun , sont en même 
temps isoscèles , on Terra qu'ils peuvent s'appliquer l'un 
sur l'autre ; car, ayant placé PA sur son égal QF, le côté 
PC tomhera sur son égal QD , et ainsi les deux triangles 
seront confondus en un seul : donc ils sont égaux , donc la 
surface DQFbb APC. Par une raison semblable la surface 
FQE = CPB , et la surface DQE= APB; donc on a DQE 
+FQÊ — 1)QE = APC + CPB — APB; ou DFE=ABC; 
donc les deux triangles symétriques ABC , DEF, sont égaux 
en surface. 

Seholie. Les pôles P et Q pourraient être situés au-dedans 
des triangles ABC , DEF ; .alors il faudrait ajouter les trois 
triangles DQF, FQE, DQE, pour en composer le triangle 
DEF, et pareillement il faudrait ajouter les trois triangles 
APG , GPB, APB , pour en composer le triangle ABC ; d'ail- 
leurs la démonstration et la conclusion seraient tougours les 
mêmes. 

PROPOSITION XXII. 

THiORft». 

Si deux grands cercles AOB , COD , se coupent comme fig. 
m voudra dans l'hémisphère AOGBD, la somme des 
triangles opposés AOC, BOD, sera, égale au fuseau dont 
r angle estHOT^. 

Car, en prolongeant les arcs OB, OD^ dans l'autre hémi- 
sphère jusqu'à leur rencontre ep N , OÇN sera une demi- 
circonférence, ainsi que AOB; retranchant de part et 
d'autre OB , on aura BN === AO. Par une raison semblable 
on a DN = GO , et BD =s= AC ; donc les deux triangles AOG, 
BDN , ont les trois côtés égaux ; d'ailleurs leur position est 
telle qu'ils sont symétriques l'un de l'autre ; donc ils sont 
égaux len surface /^ ét la somme des triangles AOG , BOD , * ai- 
est équivalente au fuseau OBNDO dont l'angle est BOD. 

Seholie^ Il est clair aussi que les deux pyramides sphé- 
riquès qui ont pour bases les triangles AOG , BOD , prises 
ensemble , équivalent à l'onglet sphérique dont l'angle est 
BOD. 

i3 



194 



OtOMÉTRlE* 



PROPOSITION XXIII. 
TRioRftn. 

La surface d'un triangle sphérique quelconque a pour 
mesure l'excès de la somme de ses trois angles sur deux 
angles droits. 

«39. Soit ABC le triangle proposé ; prolongez sei côtéi jasqa'à 
oe qu'ils rencontrent le grand cercle DEFG , mené comme 
on voudra hors du triangle. En vertu du théorème précé- 
dent , lea deux triangles ADE , A6H , pris ensemble , équi- 
valent au fuseau dont l'angle est A , et qui a pour mesure 

* Èo. %Â* : ainsi on aura ADE-f AGH^^sSA ; par une raison sem- 

blable BGF + BID B SB , CIH + GFE =s SG. Mais la somme 
de ces six triangles excède la demi-sphère de deux fois le 
triangle ABC, d'ailleurs la demi-sphère est représentée par 4; 
donc le double du triangle ABC est égal à 2A+2B+SC— 4, 
et par conséquent ABC» A + B + G — 2; donc tout triangle 
sphérique a pour mesure la somme de ses angles moins 
deux angles droits. 

Corollaire I. Autant il y aura d'angles droits dans cette 
mesure , autant le triangle proposé contiendra de triangles 
tri-rectangles ou de huitièmes de sphèlre qui sont l'unité de 

* ao. surface *. Par exemple , si les angles sont égaux chacun 

aux \ d'un angle droit, alors les trois triangles vaudront 
A angles droits, et le triangle proposé^ sera représenté par 
4 — 9 ou 9; donc il sera égal à deux triangles tri-rectanglfs 
ou au quart de la surface de la sphère. 

Corollairê II. Le triangle sphériquQ ABC est équivalent 
A4-B+G 

au fuseau dont l'angle est • ■ '1; de même la pyra- 
mide sphérique dont la base est ABG , équivaut à l'onglet 
sphérique dont l'angle est ^ ■ — 1 . 

Seholiê* En même temps qu'on compare le triangle sphé- 
rique ABC au triangle tri-rectangle, la pyramide sphérique 
qui a pour base ABG se compare avec la pyramide tri- 
rectaâgle, ^t il en résulte là même proportion. L'angle solide 



195 



au sommet de la pyramide se compare de même avec l'angle 
solide aii sommet de la pyramide tri-reetangle : en effet la 
Comparaison s'établit par la coïncidence des parties. Or, si 
les basés des pyramides coïncident , il est évident que les 
pyramides elles-mêmes coïncideront, ainsi qae les angles 
solides à lear sommet. De la résultent plusieurs consé- 
quences. 

lo Deux pyramides triangulaires sphériques sont eiitrê 
elles comme leurs bases ; et , puisqu'une pyramide poly-^ 
gonale peut se partager en plusieurs pyramides triangu* 
laires , il s'ensuit que deux pyramides spbériques quelcon- 
ques sont entre elles comme les polygones qui leur serrent 
de bases. 

2<> Les angles solides au sommet des mêmes pyramides 
sont également dan» la proportion des bases ; donc, pour 
comparer deux angles solides quelconques , il faut placer 
leurs sommets au centre de deux sphères égales, et ces 
angles solides seront entre eux cotnme les polygones sphé-^ 
riques interceptés entre leurs plans ou faces. • 

L'angle au sommet de la pyramide tri-rectangle est formé 
"^par trois plans perpendiculaires entre eux ; cet angle, 
qu'on ^eut appeler an^le solide droit, est très-propre à sertii* 
d'unité de mesure aux autres angles solides. Gela posé , le 
même nombre qui donne l'aire d'un polygone sphérique 
donnera la mesure de l'angle solide correspondant. Par 
exemple, si l'aire du polygone.sphérique est f , c'est-à-dire, 
s'il est les I du triangle tri^rectangle , l'angle solide corres- 
pondant sera aussi les | de l'angle solide droit. 

PROPOSITION XXIV. 

THtORtHI. 

La surface d'un polygone sphérique a pour mesure 
la somme dè ses angles, moins te produit de deux an- 
gles droits pùr le nombre des côtés du polygone moins 
deux. 

D'un même sommet soient menées à tous les autres fig. a4o. 
sommets les diagonales AG, AD; le polygone ABGDE sera 



194 GÉOMÉTRIE é 

PROPOSITION XXIII. 

TRÉORftn, 

La surface d'un triangle sphértque quelconque a pouf 
mesure l'excès de la somme de ses trois angles sur deux 
angles droits. 

fig. 339. Soit ABC le triangle proposé ; prolongez ses côtés jasqu'à 
oe qu'ils rencontrent le grand cercle DEFG , mené comme 
on voudra hors du triangle. En vertu du théorème précé- 
dent , lea deux triangles ADE , A6H , pris ensemble , équi-^ 
valent au fuseau dont l'angle est A , et qui a pour mesure 

* «o. SA"*" : ainsi on aura ADE -f AGH :^2A ; par une raison sem- 

blable BGF+BlDa=sSB, aH + GFE=aG. Mais la somme 
de ces six triangles excède la demi-sphère de deux fois le 
triangle ABC, d'ailleurs la demi^sphère. est représentée par 4; 
donc le double du triangle ABC est égal à 2A+âB+3€— 4, 
et par conséquent ABC» A + B + G — 2; donc tout triangle 
sphérique a pour mesure la somme de ses angles moins 
deux angles droits. 

Corollaire I. Autant il y aura d'angles droits dans cette 
mesure , autant le triangle proposé contiendra de triangles 
tri-rectangles ou de huitièmes de sphèlre qui sont l'unité de 

* ao. surface Par exemple , si les angles sont égaux chacun 

aux \ d'un angle droit, alors les trois triangles vaudront 
X angles droits, et le triangle proposé^ sera représenté par 
4 — 2 ou S ; donc il sera égal à deux triangles tri-rectangles 
ou au quart de la surfiice de la sphère* 

CorçUairê IL Le triangle sphérique ABC est équivalent 
A + B + G 

au fuseau dont l'angle est ■ ".^ ^1; de même la pyra- 
mide sphérique dont la base est ABG , équivaut à l'onglet 
sphérique dont l'anglé est ^"^^^^ — 1. 

SehoHê* En même temps qu'on compare le triangle sphé- 
rique ABC au triangle tri-rectangle , la pyramide sphérique 
qui a pour base ABG se compare avec la pyramide tri- 
rectaâgle, et il en résulte là même proportion. L'angle solide 



É 



LIVUB VII i 



195 



au sommet de la pyramide se compare de même ayec l'angle 
solide au sommet de la pyramide tri-rectangle : en effet la 
bomparaison s'établit par la coïncidence des parties. Or, si 
tes basés des pyramides coïncident , il est évident que les 
pyramides elles-mêmes coïncideront, ainsi qae les angles 
solides à tear sommet. De la résultent plusieurs consé- 
quences. 

1® Deux pyramides triangulaires spbériques sont eiitré 
eUes comme leurs bases ; et , puisqu'une pyramide poly-^ 
gonale peut se partager en plusieurs pyramides triangu- 
laires, il s'ensuit que deux pyramides spbériques queïcon* 
ques sont entre elles comme les polygones qui leur servent 
de bases. 

2<» Les angles solides au sommet des mêmes pyramides 
sont également dan» la proportion des bases; donc, pour 
comparer deux angles solides quelconques, il faut placer 
leurs sommets au centre de deux sphères égales, et ces 
angles solides seront entre eux cotnme les polygones spbé- 
riques interceptés entre leurs plans ou faces. * 

L'angle au sommet de la pyramide tri-rectangle est formé 
par trois plans perpendiculaires entre eux : cet angle, 
qu'on jpeut appeler angh solide droit, est très-propre à sertii* 
d'unité de mesure aux autres angles solides. Gela posé , le 
même nombre qui donne l'aire d'un' polygone spbérique 
donnera la mesure de l'angle solide correspondant. Par 
exemple , si l'aire du polygone.spbérîque est f , c'est-à-dire, 
s'il est leè I du triangle tri-rectangle , l'angle solide corres- 
pondant sera aussi les { de l'angle solide droit. 

PROPOSITION XXIV. 
THtoaft». 

La surface d'un polygone sphérique a pour mesure 
la sofnme dè ses angles, moins te produit de deux an- 
gles droits pùr le nombre des côtés du polygone moins 
deux. 

D'un même sommet A^. soient menées à tous les autres fig. 340. 
sommets les diagonales AG, AD; 1q polygone ABGDE sera 



196 



GiOltTftlI. 



partagé en autatit "dé triangles moins deux qu'il a de côtés. 
Mais la surface de chaque triangle a pour mesure la sottiriie 
de ses angles moins deux angles droits, et il est clair que 
la somme de tous les angles des triangles est égale à la 
somme des angles du polygone : donc la surface du poly- 
gone est égale à la somme de ses angles diminuée d'autant 
de fois deux angles droits qu'il a de côtés moins deux. 

&holtê. Soit ê la somme dès angles d'un polygone sphé- 
rique, n le nombre de ses côtés ; l'angle droit étant sup- 
posé l'unité, la surface du polygone aura pour mesure # — 2 
(n — 2)on# — Sn+4. 

PROPOSITION XXV. 

THÉOaÈHI. 

Soii S h nombre des angles êolides d'un polyèdr»y H le 
nombre de ses/aoeê, A I9 nombre dê ses arêtes; Je die qu'on 
aura toujours S + H = A + 2 . 

Prenex au-dedans du polyèdre un point d'où tous mènerez des lignes ' 
dfoites aux sommets de tout ses angles ; imagines ensuite que du même 
point comme centre on décrive une surface sphérique qui soit ren- 
contrée par toutes cer lignes en autant de points ; joignez ces points 
par des arcs de grands cercles , de manière à former sur la surface de 
la sphère des polygones correspondants et en même nombre ayec les 
"fig. i4o* faces du polyèdre. Soit \fiGDE un de ces polyigones et soit n le nombre 
de ses côtés; sa surface sera s — 2ii-f-4, s étant la somme des angles 
A/B, B. Si on évalue semblablement la surface de chacun des 
autres polygones sphériqueà , et qu'on les ajoute toutes ensemble , on 
en conclura que leur somme , ou la surface de la sphère représentée 
par 8, est égale à la somme de tous lés angles des polygones I moins 
deux fois le nombre de leurs cdtés^ plus' 4 pris autant de fois qu'il y a 
de faces. Or, comme tous les angles qui s'ajustent autour d'un même 
point A valent quatre angles droits j la somme de tous les angles des 
polygones est égale à 4 pris autant de fois qu'il y a d'angles solides; 
elle est àonc égale à 4S. Ensuite le double du nombre des côtés AB , 
BC, CD, etc., etft égal au quadruple du nombre des arêtes ou=4A, 
puisque la même arête sert de côté i deux- faces : donc on aura 8 = 
4S — 4A-f-^n{ OU) en prenant le quart de chaque membre, 2=S — 
A+H; doncS+H=A + 2. 

Corollaire, Il suit de ^ que la somme des angles plans qui forment 
les angles solides d*un polyèdre est égale à autant de fois quatre 



LIVRK 



197 



angles droiU qu'il y a d'unités dans S — 2, 6 étant le nombre des 
angles sçlides.. du polyèdre. 

jlSar si on considère une face dont le nombre des côt^s est n , la 
somme des angles de cette face sera 2» — 4 angles droits*. Mais la * ^5, i. 
somme de tous les 2n , ou le double du noàibre des côtés de toutes les 
faces , = 4A, et 4 pris autant de fois qu'il y a de faces =4H ; donc la 
somme des angles de toutes les faces =4A'—4H. Or, par le théorème 
qu'on vient de démontrer, on a A — H = S — 2, et par consé<|qeiit 4A 
— 4H = 4 (S — 2). Donc la somme des angles plans, etc. 

PROPOSITION XXVI. 

THÉOfi&IlB. 

iDan* iouê hê triangUê êphériqueê forméë avec daux eSléê 
donnéê GB, CA , et un troisième à volonté, le plus grand ^li^^^ 
âBG eêt celui dans lequel Vangle G , eompriê par Ué côté* 
èmnéêj eêt égal à la êomme des deux autres angles AeiB, 

Prolonges les deux côtés AG, AB, jusqu'à leur rencontre en D, tous 
aures un triangle sphérique BGD , dans lequel l'angle BBC sera aussi 
égal à la somme des deux autres angles BDG , BGD : car BGD + BGA 
étant égal à deux angles droits , ainsi que CBA GBD , on a BGD 
BCA=:GBA+ GBD j ajoutant de part et d'autre BDG=BAG, on aura 
BCD-fBGA4.BDG = GBA-f.GBD4.BAG. Or, par hypothèse , BGA=: 
GBA + BAG ; donc GBD = BGD + BDG. 

Henes BI qui fasse l'angle GBI=BGD, et par suite IBD=BDG; les 
deux triangles IBG, IBD, seront isoscèles, et on aura IG=:IBr=ID. 
Donc le point I , milieu de DG , est à égale distance des trois points 
B, C , D : par une raiaon semblable le point Q, milieu de AB, sera 
également distant des trois points A , B , G. 

Soit maintenant GA'ssGA et l'angle BGA'>BGA ; si l'on joint A'fi, et fig. ^7 fi 
qu'on' prolonge les arcs A'G , AfBj jusqu'à leur rencontre en D', l'arc 
D'GA' sera une demi-circonfécsnoe aiinsi que DCA ; donc puisqu'on a 
GA'=:GA, on aura aussi GD'aGD. Hais dans le triangle GID'^ on a 
CI+ID'>.CD'>, donc ID'>CD-C!, ou ID'>ID. 

Dans le triangle isoscèle GIB divisons l'angle du sommet I. en deux 
également par l'arc £IF qui sera perpendiculaire sur le milieu de BC 
Si on prend un point I4 entre I et £ , la distance BL , égale à LC , sera 
moindre que BI ; car on peut démontrer, comme dans la prop. ix, Ut. i, 
qu'on a BL-I* l'G'^BI-f'IG j <lonc en prenant les moitiés de part et 
d'autre , on aura BL<BI. Hai9 dans le triangle D'LG on a Da.>D'G— GL, 
et à plus forte raison Da>DG--GI, o^ Da.>DI, ou D'I<>BI; donc 
D'L^BL. Donc si on cherche- sur l'arc £JF un point également distant 
des trois points B , G , D', ce point ne saurait se trouver que sur le pro* 
longement de £1 vers F. Soit V le point cherché, en sorte qu'on ait 



108 GtoitTin. 

DT = Br=Gr ; lei triangles rCB, l'GD', TBDS étant iioicèles, oi| 
aura les angles égaux VBCzsVCb, l'BB'srD'B, rCDsFD'G. Mais 
les angles D'BG+GBA' Talent deux angles droits, ainn que D'GB-|-BGA^; 
donc 

D'BI'+rBG-fGBA'=2, , 
BGK— rGD'+BGA'=2. 

Ajoutant les deux sommes et observant qu'on a l'BGisBGr et D'BI^— 
rGD'= BD'I'— l'D'G = GD'B=: CA'B , on aura 

2I'BCr+CA'B+GBA'4-B.GA'c=4. 

Dono GAfB+GBA'+BGA'— 2 (mesure de l'aire du triangle A'BG)=:2— 
< 2I'BG ; de sorte qu'on a aire A'BG z=2 — 2 0119/0 l'BG; semblablement 
dans le triangle ABG , on aurait aiffs ABG = 2 — 2 angh IBG. Or, on a 
démontré que Tangle l'BG est plus grand que IBG; donc Taire A'BC est 
plus petite que ABG. 

fig. S73. La même démonstration et la même conclusion auraient lieu , si, en 
prenant toujours Tare CA'=:GA, on faisait Tangle BGA'<^BGA; donc 
ABG est le triangle le plus grand entre toui ceux qui ont deux côtés 
donnés et le troisième A volonté. 

6g. 941. Scholiê I. Le tringle ABG, le plus grand entre tous ceux qui oui 
deux côtés donnés GA, GB, peut être iiiscrit dans un deminoercle dont 
la corde du troisième côté AB serH le diamètre ; car étant le milieu 
de AB , on a TU que les distances OG , OB , sont égales ; donc la circon- 
férence de petit cercle décrite du point comme pôle etde Tinterralle 
Op passera par les troi« poii^ts A, B , G. De plus la ligne droite BA ett 
. un diamètre de ce petit cercle ; car le cei^e qui doit se trouver à U 
cor 4! ^* P^*^ P®^^ cercle et dans le plan de Tare de grand cercle * 
BOA , se trouvera nécessairement dans Tintersection de ces deux plan< 
qui est la droite B^ » et ÛAsi BA âera un diamètre. 

SchoUe n. Dans le triangle ABG , Tangle G étant égal à la somme des 
deux autres A et B, il s'ensuit que la somme des trois angles est double 
de Tangle G. Mais cette somme est toujours plus grande que deux 

* >9* angles droits* ; donc l'angle G est plus grand qu'un droit. 

Sckçli9 ni. Si l'on prolonge les oôtés GB, GA , jusqu'A leur rencon- 
tre en £ , le triangle BA£ sera égal au quart de la surface de la sphère. 
Car l'angle EssGssABG^-GAa ; donc les trois* angles du triangle BAE 
équivalent aux quatre ABG , ABI^ , GAB , BA£ , dont la soname est égale 

* M* A quatre angles droits; donc la surface du triangle BA£*=4 — 2=2, 

qui est le quart de la surface de la sphère. 

SekoH^ Vf, Il n'y aurait pas lieu à tnasûnws»^ si Is somme des deux 
oôtés donnés GA , GB , était égale ou plus grande que la demi-çirconfé- 
renée d'un giead cercle.. Gar puisque le triangle ABG doit être inscrit 
dans un demi-cerele de la sphère, la sonune des deux côtés GA, GB , 
* 3. tere moindre que la demi -circonférence BGA*, et par leonséquent 
moindre que la demi-circoiiférenee d'un grand cercle. 



LIVRB Vil. 



199 



ha raison pourquoi il n'y a pas de maximum , lojrsque la sonune des 
deux côtés donnés est plus grande que la demi-circonférence d'un grand 
cercle , c'est qu'alors le triangle augmente de plUs en plus à mesure 
que l'angle compris par les côtés donnés est pl^s grand ; enfin , lorsque 
cet angle sera égal à deux droits, les trois côtés seront dans un même 
plan , et formeront une circonférence entière ,* le triangle s|)hérique 
deviendra donc égal à la demi-sphère , mais il' cessera alors d'être 
triangle. 

PROPOSITION xxm 

THtOltiU. 

De touê Uê triangUê sphériques /orméê avec un cèté donné 
et un périmktre donné y le plue grand eei, celui éane lequel 
les deux côtée non déterminée eont égaux» 

Soit AB le côté donné commun aux deux triangles AGB, ADB, et soit fig< ^4^ 
AG-|-CB =AD-j^DB ; je dis que le triangle isoscèje ACB, dans lequel 
AG= GBj-est plus grand que le noib>isoscèle ADB. 

Car ces triangles ayant la partie commune AOB , il suffit de fair^e 
Toir que le triangle BOD est plus petit que AOG. L*angle CBA égal A 
GAB est plus grand que OAB ; ainsi le côté AO est plus grand que OB* ; * 
preneft OIsOB, faites OK = OD, et joignes Kl; le triangle OKI sera 
égal à DOB. Si on nie maintenant que le triangle BOB ou son éf^al 
KOI soit plus petit que OAG , il faudra qu'il soit égal QU plus grand ; 
dans l'un et l'autre cas , puisque le point I est entre les points A et 0, 
il faudra que le point K soit sur OG prolongé , sans quoi lé triangle OKI; 
serait contenu dans le triangle CAO , et par conséquent plus petit. Gela 
posé, le'plus court chemin de G en A étant CA, on a GK-f-KI-j*IA^ 
GA.MaisGK:=OD'>CO, AlasAO^OB, KlassBD; donc OD — G0 + 
A0--OB+BD>GA, et en réduisant AD^GB-fBD>GA, ou AD -f 
BD>AG-fGB. Or cette inégalité est contraire A l'hypothèse AD-}- 
BD=AG-^GB, donc le point K ne peut tomber si^r le prolongement 
de OG ; donc iî tombe entre et G , et par conséquent le triangle KOI , 
on son égal OBB, est plus petit que AGO ; donc le triangle isoscèle AGB 
est plus grand que le non-isoscèle ADB dé même base et de même 
périmètre. 

Scholie. Ges deux dernières propositions sont analogues aux proposi- 
tions I et m de l'appendice au liv. i>t ; ainsi 6n peut en tirer, par rapport 
aux polygones sphériques, les conséquences qui ont lieu pour les poly- ' 
gones rectilignes. 

▼oici les principales : 

V De fouê lea polygones sphériqueè iaopérimhtreê et d'un même 
nombre de céiéa, le piua gmnd eat un polygone équilatéml, 
Hême démonstration que pour la prop. II de l'appendice aù livre }V. 



200 



eÉoiiTEii. 



2<> De tous les polygones êphériquee formée avec dee côtés donnée 
et M» dernier à volonté, le plue grand est celui qu*on peut inecrirm 
dan* un demi-cercle dont la corde du côté non déterminé eera le 
diamètre, 

La démonstraiioii se déduit de la prop. XXVI , comme on Va tu dans 
la prop. IT de l'appendice cité ; .il faut pour reziitence du maximum , 
que la sonune dei côtés donnés soit moindre que la demi-circonférence 
d'un grand cercle. 

Le plue grand dee polygones ephériquee formée avec dee côtés 
donnée, eet celui gu*onpeut inscrire dane un cercle de la sphère. 

Même démonstration que pour la prop. TI de l'appendice au livre IV. 

4^ Le plus grand dee polygpnes sphériques qfti ont le même péri- 
mètre et le même nombre de côtés, eet celui qui a see anglee égaux 
et ses côtée égaux. 

C'est oe qui résulte des corollaires 1 et 3 qui précèdent. 

Nota, Toutes les propositions de maximum concecnani les polygones 
sphériq^s s'appliquent aux angles solides dont ces polygt)i,9es son^ la 
mesure. 



APPENDICE AUX LIVRES VI ET VIL 

us POtY$DRES RÉGULIERS- 



PROPÔSrriON PREMIÈRE. 
nioftÈu. 

// ne peut y avoir que eitiq polyhdreê .r^uUerê^ 

Car on a défini polyèdres régu^ers ceux dont toutes les facea sont 
des polygones, ^éçuliers égaux» et dont tous les angles solides sont 
égaux entre eux. Ces conditions ne peuvent avoir lieu que dans un petit 
nombre de cas. 

1 o Si les faces sont des trianglea équilatéraux , on peut former cha- 
que angle solide du polyèdre avec trois angles de ces tiliangles , ou 
avec quatre , ou avec cinq : de là naissent trois corps réguliers , tpn 
sont le tétraèdre, l'octaèdre, et llcosaèdre. On n'en peut pas former 
un plus grand nombre avec des triangles équilatéraux , car six angles 
de ces triangles valent quatre angles droits, et ne peuvent former 
, 5. d'angle solide *. 



UYRE TII. 



201 



2oSi les façes sont des carrés, on {>eut assembler leurs anj^les trois 
à trois ; et de là résulte l'hexaèdre ou cube. 

Quatre angles de carrés valent quatre angles droits , et ne peuvent 
former d'angle solide. 

3« Enfin, ai les faces sont det pentagones réguliers, on pourra 
encore assembler leurs itagles trois à trois , et il en résultera le dodé- 
caèdre régulier. 

On ne peut i^ller plus loin ; car trois angles d'hexagones réguliers 
▼aient quatre angles droits , et trois d'heptagones encore plus. 

Donc il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers, trois formés 
avec des triangles équilatéraux , un avec des carrés, et un avec des 
pentagones. 

Scholie. On va prouver dans la proposition suivante que ces cinc^ 
polyèdres existent réellement , et qu'on peut en déterminer toutes les 
dimensions lorsqu'on connaît une de leurs faces. 

PROPOSITION n. 

PROBLÈME. 

Etant donnée l'une dee facee d'un polyèdre réciter, otê^ 
seulement eon côté, eonetruire le polyèdre. 

Ce problème en présente cinq qui vont être résolus successi- 
vement. 

Conetruetion du tétraèdre. 

Soit ABC le triangle équilat jral qui doit être une des faces du tétraè- llg. a43. 
dre ; au point , centre de ce triangle , élevés OS perpendiculaire au 
plan ABC; terminei cette perpendiculaire au point S, de sorte que 
AS=ABj joignez SB, SG, et k pyramide S ABC sera le tétraèdre 
requis. 

Car, à cause des distances égales OA , OB , OG , les obliques SA , SB , 
$€ ,- s'écartent également de la perpendiculaire SO et sont égales. 
I»'une d'elles SA=AB ; donc les quatre faces de la pyramide SABG sont 
des triangles égaux au triangle donné ABG. D'ailleurs les angles solides 
de cette pyramide sônt égaux entre eux , puisqu'ils sont formés chacun 
avec trois angles plans égaux ; donc cette pyramide est un ^tiaèdre . 
régulier. 

Conetruetiçn de l'hexaèdre. 

Soit ABGD un carré donné : sur la base ABGD conatniiseï un prisme fig> a44* 
droit dont la hauteur A£ soit égale au côté AB. Il est clair que les 
faces de ce prisme soni des carrés' égaux, et que ses angles soKdes sont 
égaux entre eux comme étant formés chacun avec trois angles droits ; 
donc ce prisme est un hexaèdre régulier ou cube. 



202 etoiitTEii. 

Construction de l'oetaidro* 
^g' s45- Soit AHB un triangle ëquilatéral donné : 8«r le côté AB décrirei le 
carré ABGD ; au point , centre de ce carré , éleTCX sur aon plan la 
perpendiculaire TS , terminée de part et d'autre en T et de manière 
que OT=0$=AO; joignex ensuite SA, SB, TA, etc., tous aure» un 
solide SABGDT , composé de deux pyramides quadrangulaires SABGB, 
TABGD , adossées par leu^ base commune ABGD, ce solide sera l'octaè- 
dre régulier demandé. 

En effet, le triangle AOS est rectangle en 0, ainsi que le triangle 
AOD; les côtés AO, OS, OD, sont égaux; donc ces triangles sont 
égaux, donc AS = AD. On démontrera de même que tons les autres 
triangles rectangles AOT , BOS , GOT , etc., sont égaux au triangle AQD ; 
donc tous les côtés AB , AS, AT , etc. , sont égaux entre eux, et par 
conséquent le solide SABGDT est compris sous huit triangles égaux au 
triangle équilatéral donné ABU. Je dis de plus que les angles solides 
du polyèdre sont égaux entre eux : par exemple, Tangle S^est égal é 
Tangle B, 

Gar il est visible que le triangle SAG est égal au triangle DAC, et 
qu'ainsi Tangle ASG est droit ; donc la figure SATG est un carré égal 
au carré ABGD. Mais si on compare la pyramide BASGT à la pyramide 
SABGD , la base ASGT de la première peut se placer sur la base ABÇD 
de la seconde ; alors le point étant un centre commun , la hauteur OB 
^ de la première coïncidera avec la hauteur OS de la seconde , et les 
deux pyramides se confondront en une seule ; donc l'angle solidç S est 
égal à l'angle • solide B ; donc le adtide SABGDT est un octaèdre 
régulier. 

Scholie, Si trois droites égales , AG , DD , ST , sont perpendiculaires 
entre elles et se coupent dans leur milieu, les extrémités de ces droites 
seront les sonmiets d'un octaèdre régulier. 

Construction du dodécaèdre, 

(ig. a46. Soit ABGDE un pentagone régulier donné ; soient ABP , GBP , deux 
angles plans égaux A l'angle ABC : avec ces angles plans formel l'angle 
solide B , et déterminei par la proposition xxit , livre v , l'inclinaison 
mutuelle de deux, de ces plans, inclinaison que j'appelle K. Formes 
semblablement aux points G, D, £, A, des angles solides égaiix à 
l'angle solide B , et situés de la même manière : le plan GBP sera le 
même avec le plan BGG , puisqu'ils sont inclinés l'un et l'autre de la 
même quantité K sur le plan ABGD. On peut donc dans le plan PBGG 
décrire le pentagone BGGFP égal au pentagone ABGDE. Si on fait de 
même dans chacun des autres plans GPI , DEL , etc. , on aura une sur- 
face convexe PFGH, etc., composée de six pentagones réguliers égaux 
et inclinés chacun sur son adjacent de la même quantité K. Soit 
pfght etc., une seconde surface égale à PFGH, etc., je dis que ces 



LIVBI y II. 



208 



deux surfaces peuvent être réunies de manière à ne former qu'une 
seule surface convexe continue. En effet, l'angle opf, par exemple, peut 
se joindre aux deiix anf^les OPB , BPF , pour faire un angle solide P 
égal à l'angle B ; et dans ce^ie jonction il ne sera rien changé i Vinoli- 
naison des plans BPF , BPO ; puisque cette inclinaison est telle qu'il le 
faut pour la formation de l'angle solide. 'Mais en même temps que l'an- 
gle solide. P se forme , le côtép/* s'appliquera sur son égal PF, et au 
point F se trouveront réunis trois angles plans PFG, pfe, efg, qui for- 
meront un angle solide égal à chacun des angles déjà formés ; cette 
jonction se fera sans rien changer ni à l'état de l'angle P , ni à celui de 
la surface efyh, etc.; car les plans PFG, efp , déjà réunis en P, ont 
entre eux l'inclinaison convenable K, ainsi que les plans efg, efp. 
Continuant ainsi de proche fvn proche, pnvoit que les deux surfaces 
s'ajusteront mutuellement l'une avec l'autre , pour ne former qu'une 
seule surface continue et rentrante sur elle-même : cette surface sera 
celle d'un dodécaèdre régulier, puisqu'elle est composée de douie 
pentagones réguliers égaux , et que tops ses angles solides sont égaux 
entre eux. 

Construction de Vicoêàhâro. 

Soit ABC une de ses faces ; il faut d'abord former un angle solide fig* ^47* 
avec cinq plans égaux au plan ABC et également inclinés chacun sur 
sop adjacent. Pour cela, sur le côté B'G^, égal à BG, faites le pentagone. . 
régulier B'G'H'I'D' ; au centre de ce pentagone élevés siyr son plan une 
perpendiculaire, que vous terminerez en A' de manière que B'A's: 
B'G' ; joignes A'G', A'H', AT, A'D', et l'angle soUde A', formé par les 
cinq plans B'A'G', G'A^', etc., sera l'angle soUde requis. Car les obli- 
ques A'B', A'G', etc., sont égales , et l'une d'elles A'B' est égale au 
côté B'G' ; donc tous les triangles B'A'G', G'A'H', etc., sont égaux entrer 
eux et au triangle donné ABC. 

11 est visible d'ailleurs que les plans 9'A'G', G'A'H', etc., sont éga- 
lement inclinés chacun sur son adjacent ^ car les angles solides B', 
CT, etc., sont égaux entre eux, puisqu'ils sont formés chacun avec deux 
angles de triangles équilatéraux et un de pentagone régulier. Appelons 
K l'inclinaison des deux plans où sont les angles égaux, inclinaison 
qu'on peut déterminer par la proposition xxiv, liv. v ; l'angle K sera en 
même temps l'inclinaison de cl^acun des plans qui composent Tangle 
solide A' sur son adjacent. 

Gela posé, si on fait aux points A, B, C| des angles solides égaux 
chacun à l'angle A', oin aura une surface convexe DEFG, etc., com- 
posée de dix triangles équilatéraux, dont chacun sera incliné sur son 
adjacent de la quantité K ; et les angles D , E , F , etc., de son contour 
réuniront alternativement trois et deux angles de triangles équilatéraux^ 
Imagines une seconde surface égale à la surface DEFG , ètc \ ces deux 
surfaces pourront s'adapter mutuellement, en joignant chaque angle.' 



GÉOHtTBII. 



triple de l'une à ua angle double de l'autre ; et , comme les plans de 
ces angles ont déjà entre eux l'inclinaison K nécessaire poûr former un 
angle solide quintuple égal à langle A , il ne sera rien changé dans 
cette jonction à l'état de chaque surface en particulier , et les deux 
ensemble formeront une seule sifrface continue^ composée de vingt 
, triangles équilatéraux.- Cette surface sera celle de l'icosaèdre régulier, 
puisque d'ailleurs tous les angles solides sont égaux entre eux. 

PflOPOSITION m. 

FROBLÈKE. 

.Tfwtver Vinelinaiêon de deux faeee adjoeentee d^un polyè- 
dre régulier, ■ 

Cette inclinaison se déduit immédiatement de la construction qui 
Tient d'être donnée des. cinq polyèdres réguliers; a quoi il faut ajouter 
la proposition xxiy , liy. y , par laquelle étant donnés les trois angles 
plans qui forment un angle solide , on détermine l'angle que deux de 
ces plans font entre eux. 

fig. 243. Bans le tétraèdre, C^aqye angle solide est formé de trois angles de 
triangles équilatéraux : il faut donc chercher par le problème cité l'an- 
gle que deux de ces plans foi|t entre eux , cet angle sera rinclinaison 
de deux faces adjacentes du tétraèdre. 

fig. 344< Dans Vhexaèdre, L'angle de deux faces adjacentes est un angle 
droit. » 

(ig. s45. Dans Voctahdre. Formel un angle solide avec deux angles de trian- 
gles équilatéraux et un angle droit; l'inclinaison des deux plans où 
sont les angles des triangles sera celle de deux faces adjacentes de 
4'octaèdre. 

fig* 346. Danê le dodécaèdre. Chaque angle solide est formé avec trois angles 
de pentagones réguliers; ainsi l'inclinaison des plans de deux de ees 
.angles 9era celle de deux faces adjacentes du dodécaèdre. 

fig. ^47- Dans /'tçosaèdrv. Formez un angle soUdjS avec deux angles de tirian- 
gles équilatéraux et un angle de pentagone régulier, l'inclinaison des 
deux plans où sont les angles dès triangles sera celle de deux faces 
adjacentes de Tioosaèdre. 

PROPOSITION IV, 

FROBLÈKE. 

Étant donné le côté d'un polyèdre régulier , trouver le 
rayon de là, êpkère inecrite et celui de la ephère circonscrite 
au polyèdre. 




UVKE TU. 



205 



Il faut d'abord démontrer que tout polyèdre régulier peut être inscrit 
dans la sphère , et qu'il peut lui être circonscrit. 

Soit AB le côté commun à deux faces aii^acentes; soient C et £ les fig- 248. 
centres de ces deux faces , et CD , ËD , les perpendiculaires abaissées 
de ces centres sur le côté conmiun AB , lesquelles tomberont au point 
milieu de ce côté. Les deux perpendiculaires CD, DE» font entre 
elles un angle connu , qui est égal à l'inclinaison de deux faces adja- 
centes , déterminée par le problème précédent. Or si , dans le plan CDE , 
perpendiculaire à AB, on mène sur CD et £D les perpendiculaire» indé- 
finies GO et £0 , qui se rencontrent en , je dis que le point sera le 
centre de la sphère inscrite et celui de la sphère circonscrite ; le rayon 
de la première étant OC , et celui de la seconde A. 

En effet , puisque les apothèmes CD , DE , sont égales , et l'hypoté- 
nuse DO commune , le triangle rectangle GDO est égal au triangle 
rectangle ODE* et la perpendiculaire OC est égale à la perpendicu- * 18, i. 
laire OE. Mais AB étant perpendiculaire au plan CDE f le plan ABC est 
perpendiculaire à CDE*, ou CDE à ABC; d'ailleurs CO, dans Içplan * i7« ^• 
CDE, est perpendiculaire à CD, intersection commune des plans CDE, 
ABC; donc GO* est perpendiculaire au plan ABC. Par la même raison * i8- ^• 
£0 est perpendiculaire au plan ABE ; donc les deux perpendiculaires 
GO , EO , menées aux plans de deux faces adjacentes par les centres de 
ces faces, se rencontrent eii lin même point et sont égales. Suppo- 
sons maintenant que ABC et ABE représentent deux autres faces adja- 
centes quelconques, l'apothème CD restera toujours de la même 
grandeur, ainsi que l'angle GDO, moitié de CDE; donc le triangle 
rectangle GDO et son côté GO seront égaux pour toutes les faces du 
polyèdre; donc , si du point comme centre et du rayon OC on décrit 
une sphère, cette sphère touchera toutes les faces du polyèdre dans 
leurs centres (car les plans ABC , ABE , seront perpendiculaires à l'e^ 
trémité d'un rayon) , et la sphère sera- inscrite dans le polyèdre , ou le 
polyèdre circonscrit à la sphère. 

Joignez OA, OB; à oause de GA=CB, les deux bbliques OA, OB, 
s'écartant également de la perpendiculaire , seront égales ; il en sera 
de même, de deux autres lignes quelconques menées du centre aux 
extrémités d'un même côté ; donc toutes ces lignes sont jégales entre 
elles ; donc si du point conme centre et du rayon OA on décrit une 
surface sphérique , cette surface passera par les sommets de tous les 
angles solides du polyèdre , et la sphère sera circonscrite au polyèdre 
ou le polyèdre inscrit dans la sphère. 

Cela posé, la solution du problème proposé n'a plus aucune diffi- 
culté, et. peut s'effectuer ainsi : 

Étant donné le côté d'une face du polyèdre , décriyeE cette face , et fig. a49- 
soit CD son apothème. Cherchez par le problème précédent l'inclinaison 
de deux faces adjacentes du polyèdre, et faites l'angle CDE égalé cette 
inclinaison. Prenez DE égale à CD , menez GO et £0 perpendiculaires 



206 



fiÉOKftraiB. 



a CD et ED ; ces deux perpendiculaires se rencontreront en un point , 
et CO sera le rayon de la sphère inscrite dans le polyèdre. 

Sur le prolongement de BG prenei GA égale au rayon du cercle cir- 
conscrit à une face du polyèdre, et OA sera Id rayon de la sphère 
circonscrite A ce même polyèdre. 

Gar les triangles rectangles CBO , GAO , de la fig* 249 sont égaux 
aux triangles de mémè nom dans la fig. 248 : ainsi , tandis que CD et 
G A sont les rayons des cercles inscrit et circonscrit à une face du polyè- 
dre f -OG et OA sont les rayons êes sphères inscrite et circonscrite au 
même polyèdre. 

SohoUe, On peut tirer des propositions précédentes plusieurs consé- 
quence*. 

1» Tout polyèdre régulier peut être partagé en autant de pyramides 
régulières que le polyèdre a de faces : le sommet commun de ces pyra- 
mides sera le centre du polyèdre i qui est en même temps celui des 
sphères inscrite et circonscrite; 

2^ La solidité d'un polyèdre régulier est égale à sa surface multipliée 
par le tiers du rayon de la sphère inscrite ; 

dfi Deux polyèdres réguliers de même nom sont deux solides sembla- 
bles f et leurs dimensions homologues Jont proportionnelles y donc les 
rayons des sphères inscrite ou eirconscrite sont entre eux comme les 
côtés ^e ces polyèdres ^ 

4? Si on inscrit un polyèdre régulier dàns une sphère , les plans menés 
du centre le long des différents côtés partageront la surface de la 
sphère en autant de polygones sphériques égaux et semblables que le 
polyèdrè a de faces. 



LIVRE VIII. 

LES TROIS CORPS RONDS. 



DfitllIITlOIfS. 

t. On appelle cylindre le solide prodaît par la rëvolulion fig. aSo. 
d*un rectangle ABCD, qu'on imagine tourner autour du 
côté immobile AB. 

Dans ce mouTement les côtés AD , BG , restant toujours 
perpendiculaires à AB » décriyent des plans circulaires 
égaux DBP, CGQ, qu'on appelle les bâtes du cylindre, et 
le côté CD en décrit la eurfaee contevem 

La ligne immobile .AB s'appelle IWe àu dylindre-. 

Toute section EXM , faite dans le cylindre perpendicu* 
lairement à l'axe, est un cercle égal à chacune des bases : 
car pendant que le rectangle ABCD tourne autour de AB, . 
la ligne IK , perpendiculaire à AB ». décrit un plan circu- 
laire égal è la base , et ee plan n^est autre chose que la 
section faite perpendiculairement à l'axe au poinf 1. 

Toute section PQGH, faite suivant l'axe, est un rectan- 
gle double du rectangle générateur ABCD. 

II. On appelle cène le solide produit par la révolution du fig. a5i. 
triangla rectangle SAB , qu'on imagine tourner aûtour du 

eèté immobile SA. 

Dans ce mouvement le côté AB décrit un plan cvculaire 
BDCE, qu'on appelle la haee du cène, et l'hypoténuse SB 
en décrit la surface convexe. 

Le point & s'appelle U eommet du cône, SA l'ase ou la 
hauteur, et SB le côté ou l'apothème. 

Toute section HKFI , faite perpendiculairement à l'axe , 
est un cercle; toute sectiop SDE, faite suivant l'axe, est 
un triangle isoscèle double du triangle générateur SAB. 

III. Si du cône SCDB on retranche, par une section pa- 



208 



OÉOMÉTIKII. 



rallèle à la base, le cône SFKH, le solide restant GBHF 
s'appelle cône tronqué on tronc do cône. 

On peut supposer qu'il est dëerit par la réyolution da 
trapèse ABHG , dont les angles A et' G sont droits , autour 
du côté AG« La ligne immobile AG ' s'appelle l'ose ou la 
hauteur du tronc y les cercles BDG, HFK, en sont lee haees, 
et BH en est le côté. 

IV. Deux cylindres Ou deux cônes sont eemblableê lorsque 
«leurs axes sont entre eux comme les diamètres de leurs 
bases. . 
«g. s5i. ^ y. Si, dans le cercle AGD qui sert de base à un cylindre, 
on inscrit un polygone ABCDE, et que sur la base AJBGDE 
on élève un prisme droit égal eu bauteur au cylindre , le 
prisme est dit ineerit dans le eyUndre, ou le cylindre 
écrit au priéme. 

Il est clair que les arêtes AF, BG, CH, etc., du prisme, 
étant perpendiculaires au plan de la base , sont comprises 
dans la surface oonTCxe du cylindre ; donc le prisme et le 
cylindre se touchent suivant ces arêtes. 

YI. Pareillement, si ABGD est un polygone circonscrit à 
fig. M. la base d'un cylindre , et que sur la base ABGD on con- 
struise un prisme droit égal en bauteur au cylindre, le 
prisme est dit eireomcrii au ç^lindre, ou le cylindre ineerit 
dans lej^eme, t 

Soient M, N , etc. , les points de contact des côtés AB , 
BG , etc. , et soient élevées par les points M , N , etc. , les 
perpendiculaires litX , NY , etc., au plan de la base ; il est 
olair que ces perpendiculaires seront i la fois dans la sur- 
face du cylindre et dans celle du prisme circonscrit; donc 
elles seront leurs lignes de contact. 

B, Le cylindre, le cône, et I« iphère, sont les tnriê corps fondé 
dont oa t'occupe dans les élànents. 



II TRI Vin. 



â09 



Lemmes préliminaires ntr les surfaces. 
I. 

Une surface plane OABCD est plus petite que toute fig. a54. 
autre surface PABCD, terminée au mémecontour ABCD. 

Cette ]5ro()osition est assez évidente pour être i^angëe au 
nombre des axiômes ; car on pourrait supposer que le plan 
est parmi les surfaces ce que la ligne droite est parmi les 
lignes : la ligne droitè est la plus courte entre deux points 
donnés . de même le plan est la surface la plus petite entre 
toutes celles qui ont un même contour. Cependant comme 
il convient de réduire les axiômes au plus petit nombre 
possible , voici un raisonnement qui ne laissera aucun 
doute sur cette proposition. 

Une surface étant une étendue en longueur et en largeur, 
on ne peut concevoir qu'une surface soit plus grande 
qu'une autre , à moins que les dimensions de la première 
n'excèdent dans quelques sens celles de la seconde ; et s'il 
arrive que les dimensions d'une surface soient en tous sens 
plus petites que les dimensions d'une autre surface, il est 
évident que la première surface sera la plus petite des 
deux. Or, dans quelque sens qu'on fasse passer le plan BPD , 
qui coupera la surface plane sùivant BD, et l'autre surface 
suivant BPD, la ligne droite BD sera toujours plus petite 
que BPD ; donc la surface plane OABCD est plus petite que 
la surface environnante PABCD. 

IL 

Toute surface convexe OABCD est moindre qu^une fig. a55. 
autre surface quelconque qui envelopperait la première 
en s' appuyant sur le même contour ABCD. 

!Nous. répéterons ici que nous entendons par surface con^ 
vexe une surface qui ne peut être rencontrée par une ligne 
droite en plus de deux points : et cependant il est possible 

i4 



210 



qu'une ligne' droite s'applique exactement dans un certain 
sens sur une surface conyexe ; ou en voit des exemples dans 
les surfaces du cône et du cylindre. Nous observerons aussi 
que la dénomination de surface convexe n'est pas bornée 
aux seules surfaces courbes; elle comprend les surfaces 
polyédrahê ou composées de plusieurs plans , et aussi les 
surfaces en partie courbes , en partie polyédrales. 

Gela posé , si la surface OABGD n'est pas plus petite que 
toutes celles qui l'enveloppent , soit parmi cell«s-ci P ABGD 
la surface là plus petite qui sera au plus égale à OABGD. 
Par un point quelconque 0, faites passer un plan qui touche 
la surface OABGD sans la couper ; ce plan rencontrera la 
surface PABGD , et la partie qu'il en retranchera sera plus 
* itm. I. grande que le plan terminé à la même surface * : donc, en 
conservant le reste de la surface PABGD , on pourrait 
substituer le plan à la partie retranchée, et on aurait mie 
nouvelle surface qui envelopperait toujours la surface 
OABGD, et qui serait plus petite que PABGD. 

Mais celle-ci est la plus petite de toutes par hypothèse *; 
donc cette hypothèse ne saurait subsister, donc la surface 
convexe OABGD est plus petite que toute autre surface qui 
envelopperait OABGD, et qui serait terminée au même 
contour ABGD. 

Scholie, Par un raisonnement entièrement semblable on 
prouvera , 

«g. a56. lo Que , si une surface convexe terminée par deux con- 
tours ABG, DEF, est enveloppée par une autre surface 
quelconque terminée aux mêmes contours, la surface enve- 
loppée sera la pliis petite des deux. 
a5^- V Que , si une surface convexe AB est enveloppée de 
toutes parts par une autre surface MN , soit qu'elles aient 
des points , des lignes ou des plans communs , soit qu'elles 
n'aient aueun pDint de commun , la surface enveloppée sera 
toujours plus petite que la surface enveloppante. 

Gar parmi celles-ci il ne peut y en avoir aucune qui soit 
la plus petite de toutes, puisque dans tous les cas on pour- 
rait toujours mener le plan GD tangent à la surface con- 

^ lem.i. ?ete, lequel plan serait plus petit que la surface GAn)""; 



et ainsi la surface €ND serait plas petite que MN, ce qui est 
contraire à l'hypothèse que MN est la plus petite de toutes. 
Donc la surface conrexe AB est plus petite que toutes celles 
qui Penveloppent. 

PROPOSITION PREMIÈRE. 

THÉOltÈfil. 

La solidité cTun cylindre est égale au produit de sa 
base par sa hauteur. 

Soit GA le rayon de la base du cylindre donné , H sa fig* aSS. 
hauteur ; représentons par surf. CA la surface du cercle 
dont le rayon eist GA; je dis que la solidité du cylindre sera 
€urf. GA X H. Gar , si surf. GA x H n'est pas la mesure du 
cylindre donné, cé produit sera la mesui^e d'un cylindre 
plus grand ou plus petit. Et d'abord supposons ^qu'il soit la 
mesure d'un cylindre plus petit, par exemple,. du cylindre 
dont GD est le rayon de la base/et H la hauteur. 

Girconscrivez au cercle dont le rayon est GD , un poly- 
gone régulier GHIP dont les côtés ne reucontrent pas la 
circonférence dcmt G A est le rayon imagines ensuite un * io> 4. 
priame droit qui ait pour base le polygone GHIP, et pour 
hauteur H, lequel prisme sera circonsorit au cylindre dont 
GD est le rayon de la base. Gela posé, la solidité du prisme* * i4> 
est égale à sa base GHIP , multipliée par la hauteur H; la 
base GHIP est plus petite que le cercle dont GA est le 
rayon : àfi(nc la solidité du prisme est plus petite que surf. 
GA X H. Mais suff- GA x H es^ , par hypothèse, la solidité 
du cylindre inscrit dans le prisme ; donc le prisme serait 
plus petit que le cylindre : or, au contraire , le cylindre est 
plus petit qùe le prisme, ^luisqu'il y est contenu ; donc il est 
impossible que surf. GAxH soit la mesure du cylindre 
dont GD est le rayon de la base et H la hauteur ; ou , en 
ternies plu« généraux , le produit de la hase d'un cylindre 
par sa hauteur ne peut mesurer un cylindre plus petit. 

Je dis en second lîèu que ce même produit ne peut me- 
surer un cylindre plus grand : car, pour ne pas multiplier 
les figures , soit GD le rayon de la i)ase du cylindre donné 



SIS, ftftOHtTI». 

et 8oit , s'il est possible , 9wrf. CD x H la mesure d'an 
cylindre plus grand, par exemple, du cylindre dont G A 
est le rayon de la base et H la bautenr. 

Si on fait la même construction que dans le premier cas, 
le prisme circonscrit au cylindre donné aura pour mesure 
GHIPxH : l'aire GHIP est plus grande que turf. CD; 
donc la solidité du prisme dont il s'agit est plus grande que 
9urf^ GDxH : le prisme serait donc plus grand que le 
cylindre de même hauteur qui a pour base surf. G A. Or, 
au contraire, lé prisme est plus petit que le cylindre, puis- 
qu'il y est contenu ; donc il est impossible que la hase d'un 
cylindre multipliée par sa hauteur soit la mesure d*un cylindre 
plus grand. 

Donc enfin, la solidité d'un cylindre est égale au produit 
de sa base par sa hauteur. 

Corollaire I. Les cylindres de même hauteur sont entre 
eux comme leurs bases, et les cylindres de même base sont 
entre eux comme leurs hauteurs. 

Corollaire II. Les cylindres semblables sont comme les 
cubes des hauteurs, ou comme les cubes des diamètres des 
bases. Car les bases sont comme les carrés de leurs diamè- 
tres ; et puisque les cylindres sont semblables, les diamètres 
* dér. 4. des bases sont comme les hauteurs : donc les bases sont 
comme les carrés des hauteurs ; donc les bases multipliées 
par les hauteurs , ou les cylindres eux-rmémes, sont comme 
les cubes des hauteurs. 

SchoUe, Soit B. le rayon de la base d'un cylindre, H sa 
" la, 4- hauteur, la surface de la base sera irR'"^, et la solidité du 
eylindre sera irR* X H, ou irR'H. 

PROPOSITION IL 

LEMMl, 

La surface convexe d'un prisme droit est égale au 
périmètre de sa base multiplié par sa hauteur. 
iig. aSa. Car cette surface est égale à la somme des rectangles 
AFGB , BGHC; CHU), etc., dentelle est composée : or les 



MVBB VIIÏ. 



21S 



hauteurs AF, BG, CH, etc., de ees rectangles sont égales à 
la hauteur du prisme ; leurs hases AB, BG, CD, etc., prises 
ensemble, font le përinïètre de la base du prisme. Donc la 
somme de ces rectangles ou la surface convexe du prisme 
est égale au pérjmètre de sa base multiplié par sa hauteur. 

Corollaire. Si deux prismes dreits ont la même hauteur, 
les surfaces convexes de ces prismes seront entre elles- 
comme les périmètrei» de leurs bases. 

PROPOSITION: III. 

LEIÎMB. 

La surface convexe du cylindre est plus grande que la 
surface convexe de tout prisme inscrit y et plus petite que 
la surface convexe de tout prisme circonscrit. 

Car la surface «opvexe du cylindre et celle du prisme fig. 
inscrit ABCDEF peuvent être considérées comme ayant 
même longueur, puisque toute section fsiite dans Tune et 
dans Vautre parallèlement à AF est égale à AF ; et si pour 
avoir les largeurs de ces surfeces on les coupe par des 
plans parallèles à la base ou perpendiculaires de l'arête AR, 
les- sections seront égales ^ Tune à la circonférence de la 
base, l'autre au contour du polygone ABGDE plus petit que 
cette circonférence : donc , puisqu'à longueur égale la lar- 
geur de la surface cylindrique est plus grande que celle de 
la surface priàmatique , il s'ensuit que la première surface 
est plus grande que la seconde. 

Par un raisonnement entièrement semblable on prou* figf. 353^ 
vera que la surface convexe du cylindre est plus petite que 
celle de tout prisme circonscrit BCDKLH. 

PROPOSITION IV. 

THÉOBÈM-E. 

La surface convexe d'un cylindre est égale à la cir- 
conférence de sa base mulltpliée par sa hauteur. 

Soit GA le rayon de la base du cylindre donné, H sa hau- 
teur ; si on représente par cire. CA la circonférence qui a fîg. a58v 



214 



poar rayon CA, je dis que eire. GA X H sera la surface con- 
vexe de ce cylindre. Car, si on nie cette proposition, il 
faadra que eire. CA x H sott la sorlace d'un cylindre plus 
grand ou plus petit ; et d*abord supposons qu'elle soit la 
surface d*un cylindre plus petit, par exemple, du cylindre 
dont CD est le rayon de la base et H la hauteur. 

CireonscriTes au cercle dont le rayon est GD dn polygose 
régulier GHIP, dont les côtés ne rencontrent pas la circon- 
férence qui a G A pour rayon; imaginez ensuite un prisme 
droit qui ait pour hauteur H, et pour hase le polygone GfilP. 
La surface convexe de ce prisme sera égale au contour da 
a. polygone GHIP multiplié par la hauteur H * : ce contour 
est plus petit que la circonférence dont le rayon est CA; 
donc la surface convexe du prisme est plus petite que cire. 
CAxH. Mais être. GAxH est, par hypothèse*, la surface 
convexe du cylindre dont CD est le rayon de lahase^ lequel 
cylindre est inscrit dans le prisme ; donc la surface con- 
vexe du prisme serait plus petite que celle du cylindre 
3. inscrit. Or, au contraire, elle doit être plus grande donc 
l'hypothèse d'où l'on est parti est absurde : donc, 1** la etr- 
conférence de la haee d'un cylindre multipliée par ea hauteur 
" ne peut mesurer la eutfacè convexe d*un cylindre plue petit» 
Je dis en second lieu que ce même produit ne peut 
mesurer la surface d'un cylindre plus grand. Car, pour ne 
pas changer de figure ^ soit CD le rayon de la base du cy- 
lindre donné, et soit, s'il est possible, cire. CD x H la sur- 
face convexe d'un cylindre qui , avec la même hauteur , 
aurait pour base un cercle plus grand, par exemple, le 
eercle dont le rayon est CA. On fera la même construction 
que dans la première hypothèse , et la surface convexe da 
prisme sera toujours égale au contour du polygone GHIP 
multiplié par la hauteur H. Mais ce contour est plus grand 
que cire, CD; donc la surface du prisme serait plus grande 
que cire. CD x H , qui , par hypothèse , est la surface du 
cylindre de même hauteur dont CA est lé rayon de la base. 
Donc la surface du prisme seràit plus grande que eelle de 
ce cylindre. Mais , quand même le prisme serait inscrit 
dans le cylindre , su surface serait plus petite que celle du 



Liyit VIII, 



cylindre *; à plas forte rwon est-elle plus petite lorsque * ^. 
le priaine ne s'étend pas jusqu'au cylindre. Donc la seconde 
hypothèse ne saurait avoir lieu ; donc â** la ctreonfirence de 
la Base d'un cylindre multipliée par ea- hauteur ne peut 
meeurer la surface d'un cylindre plue grand. 

Donc enfin là surface convexe d'un cylindre est é^le à 
la circonférence de sa base multipliée pàr sa hauteur. 

PROPOSITION V. 

\ 

THÉOatHB. 

La solidité d'un cône est égale au produit de sa base ' ' 
par le tiers de sa hauteur^ ' ^ , • 

Soit SO la hauteur du cône donné , AO le rayon de la fig. aS> 
baçe ; si on désigne par su?f, AQ la surface de la base , je 
dis que la solidité de ce cône sera égale à eutfi AO x |$0. 

En effet , supposons l** que eurf. AO x jSO sott la soli- 
dité d'un cône plus grand , par exempîe ^ du cône dont SO 
est toujours la hauteur, mais dont OB , plus grand que AO, 
est le rayon de la basé. 

Au cercle dont le rayon est AO circonscrivez un poly- 
gone régulier MNPT qui ne rencontre pa« la circonférence 
dont le rayon est OB * ; imaginez ensuite une pyraiàidé qui * lo, 4^ 
ait pour base .le polygone et pour sommet le point S. La 
solidité de cette pyramide * est égale à l'aire du polygone * 19. 6i 
MNPT multipliée par le tiers ^ de la hauteur SO. Mais le 
polygone est plus grand que le cercle inscrit représenté 
par eurf, AO; donc la pyramide est plus grande que 
surf. AOxjSO, qui, par hypothèse, est la mesure du 
cône dont S est le sommet et OB le rayon de la base. Or , 
au contraire , la pyramide est plus petite que le cône, puis- 
qu'elle y est contenue; donc 1° il est impossible que la base 
d'un cône multipliée par le tiers de sa hauteur soit la me- 
sure d'un cône plus grand. 

Je dis â^* que ce même produit ne peut être la mesure 
d'un cône plus petit. Car, pour ne pas changer de figure, 
soit 06 le rayon de la base du c^e donné , et soit, s'il est 



S16 



GtOBÉTElt. 



possible, êurf. OBxjSO la solidité do côno qui a pour 
hauteur SO et pour base le cercle dont AO est le rayon. On 
fera la môme construction que ci-dessus , et la pyramide 
SMNPT aura pour mesure Faire MNPT multipliée par f SO. 
Mais l'aire MNPT est plus petite que 9urf. OB ; donc la 
pyramide aurait une mesureplus petite que suff. OB x fSO, 
et pàr conséquent elle serait plus petite que le cône dont 
AO est le rayon de la base et SO la hauteur. Or, au con- 
traire, la pyramide est plus grande que le cône , puisque 
le cène y est contenu : donc 2<> il est impossible que la base 
. d*un cône multipliée par le tiers de sa hauteur soit la me- 
sure d'un cône plus petit. 

Donc enfin la solidité d'un cône est égale au produit de 
sa base par le tiers de sa hauteur. 

Corollaire * Un cône est le tiers d'un cylindre de même 
bàse et de même hauteur ; d'où il suit , 

1» Que les cônes d'égales hauteurs sont entre eux comme 
leurs bases ; . 

Que les cônes de basôs égales sont entre eux comme 
leurs hauteurs ; 

S® Que les cônes semblables sont comme les^ cubes des 
diamètres de leurs bases , ou comme les cul>es de leurs 
hauteurs. 

Seholiê. Soit R le rayon de la base d'un cône , H sa hau- 
teur; la solidité du cône sera itR" x-^H ou juR^H. 

PROPOSITION VI. 

THÉORtHB. 

aCo. Le cône tronqué ADEB, dont AO, DP sont les rayons 
des bases et PO la hauteur ^ a pour mesure ^w. OP., 

(âô+dp+aoxdp). 

Soit TFGH une pyramide triangulaire de même hauteur 
que le cône SAB , et dont la base FGH soit équivalente à 
la base du cône. On peut supposer que ces deux bases sont 
placées sur un même plan; alors les sommets S et T seront 
à égales distances du plan des bases , et le plan EPD pro- 



LIYRE riii. 217 

longé fera dans }a pyramide la section IKL. Or je dis qi^e 
cette section IKL est équivalente à la base DE ; car les 
bases AB, DE, sont entre elles comme les carrés des rayons 
AO, DP * 5 ou comme les carrés des hauteurs SO, SP ; lès * n, 4. 
triangles FGH , IKL , sont entre eux comme les carrés de 
ces mêmes hauteurs*; donc les cercles AB, DE, sont entre • i5. 6. 
eux comme les triangles FGH^ IKL. Maïs, par hypothèse, 
le triangle FGH est équivalent au cercle AB ; donc le trian- 
gle IKL est équivalent au cercle DE. 

Maintenant , la base AB multipliée par |S0 est la solidité 
du cône SAB , et la base FGH multipliée par j SO est celle 
de la pyramide TFGH ; donc ^ à cause des bases équiva- 
lentes , la solidité de la pyramide est égale à celle du cène. 
Par une raison semblable , la pyramide TIKL est équiva- 
lente au cône SDË; donc le tronc de cône ADEB est équi- 
valent au tronc de pyramide FGHIKL. Mais la base FGH , 
équivalente au cercle dont le rayon est AO , a pour mesure 

ic X AO ; de même la base IRL= « X DP , et la moyenne pro- 
portionnelle entre w X AO et « x DP est « x AO x DP ; donc la 
solidité du tronc de pyramide p ou celle du tronc de cône , 
a pour mesure iOPx(icxXÔ+5rxDP + *x AOxDP)*, •ao,6. 
qui est la même chose que | ît X OP x (ÂÔ + DP + AO X DP). 

PROPOSITION VIL 

THÉORÈHB. 

La surface convexe d'un cône est égale à la circon- 
férence de sa base multipliée par la moitié de son côté. 

Soit AO le rayon de la base du cône donné, S son som- fig. 359. 
met, et SA son côté; je dis que sa surface sera cire, AO x 7SA. 
Car soit, s'il est possible , eirc, AO x 7 SA , la surface d'un 
cône qui aurait pour sommet le point S et pour base le 
cercle décrit du rayon OB plus grand que AO. 

Circonscrivez au petit cercle un polygone régulier MNPT, 
dont les côtés ne rencontrent pas la circonférence qui a 
pour rayon OB; et soitSMNPT la pyramide régulière, qui 



S20 



GÉOMiTtlt. 



parallèle à AB , et IM parallèle à AF ; on démontrera comme 
ci-dessus que IM = cire. IK. Mais le trapèze ADHF = 
ADxIMs=sADx<7<re. IK. Donc on peut dire encore que 
la surface d'un tronc de cène est égale à son côté muitiplié 
par la circonférence d'une section faite h égale distance des 
deux hases, 

Scholie. Si une ligne AD , située tout entière d'un même 

éàié de la ligne OG et dans le même plan , fait une ré^ola- 

tion autour de OG , la surface décrite par AD aura pour 

/cire, AO-^- cire, "DCS 
mesure AD x f ^ ) » ^ > 

les lignes AO , DG , IK , étant des perpendiculaires abais- 
sées des extrémités et du milieu de la ligne AD sur 
TaxeOG. 

Car si on prolonge AD et OG jusqu'à leur rencontre mu- 
tuelle en S , il est clair que la surface décrite par AD est 
celle d'an cône tronqué dont OA et DG sont les rayons des 
bases, le cône entier ayant pour sommet le point S. Doiu: 
cette surface aura la mesure mentionnée. 

Gette mesure aurait toujours lieu , quand même le point 
D tomberait en S , ce qui donnerait un cône entier, et aussi 
quand la ligne AD serait parallèle à l'axe , ce qui donnerait 
un cylindre. Dans le premier cas DG serait nulle , dans le 
second DG serait égale à AO et à IK. 

PROPOSITION IX. 

LSHMS. 

6g. %6%. Soient AB , BC , CD , plusieurs côtés successifs d'un 
polygone régulier, G son centre y et 01 le rayon du cer- 
cle inscrit; sï on suppose que la portion de polygone 
ABGD, située tout entière d'un même côté du diamètre 
FG, fasse une révolution autour de ce diamètre y la sur^ 
face décrite par ABGD aura pour mesure MQxcfVc. 
CI, MQ étant la hauteur de cette surface ou la partie 
de Vaxe comprise entre les perpendiculaires AM, DQ- 
Le point I étant milieu dé AB , et IK étant une perpen- 



UVHK YIII. 



219 



à un cône égal , la surface des deux pyramides enveloppera 
celle des deux cônes , et par conséquent sera la plus * 
grande. Donc il est impossible que la circonférence de 
la hase d'un cône donné multipliée par la moitié de son côté 
mesure la surface d*un cône plus petit. ^ 

Donc enfin la surface convexe d*un cône est égale à 
la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son 
côté. 

Sehalie^ Soit L le côté d'un cône , R le rayon de sa base , 
la circonférence de cette base sera S'ttR, et la surface du * 
cône aura pour mesure 2IitR x 7L, ou ttRL. 

PROPOSITION VIIL 

TiltOBÈXB. 

La surface convexe du tronc de cône ADEB est égale fig. a6i. 
à son côté AD multiplié par la demi-somme des circon-- 
férences de ses deux bases AB , DE. 

Dans le plan S AB qui passe par l'axe SO , menez per- 
pendiculairement à SA la ligne AF , égale à la circonfé- 
rence qui a pour rayon AO ; joignez SF , et menez DH 
parallèle a AF. 

A cause des triangles semblables SAO , SDG , on aura 
AO : DC :: SA : SD; et à cause des triangles semblables 
SAF , SDH , on aura AF : DH :: SA : SD ; donc AF : DH :: 
AO : DC, ou : : cire. AO : cire. DG*. Mais par construction • n, 4. 
AF^ cire. AO; donc DR = cire. DC. Cela posé, le trian- 
gle SAF , qui a pour mesure AF x f SA , est égal à la sur- 
face du cône SAB qui a pour mesure cire. AO x 7 SA. Par 
une raison semblable le triangle SDH est égal à la surface 
du cône SDE. Donc la surface du tronc ADEB est égale à 
celle du trapèze ADHF. Celle-ci a pour mesure* AD x *7» 5- 
/AF4-DH\ 

/ ^ ] ; donc la surface du tronc de cône ADEB est 

égale à son côté AD multiplié par la demi-somme des cir- 
conférences de ses deux bases. 

Corollaire. Par le point I , milieu de AD , menez IKL 



220 



fitOHiTtlt. 



parallèle à AB , et IM parallèle à AF; on démontrera comme 
ci-dessas que IM = cire. IK. Mais le trapèze ADHF = 
ADx IM=ADx<7/re. IK. Donc on peut dire encore que 
la surface d'un tronc de cène est égale à son côié midtiplié 
par la circonférence d'une eeetion faite a égale distance de» 
deux haeee. 

Scholte, Si une ligne AD , située tout entière d'un même 
èôté de la ligne OG et dans le même plan , fait une révolu- 
tion autour de OG, la surface décrite par AD aura pour 

/rire?. AO + c/rc. DC\ „ 
mesure AD x f ^ J » ou AD x cire. IK j 

les lignes AO , DG , IK , étant des perpendiculaires abais- 
sées des extrémités et du milieu de la ligne AD sup 
raxeOG. 

Car si on prolonge AD et OG jusqu'à leur rencontre mu- 
tuelle en S , il est clair que la surface décrite par AD est 
celle d'un cône tronqué dont OA et DG sont les rayons des 
bases, le cône entier ayant pour sommet le point S. Donc 
cette surface aura la mesure mentionnée. 

Cette mesure aurait toujours lieu , quand même le point 
D tomberait en S , ce qui donnerait un cône entier, et aussi 
quand la ligne AD serait parallèle à Taxe , ce qui donnerait 
un cylindre. Dans le premier cas DG serait nulle , dans le 
second DG serait égale à AO et à IK. 

PROPOSITION IX. 

LSHMS. 

6g. a6a. Soient AB , BC , CD , plusieurs côtés successifs d'un 
polygone régulier, son centre, et 01 le rayon du cer- 
cle inscrit; s£ on suppose que la portion de polygone 
ABGD, située tout entière d'un même côté du diamètre 
FG, fasse une révolution autour de ce diamètre y la sur- 
face décrite par ABCD aura pour mesure "SlQxct'rc. 
01, MQ étant la hauteur de cette surface ou la partie 
de l'axe comprise entre les perpendiculaires AM, DQ^ 
Le point I étant milieu dé AB , et IK étant une perpen- 



LiTHi vnt. 



diculaire à Taxe abaissée du point I , la surface décrite par 
A 6 aara pour mesure AB X cire* IK*. Menez AX parallèle *8. 
à Taxe, les triangles ABX, OIK, auront les côtés perpendicu- 
laires chacun à chacun , savoir 01 à AB , IK a AX , et OK à 
BX ; donc ces triangles sont semblables et donnent la pro- 
portion AB : AX ou MN :: 01 : IK , ou :: cire. 01 : cire, IK; 
donc AB Xi?/rc. IK = MNx<fire. OL D'où Fou Toitque la 
surface décrite par ABest égale à sa hauteur MN multipliée 
par la circonférence du cercle inscrit. De même la surface 
décrite par BG , = NP x cire. 01 , la surface décrite par 
GD,=PQ X cire. 01. Donc la surface décrite par la portion de 
polygone ABGD, a pour mesure (MN-4-NP-4-PQ) x cire. 01, . 
ouMQ X cire. 01; donc elle est égale à sa hauteur multipliée 
par la circonférence du cercle inscrit» 

Corollaire. Si le polygone entier est d'un nombre de 
côtés pair, et que l'axe FG passe par deux sommets opposés 
F et G, la surface entière décrite par la révolution du 
demi-polygone FAGG sera égale à son axe FG multiplié par 
la circonférence du cercle inscrit. Cet axe FG sera en même 
temps le diamètre du cercle circonscrit. 



PROPOSITION X. 

THiORtHlé 

La surface de la sphère est égale à son diamètre inul- 
tiplié par la circonférence d'un grand cercle. 

Je dis 1^ que le diamètre d'une sphère ,\ multipUé par la 
circonférence de son grand cercle, ne peut mesurer la sur- 
face d'une sphère plus grande. Gar soit, s'il est possible, 
AB X cire. AG la surface de la sphère qui a pour rayon GD, fig. a65. 

Au cercle dont le rayon est GA , circonscrivez un polygone 
régulier d'un nombre pair de côtés qui ne rencontre pas 
U circonférence dont CD est le rayon; soient M et S deux 
sommets opposés de ce polygone ; et autour du diamètre MS 
faites tourner le demi- polygone MPS. La surface d^nte 
par ce po^fgone aura pour mesure MS xctrc. AG* rpaais "9- 
MS est plus grand que AB; donc la snrfoce ^jyto fi^ ^ 



âSâ GtOMtTMB. 

polygone, est plus grande que ABx cire, AC,. et par con- 
séquent plus grande que la surface de la sphère dont le 
rayon est CD. Or, au contraire, la surface de la sphère 
est pins grande que la surface décrite par le polygone, 
puisque la première enyeloppe la seconde de toutes parts. 
Donc le diamètre d'une sphère, multiplié par la circon- 
férence de son grand cercle, ne peut mesurer la surface 
d'une sphère plus grande. 

Je dis que ce même produit ne peut mesurer la sur- 
face d'une sphère plus petite. Car soit, s'il est possible, 
DE X cire. CD la surface de la sphère qui a pour rayon GA. 
On fera la çième construction que dans le premier cas , et 
la surface du solide engendré par le polygone sera toujours 
égale à MSxûirc, Â^C, Maiâ MS est plus petit que DE , et 
être. AG plus petité que eire, CD ; donc , par ces deux rai- 
sons , la surface du solide décrit par le polygone serait plus 
petite que DE x cire, GD, et par conséquent plus petite 
que la surface de la sphère dont le rayon est AG. Or, au 
contraire, la surface décrite par le polygone est plus grande 
que la surface de la sphère dont le rayon est AG , puisque 
la première surface enveloppe la seconde ; donc 2° le dia- 
mètre d*une sphère multiplié par la circonférence de son 
grand cercle ne peut mesurer la surface d'une sphère plus 
petite^ 

Donc la surface de la sphère est égale à son diamètre 
multiplié par la circonférence de son grand ce.^cle. 

Corollaire. La surface du grand cercle se mesure en mul- 
tipliant sa circonférence par la moitié du rayon ou le quart 
du diamètre ; donc la surfaee de la êphire est quadruple de 
eélle d'un grand cercle» 

Scholie. La isurface de la sphère étant ainsi mesurée et 
comparée à des surfaces planes, il sera facile d'ayoir la 
valeur absolue des fùseaux et triangles sphériques dont on 
a déterminé ci-dessus le rapport avec la surface entière de 
la sphère. 

D^f bord le fuseau dont Fangle est A , est à la surface de 
7. la sj^ère comme l'angle A est à quatre angles droits'^ , ou 
eonÀne Tare de grand cercle qui mesure l'angle A est à la 



UVBB TUI. 228 

circonférence de ce même grand cercle. Mais la surface de 
la sphère est égale à cette circonfésence multipliée par le 
diamètre ; donc la surface du fuseau est égale à Tare qui 
mesure l'angle de ce fuseau multiplié par le diamètre. 

£n second lieu , tout triangle sphérique est équivalent à 
un fuseau dont l'angle est égal a la moitié de l'excès de la 
somme de ses trois angles sur deux angles droits*. Soient * 33,7. 
donc P, Q , R, les arcs de grand cercle qui mesurent les 
trois angles du triangle ; soit € la circonférence d'un grand 
cercle, et D son diamètre ; le triangle sphérique sèra équiva- 
lent au fuseau dont l'angle a pour mesure ^"^Q*^^ — 

et par conséquent sa surface sera D x ^^^Q"^^ — *_9^ ^ 

Ainsi , dans le cas du triangle tri-rectangle , chacun des 
arcs P , Q , R , est égal à J-C, leur somme est |C, Texcès de 
cette somme sur 7 G est , et la moitié de cet excès= j G ; 
donc la surface du triangle tri-rectangle = ^G X D , ce qui 
est la huitième partie de la surface totale dç la sphère. 

La mesure des polygones sphériques suit immédiatement 
de celle des triangles, et d'ailleurs elle est entièrement 
déterminée par la prop. xxiv, Ht. tu , puisque l'unité de 
mesure, qui est le. triangle tri^rectangle, Tient d'être éTaluée 
en surface plane. 

PROPOSITION XI. 

THtORÈHE. 

La surface d'une zâne sphérique quelconque est égale 
à la hauteur de cette zâne multipliée par la circonfé- 
rence d'un grand cercle^ 

Soit £F un arc quelconque plus petit ou plus grand que fig. 369. 
le quart de, circonférence ,^ et soit abaissée FG perpendicu* 
laire sur le rayon £G ; je dis que la z6ne à une base, décrite . 
par la réTolutibn de l'arc EF autour de £G, aura pour 
mesure £G x cire, £G. 

Car supposons d'abord que cette zône ait une mesure 



2â4 



atOHftTRlS« 



plus petite, et soit, s'il est possible , cette mesure = Ëû 
X eire,Ck. InscnTez dans l'arc £F une portion de polygone 
régulier BMNOPF dont les côtés n'atteignent pas la circon- 
férence décrite du rayon C A, et .abaissez CI perpendiculaire 
sur EM; la surface décrite par le polygone ËMF tournant 
*9* autour de £G, aura pour mesure EGxcirc, Gl*.« Cette 
quantité est plus grande que ËG X cire. AC , qui , par hy- 
pothèse, est la mesure de la zone décrite par Tare ËF. 
Donc la surface décrite par .le polygone EMNOPF serait 
plus grande que la surface décrite par Tare circonscrit ËF ; 
or, au contraire , cette dernière surface est plus grande 
que la première , puisqu'elle l'enyaloppe de toutes parts ; 
donc 1° la mesure de toute zone sphérique à une base ne 
peut être plus petite que la hauteur de cette zone multipliée 
par la circonférence d'un grand cerôle. 

Je dis en second lieu que la mesure de la même zone ne 
peut être plus grande que la hauteur de cette zone multi- 
pliée par la circonférence d'un grand cercle. Car supposons 
qu'il s'agisse de la zone décrite par l'arc AB autour de AC , 
et soit, s'il est possible, zône AB> AD x ciro. AC. La surface 
entière de la sphère composée des deux zones AB , BH , a 
• 10. pour mesure AH x cire. AC*,[ou AD X cire, AG-»-DH x cire, 
AC; si donc on a zone AB^ADx cire, AC, il faudra qu'on 
ait zone BH<DH Xtf/rr. AC ; ce qui est contraire à la pre» 
roière partie déjà démontrée. Donc la mesure d'une zone 
sphérique à une base ne peut être plus grande que la hauteur 
de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand 
cercle. 

Donc enfin toute zone sphérique à une base â pour mesure 
la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence 
d'un grand cercle. 

Considérons maintenant une zone quelconque , à deux 
6g. aao. bases , décrite par la révolution de l'arc FH autour du dia- 
mètre DE , et soient abaissées les perpendiculaires FO, HQ, 
sur ce diamètre. La %one décrite par l'arc FH est la diffé* 
rence des deux zones décrites parles arcs DH et DF; celles-ci 
ont pour mesures DQ x cire. CD et DO x cire. CD j donc la 



LlTftl Vin. 



Sâ5 



ïone décrite par.FH a pour mesare (DQ — "DO) x cire, CD 
on OQxwrc.CD. 

Donc toute zone sphérique à une on à deux baees, a pour 
mesure la hauteur de cette zone multipliée par la circonfé- 
rence d'un gfrand cercle. 

C^rollairê. Deux zones prises dans une même sphère ou 
dans des sphères égales, sont entre elles comme leurs 
hauteurs , et une zone quelconque est à la surface de la 
sphère comme la hauteur de cette zone est au diamètre. 

PROPOSITION XII. 

THtORÈHB. 

Sï le triangle BAC et le rectangle BCEF, de même base ^^i a65? 
et de même hauteur y tournent simultanément autour de 
la base commune BC , le solide décrit par la révolution 
du triangle sera le tiers du cylitidre décrit par la ré- 
volution du rectangle. 

Abaissez sur Taxe la perpendiculaire AD; le cône décrit fig. 364. 
par le triangle ABD est le tiers du cylindre décrit par le 
rectangle AFBD*, de même le cône décrit par le triangle * 5. 
ADG est le tiers du cylindre décrit par le rectangle ADCE ; 
donc la somme des deux cônes ou le solide décrit par ABC 
est le tiers de la somme des deux cylindres ou du cylindre 
décrit par le rectangle BCEF. 

Si la perpendiculaire AD tombe au-dehors du triangle, fig. a65. 
alors le solide décrit par ABC sera la différence des cônes 
décrits par ABD et ACD.; mais en même temps le cylindre 
décrit par BCEF sera la différence des cylindres décrits 
par AFBD, AECD. Donc le solide décrit par la révolution 
du triangle sera toujours le tiers du cylindre décrit par la 
révolution du i^ectangle de même base et de même hauteut. 

Scholie. Le cercle dont AD est le rayon a pour sûr-^ 
face TT X AD ; donc ir x AD x BC est la mesure du cylindre, 
décrit par BCEF, et x AD X BC est celle du solide décrit 
par le triangle ABC. 

i5 



GtOEtTMB. 



PROPOSITION XIII. 

PROBIÈMB. 

fig. Le triangle CAB étant supposé faire une révolution 
autour de la ligne CD , menée comme on voudra hors du 
triangle par son sommet G , trouver la mesure du solide 
ainsi engendré. 

Prolongez le côté AB jusqu'à ce qu'il rencontre l'axe CD 
en D, des points A et B abaissez sur Taxe les perpendicu- 
laires AM y BN. 

*is. Le solide décrit par le triangle CAD a pour mesure* 
\k X AM 'x CD; le solide décrit par le triangle CBD a pour me- 
sure y 7 X BN X CD ; donc la difierence de ces solides ou le so- 
lide décrit par ABC aura pqur mesure -^ir. (aM— BN ) X CD. 

On peut donner à cette expression une autre forme. Du 
point I , milieu de AB , menez IK perpendiculaire à CD , 
et par le point B menez BO parallèle à CD, on aura 
* 7. 3. AM + BN == 2IK* et AM — BN = AO ; donc , ( AM + BN J x 

• 10, 5. (AM— BN), ou AM— BN =aiK x AO *. La mesure du solide 
dontil s'agit est donc exprimée aussi par f t x 1K x AO x CD. 
Mais si on abaisse CP perpendiculaire sur AB, les triangles 
ABO, DCP, seront semblables, et donneront la proportion 
AO : CP : : AB : CD ; d'où résulte AO x CD = CP x AB ; 
d'ailleurs CP x AB est le double de l'aire du triangle ABC ; 
ainsi on a AO x CD = âABC ; donc le solide décrit par le 
triangle ABC a aussi pour mesure |t x ABC x IK, ou, ce qui 
est la même cbose, ABC x f cire, IK (car cire. IK=2r. IK). 
Donc U /solide décrit ^ar la révolution du triangle ABC, a 
pour mesure Vaire de ce triangle multipliée par les deux tiers 
de la circonférence que décrit le point 1 milieu de sa^baee. 

«g. aô;. Corollaire, Si le côté AC= CB , la ligne CI sera perpen- 
diculaire à AB, l'aire ABC sera égale à ABx^CI, et la 
solidité X ABC x IK deviendra f « x AB x IK X CI. Mais 
les triangles ABO, CIK , sont semblables et donnent la pro- 
portion AB : BO ou MN : : CI : IK; donc AB >^ IK=MN x CI 



/ 

LlVBl VIH. 227 

donc le solide décrit par le triangle isoscèle ABC aura pour 

mesure | a- x MN x CI. 

Scholie. La solution générale parait supposer que la ligne 
AB prolongée rencontre Taxe ; mais les résultats n'en se- 
raient pas moins vrais , quand la ligne AB serait parallèle 
à l'axe. 

£n effet, le cylindre décrit par AMNB a pour mesure H- 

ir. AM* MN, le cône décrit par ACM= jjt.Âm'cM, et le 

cône décrit par BGN=:ji?. AM. GN. Ajoutant les deux 
premiers solides et retranchant le troisième ^ on aura pour 

le solide décrit par ABC, ^. ÂM.*{MN + |CM — j^N) : 
et puisque CN — CM = MN , cette expression se réduit à 

^ . AM . jMN , ou I îT .CP.MN , ce qui s'accorde avec les ré- 
sultats déjà trouvés. 

PROPOSITION XIV. 

THÉORÈME. 

èoïent AB, BC, CD, plusieurs côtés successifs d'un fig. 26a. 
poÙ/gone régulier ^ G son centre , et 01 le rayon du cercle 
inscrit; ^i on imagine que le secteur polygonal AOD , 
situé d'un mène côté du diamètre FG , fasse une révolu- 
tion autour de ce diamètre y le solide décrit aura pour 

mesure . 01 . MQ , MQ étant la portion de l'axe ter- 
minée par les perpendiculaires extrêmes AM, DQ. 

En effet , puisque le polygone est régulier, tous les trian- 
gles AOB, BOC, etc., sont égaux et isoscèles. Or, suivant 
le corollaire de la proposition, précédente, le solide produit 

par l€ triangle isoscèle AOB a pour mesure |iç.OI .MN; le 

solide décrit par le triangle BOC a pour mesure jit .01 . NP , 
et le solide décrit par le triangle COD a pour mesure 

j'Tc .01 .PQ ; donc la somme de ces solides , ou le solide en- 
tier décrit par le secteur polygonal AOD, aura pp4^ mesure 

I ^ . Ôïl ( MN + NP +PQ ) ou |tc . OÎ'. MQ. 



228 



GiOBtTRIB. 



PROPOSITION XV. 

TBtOlBMB. 

Tout secteur sphërique a pour mesure la zone qui tut 
sert de base multipliée par le tiers du rayon, et la sphère 
entière a pour mesure sa surface multipliée par le tiers 
du rayon. 

169. Soit ABC le secteur circulaire qui, par sa révolation 
autour de AG , décrit le secteur sphérique; la zone décrite 

is. par AB étant AD X cire. AG ou 3T.AG .AD"", je dis que le 
sectéur sphérique aura pour mesure cette tone multipliée 

par^AG, ou Iît.AgIaD. 

En effet, V supposons, s*il est possible, que cette quan- 
tité ^ir.AG.AD soit la mesure d'un secteur sphérique plus 
grand , par exemple , du secteur sphérique décrit par le 
secteur circulaire EGF semblable à AGB. 

Inscrivez dans l'arc EF la portion de polygone régulier 

EMNF dont les côtés ne rencontrent pas l'arc AB, imaginez 

ensuite que le secteur polygonal ENFG tourne autour de EG 

en même temps que le secteur circulaire EGF. Soit CI le 

rayon du cercle inscrit dans le polygone, et soit abaissée FG 

perpendiculaire sur EG. Le solide décrit par le secteur poly- 

— » 

i4- gonal aura pour mesure .EG* : or, GI est plus grand 
que AG par construction, et EG est plus grand que AD { car, 
joignant AB, EF, les triangles EFG, ABD, qui sont sembla- 
bles, donnent la proportion EG : AD :: FG : BD :: GF : GB; 
donc EG>AD. 

Par cette double rais<^n jt.GI.EG est plus grand què 

a 

jit . GA . AD : la {Première expression est la mesure du solide 
décrit par le secteur polygonal , la seconde est par hypo- 
thèse celle du secteur sphérique décrit par le éecteur cir- 
culaire EGF ; donc le solide décrit par le secteur polygonal 
serait plus grand que le secteur sphérique décrit par le 
secteur circulaire. Or, au contraire , le solide dont if s'agit 
est moindre que se/cteur sphérique, puisqu'il' y est 



LITBB Vin. 



239 



contenu ; donc l'hypothèse d'où on est parti ne saurait 
subsister ; donc 1<* la zone ou base d'un secteur sphérique, 
multipliée par le tiers du royon, ne peut mesurer un secteur 
sphérique plus grand. 

Je dis â° que le même produit ne peut mesurer un secteur 
s sphérique plus petit. Car , soit CEF le secteur circulaire 
qui, par sa révolution, produit le secteur sphérique donné, 

et supposons, s'il est possible, que ^tt .CE «EGsoit la mesure 
d'un secteur sphériquQ plus petit , par exemple, de celui 
qui provient du secteur circulaire ACB. 

La construction précédente restant la même, le solide dé- 
crit par le secteur polygonal aura toujours pour mesure 

f ir . CI .EG. Mais CI est moindre que CE ; donc le solide est 
moindre que -|ir» CE. ËG, qui, par hypothèse, est la mesure 
du secteur sphérique décrit par le secteur circulaire ACB. 
Donc le solide décrit par le secteur polygonal serait moindre 
que le secteur sphérique décrit par ACB. Ôr, au contraire, 
le solide dont il s'agit est plus grand que le secteur sphé- 
rique « puisque celui-ci est contenu dans l'autre. Donc il 
est impossible que la zone d'un secteur sphérique multi- 
pliée par le tiers du rayon soit la mesure d'un secteur 
sphérique plus petit. 

Donc tout secteur sphérique a pour mesure la zone qui 
lai sert de base multipliée par le tiers du rayon. 

Un secteur circulaire ACB peut augmenter jusqu'à de- 
venir égal au demi-cerde ; alors le secteur sphérique décrit 
par sa révolution est la sphère entière. Donc la solidité de la 
iphèrv est égale à sa surface multipliée par le tiers de son rayon . 

Corollaire^ Les surfaces des sphères étant comme les 
carrés de leurs rayons, ces surfaces multipliées par les 
rayons sont comme -les cubes des rayons. Donc les èolidité» 
de deux sphère* sont comme les cubes de leurs rayons , ou 
comme les cubes de leurs diamètres, 

Scholie. Soit R le rayon d'une sphère , sa surface sera 
-i^R», et sa solidité 4wR^ X-jR, ou|,rR3. Si on appelle D le 
diamètre , on aura R = ^D , et R^ i= | D^ ; donc la solidité 
s^expriraera aussi par J w X ^ D^ , ou i| D^. 



220 



fitOEtTBIl. 



PROPOSITION XVI. 

THtOBÈEB« 

La surface de la sphère est à la surface totale dn cy- 
lindre circonscrit {en y comprenant ses bases) comme 
2 est à 3. Les solidités de ces deux corps sont entre elles 
dans le même rapport, 
ûg. 970. Soit MPNQ le grand cercle de^ la sphère , ABCD le 
carré circonscrit; si on fait tourner à la fois le demi- 
cercle PMQ et le demi-carré PADQ autour du diamètre PQ, 
le demi-cercle décrira la sphère; et le demi-carré décrira 
le cylindre circonscrit à la sphère. 

La hauteur AD de ce cylindre est égale au diamètre PQ, 
la base du cylindre est égale au grand cercle , puisqu'elle 
a pour diamètre AB égale à MN ; donc la surface convexe 
*4- du cylindre'*' est égale à la circonférence du grand cercle 
multipliée par son diamîètre. Cette mesure est la même que 

* 10. celle de la surface de la sphère'*' : d'où il suit que la surface 

de la sphère est égale à la surface convexe du cylindre cir- 
conscrit. 

Mais la surface de la sphère est égale a quatre grands 
cercles ; donc la surface convexe du cylindre circonscrit 
est égale aussi à quatre grands cercles : si on ^ joint les 
deux bases qui valent deux grands cercles, la surface totale 
du cylindre circonscrit sera égale à six grands cercles; 
donc la surface de la sphère est a la surface totale da 
cylindre circonscrit comme 4 est à 6 , ou comme 2 est à S. 
C'est le premier point qu'il s'agissait de démontrer. 

En second lieu , puisque la base du cylindre circonscrit 
est égale à un grand cercle et sa hauteur au diamètre , la 
solidité du cylindre sera égale au grand cercle multiplié par 
* T. le diamètre^. Mais la solidité de la sphère est égale à quatre 

* 16. grands cercles multipliés par le tiers du rayon'*' , ce qui 

revient à un grand cercle multiplié par ^ du rayon, ou \ du 
diamètre ; donc la sphère est au cylindre circonscrit comme 
2 est à 3 , et par conséquent les solidités de ces deux corps 
sont entre elles comme leurs surfaces. 



LIVRE YIII. 



Seholie. Si OD imagine un polyèdre dont tontes le» faces 
touchent la sphère, ce polyèdre pourra être considère 
comme composé de pyramides qui ont toutes pour sommet 
le centre de la sphère , et dont les bases sont les différentes 
faces du. polyèdre. Or, il est clair que toutes ces pyramides 
auront pour hauteur commune le rayon de la sphère , de 
sorte que chaque pyramide sera égale à La face du polyèdre 
qui lui sert de base , multipliée par le tiers du rayon : donc 
le polyèdre entier sera égal à sa surface multipliée par le 
tiers du rayoïl de la sphère inscrite. 

On voit par là que les solidités des polyèdres circonscrits 
à la sphère sont entre elles comme les surfaces de ces mêmes 
polyèdres. Ainsi, la propriété que nous. avons démontrée 
pour le cylindre circonscrit est commune à une infinité 
d'autres corps. 

Ou aurait pu remarquer également que les surfaces des 
polygones circonscrits au cercle sont |ntre elles comme 
leurs contours.. 

PROPOSITION XVU. 

PROBLÈME. 

Le segmeni circulaire BMD étant supposé faire une fig. 
révolution autour ilun diamètre extérieur à ce^ segment ^ 
trouver la valeur du solide engendré. 

Abaissez sur Taxe les perpendiculaires BË, DF; du 
centre G menez CI perpendiculaire sur la corde BD , et 
tirez les rayons GB, CD. 

Le solide décrit par le secteur BGA=f w. CB.AE*; le * i 

solide décrit par le secteur DCA=| w.CB .AF; donc la 
différence de ces deux solides , ou le solide décrit par le sec- 
teur BCB=:|ir.CB' (ÀF—AE)=|7p.Gb!eF. Mais le solide 

décritpar le triangle isoscèleDGBapourmesurefir.GI.EF*; * i 
donc le solide décrit par le segment BMD = j9c.EF. 

( CB — CI ). Or, dans le triangle rectangle GBI, on a 

CB — CI = BI* = j BD 5 donc le solide décrit par le seg^ 



322 GtOMÉTBIB. 

ment BMD aura pour mesure f ^ .EF. J BD* ou i^-BD^EF. 
Sckolie. Le solide décrit par le segment BMD est à la 

sphère qui a pour diamètre BD, comme ^«.BD.EF est 

àftr.BD^u ::EF:BD. 

PROPOSITION XVIIL 

THtOBÈHI. < 

Tout segment de sphère, compris entre deux plans pa^ 
rallèles, a pour mesure la demi-somme de ses bases mul- 
tipliée par sa hauteur y plus la solidité de la sphère dont 
cette même hauteur est le diamètre. 
fg. ayi. Soient BE, DF, les rayons des bases du segment, EF sa 
hauteur, de sorte que le segment soit produit par la révo- 
lution de l'espace circulaire BMDFE autour de Taxe FE. 

*i7 Le solide décrit par le segment BMD'*' =^17 -BD. £F, 
*6. le tronc de cône décrit par le trapèze BDFE*=|ir.EF. 

(bE+DF+BE.Df); donc le segment de sphère qui est 

lasomme de ces deux solides =| 17 .EF. (3BE+3DF+3BE. 

BF + BD ) . Mais, en menant BO parallèle à EF, on aura DO 

*9, 3. =DF— BE,1dO=DF— aDF.BE+BÊ*, et par conséquent 

BdV==b5+d5=1f+Df1-- 2DF x BE+BE * Mettant cette 

——a 

valeur à la place BD dans Texpression du segment, et 
effaçant ce qui se détruit , on aura , pour la solidité du 
segment , 

^ sr . EF . ( 3 BE + 3 DF +ÊF* ) , 
expression qui se décompose en deux parties ; l'une 

i „ ,EF -(sBËV SDÏ ')i ou EF . ^^'^^'"^^'^^ ^est lademi- 

somme des bases multipliée par la hauteur ; l'autre ^17 .EF 
• i5 scb. représente la sphère dont EF est le diamètre : donc tout 
segment de sphère, etc. 



LIVRE YUI. 



98S 



Corollaire. Si Tune des bases est nulle , le segment dont 
il s*agit devient nn segment sphérique à une seule base ; 
donc tout segment ephérique h une hase équivaut à la moitié 
du cylindre de même hase et de même hauteur y plus la sphère 
dont cette hauteur est le diamètre. 



Scholie général. 

Soit E le rayon de la l>ase d'un cylindre , H sa hauteur ; 
la solidité du cylindre sera x-R* x H , ou irR'H. 

Soit E le rayon de la base d*un cône , H sa hauteur ; la 
solidité du cône sera tR^ .^H^ ou j ^R'H. 

Soient A et B les rayons des bases d'un cône tronqué , 
H sa hauteur; la solidité du tronc de cône sera jirH (A' + 
B*+AB). 

Soit R le rayon d'une sphère ; sa solidité sera j itR^. 
Soit R le rayon d'un secteur sphérique, H la hauteur de la 
zone qui lui sertdebase;la solidité du secteur sera^^R^H. 
Soient P et Q les deux bases d'un segment sphérique, H sa 

hauteur, la solidité de ce segment sera ^""^^^ . H + | H'. 

Si le segment sphérique n'a qu'une base P , l'autre étant 
nulle, sa solidité sera ^PH+J îtH** 



Fin DES tLÉlEIlS DE GÉOlitTBIE. 



PJOTES 

SUR LES ÉLÉMENS DE GÉOMÉTRIE. 



NOTE I. . 
Sur quelques noms et définitions. 

On a introduit dâns cet ouvrage quelques expressions et définitions 
nouvelles qui tendent à donner au langage géométrique plus d'exacti- 
tude et de précision. Nous allons rendre compte de ces changemens , 
et en proposer quelques autres qui pourraient remplir plus complète- 
ment les mêmes vues. 

Dans la définition ordinaire du parallélogramme rectangle et du 
carré, on dit que les angles de ces figures sont droits; il serait plus 
exact de dire que leurs angles sont égaux. Car, supposer que les quatre 
angles d'un quadrilatère peuvent être droits , et même que les angles 
droits sont égaux entre eux , c'est supposer des propositions qui ont 
besoin d'être démontrées. On éviterait cet inconvénient et plusieurs 
autres du même genre , si , au lieu de placer les définitions , suivant 
l'usage, à la tête d'un livre, on les distribuait dans le courant du livre, 
chacune à la place où ce qu'elle suppose est déjà démontré. 

Le mot inclinaison doit être entendu dans le même sens que celui 
d'angle ; l'un et l'autre indiquent la manière d'être de deux lignes ou 
de deux plans qui se rencontrent, ou qui, prolongés, se rencontre- 
raient. L'inclinaison de deux lignes est nulle lorsque l'angle est nul , 
c'est-à-dire lorsque les lignes sont parallèles ou coïncidentes. L'incli- 
naison est la plus grande lorsque l'angle est le plus grand , ou lorsque 
les deux lignes font entre elles un angle très obtus. La qualité de pen- 
cher est prise dans un sens di£Pérent; une ligne penche d'autant plus 
sur une autre qu'elle s'écarte plus dé la perpendiculaire à celle-ci. 

Ëuclide et d'autres auteurs appellent assez souvent triangles égaux 
des triangles qui ne sont égaux qu'en surface, et solides égaux des 
solides qui ne sont égaux qu'en solidité. Il nous a paru plus convenable 
d'appeler ces triangles ou ces solides triangles ou solides équivalens , 
et de réserver la dénomination de triangles égaux, solides égaux , à 
ceux qui peuvent coïncider par la superposition. 

n est de plus nécessaire .de distinguer dans les solides et les surfaces 



VOTR I. 



courbes deux sortes d'égalité qui sont différentes. En effets deux soli- 
des, deux angles solides, deux triangles ou polygones sphériques, 
peuvent être égaux dans toutes leurs parties constituantes , sans néan- 
moins coïncider par la superposition. Il ne parait pas que cette obser- 
yation ait été faite dans les livr-es d'élémens ; et cependant, faute d'y 
avoir égard , certaines démonstrations fondées sur la coïncidence des 
figures ne sont pas exactes. Telles sont les démonstrations par lesquelles 
plusieurs auteurs prétendent prouver Tégalité des triangles sphériq.ues 
dans les mêmes cas et de la même manière que celle des, triangles rec- 
tilignes : on en voit surtout un exemple frappant, lorsque Robert 
Simson (1), attaquant la démonstration de la prop. xxvui, liv. xi, 
d'Euclide, tombe lui-même dans l'inconvénient de fonder sa démon- 
stration sur une coïncidence qui n'existe pas. Nous avons donc cru 
' devoir donner un nom particulier à cette égalité qui n'entraine pas la 
coïncidence; nous l'avons appelée égalité far symétrie ^ et les figures 
qui sont dans ce cas , nous les appelons figures symétriques. 

Ainsi les dénominations de figures égales, figures symétriques, 
figures équivalentes > se rapportent à des choses différentes , et ne doi- 
vent pas être confondues en une seule dénomination. 

Dans les propositions qui concernent les polygones, les angles solides 
et les polyèdres , nous avons exclu formellement ceux qui auraient 
des angles rentrants. Car, outre qu'il convient de se borner dans les 
élémens aux figures les plus simples, si cette exclusion n'avait pas 
lieu, certaines propositions ou ne seraient pas vraies, ou auraient be- 
soin de modification. Nous nous sommes donc réduits à la considération 
des lignes et dès surfaces que nous appelons convexes, et qui sont telles 
qu'itne ligne droite ne peut les couper en plus de deux points. 

Nous avons employé assez fréquemment l'expression jirof^tftV de deux 
ou d'un plus grand nombre de lignes ; par où nous entendons le pro- 
duit des nombres qui représentent ces lignes , en les évaluant d'après 
une unité linéaire prise à volonté. Le sens de ce mot étant ainsi fixé, il 
ny a aucune difiiculté à en faire usage. On entendrait de même ce que 
signifie le produit d'une surface par une ligne , d'une surface par un 
solide , etc. : il suffît d'avoir établi une fois pour toutes que ces pro- 
duits sont ou doivent être considérés comme des produits de nombres , 
chacun' de l'espèce qui lui convient. Ainsi le produit d'une surface 
par un solide n'est autre chose que le produit d'un nombre d'unités 
8upei:ficie]les par un nombre d'unités solides. 

Souvent, dans le discours, on se sert du mot angle pour désigner le 
point situé à son sommet : cette expression est vicieuse. Il serait plus 
clair et plus exact de designer par un nom particulier , tel que celui de 



(i) Voyca l'ouvrage de cet auleur, intitulé : Eiiclidis Elementorum libvi 
sext etc. Glasguofj 1756. 



386 



NOTE I. 



aommetê , let pointi situés aux sommets des aogles d'hall polygone et 
d*un polyèdre. C'est ainsi qu'on doit entendre la dénomination de 
8omm9t9 d*un poiygone et d*un polyhdre dont nous avons fait usage. 

Nous avons suivi la définition ordinaire des figure» r&cHUgnea «em- 
hlahlea; mais nous observerons qu'elle contient trois conditions super- 
flues. Car, pour construire un polygone dont le nombre. des côtés est », 
il faut d'abord connaître un côté y et ensuite avoir la position des som- 
mets des angles situés hors de ce côté. Or , le nombre de ces angles 
est»— 2, et la position de chaque sommet exige deux données; d'oà 
il suit que le' nombre total des données nécessaires pour construire un 
polygone de n côtés est 1 -}-2i> — 4, ou 2»— 3. Mais dans le polygone 
semblable il y a un côté à volonté ; ainsi le nombre de conditions poui 
qu'un polygone soit semblable à un polygone donné, est 2» — 4. Or la 
définition ordinaire exige , 1* que les angles soient égaux chacun à 
chacun , ce qui fait n conditions ; 2* que les côtés homologues soient 
proportionnels , ce qui fait n — 1 conditions. Il y a donc en tout 2» — 1 
conditions, ce qui fait trois de trop. Pour obvier à cet inconvénient, 
on pourrait décomposer la définition en deux autres , de cette manière r 

P Deux triangle» aoni eemblablea , lonqu'ih ont deux angles égau» 
chacun à chacun. 

2° Deux polygone» »ont semblable» lorsqu'on peut former dans l'un 
et dans l'autre un même nombre de triangle» »emblable» chacun à 
chacun et semblablement disposés. 

Hais , pour que cette dernière définition ne contienne pas elle-même 
de conditions superflues , il faut que le nombre des triangles soit égal 
au nombre des côtés du polygone moins deux ; ce qui peut avoir lieu 
de deux manières. On peut mener de deux angles homologues des dia- 
gonafes aux angles opposés, alors tous les triangles formés dans chaque 
polygone auront un sommet commun, et leur somme sera égale au 
polygone ; ou bien , on peut supposer que tous les triangles formés 
dans un polygone ont pour base commune un côté du polygone , et 
pour sommets ceux des différents angles opposés à cette base. Dans 
l'un ou l'autre cas le nombre des triangles formés de part et d'autre 
étant n — 2 , les conditions de leur similitiide seront au nombre de 
2n — 4) et la définition ne contiendra rien de syperflu. Cette nouvelle 
définition étant posée, l'ancienne deviendra un théorème qu'on pourra 
démontrer immédiatement. 

Si la définition des figures rectilignes semblables est imparfaite dans 
les livres d'élémens, celle des solides polyèdres semblables l'est en- 
core bien davantage. Dans Euclide , cette définition dépend d'un théo- 
rème non démontré ; dans d'autres auteurs elle a l'inconvénient d'être 
fort redondante. Nous avons donc rejeté ces définitions des solides 
semblables,. et nous leur en avons substitué une fondée sur les prin- 
cipes que nous venons d'exposer. Mais, comme il y a beaucoup d'autres 
observations à faire A ce sujet , nous y reviendrons dans une note par- 
ticulière. 



ROTS II. 



237 



La définition de la perpendiculaire à un plan peut être regardée 
comme un théorème ; celle de Vinclinaison de deux plans a besoin 
aussi d'être justifiée par un raisonnement ; plusieurs autres sont dans le 
même cas. C'est pourquoi, en conservant ces définitions suivant l'ancien 
usage, nous avons eu soin de renvoyer aux propositions où elles sont 
démontrées ; quelquefois nous nous sommea contentés d'y ajouter un 
éclaircissement succinct. 

L'angle formé par la rencontre de deux plans, et V angle solide 
formé par la rencontre de plusieurs plans en un même point, sont des 
grandeurs , chacune de son espèce , auxquelles il serait peut-être bon 
de donner des noms particuliers. Sans cela il est difficile d'éviter l'ob- 
scurité et les circonlocutions lorsqu'on parle de l'arrangement des plans 
qui composent la surface d'un polyèdre. Et comme la théorie de ces 
solides a été peu cultivée jusqu'à présent, il y a moins d'inconvénient 
a y introduire des expressions nouvelles , si elles sont réclamées par la 
nature des choses. 

Je proposerais d'appeler coin l'angle formé par deux plans ; V arête 
ou faite du coin serait l'intersection commune des deux plans. Le coin 
se désignerait par quatre lettres dont les deux moyennes répondraient 
à l'arète. Alors un coin droit serait l'angle formé par deux plans per- 
pendiculaires entre çux. Quatre coins droits rempliraient tout l'espace 
angulaire solide autour d'une ligne donnée. Cette nouvelle dénomina- 
tion n'empêcherait pas que le coin n'eût toujours pour mesure l'angle 
formé par les deux perpendiculaires menées dans chacun des plans à 
un même point de l'arète ou intersection conunune. 

NOTE IL 

Sur la démonstration de la proposition XIX, liv, I, 
et de quelques autres propositions fondamentales de 
la géométrie, 

La démonstration que nous donnons dans le texte de la proposi- 
tion XIX , est peut-être la plus simple et la plus directe qu'on puisse 
trouver dans le genre purement élémentaire ; nous espérons qu'elle 
sera accueillie par les amateurs de l'exactitude géométrique et qu'elle 
fera enfin disparaître des élémens l'imperfection à laquelle la théorie 
des parallèles a été sujette jusqu'à présent. 

Ilous saisirons cette occasion de faire quelques nouvelles remarques 
sur la démonstration que nous avions donnée de la même proposition , 
dans la 3™' édition de cet ouvrage , publiée en 1800 , et dans les édi- 
tions suivantes jusqu'à la 8™* inclusivement ; il est nécessaire pour cela 
de rappeler en peu de mots le principe sur lequel cette démonstration 
était fondée. 



â38 



noTB II» 



Nous avons prouvé d'abord d'une manière rigoureuse que la somme 
des angles d'un triangle ne peut être plus grande que deux angles 
.droits , proposition qui sépare tout d'un coup par une différence essen- 
tielle f les triangles rectilignes des triangles sphériques. Getté première 
partie établie , il restait à prouver que la somme dès angles ne peut 
être plus petite que deux angles droits ; or , comme l'excès des trois 
angles sur deux angles droits , qui a lieu dans les triangles spbériques , 
est proportionnel â l'aire du triangle; de même le déficit, s'il y en 
avait un dans les triangles rectilignes , serait proportionnel à l'aire du 
triangle. Dès-lors il est aisé de voir que si on réussit à construire , 
d'après un triangle donné, un autre triangle dans lequel le triangle 
donné soit contenu au moins m fois , le déficit de ce nouveau triangle 
égalera au moins m fois le déficit du triangle donné , de sorte que la 
somme des angles du grand triangle diminuera progressivement à> me- 
sure que m augmente, jusqua devenir nulle ou négative. Résultat 
absurde et qui prouve que la somme des angles d'un triangle ne peut 
être moindre que deux angles droits. 

Prenant pour guide ce principe de démonstration qui est infaillible , 
nous avons fait voir que toute la difficulté se réduisait à construire un 
triangle qui contint au moins deux fois le triangle donné ; mais la solu- 
tion que nous avons donnée de ce problème , en apparence très simple , 
suppose que par un point donné dans un angle moindre que deux tiers 
d'angle droit , on peut toujours faire passer ui^ ligne droite qui ren- 
contre à la fois les deux côtés de l'angle. 

Sons avions ainsi beaucoup approché de notre but , mais nous ne 
l'avions pas atteint entièrement, puisque notre déinonstration dépen- 
dait d'un postultttum qui à toute force pouvait être nié (l). C'est cette 
considération qui nous a fait revenir, dans la 9"* édition, à la simple 
marche d'Ëuclide, en renvoyant aux notes pour la démonstration rigou- 
reuse. 

En examinant les choses avec plus d'attention, nous sommes resté 
convaincu que pour démontrer complètement notre poatulatum, il fal- 
lait déduire de la définition de la ligne droite une propriété caractéris- 
tique de cette ligne qui exclût toute ressemblance avec la forme d'une 



(i) On Toit dans un article du Philosophical magazine de mars , qu'un 
savant géomètre a essayé de perfectionner cette démonstration et de la rendre 
indépendante de tout postulatum ; mais la construction employée pour démon- 
trer la seconde partie consiste & mener d'un point donné différentes droites à 
tous les sommets d'une ligne qu'on doit considérer comme polygonale, pour 
raisonner dans l'hypothèse decelui qui nie la proposition : or la convexité de cette 
ligne, sî elle avait lieu, ne permettrait pas de continuer indéfiniment la con- 
struction de l'auteur, comme il le fàtidrait pour l'exactitude de sa démon- 
stration. 




NOTE II. 2B9 

h3^erbole comprise entre ses deux assymptotes. Voici quel est à cet 
égard le résultat de nos recherches. 

Soit BAC un angle donné, et M un point donné au dedans de cet Gg. 27^» 
angle ; divisez l'angle BAC en deux également par la droite AD , et 
du pointHL menez MP perpendiculaire sur AU : je dis que la droite HP 
prolongée dans un sens et dans l'autre , rencontrera nécessairement 
les deux côtés de l'angle BAC. 

Car si elle rencontre un des côtés de cet angle , elle rencontrera 
Tautre , tout étant égal des deux côtés à partir du point P ; si elle ne 
rencontrait pas un côté , elle ne rencontrerait pas Tautre par la même 
raison ; ainsi , dans ce dernier cas elle devrait être renfermée tout en- 
tière dans l'espace compris entre les côtés de l'angle BàG; or , il répu- 
gne à la nature de la ligne droite qu'une telle ligne, indéfiniment 
prolongée , puisse être renfermée dans un angle. 

£n effet , toute ligne droite AB tracée sur un plan , et indéfiniment fig. 275. 
prolongée dans les deux sensf Sivise ce plan en deux parties qui étant 
superposées , coïncident dans toute leur étendue et sont parfaitement 
égales. La partie AMB du plan total, située d'un côté de AB, est égale 
en tout à la partie AH'B située de l'autre côté -, car si l'on prend un 
point fixe C sur la droite AB , tout autre point M de la partie AMB sera 
déterminé' par la distance CM et l'angle AG9f ; prenant donc de l'autre 
côté un angle AGH'=ACM, et une distance GM'=Gllf, il est évident 
que les points M ét M' auront la même situation dans les deux parties 
du plan , et que ces deux parties étant superposées , les points M et 
se confoifdront en un seul. 

Supposons maintenant , s'il est possible , qu'une ligne indéfinie XI 
soit renfermée tout entière dans un espace angulaire quelconque , par 
exemple , dans l'angle BGM , elle ne pourra que diviser en deux parties 
égales ou inégales la partie du plan comprise dans l'angle BGH ; cette 
partie a sa correspondante BGM' située de l'autre côté de BG ; mais 
comme outre ces deux parties égales du plan , il y en a deux autres 
renfermées dans les angles égaux AGM, AGM', on voit que l'espace 
angulaire BGM n'est pas la moitié de tout le plan ; donc la ligne droite 
XY qu'on suppose partager en deux portions l'espace BGM, ne pourra 
partager qu'en deux parties inégales la totalité du plan , ce qui est con- 
traire à la nature de la ligne droite. 

Par ce principe très simple , non-seulement le postulatum qui em- 
pêchait notre démonstration d'être rigoureuse, se trouve démontré, 
mais on peut aussi démontrer immédiatement lepostulaium d'Euclide. 
Ce postulatum se réduit aisément , comme on sait, au cas où l'une des fig* 27^* 
droites AG étant perpendiculaire à AB , l'autre droite BD hit airec AB 
un angle ABD moindre qu'un droit. Il s'agit donc de prouver que dans 
ce cas BB prolongée doit rencontrer AG. 

En effet, si cela n'était pas, en prolongeant AG vers G', et faisant 



240 



NOTE II. 



l'angle ABB'=:AfiD, la droite GC serait comprite tout entière dans 
Tangle DBD' moindre que deui droits , ce qui est impossible. 

Nous laissons aux géomètres à décider si cette démonstration oe 
mériterait pas d'être admise dans les élémens, de préférence d toute 
autre , pour rétablir la marche d'Euclide devenue entièreolent rigou- 
reuse par la suppression de son pottulaittm* 

If eus nous proposons maintenant de faire voir qu'on peut employer 
l'analyse avec beaucoup d'avantage , pour démontrer rigoureusement 
la proposition XIX et les autres propositions fondamentales de la géo- 
métrie. C'est ce que nous allons développer avec tout le détail néces- 
saire , en conunençant par le théorème sur la sonune des trois angles 
du triangle. 

On démontre immédiatement par la superposition , et sans aucune 
proposition préliminaire, que deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont 
un côté égal adjacent à deux angles égaux cfmcun à chacun. Appe- 
lons p le côté dont il s'agit , A et B [çs deux angles adjacens , G le 
troisième angle. Il faut donc que l'angle G soit entièrement déterminé, 
lorsqu'on connaît les angles A et B , avec le côté p / car, si plusieurs 
angles G pouvaient corréspondre aux trois données A , B , p , il y aurait 
autant de triangles différens qui auraient un côté égal adjacent à deux 
«Bgles égaux , ce qui est impossible : donc l'angle G doit être une 
fonction déterminée des trois quantités A, B,p,- ce que j'exprime 
ainsi , G = : (A , B , p). 

Soit l'angle droit égal à l'unité, alors les aiigles A, B, G , seront des 
nombres compris entre et 2 ; et puisque G = ^ : (A , B , /}) , je dis 
que la ligne p ne doit point entier dans la fonction En effet, on a vu 
que G doit être entièrement déterminé par les seules données A, B, />, 
sans autre angle ni ligne quelconque , nuis la ligne p est hétérogène 
avec les nombres A, B, G ; et si on avait une équation quelconque entre 
A , B , G , /I y on en pourrait tirer la valeur de p en A , B , G ; d'où il 
résulterait que p est égal à un nombre , ce qui est absurde : donc p ne 
peut entrer dans la fonction f, et on a simplement C=zf: (A, B)... (1). 



(i) On a objecté contre cette démonstration que, si elle était appliquée, mot 
pour mot, lias triangles sphériqnes, il en résulterait que deux angles connus 
suffisent pour déterminer le troisième , ce qui nV pas lieu dans ces sortes de 
triangles. La réponse est que, dans les triangles sphériques, U y a un élément 
de plus que dans les triangles plans, et cet élément est le rayon de la sphère 
dont on np doit pas faire abstraction. Soit donc r le rayon, alors au lieu d'avoir 

C:^f{ki B,p)tOa aura G = ^ (A, C, r), ou seulement Gs=f^A, 6,-^^, 

en yertu delà loi des homogènes. Or, puisque le rapport ^est un nombre, ainsi 

que A , B, C , rien n'empêche que ^ ne se trouve dans la fonction f , et alors oa 
n'en peut plus conclure C — f (A , B). 



Cette fonnule prouve déjà que» n deux angles d*iiii triangle sont 
égaux à deux anglet d'un autre triangle, le troirième doit être égal au 
troisième; et, cela posé, il est facile de parrenir tu théorème que 
nous ayons en vue» 

Soit d'abord ABC un triangle rectangle en A ; du point  abaisses ÂB fig- 
perpendiculaire sur l'hypoténuse. Les angles B et D du triangle ABD 
sont égaux aux angles B et A du triangle BAC ; donc , suivant ce qu'on 
vient de démontrer , le troisième BAD est égal au troisième C. Pir la 
même raison l'angle BAC = B , dono BAD + BAC, ou BAC s= B + G $ 
or l'angle BAC est droit; dono 1&9 deu* anglsê aifUê d'un iriangU 
rectangle^ pris ensemble, valent un angle droit* 

Soit ensuite BAC un triangle quelconque et BG un côté qui ne soit fig- 
pas moindre que chacun des deux autres : si de l|angle opposé A on 
abaisse la perpendiculaire AD sur BC , cette perpendiculaire tombera 
au-dedans du triangle ABG, et le partagera en deux triangles rectanglea 
BAD , DAG : or , dans le triangle rectangle BAD , les deux angloa 
BAD, ABD, valent ensemble un angle droit; dans le triangle rectangle 
DAG, les deux angles DAG, AGD, valent aussi un angle droit. Donc Irn 
quatre réunis , ou seulement les trois BAG, ABG, AGB, valent ensemble 
deux angles droits ; donc dans tout triangle la somme des trois angle» 
est égale à deux angles droits, 

• On voit paP'là que ce théorème , considéré a priori, ne dépend 
point d'un enchaînement de propositions , et qu'il se déduit immédia- 
tement du principe de l'homogénéité ; principe qui doit avoir lieu dans 
toute relation entre des quantités quelconques. Mais poursuivons , et 
faisons voir qu'on peut tirer de la même source les autres théorèmes 
fondamentaux de la géométrie. 

Conservons les mêmes dénominations que ci-dessus, et appelons de 
plus m le côté opposé à l'angle A, et n le côté opposé à l'angle B. La 
quantité m doit être entièrement déterminée par les seules quantité^ 

Ay Bf p; donc m est une fonction de A, B, et ^ en est une aussi, 

de sorte qu'on peut faire ^ s •/> : (A, B, p.) Mais ^ est un nombre, 
ainsi que A et B ; donc la fonction ^ ne doit point contenir la ligne p, 

et on a simplement ^=^:(A, B),oum =p ^ : ( A , B ). On a donc 
P 

semblablement n = /> ^ : (B , A). 

Soit maintenant un autre triangle formé avec les mêmes angles A, B, C, 
auxquels soient opposés les côtés m\n',p\ respectivement. Puisque 
A et B ne changent pas , on aura dans ce nouveau triangle m' ^ 
(A, B), et n'^p' ^ : (B, A). Donc m m' \\ n \ n* up :p\ Donc , dans 
les triangles équiangles, les côtés opposés aux angles égaux sont 
proportionnels. 

De cette proposition générale on déduit comme cas particulier celle 
que nous avons supposée dans le texte, pour la démonstration de la 

i6 



KOTB II. 



proposition XX. En effet, les triangles AFG, AML ont deux a&f^es égaiiz, 
chaooD à ohaoun, savoiir, l'angle A commun, et un angle droit. Donc 
ces triangles sont équiangles ; donc on a la proportion AF : AL :: AG : AM, 
au moyen de laquelle la proposition XX est pleinement démontrée. 

La proposition du carré de l'hypoténuse est, comme on sait, une 
suite de celle des triangles équiangles. ToiU donc trois propositions 
fondamentales de la géométrie , celle des trois angles d'un triangle , 
celle des triangles équiangles, et celle du carré de l'hypoténuse, qui 
se déduisent très-simplement et très-immédiatement de la considération 
des fonctions. On peut par la même Toie démontrer très-succinctement 
les propositions concernant les figures semblables et les solides sem- 
blables. 

Soit ABGD un polygone quelconque ; ayant choisi un câté AB, comme 
base, formel autant de triangles ABC, ABD, etc., sur cette base, qu'il 
y a d'angles C, D, E, etc., au-dehors. Soit la base AB=|»; soient A et B 
les deux angles du triangle ABC adjacents au côté AB ; soient A' et B' 
les deux angles du triangle ABD adjacents au même côté AB , «t ainsi 
de suite. La figure ABGDE sera entièrement déterminée , si on connaît 
le côté p a^ec les angles A, B, A^, B', Af', B", etc. , et le nombre des 
données sera en tout 2»-- 3, n étant le nombre des côtés du polygone. 
Gela posé , un côté ou une ligne quelconque x, menée comme on Ton- 
dra dans le polygone , avec les seules données qui constituent ce po- 
lygone , sera une fonction de ces données ; et comme - doit être un 

nombre, on pourra supposer ^ : (A, B, A', B', etc.), ou xz= p ^ : 

(A, B, A', B', etc.), ét la fonction ^ ne contiendra point p. Si, ayec 
les mêmes angles A, B, A', B', etc. , et un autre côté p't on forme un 
second polygone, on aura pour la ligne x', correspondante ou homo- 
logue A a, la Taleur x'z=zp' tp : (A, B, A^, 9', etc.) ; donc x : x' :: p '.p\ 
On peut définir les figures ainsi construites, figureê semblables; donc 
dans les figures semblables les Ugnes homologues sont proportion- 
nelles. Ainsi , non-seulement les côtés hopiologues, les diagonales ho- 
mologues, mais les lignes terminées de la même manière dans les deux 
figui%6, sont entre elles comme deux autres lignes homologues quel- 
conques. 

Appelons S la surface du premier polygone, cette surface est homo- 

gètee au carré p'; il faut donc que soit un nombre qui ne contienne 

que les angles A, B, A', B', etc., de sorte qu'on aura Sssp^f. 
(A, B, A', B', etc.). Par la même raison , si S' est la surface du second 
polygone, on aura S' =:j»''^: (A,B, A', B', etc.). Donc S : S' rrp'rj/*; 
done If* surfaces des figurée semblables sont entre elles comme les 
corrtfs des côtés homologues, 

• Venons maintenant aui polyèdres. On peut supposer qu'une face 
«st déterminée au moyen d'un côté connu p et de plusieurs angles 



HOtl tu 



k, B, G, etc. Ensuite les sommets des angles solides, hots de cette 
base, seront détenninés chacun par le moyen de trois données, qu'on 
peut regarder comme autant d*angles ; de sorte que la détermination 
entière du polyèdre dépend d'un côté p, et de plusieurs angles A , B , 
C, etc., dont le nombre yarie suivant la nature du polyèdre. Gela 
posé, une ligne qui joint deux commets, ou, plus généralement, toute 
ligne X menée d'une manière déterminée dans le polyèdre, avec «les 
seules données qui constituent ce solide, sera une fonction des don- 
nées p, A, B, G, etc. ; et comme - doit être un nombre , la fonction 

égale ^ ^ contiendra qu^ les angles A, B, G, etc. , et on pourra 

supposer X =p f : (A, B, G, etc.). La surface du solide est homogèii»ft 
à/>'; ainsi, cette surface peut se représenter par p^ ^ : (a, B, G, etc.) ; 
sa solidité est Ijomogène à jp^, et peut se - représenter par p^ îi ^ 
(A, B, G, etc.), les fonctions désignées par ^ et n étant indépendantes 
de p. 

Supposons qu'on construise un second solide avec les mêmes angles 
A, B, G, etc., et un côté p' différent de p : nous appellerons les solides 
ainsi construits solides semblables y et , cela posé , la ligne qui était 
p f : (A, B, G, etc.) , ou simplement/» f dans un solide sera f dans un 
autre } la surface qui était dans l'un sera p'^ ^ dans l'autre, et 
enfin la solidité qui était p^ ïl dans l'un sera p^^ U dans l'autre. Donc , 
1* dans les solides semblables les côtés ou lignés homologues sont 
proportionnels ; 2* leurs surfaces sont comme les carrés des côtés Ho- 
mologues; 3* leurs solidités sont comme les cubes de ces mêmes eôtés^ 

Les mêmes principes s'ap'pliquent aisément au cercle. Soit c la cir- 
conférence et s la surface du cercle dont le rayon est ry puisqu'il ne 
peut y avoir deux cercles inégaux décrits du même rayon, les quan- 
tités ' etA doivent être des fonctions déterminées de r : mais, comme 
r 

ces quantités sont des nombres , elles ne doivent point contenir dans 
lev expression la ligne r; ainsi on aura ^ =r «, et ^ = , « et ^ étant 
des nombres constants. S«îl c' la circonférence et «'.'la surface d'un 
autre cercle dont le rayon est r,- on aura donc aussi p==«, et^ss^^ 
Donc c :c' V. r \ r' , et donc les circonférences des 

cercles sont comme les rayons, et leurs surfaces comme les carrés 
des rayons. 

Considérons un secteur dont r soit le rayon et A l'angle au centre ; 
soit s l'arc qui termine le secteur, et y la surface de ce même secte^ir. 
Puisque le sectdur est entièrement déterminé lorsqu'on connait r et A, 
il faut que * et y soient des fonctions déterminées de ret A, donc 

* et ^ sont aussi de pareilles fonctions. Mais - est un nombre , ainsi 



244 



HOTI n> 



que donc ces quantités ne doivent point contenir r, et elles sont 

simplement fonctions de A, de sorte qu'on aura ^ = ^ : A, et ~=±fff:X, 

Soient et y' l'arc et la surface d'un autre secteur dont l'angle est A 
et le rayon r^; nous appellerons ces deux secteurs secteurs semblables; 

x' 

et puisque l'angle A est égal de part et d'autre y on aura p ^ ^ : A , 

y/ 

et ~ = ^ : A. Donc jr : «' :: r : f', et y • y' :: : r'^j donc les arcs 

sewhlàbles ou les arcs des secteurs semblables sont proportionnels 
aux rayons, et les secteurs eux-mêmes sont proportionnels aux carrés 
des rayons. 

Il est clair qu'on prouverait, de la même manière , que les sphères 
sont comme les cubes de leurs rayons. 

On suppose , dans tout ce qui précède , que les surfaces se mesurent 
par le produit de deux lignes , et les solidités par le produit de trois ; 
c'est ce qu'il est facile de démontrer aussi par voie d'analyse. Considé- 
rons un rectangle dont les dimensions sont/» et 9, et sa surface qui est 
une fonction de p et 9, représentons-la par • : q). Si on considère 
un autre rectangle dont les dimensions sont p p' tiq, il est clair 
que ce rectangle est composé de deux autres , l'un qui a pour dimen- 
sions p et q, l'autre qui a pour dimensions p' et q* ; de sorte qu'on aura 

Soit !>' = p, on aura f (2 p, q) = 2f {p, q). Soit p'= 2 p, on aura 
f (3i>,9) = f(F»ff) + f (2jp, î) = 3y {p, q). Soit|i' = 3/>, on aura 
f (4jP» 9) =f(Pf9) + ?(^P>9)=^f (Pf 9)' ^onc en général, si k 
est un nombre entier quelconque, on aura f p, q) =z k f (p, q) ou 

ti&ia^fiifLî). Il résulte de là que 'JflÉ est Une telle fonction 

J» *P P 

de p, qu'elle ne change pas en mettant à la place de p un multiple 
quelconque kp. Donc cette fonction est indépendante de p, et ne doit 

renfermer que q. Mais par une raison semblable ^ ^* doit être in- 
dépendante de g; donc 2-^^^ ne renferme ni /> ni q, et ainsi cette 

quantité doit se réduire à une constante «. Donc on aura f(pq)=ctpq; 
et comme rien n'empêche de prendre « = 1 , on aura f {pf q) ^p q ; 
ainsi la surface d'un rectangle est égale au produit de ses deux di- 
mensions. 

On démontrerait, d'une manière absolument semblable, que la so- 
lidité d'un parallélipipède rectangle dont les dimensions sont p,q, r, 
est égale au produit p q r àe ses trois dimensions. 

Nous observerons, au reste , que la considération des fonctions, qui 
fournit ainsi une démonstration très-simple des propositions fonda- 
mentales de la Géométrie , a déjà été employée avec vuccès pour la 



IfOTl III. 



démonstration des principes fondamentaux de la Mécanique. Voyez les 
Hémoires de Turin , tome II. 

Enfin , quoique la théorie précédente soit établie sur les fondemens 
les plus solides, nous ne dcTons pas dissimuler qu'elle a été attaquée 
par M. Leslie, célèbre professeur 4'Édidibourg , dans ses Élémens de 
géométrie,. 2™* et 3*^' éditions; mais sans entrer dans aucun détail A 
ce sujet, il nous suffirâ de dire que les objections de M. Leslie 'ont 
été pleinement réfutées, d'abord par M. Play fa ir, son compatriote, 
dans VEdimburg Review , tome XX , et ensuite par M. Maurice , de 
l'Académie des sciences de Paris , dans la Bibliothèque uninenelle 
de Genève, octobre 1819.. On peut Toir aussi la discussion de ces 
mêmes objections , dans l'édition anglaise» de. nos. élémeps donpée par. 
in, David Brewster, ÉcUmbourcf, 1822.. 

, NOTE m. 

Sur rapproximation de la proposition XVIj livre IF-, 

Dès qu'on a trouvé un rayon excédant et un déficient ^qui s'accordent 
dans les premiers chiffres, on peut achever le calcul d'une manière ■ 
irès-prompte par le moyen, d'une formule algébrique.. 

Soit a le. rayon déficient et b l'excédant, dont la différence est petite ; 
soient a' et V les rayons suivans qui s'en déduisent par les formules 

= àbf af Ça^ ' que l'on cherche , c'est le dernier 

tfirme de la suite a', a'*, etc. , qui est en* même temps celui de la 
suite b, b*, h'', etc. Appfilona ce dernier terme â?, et soit b==ia (1 4""^)* 
on pourra supposer x=za (l-|-Pw-f«Q«' + e*c.), Pet Q étant des coëf-- 
ficients indéterminés. Or les valeurs dè 6' et donnent 

6' = o {l+i« — i(o2 + etc.)î 

Qf=;a (l+Jfl.2 — _L«2 + etc.). 
Et si on fait pareillement 6' = a' ( 1 y on aura 

(û'^ita ^w^etc. 

Hais la valeur de ss doit être la même , soit que là suite a y a'; a'', etc., 
commence par a ou par a'; donc on aura 

a (l +P« + Q(o»+etc.y=±: (1 +P«>+Qa»'2 f etc.). 
Substituant dans cette équation les valeurs de a' et de u/ en a et u, et 
comparant les termes semblables, on en déduira V ^sL, etQ = — 
donc 

. = a(l+l«--^»»). 

Si les rayons a et ( s'accordent dan^ la première moitié de leurs chif- 
fres, on pourra rejeter le terme et la valeur précédente se réduira.. 



NeTS IV. 



A « == a (l 4- lu)) z=a + t^. Ainsi, en faisant a = 1,1282657, et 

h = 1,1280063, on en déduira immédiatement x sc= 1,1283792. 

Si les rayons « et ne s'accordent que dans le premier tiers de 
leurs chiffres , il faudra prendre les trois termes de la formule précé- 
dente ; ainsi en faisant a = 1 , 1265639 et = 1 , 1320149, on trouTera 
9=1, 1283791, 

On pourrait supposer que a et b sont encore moins près l'un de 
l'autre ; mais alors il faudrait calculer la valeur de s avec un plus 
grand nombre de termes. 

L'approximation de la prop. XIV , qui est de Jacques Gregory est 
susceptible de semblables abrégés. Nous renToyons A Touvrage de cet 
auteur, intitulé : Fera circuit et hyperbôlœ quadratura, ouvrage d'an 
grand mérite pour le temps où il a paru. 

NOTE iV. 

Où l'an démontre que le rapport de la circonférence au 
diamètre et son carré, sont des nombres irrationnels. 

Considérons la suite infinie 

, . a . 1 «V-lJ- , 
''^î'*"2ZI+r"*"a.3- *+2'^ 

1 

dont le iérme général est i - ^ . -r-^ t-k 7^-7 rr- et 

^ 1.2.3...n «.j8rf-l««+2-— — 1) 

supposons que : j en représente la somme. Si on met s 4* 1 A la 

place de s, : (' ^) pareillement la sonune de la suite 

T"j8+1^2 '«+1 .s+2'*'2:3-«4-l.« + 2.* + 3*r- 
Retranchons ces deux suites , tenue A terine , l'une de l'autre , et nous 
aurons f.z — pour la somme du reste qui sera 

«.j+l^*.«+l.if+2^2'^.*+l.«+2.a+3^**''' 
Mais ce reste peut être mis sous la forme 

et alors \\ se réduit A ^ f : (s^2). Donc on aura généralement 
,:,-,:(,+ l)=_^,:(,+2). 

Divisons cette équation par f ' ^) > ^^1 pour simplifier le résultat , 

a 9 : (i+l) 

soit ^ : z une iioUTeUe fonction de s > telle que ^ : « = - . j — ; 



HOTl IT. 247 

alors OD pourra mettre ' ^ t au lieu de — ^ ' * , et (^'H) ^ •(^4- 1 ) 

au lieu de ^ ' subititution faite , ob aura 

ÎL_ 

^ ^ + ^ :(*+!)• 

Mais en mettaot successÎTenient dans cette éq[uatioB s 4^1 , 1 4-2, etc.^ 
à la place de il en résultera 

* = ('+^> = 1+2+77(1+3)' ■ 

Donc la valeur de ^ : s peut s'exprimer par la fraction continue : 
^ :«=- , a 



a 4-2+ etc. 

Réciproquement cette fraction continue , prolongée à l'infini , a pour 

somme z, ou son égale ? .Lliiiii j et cette somme , développée 
s f ' 

en suites ordinaires , est 



a 



Soit maintenant s=i , la fraction continue deviendra 
^6+ etc. 

dans laquelle les numérateurs y excepté lé premier, sont tous égaux é 
4 a, et les dénominateurs forpient la siiite des nombres impairs 1,3, 
5,7, etc. La valeur de* cette fraction continue peut donc aussi s'ex- 
primer par 

, , 4a , 16a» . 640» , 
' + 0+0X5 + 2737:7 
■, , 4o . 16a« , 64a' , ^ 

•+T+o:4+077:6+«*«- 

Mais ces suites se rapportent à des formules connues, et on sait qu'en 
représentant par e le nombre dont le logarithme hyperbolique est 1 , 
l'expression précédente se réduit à 

"^p^ V^^f d« so'to qu'on aura en général 

4" a 



as8 



van tu 



Nouf aTons prouTé d'abord d'une manière rigoureuse que la somme 
des angles d'un triangle ne peut être plus grande que deux angles 
.droits , proposition qui sépare tout d'un coup par une différence essen« 
tteUe f les triangles rectilignes des triangles sphériques. Cette première 
partie établie , il restait à prouver que la somme dés angles ne peut 
être plus petite que deux angles droits ; or , comme l'excès des trois 
angles sur deux angles droits , qui a lieu dans les triangles sphériques , 
est proportionnel à l'aire du triangle; de même le déficit, s'il y en 
avait un dans les triangles rectilignes , serait proportionnel à l'aire du 
triangle. Dès-lors il est aisé de voir que si on réussit à construire , 
d'après un triangle donné , un autre triangle dans lequel le triangle 
donné soit contenu au moins m fois , le déficit de ce nouveau triangle 
égalera au moins m fois le déficit du triangle donné , de sorte que la 
somme des angles du grand triangle diminuera progressivement à- me- 
sure que m augmente, jusqu'à devenir nulle ou i^égatiye. Résultat 
absurde et qui prouve que la somme des angles d'un triangle ne peut 
être moindre que deux angles droits. 

Prenant pour guide ce principe de démonstration qui est infaillible , 
nous avons fait voir que toute la difficulté se réduisait à construire un 
triangle qui contint au moins deux fois le triangle donné ; mais la solu- 
tion que nous avons donnée de ce problème , en apparence très simple , 
suppose que par un point donné dans un angle moindre que deux tiers 
d'angle droit , on peut toujours faire passer ui^ ligne droite qui ren- 
contre i la fois les deux côtés de l'angle. 

Hous avions ainsi beaucoup approché de notre but I mais nous ne 
l'avions pas atteint entièrement, puisque notre démonstration dépen- 
dait d'un postulatum qui à toute force pouvait être nié (l). C'est cette 
considération qui nous a fait revenir, dans la 9"* édition, à la simple 
marche d'Ëuclide, en renvoyant aux notes pour la démonstration rigou- 
reuse. 

En examinant les choses avec plus d'attention, nous sommes resté 
convaincu que pour démontrer complètement notre postulatum, il fal- 
lait déduire de la définition de la ligne droite une propriété caractéris- 
tique de cette ligne qui exclût toute ressemblance avec la forme d'une 



(0 On voit dans un article du PhUosophical magazine de mars iSaa , qu'un 
savant géomètre a essayé de perfectionner cette démonstration et de la rendre 
indépendante de tont postulatum ; mais la construction employée pour dénton- 
trer la seconde partie consiste  mener d'un point donné diiTérentes droites k 
tous les sommets d'une ligne qu'on doit considérer comme polygonale, pour 
ralsonnerdans Thypothèse decelui qui nie la proposition : or la convexité de cette 
Ugne, si elle avait lieu, ne permettrait pas de continuer indéfiniment la con- 
struction de l'auteur , comme il le falidrait pour l'exactitude de sa démon- 
slration. 



NOTE II. 2S9 

hyperbole comprise entre ses deux assymptotes. Voici quel est à cet 
égard le résultat de nos recherches. 

Soit BAC un angle donné, et M un point donné au dedans de cet Gg- »74» 
angle ; divisez l'angle BAC en deux également par la droite AD , et 
du pointVL menez MP perpendiculaire sur AD : je dis que la droite MP 
prolongée dans un sens et dans l'autre , rencontrera nécessairement 
les deux côtés de l'angle BAC. 

Car si elle rencontre un des côtés de cet angle , elle rencontrera 
l'autre, tout étant égal des deux côtés à partir du point P; si elle ne 
rencontrait pas un côté , elle ne rencontrerait pas l'autre par la même 
raison ; ainsi , dans ce dernier cas elle devrait être renfermée tout en- 
tière dans l'espace compris entre les côtés de l'angle BAC; or , il répu- 
gne à la nature de la ligne droite qu'une telle ligne, indéfiniment 
prolongée , puisse être renfermée dans un angle. 

£n effet , toute ligne droite AB tracée sur un plan , et indéfiniment fig. 375. 
prolongée dans les deux sensf flivise ce plan en deux parties qui étant 
superposées , coïncident dans toute leur étendue et sont parfaitement 
éi^ales. La partie AMB du plan total, située d'un côté de AB, est égale 
en tout à la partie AM'B située de l'autre côté ; car si l'on prend un 
point fixe G sur la droite AB , tout autre point M de la partie AMB sera 
déterminé' par la distance CM et l'angle ACM ; prenant donc de l'autre 
côté un angle AC1tt'=AG]l[, et une distance €111^= CM, il est évident 
que les points M ét M' auront la même situation dans les deux parties 
du plan , et que ces deux parties étant superposées , les points M et M' 
se confoifdront en un seul. 

Supposons maintenant, s'il est possible, qu'une ligne indéfinie XI 
soit renfermée tout entière dans un espace angulaire quelconque, par 
exemple , dans l'angle BGM , elle ne pourra que diTiser en deux partiel 
égales ou inégales la partie du plan comprise dans l'angle BGIH ; cette 
partie a sa correspondante BCW située de l'autre côté de BG mais 
comme outre ces deux parties égales du plan , il y en a deux autres 
renfermées dans les angles égaux AGM, AGM', on voit que l'espace 
angulaire BGM n'est pas la moitié de tout le plan ; donc la ligne droite 
XI qu'on suppose partager en deux portions l'espace BGM, ne pourra 
partager qu'en deux parties inégales la totalité du plan , ce qui est con- 
traire à la nature de la ligne droite. 

Par ce principe très simple , non-seulement le posttdatum qui em- 
pêchait notre démonstration d'être rigoureuse , se trouve démontré , 
mais on peut aussi démontrer immédiatement le postulatum d'Ëuclide. 
Ce postulatum se réduit aisément , comme on sait, au cas où Tune des fig> 27^* 
droites AG étant perpendiculaire a AB , l'autre droite BD lait avec AB 
un angle ABD moindre qu'un droit. Il s'agit donc de prouver que dans 
ce cas BD prolongée doit rencontrer AG. v 

En effet, si cela n'était pas, en prolongeant AC vers G', et faisant 



S50 



NOTE IT. 



fractions continaes dént il s'agit donné 
B tn 

v = — r C: d'où résulte €=:« A — nB, 

^ = D : d'où résulte D = m' B — »' C , 
B n'+^' 

?=-^E; d'où résulte E=m"C~f»"D, 

etc. etc. 
Et puisque les deux premiers nombres A et B sont entiers par hypo~ 
thèse , il s'ensuit 'que tous les autres G , D, E , etc., qui jusqu'à ce mo- 
ment étaient indéterminés , sont aussi des nombres entiers. Or , il 
implique contradiction qu*une suite infinie A , B , G , 1) , £ , etc., soif 
à la fois décroissante et composée de nombres entiers ; car d'ailleurs 
aucun des nombres A, B, G, B, £, etc., ne peut être zéro, puisque la 
fraction continue proposée s'étend à l'infini, et qu'ainsi les sommes 
B G D 

rpprésentéeji par t> û* r^i ^^^*f doivent toujours être quelque chose. 
Donc l'hypothèse, que la somme de la fraction continue proposée est 
égale à une quantité rationnelle ^ , ne saurait subsister ; donc cette 
somme est nécessairement un nombre irrationnel. 

LtHHE II. Les mêmet choses étant posées si les fractions 
composantes ™ , ^ , ^j-, etc., sont d'une grandeur quel-- 

conque au commencerkent de la suite ^ mai* qu'après un cer^ 
tain intervalle , elles soient constamment plus petites que 
l'unité; je dis que la fraction continue proposée y en supposant 
toujours qu'elle s'étende à l'infini, aura une valeur irra^ 
tionnelle, 

fit'" 

Gar, si à compter de —777-) par exemple, toutes les fractions 

"^^■9 n«^* »t' f^^'*''fi'**> sont plus petites que l'unité, alors, 
suivant le lemme I, la fraction continue 

^ »1Y-^ 

aura une valedr irrationnelle. Appelons cette valeur w , et la fraction 
continue proposée deviendra 



WOTE ITi 261 

Mais si on fait successivement 

il est clair que, co. étant irrationnelle, toutes les quantités oa', w", o»'", 
doivent l'être pareillement. Or, la dernière est égale à la fraction 
continue proposée ; donc la valeur de celle-ci est irrationnelle. 

rious pouvons maintenant, pour revenir à notre sujet, démontrer 
ce&te proposition générale. 

THÉOBiMI. 

Si un are est commensurable avec U rayon , ta tangente 
8&ra ineommeneurahU avec le même rayon. 

En effet, soit le rayon = 1 , et Tare x== m et » étant des nom- 

bres entiers , la formule trouvée ci-dessus donnera , en faisant la sub- 
stitution , 

tang. — =— fil» 

n n—— m' , 
3n — — 

^*~7ïr-etc. 

Or cette fraction continue est dans le cas du lemme II ; car il est clair 
que les dénominateurs 3», 5n, In, etc., augmentant continuellement, 
tandis que le numérateur «i* reste de la même grandeur, les fractions 
composantes seront ou deviendront bientôt plus petites que l'unité, 

donc la valeur de tang. ^ est irrationnelle ; donc , si Varc est com- 
f1 

mensurable avec le mpony sa tangente sera incommensurable. 

Se M résulte , comme conséquence très immédiate , la proposition 
qui fait l'objet de cette note. Soit ir la demi-circonférence dont le rayon 

4 

est 1 ; sic était rationnel , l'arc - le serait aussi , et par conséquent sa 

tangente devrait être irrationnelle : mais on sait, au contraire, que la 

tangente de l'arc ^ est égale au rayon 1 ; donc n ne peut être rationnel. 

Donc le rapport de la circonférence au^diamètre, est un nombre irra- 
tionnel (1). 

Il est probable que le nombre c n'est pas même compris dans, les 
irrationnelles algébriques, c'est-à-dire, qu'il Yie peut être la racine 
d'une équation algébrique d'un nombre fini de termes dont les coëffi- 
ciens sont rationnels : mais il parait très difficile de démontrer rigou- 



(l) Cette proposition a été démontrée pour la première fois par Lambert, 
dans lec Mémoires de Berlin, année 1761. 



ROTS 



reusement cette proposition ; nous pouTOOS teulement faire voir que le 
carré de r est encore un nombre irrationnel. 

En effet, si dans la fraction- continue qui exprime tang. 9, on fait 
x=:Kf à cause de tang. «=0, on doit avoir 

* 9 — etov 

Hais si 1^ était rationnel, et qu'on eût c'zr: ~ , m et « étant des en- 
tiers , il en résulterait ^ 

3 = - — m 

6» — -=- m 

^'•"Ti-etc 

Or, ii est visible que cette fraction continue est encore dans le cas du. 
lemme II , sa valeur est donchrralionnelle , et ne saurait être égale au 
nombre 3. Donc le carré du rapp.prt de la circonférence au diamètre , 
est un nombre irrationnel. 



NOTE V. 

Où l'on donne la solution analytique dfi divers problè^ 
mes concernant le triangle y le quadrilatère inscrit y 
le parallëlipipède et la pyramide triangulaire. 

PROBlkVE VREHIER. . 

Etant donnés les trois ettès d'un triangle , trouver sa sur^ 
face y lê rayon du eerch inserit et le rayon du cercle cir- 
conscrit, 

£g. ia6. Soientle8CÔtésBG=a, ACc=:&,AB=sc; sidusommetAonabaisse 

— • " * 

* la. 3. la perpendiculaire AD sur le côté opposé BG, on aura * AG = AB •4- BC 

— 2BG X BD : donc BD == ?!if!z:i'. Cette valeur donne AB*— B5* 
za 

ouAD=c*— ( — !— ) = i— -i i-j donc AD = 

\ 2a J 4o2 » 

|/r4a2 c2— (024.C2— 62\2i 

s — *- Soit S l'aire du triangle , on aura Sszzl 

M a * 

BCxAD;donc 

S=:il/[4o2c2"— (o2-}-c2-62)2]_,j^(2a262+2«2ca+262c2-fl*~64-c»). 
Cette formule peut encore se réduire à une autre forme plus commode 
pour le calcul logarithmique ; pour cela il faut observer que la quan- 
tité 40= c'— (a'+c^62)2 est le produit des deux facteurs 2ac + 



non y. 

(aa^-c»— 62) et 2flc — o2 + c» — 62). ig premier = (a +c)2 — 62 = 
{a+c + b) (« + c— 6); le second = 62—(o — c)2 = (5+o—c) (6 — 
a-]- c) ; donc on aura 

S = i|/[(a + 6 + c) + c) (o + c— 6)] (6+c-a), 

Enfin si on fait ^ ^ "^^ = p , ce qui donne o + 6 -f. = 2/> , 

o + i — c=2|> — 2c, o-j-c — 6=2/> — 26, 6-fc*- a = 2|» — 2a , 
on aura encore plus simplement 

S = ï/ {p.p — fl.p — 6.f> — c). 
D'où Ton voit que pour aToir la surface d'un triangle dont les trois ^ 
côtés sont donnés , il faut prendre la demi-somme des trois côtés , de 
cette demi-somme retrancher successivement chacun dos côtés, ce 
qui donnera trois restes , multiplier ces trois restes entre eux et par la 
demi-somme des côtés , et enfin extraire la racine carrée du produit : 
cette racine sera Taire du triangle. 

Soient maintenant z le rayon du cercle circonscrit au triangle, et u 
le rayon du cercle inscrit dans ce même triangle , on aura suivant la 
prop. xxxu, liv. ni, 

s = et « = . = - : donc en substituant la valeur trouvée . 

S a+6+c p 

de S , il viendra 

PaOULÈMB It. 

Étant donné* les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit , 
trouver le rayon du cercle ^ la surface du quadrilatère et ses 
angles. 

Soient les côtés donnéà ÀB=:<i, BC=6, GD=c, DÀ.=(f, et les fig. i35. 
diagonales inconnues ÂG = dr,BD = y, on aura, suivant le théor. 33, 

Uv. ni , ««=oc + 6d et - = -r--r — * 

\ / nac + hd){ad+bc) \ i / f {oc+hd) (a6+crf^ \ 

V — àbT^ /' V V — — ) 

Mais, suivant le problème précédent, le rayon du cercle' circonscrit 
au triangle ABC, dont les côtés sont a,b, x, peut s'exprimer par la 
abx 

■|/[4o262— (a2+62- «2)2]' 
valeur qu'on vi«nt de trouver et décomposant le résultat en facteurs , 
on aura 

/r (ac+6rf) (arf+6c) (o6+crf) ^1 

V L(o+6-l-c— d) (a-l-6+d-c) (o+c-l-rf-6) (t+H-^'-^'U* 



formule j8 = , ^r/-oi.o — i ïTSi* Substituant au lieu de x la 



21(4 IfOTE T, 

Cela posé , l'aire 4u triangle ABC ^ , ^elle du triangle ADO 

_ donc Taire du quadrilatère ABCD = J. ("^+*^^* 

= i (fl+6+rf— c) (o+c-H—t) (6+c+d-o)]. 
Et si on fait, pour abréger, (a4'^+<^4'<Q.> "^'B l'aire ABCD 

{p—a.p — b. p—c.p — dj. Enfin pour aToir. l'un des angles, par 
exemple , l'angle B , on observera que le triangle ABC donne cos B 

= 4; — 7 : substituant la valeur de x et réduisant, on aura cosB 

g'-f fc' — c' — <^ nu 1 — cos B . j , « 

= 2ab+2cd ' ^» ^« rpSTB' ^ ^ 

_ (c+a)^^ia-by _ (a+c+d^b) jb+c+d^a) 

\P-o.p-d) 

PROBLÈME III. 

6g. i77. Z?an« le quadrilatère ABCD dont les angles opposés BelC 
sent droits, étant donnés les deux côtés ÂJB , AC, avec l'angle 
compris BAG^ trouver les deux autres côté* de la diagonale U). 

Soit AC=6, AB=c,et l'angle BAC=A} si Ton prolonge BD etAG 
jusqu'à leur rencontre en £, le triangle BAL rectangle en fi, où l'on 

connaît l'angle BAS et le c6té AB, donnera A£ = — ^ ; donc CE = 

cos A 

'b. Ensuite le triangle 'DCE rectangle enC, où l'on connaît le 



cos A 



c — b cos A 

côté CE et l'angle CDE=r A, donnera CD = CE cos A=: lî — " 

^ . ' sin A 

aura donc semblablement BD = ^ ^ cosA ^ ^ ^ulamvdes èess 

sin A 

côtés cherchés du quadrilatère 
De là résulte la diagonale 

AD=i^(Ac+DC)=Vr+(-inrA->V=^^^^ — STT — . 

Mais par le triangle BAC on aurait BC =,l/(62+ca— 26c cos A). Donc la 
diagonale AD , qui joint les deux angles obliques, est à la diagonale B 
qui joint les deux angles droits : : 1 : sin A. ^ 

Scholie, La diagonale AÏ) est en même temps le diamètre du cercle 
dans lequel le quadrilatère ABDC serait inscrit. 

Dans ce cercle on aurait l'angle ABC=ADC, donc en abaissant CF 
ï^erpendiculaire sur AB, les triangles BFC, ADC, sont semblables et 




NOTE Y. 255 , 

donnent AB : BG : : AC : FG : : 1 : sin A ; ce qui s'accorde avec le ré- 
sultat précédent. 



PROBLÈME lY. 

Étant données les trais arêtes d'un paralléliptpède avec les 
angles qu'elles font entre elles , trouver la solidité du parallé- 
lipipède. 

Soient les arêtes SAs=f, SB=:<7, SG=A, et les angles compris ASB=y, flg< 278. 
ASG=:^, BSC=a(. Si du point G on abaisse CO perpendiculaire sur le plan 
ASB, le triangle rectangle GSO donnera GO*^CS sin GSO = A sin GSO. 
B'ailleurs la surface du parallélogramme ASBP = fg sin 7. Bonc si on 
appelle S la solidité du parallélipipède ST, on aura S=fgh sin u sin GSO. 
Il reste à trouver sin GSO. 

Pour cela du point S comme centre et d'un rayon=ly décrives une sur- 
face sphérique qui rencontre en B, F, G, les droites SA, SB, SG, SO; tous 
aurez un triangle B£F dans lequel l'arc FG est perpendiculaire sur £B, 
puisque le plan GSO est perpendiculaire sur ASB. Or le triangle B£F , où 

cos ^— -COS «COS V 

1 on a les trois côtés BE=7, BF=^, EF=:«, donne cos E= : : i, 

' sin a sm y 

^ . ^ 1/(1 — cos^cc— cos^ô^ — cos'y-4-2cos«co8 ^cosy) , 

etsmE=^— ^ — : Ensuite le 

sin « sin y 

triangle rectangle EÏGr donne sin GF ou sin GSO = sin E sin EF=8in a 
sin £. Donc Sssfgh sin « sin y sin £, ou 

S=fgh\/{ 1— cos' a—cos^ ^— -cos' y\-2 COS k cos € cos y). Bans cette 

expression la quantité sous le radical est le produit des deux facteurs 

sin a sin y -f* cos 6 — cos ce cos y et sin « sin y — cos cos oc cos y. Le 

/■VA. «-}-^-|-v . «+y — ^ , 1 
premier=co8 ff— cos (at-{-y)=2 sin — ^ ' sm — — > seconds^ cos 

(a — y) — cos 2 sin — ^Iginfil — Bonc la solidité cherchée 

c 01. r% /r. «+^— y. «+y— ^, 



PROBLÈME Y. 

Les mêmes choses étant données que dans le problème préeé' 
dent, trouver l'expression de la diagonale qui Joint deux som- 
mets apposés. 

Soit la diagonale de la base SP=:« et la diagonale cherchée ST=w; Cg. 378. 
ïe triangle ASP dans lequel cos SAP = — cos y, donnera «'=/^+9'+ 
tfg cos y,- pareillement le triangle TSP dans lequel cos TPSs=— cosGSP, 




ÎS6 HOTI 

donnera «'sss'-f^'-l-îàs cos CSP. Il ne s'agit pins que d'aToîr le oosimis 
de l'angle CSP ou de l'arc FH : or dans le triangle sphérique EFH, on 
a cos FH=cos £F cos EH-|-sin £F sin £H cos £ ; substituant les Ttleors 

£F = at et cos £ g-- cos ot cos y . ^ ^.^^^^^ FH=cos « ces EH+ 
sin flt sin y ' 
sin EH . sin £H cos 6 , sin ( y — £H ). cos « 

(cos — cos U cos y)= : 1 ^ : ' = 

sin y " sin y * smy 

sin EH cos g-f-sin DH cos « - ^, ^, 

-i . Donc 2h» cos FH, ou 2hs cos GSP=::2h cos S 

sm y > 

M sin EH , jB sin DH . . . , , . , 

— : l-2Acostt. — : . Haid dans le triangle BSP on a BP= 

sioy ' siny 

SP sin BSP ^ SP sin BPS . , is sin EH ^ * sin DH 

— . et BS = — j-—-—., ce qui donne ■ — : = r et : 

smSBP sinSBP ^ sin y sin y 

=g. Donc 2^ cos GSP=:2/% cos g-j*2^A cos «. Donc enfin le carré de 

la diagonale cherchée : 

+ y' + A' +^f9 cos y + 2fh cos €+7gh cos «. 

Corollaire, L'angle solide A est formé par les arêtes f, g » hf faisant 
entre elles deux i deux les angles 200* — y, 200* — 6, 0e; ainsi il suffit de 

changer les signes de cos y et cos € dans l'expression de SE pour SToir 

celle de AM. Faisant de méme^ pour les deux autres diagonales, on aura 
les valeurs de leurs carrés comme il suit : 

ST =/'2-f^»+A»+2/*^ cos y+2/A cos ff+2yA cos a 
^i^r+g^+h^—^fg cos y— 2/% cos é4.2^A cos ce 
W=f^+g^+h^—2fg cos y+2/A cos 6—2gh cos « 
CvZ^f^-^g^+h?+2fg cosy— 2/*A cos ^— 2^A cos a 

De là on tire ST + lM+BÎi + CP = 4/»4. V+4A2. Donc, dans tout 
parallélipiphde , la somme dee carrée dee quatre diagonales est égale 
à la somma dee carrée dee douze arétee. Ce théorème remarquable et 
* cor ^* B°''^"6u^ ^ celui qui a lieu dans le parallélogramme % pourrait se dé- 
duire immédiatement de ce dernier. Car au moyen des parallélogramme! 
SCTP, ABHN, on a 

ST+CP=2SC+2SP, 
ÂM + BN=ÎBi'-f 2iB. 
Ajoutant ces deux équations et obser-vant qu'on a SC=BSI et SP-f-AB== 
251'+ 2SB, il viendra Sf + ÂÏ+BÎr+CP=4SA+4SB+4^^^ 



ROTI V. 



257 



PBOBLfcHS Tlk 

Étant iofinéêê les trois arêtes qui aboutissent a un même 
sommet d'une pyramide triangulaire y et les trois angles que 
4^s arêtes forment entre elles, trouver la solidité ^ la pyramide^ 

Soit SABGIfl pyramide triangulaire proposée, dans laquelle on connaît fig- ^78. 
le» arêtes SA=t/; SB£=^, SC±=A> et les angles compris ASB=v, ASC=f, 
BSCsk. Si sur les arêtes SA, SB, SC, données de grandeur et de posi- 
tion, on décrit le parallélépipède ST, la pyramide ^ui est le tiers du 
prisme triangulaire BSANJHG sera;le sixième du pamllélipipède ST. Donc 
en appellant P la solidité de la pyramide, on aura, d'après le probl. it» 

I^=^/i7Al^ (1 — cos' a — cos' — cos* y+2 cos oc cos Ç cos y) 



Problème tit. 

Etant donnés les six côtés ou arêtes d'une pyramide tri- 
angulaire y trouver sa solidité. 

Si l'oiï conserre les mêmes dénominations que dans le problème fig- >7^' 
précédent, «;t qu!on fasse de plus BG GAs:^^, BA A', on aura 

2/-^ \fh > • 

Substituant ces Toleurs dans la formule trouvée et faisant pour 
abréger 

on aura la solidité demandée 

P = -jVI/(4/*'^' h^—pie^—g^ G»- A^H^ + FGH). 

Dans l'application de ces formules on obseryera que g', h\ dési- 
gnent les côtés d'une même face ou base, et /*, g, h, les trois autres 
arêtes, qui aboutissent au sommet,* leur disposition étant telle que/" 
est opposée à f',gàg' et h à A'. 

Scholie. Soit A la somme des quatre triangles qui composent la sur^ 
face de la pyramide , soit r le raydn de la sphère inscrite ; il est aisé 
de Toir qu'on a P = A X »*; car on peut concoToir la pyramide dé- 
composée en quatre autres, qui auraient pour sommet, commun le 
centre de la sphère , et pour bases , les différâtes faces de la pyra- 

3P 

mide. On, a donc le rayon de la sphère inscrite r= ' 

'7 



I 



S58 



HOTE V. 



PtOBISn TIIl. 

Lêê mêmet ekottê èiant ionnèeg quê dans U problème VI ^ 
trouver h rayon do la ophèro eireonocriio à la p^mHo, 

Ag. >79. Soit M le centre du cercle circonscrit au triangle SAB , MO la per- 
pendiculaire menée par le point M sur le plan SAB; soii pareillement 
N le centre du cercle circonscrit au triangle SAC , If la perpendica- 
taire éleyée par le point N sur le plan SAC. Ces deui perpendlcokires 
situées dans un même plan |IDN perpendiculaire é SA, serencoatreroDt 
en un point qui sera le centre de la sphère cirooBBcrite; car le 
point , comme appartenant à U perpendiculabe MO , est à égale dis- 
tance des trois 'points S , B , A ; et ce même point , cdmme appartenant 
à la perpendiculaire NO , est à égale distance des trois points S, A, C; 
donc il est é égale distance des quatre points S , A , B , G. 

On peut imaginer que le point M est déterminé dans le plan SAB , 
au moyen du quadrilatère SDMH , dont les dçux angles D et H sont 
droits, et où Ton a SB=|/, SH^| g, et ASB=7; Donc on aura 

(d'après le problème m), BM= y . semblablementonanra 

sm^ . 

Appelons D l'angle MBH qui metnie IIbcUimûmii dei deni plani 
SAB, SAC; jdans le triangle sphériqne dont «e, ff, y, sont les côtés , 

n 11 1 » A • ' COS«— CO8>C0«ff 

B sera l'angle oppose au coté tu et ainsi on aura cos D=— — : — f 

sm 7 sin S 

de sorte que l'angle B peut être supposé connu. 

Gela posé, dans le quadrilatère OMBN dont les deux an^es X et 
sont droits, et où Ton connaît les deux côtés MB , DN et l'angle com- 
pris MBN=B , on aura par le problème jn , le carré de la diagonale 

— • DM^'O. PN*— 2DM X BN cos B « . , 

0B = Xr : — ^ , Ensuite dans le triangle OSD 

.i— • — • * 
rectangle en B, on aura SO = OB -j-SD : e'esl la Tsleor du carré da 

rayon de la spbère cireonscrite. 

Si on fait la snbstitutimi des valeus de BM, BH et euoita celle des 

Talenrs de ces B et de sîn B, afin d'avoir imniédiatement Texpressioa 

du rayon SO , par le aaoyen des douées éa proUèae vi , on trouTera 

pour résultat: 

. , , . , -2/^(cos7 — cos^ costt)] 

SO=sc^« / { — 3/31 (cos Ç—ws « cos 7)— 2yA (cos ag^cos y cos Q } 



/\f^ sin>«-i.'>>sin>«4^sin>7-2/J 
>=Kim / < — 2/31 (cosV-^ cos « cos 7) - 2y* 

V ( l-COS»«— C0«»C— C08»y"+! 



cos* y -I- 2 C<M «e cos ^ cos 7 



I 



NOTE TI. 

NOTE VL 

Sut pl^ courte distance de deux droites non situées 
dans le 7néme plan. 

Soient AB, CD, deux droites données, non situées dans le même fig* 
plan, dont il s'agit d,e trouYer la plus courte distance. 

Suivant AB faites passer deux plans perpendiculaires entre eux qui 
rencontrent CD l'un en G , Pautre en D ; des points G et D abaissez GA 
et DB perpendiculaires pur AB ; dans le plan ABD menez DE parallèle 
et A£ perpendiculaire 4 BA , ce qui formera le rectangle ABBE ; dans 
le plan GAE joignez GE et menez AI perpendiculaire à G£; enfin dans 
le planGBE menez IK parallèle à DE jusqu'à la rencontre de GD enK, 
faites AL =IK et joignez KL; je dis, 1* que la droite KL est perpen- 
diculaire à la fois aux deux droites données AB, GD; 2° que cette 
même droite KL est plus courte que toute autre qui joindrait deux 
points dés lignes AB , GD , et qu'ainsi KL , ou son égale AI , est la plus 
courte distance demandée. 

En effet, 1* les trois droites AB, AG, A£ étant par construction 
perpendiculaires èntro elles, .l'une d'elles AB est perpendiculaire au 
plan des deux autres; donc AB est perpendiculaire à AI; d'ailleurs Kl 
est parallèle à DE , et DE à AB , donc Kl est parallèle % AB , et puis- 
qu'on a fait AL = KI, il s'ensuit que la figure AIKL est un rectangle. 
Cela posé , l'angle AIK est droit ainsi que AIG , donc la droite AI est 
perpendiculaire au plan KIG ou GDE ; donc sa parallèle KL est per- 
pendiculaire au même plan GDE, et par conséquent est perpendicu* 
laire à-GD. Donc, 1* la droite KL est perpendiculaire à la fois aux deux 
droites AB, GD ; 

2** Soit H un point quelconque de la droite CD ; si par ce point on 
mène MN parallèle à DE ou à AB_, la distance du point M à la droite 
AB sera égale à AN , puisque l'angle BAN est droit. Or on a 4^ ^ Al ; 
donc Al est la plus courte distance des lignes données AB , GD. 

Soient les perpendiculaires GA=a , et DB=AE=6 , on aura GE=l/' 
(a^4-6^); et parce que l'aire du triangle AGE. s'exprime également 

par J AGX AE et par^ CEx AI, on aura AI= 

C'est Texpression de la plus courte distance des lignes données. 

Si ea même temps on fait la distance AB s£ c , et qu'on appelle A 
Fangle compris entre les deux lignes données, c'est-à-dire l'angle GDE, 
comfris entre la ligne CD et une parallèle DE à la ligne AB, le 

DE 

triangle GDE rectangle en E donnera cos GDE = ^ > ou oos A = 
car on aCD^niCÊ +ËD =o2-|-62+c2. De là on tire- 
rait aussi sin A= , ^ , . . ov cot A= 



I 



260 



IfOTI VII. 



NOTE vn. 

Sur les polyèdres symétriques. 

C'est ponr plus de simplicité que dous arons supposé dans la déf. 16, 
lÎY. YI , que le plan auquel les polyèdres symétriques sont rapportés , 
est le plan d'une face : on pourrait supposer que ce plan est un plan 
quelconque , et alors la définition deviendrait plus générale , saàs qu'il 
y eût rien à changer à la démonstration de la propos, ii , par laquelle 
nous avons établi les relations mutuelles des deux polyèdres. On peut 
aussi prendre une idée très juste de la manière d'être de ces deux 
solides , en regardant l'un des deux comme l'image de l'autre formée 
dans un miroir plan , lequel tiendra lieu du plan dont nous venons de 
parler. 

NOTE VIII. 
Sur la proposition XXV, livre F II. 

Ce théorème qu'Euler a démontré le premier dans les Mémoires de 
Pétecsbourg , année 1758 , offre plusieurs conséquences qui méritent 
d'être développées. 

V Soit a le nombre des triangles, h le nombre des quadrilatères, 
c le nombre des pentagones, etc., qui composent la surface d'un po- 
lyèdre; le nombre total des faces sera a-^l>-\-c-^d"\'eic:^ et le nombre 
total de leurs cotés sera 3a-f 4&-f-^<'+6«^{-etc. Ce dernier nombre est 
double de celui des arêtes , puisque la même arête appartient d deut 
faces ; ainsi on aura 

H=o4<&4<c+cr4<ete. 
2As^a-|Ufr4-5c+6</4-etc. 
Et puisque, suivant le théorème dont il s'agit, S-f>H^A+2, on en tire 

2S=4+o+2fc+3c+4rf+etc. 
Une première remarque que fournissent ces valeurs, c'est que le nombre 
des faces impaires a-{-o-{-«-f-^^^* toujours pair. 

On peut faire pour abréger ta=b-\'1c-\^d-\-tic. , et alors on aura 

A.= fH + lc«, 
S=2 + iH + .Jû,. 

Ainsi dans tout polyèdre on a toujours A^|H, èt S ^ 2-|-^H , où il faut 
observer que le signe ^ n'exclut pas l'égalité , attendu qu'on pourrait 
avoir (0=0. 

Le nombre de tous les angles plans du polyèdre est 2A , celui des 
angles solides est S, de sorte que le nombre moyen des angles pions qui 
2A 

forment chaque angle solide, est-^ . 



NOTE Yllf. 



261 



Ce nombre ne peut être moindre que 3, puisqu'il faut au moins trois 
angles plans pour former un angle solide ; ainsi on doit avoir 2A^3S, 
le signe ^ n'excluant pas Tégalité. Si on met au lieu de 4- et S leurs 
▼aleurs en H et on aura 3H +<o>6-}«|-H-{-4 w,ou3H>l2+ w. 
Remettant les valeurs de H et a> en a, b, c, etc., il en résultera 

3a + 2i+c> 12+ ©+2/*+ 3y +etc. 
d^où l'on Toit que. a, b, a, ne peuTCnt pas être zéro à la fois, et qu'ainsi 
il n'existe aucun polyèdre dont toutes les faces aient plus de cinq côtés. 

Puisqu'on a H^4+jq», la substitution dans les valeurs de S et de A 
donnera S^4 +^w, et A>6 + oa. Mais en même temps on a a><^3H — 12; 
et de là il résulte S<2H — 4, et A<3H — 6, où l'on se souviendra que 
leç signes > et < n'excluent pas l'égalité. Ces limites ont lieu généra- 
lement dans tous les polyèdres. 

2** Supposons 2A^4S , ce qui convient i une infinité de polyèdres, 
et nommément à ceux dont tous les angles solides sont formés de quatre 
plans ou plus, on aura dans ce cas H^S+co, ou, en faisant la .substi- 
tution, 

o>8+c+2d+3e + eto. 
Donc il faut que le solide ait au moins huit faces triangulaires ; liji limite 
H^S+oi donne S^6-]-bi, et A^2-]-oui.l2. Hais on a en ménie temps 
ft><H^8; ctd^làrésulteS<B-2, A<2H — 4. 

3o Supposons 2A^5S, ce qui renferme entre autres polyèdres ceux 
dont tous les angles solides sont au moins quintuples , il en résultera 
H>20 + 3w, ou 

a> 20+26 +5c +8d + etc. 
£t on aura en même temps S^12+2(o, et A^30+5cu; enfin de ce que 
û,<^ (H— 20)i on tire les limites S<| (H — 2), A<4 (H— 2). 

On ne peut supposer 2Af=6S; car on a en générai 2A+2o»+l2=6S ; 
donc il n'y a aucun polyèdre dont tous les angles solides soient formés 
de six angles plans ou plus ; et en effet la moindre valeur qu'aurait 
chaque angle plan, l'un portant Tautre, serait l'angle d'un triangle 
équilatéral , et six de ces angles feraient quatre angles droits , ce qui 
est tTop grand pour un angle solide. 

4^ Considérons un polyèdre dont toutes les faces soient triangulaires, 
on aura ci>=o, ce qui donnera A=^H, et S=2+iH. Supposons en outre 
que tous les angles solides du polyèdre soient en partie quintuples, en* 
partie sextuples; soit p le nombre des angles solides quintuples, q celui 
des sextuples, on aura S==p+f et 2A=5/)+69, donne 6S — 2A=p.' 
mais on a d'ailleurs Ass^H, et S=2+iH ; donc p=6S— 2A=12. Donc 
8%' un polyèdre a toutes fies faces triangulairefi , et que ses angles 
solides soient en partie quintuples, en partie sextuples, les angles 
solides quintuples seront toujours au nombre de 12. Les sextuples 
peuvent être en nombre quelconque, ainsi, en laissant q indéterminé i 



262 



ROTI TIII. 



OD anra dans toui ces solides 9 = 12 -f> 9 > H=20-f-29, A^SO-j-Sç. 

Nous terminerons ces applications pair la recherche du nombre de 
conditions ou données nécessaires pour déterminer un polyèdre ; ques- 
tion intéressante, et qull ne parait pas qu'on ait encore résolue* 

Supposons d'abord que le polyèdre soit d*une espèce déterminée, 
c'est-à-dire qu'on connaisse le nombre de ses faces, le nombre de leur» 
côtés individuellement, et leur disposition les unes à l'égard des autres. 
On connaît donc les nombres H , S , A, oinsi que a,%,c, d, etc. ; il ne 
s'agit plus que d'aToir le nombre de données effectives, lignes ou angles, 
par le moyen desquelles le polyèdre peut être construit et déterminé. 

Considérons une des faces du polyèdre que nous prendrons pour sa 
base. Soit n le nombre de ses côtés; il faudra 2n — 3 données pour 
déterminer cette base. Les angles solides hors de la base sont au nombre 
de S — n; le sommet de chaque angle exige trois données pour sa déter- 
mination; ainsi la position de S — n sommets exigerait 3S — 3m données, 
auxquelles ajoutant les 2n— 3 de la base, endurait en tout 3S— fi -»3>. 
Hais ce nombre est en général trop grand , il doit être diminué du 
nombre de conditions nécessaires pour que les sommets qui répondent 
à une même face soient dans un même plan. Nous avons appelé n le 
nombre de côtés de la base, appelons de même fi', n", etc., les nombres 
de côtés des autres faces. Trots points déterminent un plan ; ainsi ce 
qui se trouvera de plus que 3 dans chacun des nombres n', n", etc. , 
donnera autant de conditions pour que les différents sommets soient 
situés dans les plans des faces auxquelles ils appariieiment, et le nombre 
total de ces conditions sera égal à la somme (»'— 3)-f-(»''— 3)-f- 
(n'"— 3) 4* etc. Mais le nombre des termes de cette suite est H — 1, et 
d'ailleurs A'-l-n'^i»" -|- etc. =:2A: donc la somme de la suite sera 
2A^f» — 3(fi — 1). Retranchant cette somme de 38 — « — 3, il restera 
3S— 2A-I-3H-6, quantité qui, à cause de S-}-H=:A-f-2, se réduit à A. 
Donc le . nombre de données nécessairee pour déterminer un polyèdre, 
parmi tous C0uw de la même espèce^ est égal au nombre de ses arêtes^ 

Remarquez cependant que les données dont il s'agit ne doivent pas 
être prises au hasard parmi les lignes et les angles qui constituent les 
éléments du polyèdre ; car, quoiqu'on eût autant d'équations que d'in- 
commes, il pourrait se faire que certaines relations entre les quantités 
connues rendissent le problème indétenniné. Ainsi il semblerait, d'après 
le théorème qu'on vient de trouver, que la connaissance des arêtes 
seules suffit en général pour déterminer un polyèdre ; mais il y a des 
cas où cette connaissance n'est pas suffisante. Par exemple, étant donné 
un prisme non triangulaire quelconque, on pourra former une infinité 
d'autres prismes qui auront des arêtes égales et placées de la même ma- 
nière. Car, dès que la base a plus de trois côtés, on peut, en conservant 
le's côiés, changer les angles, et donner ainsi à cette base une infinité de 
formes différentes; on peut aussi changer la position de l'arête longitu- 
dinale du prisme par rapport au plan de la base, enfin on peut combiner 



TIOTE YIII. 



ces deux changements l'un avec l'autre ^ et il en résultera toujours un 
. prisme dont les arêtes ou côtés n'auront pas changé. D'où l'on Toit que 
les arêtes seules ne suffisent pas dans ce cas pour déterminer le solide. 

Les données qu'il convient de prendre pour déterminer un solide , 
sont celles qui ne laissent aucupe indétermination , et qui ne donnent 
absolument qu,'une solution. Et d'abord la base ABGD£ sera déterminée fig- 
entre autres manières , si on connaît le côté AB , aTec les angles adja- 
cents BÂC, ABC, pour le point G; les angles BAD, ABB, pour le point B, 
et ainsi des autres. Soit ensuite M un point dont il £But déterminer U 
position hors du plan de la base; ce point sera déterminé, si, en imagi- 
nant la pyramide HABG , om^ seulement le plan MAB , on connaît les 
angles M^B, ABM, et l'inclinaison ^u plan MAB sur la base ABC. Si 4m 
détermine, par le moyen de trois données pareilles la position de chacw 
des sommets du polyèdre hors du plan de la base , il est clair que le 
polyèdre sera déterminé absolument et d'une manière unique, de sorte 
que deux polyèdres construits avec les mêmes données seront nécessai- 
rement ^gauz; ils seraient cependant symétriques l'un die l'autre , s'ils 
étaient construits de différents côtés du plan de la base. 

Il n'est pas toujours nécessaire d'avoir trois données pour déterminer 
chaque sommet d'un polyèdre } car si le point VL doit se trouver sur un 
plan déjà déterminé dont l'intersection avec la ba^e soitFG, il suffira, 
après.avoir pris^G à volonté, de connaître \g& angles MGF, ItfFG; ainai 
il faudra upe donnée de moins. Si le point IL doit se trouver sur deux 
plans déjà déterminés , ou sur leur intetsectton commune, MK qui ren- 
contre le plan ABG en K, on connaîtra déjà le côté AK, l'angle AKM, et 
l'inclinaison du plan AKM sur la bàse^ il suffira donc d'avoir pour nou- 
velle donnée l'ani^ie MAK. G'est ainsi que le tfomb^e<le données néces- 
saires pour déterminer un polyèdre absolument et d'une manière 
unique , se réduira. toi^ours au nombre de ses arêtes A. 

,Le côté AB et un nombre A— 1 d'angles donnés déterminent un^po- 
lyèdre; un autre côté à volonté et les mêmes angles détermineront un 
polyèdre semblable. D'où il sUit que le nombre de .conditions nécee- 
«aireê pour que deUT jipiy^èdireê de la même espèce soient semblables, 
est égal au nombre des arêtes moins un, 

La question qu'on vient de résoudre serait beaucoup plus simple si 
on nèf connaissait pas l'espèce du polyèdre, -mais seulement le nombre 
de ses angles solides S. Déterminez alors trois sommets à Volonté par le 
moyen d*un triangle oû il y aura trois domiées ; ce triangle sera regardé 
comme la base du «olide, ensuite les sommets hors de cette base seront 
au nombre de S— 3; et la détermination de chacun d'eux exigeant trois ♦ 
données, il est clair que le nombre total dç données nécessaires pour 
déterminer le polyèdre, sera 3+3 (S -3), ou 3S— 6. 

Il faudra donc 3S-f^7 conditions pour que deux polyèdres qui ont un 
égal nombre S d'angles soUdes soient sembUl^les entre eux. 



864 



ROTS IX. 



NOTE IX. 

Sur le» polyèdre* r^ulien. ( Voyez t appendice au 
livre FIL) 

Nous nous sommes attachés dans la proposition II de cet appendice 
à démontrer l'existence des cinq polyèdres réguliers , c'est-à-dire , la 
possibilité d'arranger un certain nombre de plans égaux de manière 
qu'il en résulte un solide uniforme dans toute son étendue. Il nous a 
paru que dans d'autres ouvrages on suppose cet arrangement existant, 
sans trop en rendre raison j ou bien on ne le démontre , comme a fait 
Euclide, que par des figures compliquées et difficiles à entendre. 

Le problème de déterminer l'inclinaison de deux faces adjacentes du 
polyèdre, et celui de déterminer les rayons des spbères inscrite et cir- 
conscrite , sont réduits dans les problèmes III et IV à des constructions 
fort simples ; mais il ne sera pas inutile d'appliquer à ces mêmes pro- 
blèmes le calcul trigonométrique qui fournira d'ailleurs de nouvelles 
propositions. 

fig. ssa. Soient a, h, c, les trois angles plans qui composent l'angle solide 0, 

et soit proposé de trouver l'inclinaison des plans où sont les angles 

a et b, on décrira du centre le triangle ^phérique ABC , dans lequel 

on connaîtra les trois côtés BC = AC = 6, AB =: et il faudra 

trouver l'angle C compris entre les côtés a et 6. Or, par les formules 

- cosc — cos a cos 6 ^ . . - , ,. » 

coiuiuçs, on a cos C = : : — ; . Cette formule appliquée 

. sm a sin b 

aux cinq polyèdres réguliers , va nous faire connaître l'inclinaison de 
deux faces adjacentes dans cbacun de ces solides, 
fig. 3^3. Danê le tétraèdre , les trois angles plans qui composent l'angle so- 
lide S, sont des angles des triangles équi latéraux ; soit donc la demi- 
circonférence ou l'arc dé 200** = on aura <i = 6=£c=lir; donc cos 

^ cos cos' a cosafl — cos a) cos a 

Il 5= r-= = r-^ = ^=r-: ; on sait que 

sin' 6 1 — cos' a 1-l-cosa' 

cos 1 r =1, donc cos C == 1. 

fig. a44> Dans Vhéxtièdre ou cube, les trois angles plans qui forment l'angle 
solide A, soqtdQs angles droits; ainsi on a a =6 =f = i. et cos a = o, 
donc eos G = o. Donc l'aiigle de deux faces adjacentes est un angle 
droit. _ 

fig. 445. Vanê Voctaèdre, si l'on fait a =^ DAS = j » , * = DAT = i *, c =: 

X « I 

» o » « cos — ir COS'* T « - . I _ 

TAS=7c, on aura cos G== . - , Or cos lic = o, cosi» 

= , sin 1 « =s 1 |/3j done cos C=— -j. D'où l'on voit que Tinclinaison 
des faces de l'octaèdre et l'inclinaison des faces dur tétraèdre sont deux 
angles suppléments l'une de l'autre. 



NOTI IX. 265 



Dans le dodécaèdre , un angle solide est formé de trois angles plans fig. a^6. 
ëgaux, chacun, à Tangle d'un pentagone réguHer ; ainsi, en faisant 

cos a 
l+cosa' 



.a = o s=: c =:=f «, on aura cos t«= . . ■ ; mais cos -1^ = — sm— - « 



donc cos C = __=-._, sin C,= î77F,ettang 



C = — 2. 

Z?a#f « Vicosaèdre, il faut faire c = C B' D' = | ic , o = 6 — C B' A' «g. a47- 

_ , ■ ^ C0S| T — C0S2 f 1C i (l-|/5)-f -ï/5 
=1 r, et on aura cos G= — !, : 

SIU^ i. te * o ' 

donc sin G = 7. Telles sont les expressions très-simples par lesquelles 
on détermine l'inclinaison de deux faces dans les cinq polyèdres régu- 
liers. Mais nous remarquerons qu'on aurait pu les comprendre dans 
une seule et même formule. 

En effet , soit n le nombre de côtés de chaque face , m le nombre fig* a48. 
d'angles plans qui se réunissent dans chaque ang)e solide ; si du cen- 
tre et d'un rayon = 1, on décrit une surface sphériqué qui rencontre 
en p, q, r, les lignes OA j OC, OD, on aura un triangle sphériqué pqr, 

dans lequel on connaît l'angle droit f; l'angle p = — , et l'angle 9 = - ; 

m n 

on aura donc, par les formules connues , cos o r = Mais cos a r 

. ' sin g ' 

= cos GOD =: sin GDû = sin | G, G désignant l'angle GDE; donc 

ir ■ 
COS — 

sin ^ G — . Formule générale qui, appliquée sucoeisiTement aux 
sin - 

cinq polyèdres , donnerait les mêmes valeurs de cos G ou de I — 2 
sin' ^ G qu'on a trouvées par une autre Toie ; pour cela , il faut sub- 
stituer, dans chaque cas , les valeurs de m et savoir : 

Tétraèdre, Hexaèdre, Octaèdre; Dodécaèdre, Icosaèdre. 
«•=^3 , 3 , 4,3 , S. 
n = 3 , 4 , 3 , tt , 3. 

Le même triangle sphériqué pqr, d*oq l'on vient de déduire Tin- 
clinaison de deux faces adjacentes ^ donne cos pq = oot p cot q, on 

GO K K 

—= cot— cot-. Donc, si on appelle R le rayon de la sphère cir- 
OA tn n 

conscrite au polyèdres et rie rayon de la sphère inscrite dans le même 
polyèdre , on aura ^ = tang ^ tang ^ ; d'ailleurs en faisa'nt le côté 

ABr=a^ on a GA=-2i, et par conséquent = r*-J- -^-^. Ces 

sm - sm-' - 

n » 

deux équations donneront pour chaque polyèdre les eurs dçs rayons 



I 

266 iioTt X. 

R et r des sphères circonscrite et ioscrite. On a aussi , en supposant 
C connu , r = J o cot * tang ^ G et R = | a tang -- tang J C. 

Dans le dodécaèdre et ricosaèdre , on Toit que lé rapport - a la 

même Taleur tang ~ tang ^. Donc, si R est le même pour toiu les 
«S Sa 

deux, r sera aussi le même; c'est-à-dire, que si ces deux solides sont 
inscrits dans une même sphère , ils seront aussi circonscrits é une 
même sphère, et vice vend. La même propriété a lieu entre l'hexaèdre 

et l'octaèdre , puisque la valeur de — est, pour l'un et pour l'antre, 
tang|tang|. 

Remarquons que les polyèdres réguliers ne sont pas les sieuls solides 
qui soient compris sous des polygones réguliers égaux; car, si on 
adosse par une face commune deux tétraèdres réguliers égaux , il en 
résultera un solide > compris sous six triangles égaux et équilatéraui. 
On pourrait encore former un autre solide aTCC dix triangles égaux et 
équilatéraux ; mais les polyèdres réguliers sont les seuls qui aient en 
même temps les angles solides égaux. 

NOTE X. 

Sur l'aire du triangle sphérique. 

Soit l le rayon de la sphère , « la demi^eirconférence d'un grand 
cercle; soient a, h, c, les trois côtés d'un triangle sphérique; A, B, C, 
les arcs de grand cercle qui mesurent jes angles opposés. Soit A^"^")" 
*a3, 7' C — « = 8, suivant ce qui a été démontré dans le texte*, l'aire du 
triangle sphérique est égale à l'arc S multiplié par le rayon, et ainsi 
est représentée par S. Or, par les analogies de Néper, on a : 

tang-j- 

de là , tirant la \aleur de tang | (4+B) , on en déduira aisément celle 

de tang (iA+4B+ î C) = — cot 4 S : on aura ainsi 

cot 4 a cot 4 64- cos G 

cot J S= ^ — r^TT-* , 

\ * sm C ' 

formule très-simple qui peut servir à calculer l'aire d'un triangle sphé- 
rique lorsqu'on connaît deux côtés a, 6 , et l'angle compris G, On peut 
aussi en déduire plusieurs conséquences remarquables. 

l* Si l'angle C est constant, ainsi que le produit cot ^cot^ , l'«''® 

du triangle sphérique représentée par S , detneurera constante. Donc 
fig. 28a. deux triangles GAB, GDË, qui ont un angle égal G, seront équivalents, 



iioTi X. 267 

si on a tang i GA : tang ^ CD : : tanj; ^ €£ : tang { GB , c'est-à-dire , si 
les tangentes des moitiés des côtés qui conaiprennent l'angle égal, sont 
réciproquement proportionnelles. 

2* Pour faire sur le côté donné GD et aTec le même angle C , un 
triangle Gp£ équivalent au triangle donné GAB , il faut détermiaser G£ 
par la proportion : 

tang L GD ; tang i GA : ; tang i GB : tang 1 GE. 

3* Pour faire avec l'angle du sommet G un triangle isoscèle DG£ 
équÎTalent au triangle donné GAB , il faut prendre tang •{ GD , ou 
tang ^ G£, moyenne proportionnelle entre tang ^ GA et tang GB. 

cot a cot -i- 6 + cos G 

4* La même formule cot 18= ' — . ^ 
* sin L 

peut serrir à démontrer d'une manière très-simple la proposition XXYI 
du liTre TU ; savoir, que de tous les triangles sphériques formés avec 
deux côtés donnés a et 6 , le plus grand est celui dans lequel l'angle 
G compris par les côtés donnés, est égal à la somme des deux autres 
angles A et B. 

Du rayon 0Z=1 décrivez la demi-circonférence VHZ , faites l'arc fig* sSS. 
ZX=sG, et de l'autre côté du /centre prenei QP=:cot^^ «coi 2 6; 
enfin joignez PX et abaissez XI perpendiculaire sur PZ. 

Dans le triangle rectangle PXI on a cot P= — = : — : 

AI sin 

doncP=|S; donc la surface S sera un maximum ^bï l'angle P ea 
est un. Or, il est évident que si on mène PBI tangente à la circonfé- 
rence , l'angle HPO sera le maximum des angles P , et alors on aura 
1[PO=MOZ — ^K. Donc le triangle sphérique, formé avec deux côtés 
donnés, sera iin maximum si on a f S = G — -^«r, ou G=A-{-B, ce 
qui 8 'accorde avec la proposition citée. 

On voit en même temps, par cette -construction, qu'il n'y aurait pa» 
Ueu à maximum si le point P était au-dedans du cerde , c'esi4-dire , 
si l'on avait cot \ a cot 7 6 <^ 1. Gondition d'où l'on tire successivement 
cot i a<tang J b, tang ir— «Xtang^ 6, J «r — ^ o <{ 6, et enfin 
ir <^ a-^bf ce qui s'accorde encore avec le scholie de la même pro- 
position. . « 

pROBLfeHE l. Trouver la surface d'un triangle ephérique 
par le moyen de ee» trois côtés. 

Pour cela , il faudra dans la formule 

cot -7 a cot 76 + cos C 

■ cot i S = . > 

* sm G 

substituer les valeurs de sin G et cos G exprimées en a, 6, c : or, 00 a 

cos c — cos a cos 6 , , , ^ . . • 1 + cos a 1 -f- cos 

cos G=: : r— s et cot - a cot- b = — . — — r — } 

sin a sm 6 * * sin a sm 



Î68 HOTB X. 

de là résuite : . » . 

1 4- C08 a + cosfr + cosc 
co8C+cotiacot.-6 = ,^^«81116 

Ensuite U valeur de cos C donne 

^ , ^. 2sin- sin ^ 

cos c — cos(g+6) ^ 

l+cosL— a sin & sin o sin 6 

„ . a+c — 6 . h -f c — g 

2 sm—î-^ «« ô 

cos ja—h) — cos c_ ^ . . 

1 _co8 C _ ^.^ ^ j gin a sin 6 

Multipliant ces deux quantités entre elles et extrayant la racine du 
produit, on aura 

2|/ f sin sin sm — sm ^ J 

^ = sin a tin 6 ' ' 

Donc enfin 

■ ^ V 1 + cos a-^-cosb cos o 

2|/ fsin sm sm ^ sm ^ ^ 

Cette formule résout le problème proposé , mais on peut parvenir à un 
résultat plus simple. 

Pour cela reprenons la formule 

cot ^ a cot i 6 + cos C 

coti S = ' î 

sm 

nous en tirerons d'abord 1+cot' ^ S, ou 

1 cot^^g cot^:^64-2cot:^ .flcot^6 cosC+1 
sin^XS ] ^in^C . 

cos c — cos a cosb 

Of, la valeur de cos C donne 2 cot ^ a cot J b 00* ^ = 2 sin' Ja Bin^^b^ 
mettant dans le numérateur, an lieu de cos c, cos a, cos b, leurs 
valeurs 1-2 sin « i c, 1 — 2 sin^ ^ a, l-2sin2^6, et réduisant, 
on aura 

sin^ifl+sin^ift— sin'ic n« « H'iiîl 

2 cot X a coti 6 cos C3= Tt ^ L2 i 1. 2. On a d aii- 

^ 2 sm ^ i a sm ' ^ o 

leurs cotH«. coi^b^ ^.^,^^ . -^r^p sin^^asin^b * 

i 1 — si n^ i c 

Donc, en ^bstituant ces valeurs, on nur^ Jï^= .j^a x « sin» i b sin^ 

ce qui donne sin i S= * ^ et , en remettant la valeur 




NOTE X. 269 

Fonnule commode pour le calcul logarithmique. 
Si on multiplie celle-ci par la Taleur de cot ^ S , il en résultera 

. g q^-cos fc+cos c cog' i o-]-co8^ j fc- f-cos' i c — 1 

^ 4co8^aco8^&cos^ c 2cos^a cos ^6cob^ c 

NouTelle formule qui a Tayantage d'être composée de termes ration- 
nels. 

la A' l—cos^S 

De là on tire encore — , „ , ou 

sm i S 

- „ I — coB^ ^ g — cos' jh— cos' i c -f-2 cos ^ a cos {- b cos ^ c 

tangua — ^ >. ^\ ' 



Or, le numérateur de cette expression peut se décomposer en facteurs, 
gomme on l'a fait pour une quantité semblable, note problème lY ; 
on aura ainsi : 

, . o-f-64-c . + 6 — c . o + c — . b-\-€^a 

4 sm . ' sm — !— ; sin sin — —, 

tan * S — - 4 4 4 

l>(.bl±|±î««f+|rif.ini±pi.u.y:p) 

fci, „„ , ^iEi£_ = ^^ ."r'^^ ' ) = y a t-S i p); donc 
y sin p \2sin^pco6ij)/ 

enfin 

tang JS=; |/f tang tang tang JT^— tang-i-^ J. 

Cette formule très élégante est due à Simon Lbuillier. 

PaoBLÈHV II. Étant donné* le* trois côté* BC=a , AG=b , 
AB=c, déterminer la position du point I, pôle du cercle fig. 284. 
circonscrit au triangle ABC. 

Soit l'angle ACI=rar ; et l'arc AI=:a=BI=f ; dans les triangles 

cos f-— cos 6 cos f 

GAI , CBI , on aura par les formules connues cos x = — r— ; *- 

' ' sin6 sm^ 

1— cosft ^ sinft ^ ,r \ *~*'°*"«4 

== r-T — cotf='s-î r cot », cos (C — a:)i= — r— — cote?. 

sin 6 ^ 1+cosft ^ ^ ' sin a ^ 

ces (C—ût) r. . . ^ (1+cos b) (I--COS a ) 

Donc ^ k ou cos G 4- sm G tang « = — « - i i 

cos^ s»n o sin b 

substituant dans cette équation les valeurs de cos G et sin G exprimées 

en a,b, c , et faisant , pour abréger, 

]!ï=:|/(l — ^cos' o — cos' b — cos' c 4" 2 cos a cos 6 cos c), 

,fi . . 14-COS >-r-C0S c — cos O . • JJ* . 

on en dédmra tang s = —2- g , formule qui déter- 
mine l'angle AGI. On peut observer qu'à cause des triangles isoscèles 
AGI, ABl, BGl, on a AGI=i (G+A — B); on aurait de morne 



S70 Nofi X. 

BCI=:| (B-f-G-A), BAI=| (A.+ B— G). De lé résultent cm for- 
mulée remarquables : 

i T /A I r- m 1 + co s h — c os g— -cos c 

T t « .X 1 + COS a — cos b — cos c 
tang i (B + G - A) = g 

A T /A I n r\ 1+cose— cosa — cos 6 
*««6 1 B— C) — — g , 

auiquelles on peut joindre celle qui donne cot ^ S , et qui peut se 

mettre sous la forme : 

A r/A I « I r-v —1 — COS a— cos 6— cos C 
*«»«i(A+B+Q= g 

La yaleur de tang s qu'on vient de trouT^ri donne 

_ ,^ , ' 1 2 (1+cos M (1 — cos c) (1 — coso) . 

I 4-tang' X ou r— = — i — ! ^ ' 

• " cos' a? M' 

16 cos' sin' ^ c sin' 1^ a ,.' 

1 4 cos ^ i sin C sin |a „ . , ,,, 

= 2 —-2 i_. Mais de l'équation 

cos * al • _ * 

1 — cos 6 . ^ T i ^ 
cos g sr — ^.^ ^ — cot f = tang J o cot f , on tire 

tang ib . ^ 4 sin 4 a sin 1 sin ^ c 

tang • = — 2_L^ • donc tang 9 = = =~ 

''^ cos* ' - M 

2 sin ^ g sin ^ & sin ^ c 

1/ (^sin 5 sm -i:-^ sin — ÏIl^ 2 ) 

PtOBLB» III. Déterminer sur la surface de la splàre h 
ligne sur laquelle sont situés tous les sommets des trianghi 
de même hase et de. même surface. 

Cg. s85. 9oit ABG l'un des triangles sphériques dont la base commune est 
AB = e, et la surface donnée A-f-B-j^^G — irsS. Soit IPK une per- 
pendiculaire indéfinie élevée sur le milieu de AB ; ayant pris IP égal 
au quadrant, P sera le pôle de l'arc AB , et l'arc PGD mené par 
points P; G, sera perpendiculaire sur AB. SoitID=:j9y GD=9;lc' 
triangles rectangles AGD, BGD, dans lesquels on a AG=-fr) BC==af 
AD=|i-]-}c, BD=|i — Je, donneront cos a = cos q cos(p-^i^)* 
cos frss cos q cos + c). Hais on a trouvé ci-dessus : 



^ T €s 1 4-C08 a+cos 6 + cosc 

cot i S = — ! — : — '. . . U ; 

* sin a sin fr sin L 



substituant dans cette formule les valeurs cos a-[*cosfr = 2 cos q 
cos p cos J c, 1 cos c=î2 cos' J c , fin 5 sin C = sin c sin B = 2 
sin \ c cos c sin B ^ on aura 



non XI. 



571 



sin asin^c sin B 

D'ailleurs dans le triangle rectangle BGB , on a encore sin a sin B = 

j Aie i C + 008 p cos o ^ , „ 

sm g : donc cot ^ ^ =: =-.— , , ou cos p cos a = cot ^ S 

sin ^ c sin ç — cos ^ c ; c'est la relation entre p 'et q qui doit déter- 
miner la ligne sur laquelle soiit situés tous les points G. 

Ayant prolongé IP d'une quantité PK = joignez KG et soit KC=y , 
dans le triangle PKG , où l'on a PG = ^ c — - 9 et l'angle KPG = r — p, 
le côté KG se trouvera par la formule cos KG = cos KPG sin PK sin 
PC 4- cos PK cos PC , ou 

cos y = sin'f cos x — sin x cos q cos p ; 
dans lai^elle substituant au lieu de cos q coêp sa valeur cet ^ S sin ^ c 
sin q -— cos ^ c , on aura 

cos y == sin « cos -{^ ainq (cos x — sin cot ^ S sin { c). 
De là on -voit que si l'on prend cos x — sin cot ^ S sin ^ c = o , ou 
cot a: = cot ^ 6 sin ^ c , on aura cos y = s\nx cos ^ c , et ainsi la valeur 
de y deviendra constante. 

Donc si après avoir mené l'arc IP perpendiculaire sur le milieu de 
la base AB, on prend au-delà du pôle la partie PK telle que cot PK 
= cot.^S sin ^c,. tous les sommets des triangles qui ont la même 
base c et la même surface S , seront situés sur le .petit cercle décrit 
du point K comme pôle A la distance KG telle que cos KG =: sin PK 
cos i c. 

Ce beau théorème est dû A Leiell. (Voyez le tome Y, part. I des noca 
Acia Petropolitana.) 

NOTE XI. 
Sur la proposition III j livre VIII. 

Cette proposition peut être démontrée plus rigoureusement en la 
ramenant aux lemmes préliminaires , de la manière suivante. • 

Je dis d'abord que la surface convexe terminée par les arêtes AF , 
BG, et par les arcs A u B, F G) ne saurait être plus petite que le fig. a5a 
rectangle ABGF, partie correspondante de la surface du prisme inscrit. 

£n effet, soit S la surface convexe dont il s'agit, et soit, s'il est 
possible , le rectangle ABGF ouABxAF = S-}-H,M étant une quan- 
tité positive. 

Prolongez la hauteur AF dujprisme et du cylindre jusqu'à une dis- 
tance AF' égale à n fois AF, n étant un nombre entier quelconque \ 
si Ton prolonge en même temps le cylindre et le prisme , il est clair 
que la surface convexe S' comprise entre les arêtes AF', BG', contien- 
dra n fois la surface S ; de sorte qu'on aura S' = nS , et parce que 
ftXAF=AF', on aura AB X AF' = n S + n M = S'-f- 1» M. Orn étant 



27Î 



HOTE XII. 



un nombre entier à volonté et M une surface donnée ; on peut prendre 
n de manière qu'dn ait n M plus grand que le double du segment 

A M B , puisqu'il suffit pour cela de faire n ^ ^ ^ ^ ; donc alors le 

rectangle AB X AF' ou la surrace plane ABG'F' serait plus grande que 
la surface enveloppante , composée de la surface convexe S' et de 
deux segments circulaires égaux A u B^-F'^'G'. Or, au contraire, la 
seconde surface est plus grande que la première , suivant le premier 
lemmo préliminaire ; donc , 1* on ne peut avoir S ^ ABGF. 

Je dis en second lieu que la même surface convexe S ne aanrait 
être égale à celle du rectangle ABGF. Car supposons, s'il est possible, 
qu'en prenant A£ = AB , la surface convexe AMK soit égale au rec- 
tangle AFK£ ; par un point quelconque M de l'arc AME , menez les 
cordes AM , ME , et élevés MN perpendiculaire sur le plan de la base. 
Les trois rectangles AMNF, MEKN , AEKF, ayant même hauteur, sont 
entie eux conune leurs bases AM , ME , AE. Or on a AM-{-ME^A£ , 
donc la somme des rectangles AMNF, MEKN est plus grande que lè 
rectangle AFKE. Celui-ci est équivalent par hypothèse à la surface 
convexe AMK , composée des deux surfaces partielles AN , MK. Bodc 
la somme des rectangles AMNF, MEKN est plus grande que la somme 
des surfaces convexes correspondantes AN , MK. Donc il faudra que 
l'un au moins des rectangles AMNF, MEKN soit plus grand que ia sur- 
face convexe correspondante. Cette conséquence est contraire A la 
première partie déjà démontrée. Donc , 2* la surface convexe S ne 
saurait être égale A celle du rectangle correspondant ABGF. 

Il suit de la qu'on a S^ABGF, et qu'ainsi la surface convexe du 
cylindre est plus grande que celle de tout prisme inscrit. 

Par un raisonnement absolument semblable , on prouvera que la 
surface convexe du cylindre est plus petite que celle de tout prisme 
circonscrit. 

NOTE ÎII. 
Sur r égalité et la similitude des polyèdres. 

On trouve A la tête du XP livre d'Euclide , les définitions 9 et 10 
ainsi conçues : 

9. êolidêê êont sêmblahh», lonqu'iU sont oompriê «oiw tut 
mémê nombre de plans semblables chacun à chacun. 

10. Deu» solides sont égaux et semblables, lorsqu'ils sonteoutpris 
eous un même nombre de plans égaux et semblables chacun à chacun, 

Voï^ei de ces définitions étant un des points les plus difficiles des 
élémens de géométrie, nous Texaminerons avec quelque détail, et 
nous discuteroaa en même temps les remarques faites A ce sujet par 
Robert Simson dans son édition des élémens, pag. 388 et suiv. 



NOTE XH. 



D'abord nous obseryerons avec Robert SimBon que la définition 10 
n'est pas proprement une définition, joiais bien un théorème qu'il 
faudrait démontrer ; car il n'est pas évident que deux solides «oient 
éjj^ox par cela seul qu'ils ont les faces égales; et si cette proposition 
est vraie y il faut la déknontrer soit par la superposition , soit 4e toute 
autre Manière. On voit ensuite que le vice de la définition 10 est 
cQmïnunÀ la définition 0. Car, si la définition 10 n'est pas démontrée, 
on pourra croire qu'il existe deux solides inégaux et dissemblables 
dont les faces sont égales; mais^ alors, suivant la définition 9^ un 
'troisième solide qui aurait les faces semblables à celles des deux pre* 
miers serait semblable à chacun d'eux , et ainsi serait semblable à deux 
corps de différente forme , conclusion qui implique contradictio^i , ou 
du moins qulihe s'accorde pas avec l'idée qu'on attache naturellement 
au mot aemhloble. 

Plusieurs propositions des Xr et XII' livres d'Êuclide sont fondées 
sur les définitions 9 et 10, entre autres la proposition XXYIII , livre XI, 
de laquelle, dépend la mesure des prismes et des pyramides. Il semble 
donc qu'on pourrait reprocher aux élémens d'Ëuclide de contenir un 
assez grand nombre de propositions qui ne sont pas rigoureusement 
démontrées. Mais il y a une circonstance qui sert à affaiblir cette in- 
culpation , et qu'il ne faut pas omettre. 

Letf figures dont Euclide démontre l'égalité ou la similitude en se 
fondant sur les définitions 9 et 10, sont telles, que leurs angles solides 
n'assemblent pas plus de trois angles plans : or, si deux angles solides 
sont composés de trôis angles plans égaux chacun à chacun , il est 
démontré assez clairement dans plusieurs endroits d'Ëuclide que ces^^ 
angles solides sont égaux. D'un autre côté , si deux polyèdres ont les 
faces égales çu semblables chacune à chacune , les angles solides ho- 
mologues seront composés d'un même nombre d'angles plans égaux , 
chacun à chacun. Donc, tant que les angles'plans ne sont pas en plus 
grand nombre que trois dans chaque angle solide, il est clair que les 
angles solides ^homologues sont égaux. Mais, si les faces homologues 
fiont égales et les angles solides homologues égaux , il n'y a plus de 
doute que les solides ne soient égaux; car ils pourront être superposés, 
ou au moins ils seront symétriques l'un de l'autre. On. voit donc'<fUe 
l'énoncé des définitions 9 et 10 est vrai et admissible, au moins^dans 
le cas de^s angles solides triples,' qui est le seul dont Euclide ait fait 
usage. Ainsi le reproche d'inexactitude qu'on pourrait faire à cet 
auteur, ou à ses commentateurs, cesse d'être aussi grave, et ne tombQ 
plua que sur des restrictions et des explications qu'il n'a pas données.' 

Il reste à examiner si l'énoncé de la définition 10, qui est vrai dans 
le cas des angles solides triples , est vrai en général. Kobert Simson 
assure qu'il ne l'est pas, et qu'on peut construire deux solides inégaux 
qui seront compris sous un même nombre de faces éj^ales chacune à 



S74 mnrirxn. \ 

chacane. Il cite , à l'appui de icni aiieitio^ , nn eumple qu'oa peut 
fésénlifler ainii* 

Si à UB polyèdre qaelcoaque oa ^ovte «ne pyramide, en hu dosnant 
ponr baie une de« lacet du polyèdre; ti enioite , an lien d'ijonler k 
pyramide, on la retranche, en formant -dans le polyèdre une oarîté 
égale à la pyramide, on. aura ainii deux nonTeans'aolidee'qm anroat 
le« faœa égalea chacune à chacune, et cependant tfea dem mlidif 
«eront inégaux. 

' U n*y a aucun doute aur Tinégatité des deux tolidef ainai oomtruHi; 
«ait nout ohtèrreront que Tnn de cet tolidet contient det aa^ 
telidet rentrantt : or, il ett plut que prohable qu'Euclide a entenda 
exclure let corpt irrégnliert ifui ont det cavitét oit det anglbt toUdei 
rentrantt, et qull t'eli homé aux polfèdret convexcp. En a ilme i li a t 
cette rettrietion, tant laquelle d'niHÉay d^autret propOMt&ont ne fe- 
raient pat miet,* l'exemple de Robeji(|]Hpiton ne conclut point ooatee 
k définition ou le théorème d'Euolide. 

Quoi qu'il en toit, il rétulie de toutet cetobterrationt que let défi- 
nitions 9 et 10 d'Euclide ne peuvent être oonterréet, tétiet qu'eUef 
tont. Robert Simton t^pprime la définition det toUdet égaux , qni «i 
«0BtnedoittrouTer place qùe partni let théorèmet ; et il définit t«K^ 
l^tÊHibUhîêê ceux qui tont comprit tout un même nombre de pfauM 
^«nablablet, et. qui ont les angles tolidet égaux chacun 4 ohaon. 
iBetie définitioi ett Traie, mais elle a rincourénient de contenir biea 
dea eondftiont tuperflues* Si on tupprimait la condition det anglmt 
toUdet égaux, on retomberait dant l'énoncé d'Euolide, qui ett d^^M»- 
tueux en ce qu'il tuppose la démonttration du théorème rar let 'po- 
lyèdret égaux. Pour éviter tout«mbarras, nous ayons cru à propos 
de diyiser la définition des solides semblables en deux parties : d'aberd 
nous ayons donné la définition des pyramides triangulairee semblables, 
ensuite nous avons défini solides semblables ceux qui ont de» bases 
semblables ) et dont les sommets homologues hors de ces bases sont 
déterminés par des pyramides triangulaires semblàbles chacune é cha- 
cune. 

Cette définition exige pour les bases , en les supposant triangulaires, 
deux conditions , et pour chacun des sommets hors des bases , trois 
conditions;, de sorte que, si S est le nombre des angles solides de 
chacun det polyèdres , la similitude de ces deux polyèdres exigera 
2 -|- 3 (S — 3) angles égaux de part et d'autre , ou 3 S — 7 conditions; 
et aucune de ces conditions n'est superflue ou comprise dans lef 
autres. Car nous con/sidérons ici deux polyèdres comme ayant simple- 
ment le même nombre de sommets ou d'angles solides ; alors il faut 
rigoureusement , et sans en omettre une , les 3 S — 7 conditiont pour 
que les deux solides soient semblables ; mais si on supposait ayant 
tout qu'ils sont de la même espèce l'un et l'autre , c'est-à-dire qu'ils 
ont un égal nombre de faces , et que ces faces comparées chacune à 



noTi XII. 



275 



chacune ont un égal nombre de côtés , cette supposition renfermerait 
des conditions dans le cas où il y aurait des faces de plus de trois côtés, 
et ces conditions diminueraient d'autant le nombre 3 S — 7, de sorte 
qu*au lieu de 3 S — 7 conditions il n'en faudrait plus que A — 1 ; sur 
quoi Toyez la note viii. On Toit par là ce qui donne lieu à la difficulté 
de poser une bonne définition des solides semblables j c*est qu'on peut 
les considérer conune étant de la même espèce, ou seulement comme 
ayant un égal nombre d'angles solides. Dans ce dernier cas toute dif^ 
ficulté est écartée , il faut que les 3 S — 7 conditions renfermées dans 
la définition soient remplies toutes pour que les solides soient sem- 
blables , et on en conclura à plus forte raison qu'ils sont de la même 
espèce. Au reste, notre définition étant complète, nous en aTons 
déduit comme théorème la définition de Robert Simson. 

On voit donc qu'il est possible de se passer , dans les élémens , du 
théorème concernant l'égalité des polyèdres; mais, comme ce théo- 
rème est intéressant par lui-même , on sera bien aise d'en trouver ici 
la démonstration, qui servira à compléter la théorie des polyèdres (1). 

La question qu'il faut examiner, est de savoir à , en faisant varier les 
inclinaisons des plans qui composent la surface d'un polyèdre convexe 
donné , on peut former un second polyèdre convexe , compris sous les 
mêmes plans polygonaux, assemblés entre eux dans le même ordre. 

rïous observerons d'abord que, s'il y a un second polyèdre qui satis- 
fait à la question, ce ne peut pas être le polyèdre symétrique du po 
lyèdre donné, puisque dans ces deux polyèdres les plans égaux sont 
disposés dans un ûrdre inverse autour des angles solides correspondans. 
Ainsi la considération des polyèdres symétriques doit être entièrement 
écartée de l'objet dont nous nous occupons. 

Tfous observerons, en second lieu, que si le polyèdre donné contient 
un ou plusieurs angles solides triples , ces angles sont de leur nature 
invariables , puisque la connaissance de trois angles plans suffit pour 
déterminer les inclinaisons mutuelles de ces plans, lorsqu'ils sont réunis 
en angle solide. On peut donc supprimer dans le solide proposé toutes 
les pyramides triangulaires qui forment les angles solides triples (2) ; et 
si le nouveau polyèdre qui résulte, de cette suppression , offre encore 
des angles solides triples , on pourra de même les supprimer, et ainsi 
successivement, jusqu'à ce qu'on parvienne à un polyèdre dont tous les 
ancfles solides n'assemblent pas moins de quatre angles plans chacun. 
£n effet, si le solide proposé peut changer de figure par des variations 
quelconques daiis les inclinaisons de ses plans, ce changement ne peut 

(i) La démonstration que nous donnons ici est, i quelques développemens 
près, la même que M. Canchy a présentée à l'Institut en i8ia, et qu'il a décou^ 
verte en partant de quelques idées qui avaient été proposées pour le inéme objet 
dans la première édition de ces Élémens, pag. 3a7 et suiv. 

(a) Si une même arête était commune à deux angles solides triples, on ne sup- 
primerait dans la première opération qu'an de ces angles. 



â76 



NOTE XIU 



atoir lieu fur les pyramides triangulaires retfaqchées, et il devra s'opérer 
tout entier sur le polyèdre restant après la suppression de toutes les 
pyramides*triattgulaires. Nous ne nous occuperons donc dans ce qui suit, 
que des polyèdres dont tous les angles solides assemblent au moins quatre 
angles plans. 

)86. Cela posé , soit S l'un quelconque des angles solides du polyèdre, et 
soit décrit , du sommet S comme centre , une surface sphérique dont 
l'intersection avec les plans de l'angle solide formera le polygone sphé- 
rique ÂBGDEF. Les c6tés de ce polygone AB, BG, etc. servent de mesure 
aux angles plans ASB , BSQ, etc. et sont par conséquent invariables; 
quant aux angles A, B, G, etc. du polygone, chacun d'eux est la mesure 
de ^inclinaison de deux plans acyacens de Tangle solides ^nsi l'angle B 
est la mesure de l'inclinaison des plans ASB, SBG, que nous appellerons 
pour abréger, inclinaison sur Varête SB ; de même l'angle C est la me- 
sure de l'inclinaison sur l'arête SG, et ainsi de suite. 

Nous pourrons donc juger des changemens de figure de chaque angle 
solide S, par ceux du polygone sphérique ABGDEF, dont les côtés sont 
constans , et dont les angles varient d'une manière quelconque , pourvu 
que le polygone ne cesse pas d'être convexe. Or, dans ces j^plygones, les 
signes des variations sur les angles offrent des lois assez remarquables, 

que nous aUcns exposer dana les deux lemmes suivans. 

f 

xxni T. 

use. Tou9 les eéUè d'mn polygone ophèrique KR, BG, CD, DE, 
étant donnes y à l'exception du dernier AF, si Von fait varier 
l'un des angles B, G , D , opposés au côté AF , les autres 
étant constans , Je dis que le côté AF augmentera si l'angle 
augmente , et qu'il diminuera si l'angle diminue. Dans tous 
les oasy oUi s upp o s e que le polggone est connexe avant et après 
son changement de Jigurè. 

Supposons d'abovd qu*<« ftnae vnrier Tsagle B, les trois autres G, D, 
étaat coBstass , si Vom jomt BF, la figure BGDEF ■'éprouver* ascme 
varialioa, et Vf sera cowluÉ. am éomc mm triaagle ^hériqve AAF, 
d<ml l«s oètés AB, BF, son* CfMSsteM, et daM lequel l'aide ABF varie 
d^uM néiae qiMuatilé que Fa*^ ABC dha polysoM , psôsqoe la paHie 
FBC reste ooMtettte. Or, par les pnpriclics cti— n (1), os^t qœ le 
oMiè AF a«snMiitcn si Tavelé ABF aais>iBeBte, et qull diûiMrm si 
raasteABFdiattmie, 

Supposow maittteMMit qiie rasglc C varie, les trois antres B, D, E , 

(l^ 0KI« pta p o si tîo» «e d r.ioni e 4e la mi m t mtmmèn ^«e k proposition X , 
liT, K poor l«s tnaocWs reciUifoes. 



KOTE Xlï. 277 

étant constans ; si on tire les diagonales AC , PC, il est TÎsihle que ces 
diagonale* demeureront constantes, ainsi que les angles ACB, FGD ; on 
aura donc encore un triangle sphérique AGF , dônt les côtés ACT, GF , 
sont constans, et dans lequel l'angle AGF yarie de la même quantité 
que l'angle G du polygone ; d'où l'on conclura de même que le coté AF 
augmentera si l'angle G augmente , et qu'il diminuera si l'angle G 
diminue.. 

Il est évident que le même raisonnement peut s'appliquer à la varia- 
tibn de l'un ou l'autre des angles B et £, et qu'il aurait également lieu 
pour tout«utre polygone sphérique de plus de trois côtés. Ainsi la con- 
clusion ser«, dans tous les.cas, canforme ft l'éncmcé de la proposition, 
si toutefois le polygone est convexe avant et après son changement de 
figure. Gette restriction est nécessaire , car si^l'Ang^e E, par exemple, 
diminuait jusqu'à ce que le point F tombât sur la diagonale AE-, alorfl 
AF serait un minimum,- e# si> à compter de ce point, on continuait de 
diminuer l'angle £ , il est visible que le côté AF augmenterait au lieu 
de diminuer ; mais , dans oe dernier cas , l'angle AFE deviendrait un 
a^le rentrant', et le polygone cesserait d'être convexe. 

€»rùllaire. Les mêmes choses étant pesées , si plusieurs des angles 
opposés au dernier côté AF augmentent, et qu'aucun d'eux ne diminue, 
le côté AF augmentera nécessairement parl'effet de toutes les variations 
réunies. Le contraire aura lieu, si plusieurs des angles opposés au côté 
AF diminuent, et qu'aucun d'eiu n'augmente. ' 

Gar, si par l'effet de l'augmentation -ou de la diminution simultanée , 
les angles A , B , G , etc. , du polygone doivent êâ'e changés en A', B', 
G', etc., on pourra passer successivement du polygone proposé a celui 
qui ne contient qu'un angk) varié A') de celui-ci au polygone qui ne 
contient que les deux angles, variés A' et B', et ainsi de suite. Or, dans 
chacun de ces passages, l'application de la proposition est manifeste, et 
conduit toujours au même résultat. 

lEHIS IT. 

Étant donné un polifgono êphérique eonvêae dont les côtés 
sont constans, et qui en a plus de trois, si. on fait varier les 
angles d^nné manière quelconque^ sans cependant que le poly- 
gone cesse d'être convexe ^ si on met ensuite le signe au 
sommet de chaque angle qui augmente, le signe — au sommet 
de chaque angle qui diminue ^ et qu'on fie mette aucun signe 
aux angles qui demeurent constans ; je- dis qu'en faisant le 
tour du polygone , on devra trouver au moins quatre change- 
mens de signe d'un sommet au sommet suivant. 

En effet, 1* si n est le nombre des angles du polygone, il ne pourrait 



278 



non XII* 



y aToir n — 2 angles consécutifs , qui augmentent tous A-la-fois, ou dont 
les uns augmentent et les autres restent constansj car si Tun ^ou l'autre 
de ces cas avait lieu , il s'ensuiTrait, par le corollaire du lemme précé- 
dent, que le côté du polygone qui est opposé i ces n — 2 angles, aug- 
menterait ; ce qui est contraire A l'hypothèse que tous les côtés du 
polygone sont constans. Par une raison semblable , on ne pourra sup- 
poser que n — 2 angles consécutifs diminuent tous A-la-fois, ou que 
quelques-uns diminuent, les autres restant constans. Donc, dans la série 
de 2 angles consécutifs, il detra y atoir au moins un changement 
de signe; A plus forte raison ce changement devra-t-il étce observé 
dans la série des n angles consécutifs , lorsqu'on fera le tour entier du 
polygone. 

2^ Les variations dans les angles du polygone ne peuvent être telles, 
qu'elles offrent seulement une série de signes ^ , et une de signes — , 
de sorte qu'il n*y ait que deux ohangemens de signes dans le tour entier 
du polygone. 

fig* 387. Car soient, par exemple. A, B, C, les trois angles marqués du signe 

et D, £, F, G, les quatre marqués du signe — (cette hypothèse com- 
prend celle où il y aurait un nombre de signes moindre dans chaque 
série, A raison de l'invariabilité de quelques angles). Si la figure repré- 
sente l'état initial du polygone, la diagonale GD devra augmenter lors- 
qu'on augmentera tous les angles A, B, G, ou seulement quelques-uns 
d'eux ; mais la même diagonale GD , comme appartenant au polygone 
GF£D,dont les autres côtés sont constans, devra diminuer en même 
temps que les angles F et £, ou au moins rester , constante, si des quatre 
angles B, £, F, G, il n'y a que B et G, ou seulement l'un d'eux qui 
diminue ; donc l'hypothèse dont il s'agit ne saurait avoir lieu; donc la 
variation des angles ne peut être telle, qu'elle offre seulement deux 
séries, l'une de signes -{-, l'autre de signes — . 

3** Il est encore impossible qu'en faisant le tour du polygone, on ne 
trouve que trois séries alternatives de signes -f- et de signes — • ; car, 
dans cette hypothèse , la première et la troisième série seraient de 
même signe, et se suivraient inunédiatement, de sorte qu'elles ne for- 
meraient qu'une seule série ; d'où l'on voit qu'il n'y aurait réellement 
dans le tour du polygone que deux séries, l'une de signes-f-, l'autre de 
signes — ; ce que nous avons démontré impossible. 

Bonc enfin , les changements de signe qu'on trouvera en faisant le 
tour du polygone, doivent être au moins au nombre de quatre. 

ComUain. Ce que nous venons de démontrer pour les polygones 
sphériques, s'applique immédiatement aux angles solides dont ces 
polygones sont la mesure. Ainsi, étant donné un ongle éolide con- 
vexe, qui Oêêembh^ plus de irois angles plans, si on fait varier les 
jnelinaisons sur les Ofétes d'une manière quelconque, telle cepen- 
dant que Vangle solide ne cesse fos d'être convexe ; si ensuite on 
met le signe ou le signe — sur chaque arête, selon que l'inclinai' 




non XII. 



S79 



•on sur ceitv arête augmenta ou diminMe, et qu'on ne marque d'aucun 
signe lee arêtes sur lesquelles VineKnaison reste constante f je dis 
qu'en faisant le tour de Vangle solide, on efevm trouver au moins 
. quatre changements de signe d'une arête à la suivante. 

Au moyen de cette proposition et du théorème d^uler fur les poly^ 
dres*, nouspouTons maintenant démontrer le théorème suiyant dans * ^5, 
toute sa généralité. 

Étant donné un polyèdre convexe, dont tout les anglee 
êolidee asêemblent plue de troie anglee plane , il est impoe- 
Hhle défaire varier lee inelinaieons dee plans de ce solide , 
de manière à produire un second polyèdre , qui serait formé 
avec les mêmes plans disposés entre eux de la mime manière 
que dans le polyèdre donnée 

Pour démontrer cette proposition , il fSaut distinguer deux cas , selon, 
qu'on fait Tarier les inclinaisons sur toutes les arêtes , ou seulement 
quelques-unes de ces inclinaisons^ 

Premier eas^ 

Supposons qu'on fasse Varier à la fois les inclinaisons sur toutes les 
arêtes, et soit N le nombre total des changements de signe qu'on 
trouYora d'une arête à la suiYtnte, en faisant le tour de chaque angle 
solide. . 

On a TU dans le lemme II , que le nombre des changements de 
si^e ne peut être moindre que quatre pour chaque angle solide. 

Donc si on appelle S le nombre des angles solides, on aura H ^4 S , 
le signe ^ n'excluant pas l'égalité. 

J'observe maintenant que deux arêtes consécutites d'un angle solide 
appartiennent toujours à une face du polyèdre, et n'appartiennent qu'à 
une seule ; donc le nombre total des changements de signe obserTés 
sur les arêtes consécutiTes de chaque angle solide, doit être ^gal au 
nombre total de changements de signe observés sur les c6tés consé- 
cutifs de chaque face; car il n'est aucun changement de signe dansùn 
système qui ne réponde à un pareil changement dans l'autre. 

Or, pour chaque face triangulaire , le nombre des changements de 
signe ne peut être plus grand que deux ; car en faisant rentrer sur elle- 
même la suite*}- )-» suite ■ — , on n'obtient que deux 

changements de signe. 

Pour chaque face quadrangulaire , le nombre des changements de 
signe est de quatre au plus, ce qui est évident. 

£h général, si le nombre des côtés d'une face esi pair, =2fi, le 



280 



ROTE xn. 



plus grand nombre deslchaagementu de signe qu'on puisse trouTer en 
faisant le tour des côtés, est 2 «i; ce qui aura lieu lorsque les côtés 
portent alternativement les signes-}- et . 

Mats si le nombre des côtés d'une face est impair, =;2 n«f-l, le 
plus grand nombre des changements de signe sera 2 n seulement , 
parce qu'«n donnant alternativement aux côtés les signes 4- et — , le 
premier et le dernier auront nécessairement le même signe ; ce qui fait 
un changement de moins qu*il n'y a de côtés. 

Gela posé, soit a le nombre des triangles , h le nombre des quadri- 
latères, c le nombre des pentagones, etc., qui composent la sur&ce 
du polyèdre donné , il résulte de ce qu'on vient de dire , que le nom- 
bre total des changements de signe observés en ffiisant le tour de chaque 
face, ne pourra excéder 2<i sur les faces triangulaires, Ab sur les 
faces de quatre côtés, 4 c sur celles de cinq côtés, 6(1 sur celles de 
six côtés. Bdnc on aura : 

N <2o +46 + 4c + 6(i+6e + 8/'+89 +etc. 
Soit A le nombre des arêtes du polyèdre, et H celui de ses faces, on 
aura : 

2 A=3fl+46 +6c +6d+7«-f 8/*+894. etc. 
Esza+h-\'C+d+e+f+g-\- etc. 
Mais, suivant le théorème d'EuIer S4-H=A-f-2 ; donc 4S=84-4A— 4H, 
et en faisant les substitutions : 

4 S =8 + 2a + 46 + 6p + 8(i + 1 Oe + etc . 
Comparant cette valeur à la limite trouvée ci-dessus, on en tire : 
lî<4S--8. 

Mais on ne saurait avoir à la fois N^4S etN^4S — 8; donc il est 
impossible que les incUnaisons sur les arêtes du polyèdre yarient toutes 
à la fois , sans détruire la cohérence des plans qui forment la surface 
du polyèdre. 

Second cas. 

Supposons maintenant que les inclinaisons sur les arêtes ne varient 
pas toutes à la fois , et qu'il y en ait quelques-unes qui demeurent 
' constantes. 

2o4' Soit FI une de ces arêtes , on pourra imaginer qu'elle soit suppri- 
mée , et que les deux fkces adjacentes FIG , EFIH , se réunissent en une 
seule non plane terminée par le contour de forme invariable EF&IH. 
Appelons S', H' et A' ce que deviennent les nombres S , H et A , après 
la suppression d'une arête, nous aurons H'=H^] , et A'=A — 1; 
d'ailleurs on a S'= S , puisque le nombre des angles solides est le 
même dans les deux solides; donc on aura S'-|-H' — A'=S-|-H— A=2. 
D'où l'on voit que le théorème d'Euler a encore lieu dans le nouveau 
solide qui contient une arête de moins , et une face de moins , puisque 
deux faces se sont réunies en une seule non plane. 



non xn. 



S81 



Si de €0 second solide on retranche encore Vune des arêtes sur 
lesquelles l'inclinaison reste inyariable , la suppressio|i de cette arête 
occasionera de nouyeau la réunion de - deux faces contiguês -en une 
seule ; et on prouTera de mênie que le théorème d'Euler a encore lieu 
dans le troisième solide qui résulte de la 6uppressioi\ de deux arêtes. 

On peut continuer à supprimer lent d'arêtes qu'on Tbudra>, pourvu 
que cette suppression n'entraîne celle d'aucun Éngle solide; et te 
théorème d'Ëuler 'aura toujours lieu danç le solide restant : c'est aussi 
ce qu.'on peut voir directement et généralement, en examinant la 
démonstration que nous avons donnée du théorème d'Ëuler ; en effet , 
cette démonstration ne' suppose pas que les faces du polyèdre soient 
planes ; elle aurait également lieu , quand mêine ces faces seraient 
terminées par des contours non situés dans les mêmes plàns ; elle sup- 
pose seulement que chaque contour soit représenté, suivant notre 
construction , par un polygone sphérique^ et que la somme des sur- 
faces de ces polygones soit égale à la surface. 'de la sphère. Et il n'est 
pas même nécessaire que tous ces polygones soient convisxes ; il suffit 
que chacun d'eux puisse être regardé conu&e la somme de plusieurs 
polygones convexes ; ce qui arrivera toujours , lorsque , par la suppres- 
sion de plusieurs arêtes appartenant au polyèdre donné , plusieurs faces 
planes* se réuniront en une seule non plane ^ car alors le polygone 
8phéri<^ue qui représente celle-ci, sera Composé de la somme des 
polygones sphériques convexes qui reprèsentiaient les faces planes sup- 
primées. 

Tenons maintenant au cas où la suppression des arêtes sur lesquelles 
l'inclinaison ne varie pas , entraine celiç d'un ou de plusieurs angles 
solides, soit parce que les inclinaisons sur toutes les arêtes, dans chacun 
' de ces angles, sont invariables, soit parce que ces inclinaisons ne pour- 
raient varier que sur trois arêtes seulement , et qu'alors elles seraient 
nécessairement constantes. 

Supposons d'abord qu'on ne supprime qu'un angle solide , èt soit m 
le nombre des faces de cet angle, ou le nombre d 'arêtes qui aboutissent 
à son sommet. En supprimant l'angle solide dont il s'«git, on supprimera 
en même temps m arêtes, et les m faces formant l'angle solide se rédui- 
ront à une seule ; donc , si on appelle S', A', H', ce que deviennent les 
nombres S, A, H, après la suppression d'un angle solide,'on aura S'=S 
— 1 , A'=A— m, H'=H— (m— 1). De là on tire S'-f H'— A'=S-f H- A;=2: 
donc 1& théorème d'Ëuler a encore lieii dans le nouveau solide. 

Il est clair maintenant qu'on peut supprimer tant d'angles solide» 
qu'on voudra du polyèdre donné, et que le théorème d!£uler aura 
toujours lieu dans le polyèdre restant; car en supprimant les angles 
solides un à un, on a successivement différens polyèdres, dont deux cou- 
sécutifs rentrent dans le cas que nous venons d'examiner. 

Donc en général, si du polyèdre proposé on supprime toutes les arêtes 
sur lesquelles l'inclinaison ne varie pas ; soit que par cette suppression 



sas 



HOTB XII. 



le Bombre des «iifles'solidea reste le même, on qu'il detiene iM^ndie, 
le polyèdre restant satisfera tonjoun an théorème d'Enter, c'estanUre 
qu'en appelant », A, les quantités qui pour ce polyèdre correspondent 
aux quantités S, H, A, du polyèdre proposé, ou aura s [h a S | H— 

lUis dans ce denier solide» les incliusisons sur les arêtes devront 
Tarier toutes à4a-fois, puisqu'on a si^rinsé toutes les arêtes sur les- 
quelles l'inclinaison ne Tarie pas; donc ce solide rentre dans le premier 
cas; donc la Taitation simultanée de tentes coa inrlMisons ne saurait 
avoir lieu sans dénaturer le aolîde. 

Donc enfin un polyèdre coureie qndconquo ne peut être changé en 
un a«tre polyèdre convexe qui aemil coaipris anus les mênues plans 
poiyg— «, et disp nséi liai lu même ordre lus — à rcçmA d— antres. 



TRAITÉ 

DE 

TRIGONOMÉTRIE. 



La trigonométrie a pour objet de résoudre les triangles , 
c'est-à-dire, de déterminer lears angles et lears côtés par 
le moyen d'un nombre de données suffisant. 

Dans les triangles rectilignes il suffit de connaître trois 
des six parties qui les composent, pourvu que parmi ces 
parties il y ait un côté. Car si on ne donnait que les trois 
angles, il est Tisible que tous les triangles semblables satis- 
feraient à la question. 

Dans les triangles sphériques trois données quelconques, 
angles ou côtés , suffisent toujours pour déterminer le trian- 
gle , parce que dans ces sortes de triangles on ne consi- 
dère pas la grandeur absolue des côtés, .mais seulement 
lear rapport avec le quadrant ou le nombre de degrés 
qu'ils contiennent. 

Dans les problèmes annexés au livre II, on a déjà vu 
comment les triangles rectilignes se construisent au moyen 
de trois parties données; les propositions XXIY et XXY du 
livre y donnent également une idée des constructions par 
lesquelles on pourrait résoudre les cas analogues des trian- 
gles sphériques. Mais cea constructions , qui sont exactes 
en théorie , ne donneraient qu'une médiocre approxima- 
tion dans la pratique (l)» à cause de l'imperfection des 



(1) Il faut distinguer en effet les figures qui ne serTent qu'à diriger 
le raisonnement pour la démonstration d'un théorème ou la solution 
d'un problème, des figures que l'on construit pour connaître quelques- 
unes de leurs dimensions. Les premières sont toujours supposées 
exactes ^ les secondes , si elles ne sont pas tracées exactement y donne- 
ront des résultats fautifs. 



284 TBIGOIfOMtTRII. , 

instraments dont elles exigent Femploi : on les appelle des 
méthodes graphiques. Les méthodes trigonométriques , aa 
contraire , indépendantes dé toute opération mécanique , 
donnent les solutions avec tout le degré d'exactitude qu'où 
peut désirer : elles sont fondées sur les propriétés des 
lignes appelées sinus j cosinus, tangentes, etc«. au moyen 
desquelles on est parvenu à exprimer d*une manière très- 
simple les relations qui existent entre les côtés et les angles 
des triangles. 

Nous allons d'abord exf os^ les propriétés de ces lignes 
et les principales formules qui en résultent; formules qui 
sont d'un grand usage daos toutes les parties des mathémati- 
ques, et qui fournissent même à l'analyse algébrique des 
moyens de perfectionnement. Nous les appliquerons en- 
suite a la résolution des triangles rectilignes et à celle àt% 
triangles sphériques. ^ 

Division de la Circonférence. 

I. Jusqu'à ces derniers temps les géomètres s'étaient 
accordés à diviser la circonférence en 860 parties égales 
appelées degrés y le degré en 60 minutes y la minute en 
60 secondes y etc. Ce mode présentait quelques facilités 
dans la pratique , k cause du grand nombre de diviseurs de 
60 et de 860 : mais il était réellement sujet à l'inconvénient 
des nombres complexes , et il nuisait souvent à la rapidité 
du oalcuL 

Les savants, à qui on doit l'invention du nouveau sys- 
tème des poids et mesures , ont pensé qu'il y aurait un 
grand avantage à introduire la division décimale, dans la 
mesure des angles. En conséquence ils ont regardé comme 
unité principale le quart de circonférence ou te quadrant, 
mesure de l'angle droit , et ils ont divisé cette unité en 100 
parties égales appelées degrés y le degré en 100 minutes , et 
la minute en 100 secondes. 

Nous emploierons désormais la nouvelle division ou la 
division décimale de la circonférence ; cependant comme 
les tables trigonométriques , calculées suivant cette divi- 



^IGOTfOSÉTBIB. 285 

sion , ne sont pas encore assez généralement répandaes , 
noQS aurons ^oin d'ajouter dans les exemples, les résultats 
que donnent les calculs faits suivant Tancienne division , 
ou la division sexagésimale de la circonférence. La diffé- 
rence ne tombe jamais sur la valeur des côtés, mais seule* 
ment sur la valeur ou plutôt sur l'expression en degrés des 
angles et des arcs. 

II. Les degrés, minutes et secondes se désignent respec- 
tivement par les caractères " , ' , " ; ainsi l'expression 
IG"" 6' 75" représenjte un arc ou un angle de 16 degrés 
6 minutes 75 secondes. Si on rapportait ce même arc au 
quadrant pris pour unité, il s'exprimerait par Û, 160675. 
On voit en même temps que l'angle me^suré par cet arc , 
est à l'angle droit:: 160675 : 1000000, rapport qu'on ne 
déduirait pas aussi facilement des expressions données par 
l'ancienne division de la circonférence. 

Les arcs et les angles sont exprimés indistinctement dans 
le calcul par des nombres de degrés, minutes et secondes. 
Ainsi nous désignerons l'angle âxo'it ou le quadrant par 100®, 
deux angles droits ou la demi-circonférence par 300®, 
quatre angles droits ou la circonférence entière par 400° ; 
ainsi de suite. 

in. Le complément d'un angle ou d'un arc est ce qui reste 
en retranchant cet angle ou cet arc de 100®. Ainsi un angle 
de 25» 40' a pour complément 74® 60'; un angle de 12® 4' 
62" a pour complément , 87® 95' â8". 

En général , A étant un angle ou un arc quelconque , 
100® — A est le complément de cet angle on de cet arc* < 
D'où l'on voit que , si l'angle ou l'arc dont il s'agit est plus 
grand que 100®, son complément sera négatif. C'est ainsi 
que le complément de 160® 84' 10" est — 60® 84' 10". Dans 
ce cas , le complément, pris positivement, serait la quan- 
tité qu'il faudrait retrancher de l'angle ou de l'arc donné , 
pour que le reste fut égal à 100°. 

Les deux angles aigus d'un triangle rectangle valent 
ensemble un angle droit : ils sont donc compléments l'un 
de l'autre. 

IV. Le supplément d'un angle ou d'un arc est ce qui 



986 



TEIGOIfOKÉTRIB. 



reste en ôtant cet angle ou eet arc de âOO® , yalear de deux 
angles droits on d*une demi-circonférence. Ainsi A étant un 
angle ou un arc quelconque, S00° — A est son supplément. 

Dans tout triangle, un angle est le supplément de la 
somme des deux autres, puisque les trois ensemble font 

Les angles des triangles, tant rectilignes que sphériques, 
et les côtés de ces derniers , ont toujours leurs suppléments 
positifs; car ils sont toujours moindres que 200°. 

Notions générales sur les sinus ^ cosinus y 
tangentes, etc. 

I- T. te sinuê de Tare AH , ou de l'angle ACM , est la per- 
pendiculaire MP abaissée d^une extrémité de l'arc sur le 
diamètre qui passe par l'autre extrémité. 

Si à l'extrémité du rayon GA on mène la perpendiculaire 
AT jusqu'à la rencontre du rayon CM prolongé, la ligne 
AT, ainsi terminée, s'appelle la tangente y et CT la sécante » 
de l'arc AM ou de l'angle ACM. 

Ces trois lignes MP, AT, CT, dépendantes de l'arc i3f , 
et toujours déterminées par l'arc AM et le rayon , se dési- 
gnent ainsi : MP ==:#»« AM , ou ein ACM , kH^tang AM, 
ou iang ACM , CT AM , ou eée ACM. 

Yi. Ayant pris l'arc AD égal à un quadrant , si des points 
M et D on mène les lignes MQ , DS perpendiculaires au 
rayon CD , l'une terminée à ce rayon , l'autre terminée au 
rayon CM prolongé; les lignes MQ, DS et CS seront pa- 
reillement les sinus , tangente et sécante de l'arc MD, com- 
plément de AM. On les appelle , pour abréger, les connue, 
cofangenie et cosécante de l'arc AM, et on les désigne 
ainsi : MQ=<?o* AM , ou vos ACM , DS=w/ AM , ou eot 
ACM , es =ac cosée AM , ou coséc ACM. En général , A étant 
un arc ou un angle quelconque, on a eos k=stn (100** — A), 
col A=iang {100''— A), coséc A=*^£? (lOO*-:- A), 
fig. I . Le triangle MQC est , par construction , égal au triangle 
CPM , ainsi on a CP = MQ ; donc dans le triangle reclan- 
* gle CMP , dont l'biypoténuse est égale au rayon , les deax 



TEIGOIIOHÊTEIE. 



287 



côtés MP , GP sont le sinus et le cosinus de l'arc AM. Quant 
aux triangles GAT , GDS , ils sont semblables aux triangles 
égaux CPM , CQM , et ainsi ils sont semblables entre eux. 
De là nous déduirons bientôt les différents rapports qui 
existent entre les lignes que nous venons de définir ; mais 
auparavant il faut voir quelle est la marche progressive de 
ces mêmes lignes , lorsque l'arc auquel elles se rapportent 
augmente depuis ^éro jusqu'à âOO''. 

vu. Supposons qu'une extrémité de l'arc demeure fixe en 
A , et que l'autre extrémité , marquée M , parcoure suc- 
cessivement toute l'étendue de la demi-circonférence depuis 
A jusqu'en B dans le sens ADB. 

Lorsque le point M est réuni en A ^ on lorsque l'arc AM 
est zéro, les trois points T, M, P, se confondent avec le 
point A ; d'où l'on voit que le smus et la tangente d'un arc 
zéro sont zéro , et que le cosinus de ce même arc est égal 
au rayon , ainsi que sa sécante. Donc en désignant par R 
le rayon du cercle , on aura 

9in Oc=0, = 0, cos 0=R, séc 0=R. 

vm. A mesure que le point M s'avance vers D , le sinus 
augmente, ainsi que la tangente et la sécante; mais le 
cosinus, la cotangente et la cosécante diminuent. 

Lorsque le point M se trouve au milieu de AD , ou lors- 
que l'arc AM est de 50^ , ainsi que son complément MD , 
le sinus MP est égal au cosinus MQ ou GP , et le triangle 
CMP , devenu isoscèle , donne la proportion MP : CM :: 
1 : ou sin 50« : R :: 1 : |/2. Donc «» 50»=tfM W 
R 

s=— — =±^R^2. Dans ce même cas le triangle GAT de- 

vient isocèle et égal au triangle GDS; d'où l'on voit que la 
tangente de 50<^ et sa cotangente sont toutes deux égales au 
rayon , et qu'ainsi on a tang ^O^=eot 50** = R. 

IX. L'arc AM continuant d'augmenter, le sinus augmente 
jusqu'à ce que le point M soit parvenu en D : alors le sinus 
est égal au rayon , et le cosinus est zéro. On a donc sin 
100° s=s R et eo9 100** = j et l'on peut remarquer que ces 
valeurs sont une suite de celles que nous avons trouvées 
pour les siiin» et cosinus de Tare zéro; car le complément 



288 TftIGOROHÉTEIK. 

de 100» étant zéro , on a nn 100» =eo# 0« =R et coe 100°=» 
#tnO<>sO. 

Quant à la tangente , elle augmente d*ane manière très- 
rapide à mesure que le point M s'approche do D ^et enfin 
l<Mrsqu*il est parvenu en D , il n'existei plus proprement de 
tangente , parce que les lignes AT , CD , étant parallèles , ne 
peuvent se rencontrer. C*est ce qu'on exprime en disant que 
la tangente de lOO"" est infinie, et oq écrit iang 100» = oo . 

Le complément de 100» étaht zéro, oh aVan^ = cot 100» 
et eot 0=±s/«ny 100». Donc eot O^-to et cet 100»= 0« 

X. Le point M continuant a avancer de D vers B, les 
sinus diminuent et les cosinus augmentent. Ainsi on voit 

^ que Tare A M' a poui^ sinus M' P', et pour cosinus M'Q ou 
CP^ Mais l'arc M'B est supplément dé AM', puisque AM' 4- 
M'B est égal a une demi'Circonference; d'ailleurs si l'on 
mène M'M parallèle à AB, il est clair que les arcs AM« 
BM'9 compris ^n\re parallèles , seront égaux , ainsi que les 
perpendiculaires ou sinus MF , M'P'. Donc le sinus d'un arc 
^ou d'un angle est -égqJ, au sinus du supfflément ^ds cet arc ou 
de cet angle. 

L'arc ou l'angle A a pour supplément 200» ^ A : ainsi 
on a en général 

stn A = sin (200» — A). 

La même propriété s'exprimerait aussi par l'équation stn 
(100» + B)==*m (100» — B),^ étant Varc DM ou son 
égal DM'. 

XI. Les mêmes arcs AM', AM , qui sont suppléments l'un 
de l'autre , et qui ont des sinus égaux , ont aussi les cosinus 
égaux GP', CP ; mais il faut observer que ces cosinus sont 
dirigés dans des sens difierens. Cette différence de situa- 
tion s'exprime dans le calcul par l'opposition des signes : 
.de sorte que si on regarde comme positifs, ou afifectés du 

signe + , les cosinus des arcs moindres que 100», il faudra 
regarder «orame négatifs ou affectés du signe^, les cosinus 
des arcs plus grands que 100». On aura donc en général 

CM A = — cas (200* — A) , 
ou ces (100» + B)=:— CM(100»— B)j c'est-à-dire, que/» 




! 

TRfGOIfOïÊTittK» 289 

coêinttê d'un arc ou d'un angle plus grand que 100® eei égal 
au eoeinu» de son supplément y pris négativementm 

Le complément d'an arc plus grand qne 100"* étant néga- 
tif*", il n'est pas étonnant qne le sinus de ce complément * m. 
soit négatif ; mais pour rendre cette vérité encore plus pal- 
pable , cherchons l'expression de la distance du point A à 
la perpendiculaire MP. Si on fait l'arc AMsa?^ on aura 
CP=£?M JT^ et la distance cherchée AP = R — cos x. La 
même formule doit exprimer la distance du point A à la 
droite MP, quelle que soit la grandeur de l'arc AM, dont 
l'origine est au point A. Supposons donc que le point M 
vienne en M' , en sorte que x désigne l'arc AM' , on anra 
encore en ce point AP'^R — cos x; donc cos J7 = R — 
AP'±=AC — AP'=-^CP'; ce qui fait voir que cos x est 
alors négatif; et parce que CP'=CP===:co* (200° — j?), 
on a cos x = — cçs (200** — jr) , comme on l'a déjà trouvé. 

On voit par-là qu'un angle obtus a le même âinus et le 
même cosinus que l'angle aigu qui lui sert de supplément , 
avec cette seule différence que le cosinus de l'angle obtus 
doit être affecté du signe — . Ainsi on a sin 130® = */» 
50® = I R l/2 , et CM 1^0® =— S0° = — 4 R j/2. 

Quant à l'arc ADB égal à la demi-circonférence, son 
sinus est zéro, et son cosinus est égal au rayon pris négati- 
vement; on a donc sin 200«=0, et cos 200*= — R. C'est 
aussi ce que donneraient les formules W» A=sin (200® — A) , 
et cos A=— (200®— A) , en y faisant A«=200®. 

XII. Examinons maintenant ce que devient la tangente 
d*un arc AM' plus grand que 100®. Suivant la définition, 
elle doit être déterminée par le concoure des lignes AT , 
GM\ Ces lignes ne se rencontrent point dans le sens AT , 
mais elles se rencontrent dans le sens opposé AY ; d'où l'on 
voit que la tapgente d'un arc plus grand que 100® est néga- 
tive. D'ailleurs , si on observe que AY est la tangente de 
l'arc AN supplément de AM' (puisque NAM'. est une demi- f*? 
circonférence) , on en conclura que la tangente d'un are ou 
d'un angle plus grand que 100® est égale à celle de eon sup- 
plémenty prise négativement , de sorte qu'on a 
iang k^^tang (200°— A) 

*9 



1 



290 



TaiGOHOHfiTEIK. 



11 en est de même de la cotangente représentée par DS% 
laquelle est égale , et en sens contraire à DS cotangente de 
AM. On a donc anssi 

eotk^-'cot (âOO»— A). 
Les tangentes et les cotangentes sont donc négatives , 
ainsi que les cosinus , depuis 100<* jusqu'à 900®. Et, dans 
celte dernière limite , on a iang 200*» =0 et ctf/200*» =5 — 
«0/0=1 — 00 . 

xiii. Danf la (rigonométrie il n'y a pas lieu de considérer les sinus ' 
cosinus, «te, des arcs ou des angles plus grands que 200*; car c'est 
toujours entre et 200^* que sont compris les angles des triangles tant 
rectilignes que sphériques, et les côtés de ces derniers. Mais dans 
diverses applications de la géométrie, il n'est pas rare de considérer des 
arcs plus grands que la demi-circonférence, et même des arcs compre- 
nant plusieurs circonférences. Il est donc nécessaire de trouver l'ex- 
pression des sinus et cosinus de ces arcs, quelle que soit leur 
grandeur. 

Observons d'abord que deux arcs égaux et de signes contraires AM , 
AN, ont des sinus égaux et des signes contraires MP, PN, tandis 
que le cosinus GP est le même pour l'un et pour l'autre. On a donc en 
général 

SI» (— a?) = — ain x 

formules qui serviront a exprimer les sinus et cosinus des arcs né- 
gatifs. 

Depuis 0* jusqu'à 200^ les sinus sont toujours positifs, parce qu'ib 
sont situés d'un même côté du diamètre AB ; depuis 200^ jusqu'à 400® 
les sinus sont négatifs, parce qu'ils sont situés de l'autre côté de ce 
diamètre. Soit ABN'=: x un arc plus grand que 200*^ , son sinus VW est 
égal à PM sinus de l'arc AM dr — 200" ; donc on a en général 

sin a? = — sin (x — 200'). 
Cette formule donneniit leti sinus entre 200^ et 400*^ an moyen des sinus 
entre Qf^ et^o ; elle donne en particulier ain 400<^ = — stn 200<^==0; 
il est évident en effet que si un arc est égal à la eirconférence entière , 
les deux extrémités se confondent en un même point, et le sinus se 
réduit à zéro. 

Il n'est pas moins évident que , si à un arc quelconque AM on ajoute 
une ou plusieurs circonférences, on retombera exactement sur le point 
M, et l'arc ainsi augmenté aura le même sinus que l'arc AM ; donc si 
G désigne une circonférence ou 400* , on aura 

stf» dr=s««i (G4-T)=;stf»(2G + #)=st«i (aG-f-s), etc. 
La même chose aurait lieu pour les cosinus, tangente, etc. 



TElGONOHtTEIS» 



Maintenant, qoel que soit l'arc proposé il est' facile do Toir que 
son sinus pourra toujours s'ttprimeri arec on signe convenable , par le 
sinus d'un arc moindre que 100^. Car d'abord on peut retrancher de 
Tare X autant de fois 400^ qu'ils peuvent y être contenus; soit le reste 
on aura xssitiny. Ensuite si y est plus grand que 200**, on 
fera y— 200°+ js , et on aura ain y = — sin z. Tous les cas sont donc 
réduits à celui où l'arc proposé est moindre que 200^ , et' conmie d'ail- 
leurs on a êin (100*+*) =*t» (lOO*— «) , il est clair qu'ils se rédui- 
sent ultérieurement au cas où Tare proposé est entre zéro et lOO». 

xiT. Les cosinus se réduisent toujours aux sinus en vertu de la fof^ 
mule C08 A=«tn (100° — A), ou, si l'on veut, de la formule oo«As 
«s» (100* t A) ; ainsi, sachant évaluer les sînus dan» tous les cas possi- 
bles, on saura de même évaluer les cosinus. Au reste, on voit direc- 
tement par la figure que les cosinus négatifs sont séparés des cosinus 
positifs par le diamètre DE , en sorte que tous les arcs dont l'extrémité 
tombe à gauche de DE «at un cosinua positif, tandis que ceux dont 
l'extrémité tombe à droite ont un cosinus négatif. 

Ainsi de 0° à 100° les cosinus sont positifs , de 100° à 300° ils sont 
négatifs , de 300° à 400° ils redeviennent positifs ; et après une révo- 
lution entière , ils prennent les mêmes valeurs que dans la révolution 
précédente, car on a aussi cos (400°4-^) = co« ^« 

D'après ces explications , il est aisé de voir que les sinus et cosinus 
des arcs multiples du quadrant, ont les valeurs suivantes : 



sin 0*=:0 
sin 200'=0 
«M» 400« = 
sin 600** =0 
*t*^''=0 
etc. 



ain 100* =R 
sin 300' = — H 
sin 500* =R 
sin 700*:?=— R 
sin 900* =R 
etc. 



cos 0* = R 
cof 200*=— R 
cos 400* =R 
cos 600* =—R 
cos 800* = R 
etc. 



cos 100*::;=0 
eosdfXr^O 

cos soorz=zO 

cas 700* =0 
cos 900" =0 
etc. 



£n général k désignant un nombre entier quelconque, on aura : 



sin 2k. 100* = 0, 
sin (4*+ 1). 100''=R 
sin (4A — 1). 100»=:-R 



cos (2ik+ 1). 100* =0 

cos Ak, 100*= R 

oos (4* + 2). 100* = -R 



€e que nous venons de dire des sinus et cosinus nous dispense 
d'entrer dans aucun détail particulier sur les tangentes, cotangen- 
tes, etc., des arcs plus grands que 200°; car les valeurs de ces quan- 
tités et leurs signes sont toujours faciles à déduire de celles des sinus 
et cosinus des mêmes arcs , ainsi qu'on le verra par les formules que 
nous allons exposer. > 



293 



TniGO!fOHÊTniS« 



Théorèmes et fonnules concernant les sinus ^ cosinus^ 
tangentes j etc. 

XT. Le sinus d'un arc est la moitié de la corde qui 

sous'tend un arc double. 

i- Gir le rayon CA , perpendicalaire à M N , divise en deux 

partie» égales la cordé M N et l'arc sous-tendu M AN ; donc 

MP , sinus de Tare MA , est la moitié de la corde MN qui 

sous-tend Tare M AN , double de MA. 

La corde qui sous-tend la sixième partie de la circonfé- 

1 . ^00» . . 
renée est égale au rayon ; donc nn -j^ou««3ô«j=jR, 

c'est-à-dire que le sinus du tiers de l'angle droit est égal à 
la moitié du rayon. 

XVI. Le carré du sinus d'un arc plus le carré de son 
cosinus est égal au cqrré du rayon y de sorte quon a en 
général sin 'A + cos »A= R* (1). 

Cette propriété résulte immédiatement du triangle rec« 

tangle CMP, où l'oh a MP + CP=Cm! 

Il s'ensuit qu'étant donné le sinus d'un arc on trouvera 
son cosinus , et vice versd, au moyen des formules cos 
A = db|/(R»— «« 'A), sin A=db|/ {R^—eos =»A). Le 
double signe de ces formules yient de ce que le même sintis 
MP répond à deux arcs AM , AM' , dont les cosinus GP , 
GP' sont égaux et de signes contraires , comme le même 
cosinus GP répond a deux arcs AM, AN , dont les sinus MP, 
PN sont pareillement égaux et de signes contraires. 

Ainsi, par exemple, ayant trouvé «in Sâ*" j = !(. , on 
en déduira cos SS» - ou sin 66« ^ = |/ (R» — ± R») — î/ 1 
R»=iR|/3. 

xYii. Étant donnés les sinus et cosinus de l'arc A , 
on peut trouver les tangente y sécante, cotangente et cosë- 



(1) On désigne ici par êin 'A le carré de nin et scmblablemeni 
par €08 'A le carré de cos A. 



TElGOnOltTRlK. 293 

cante du même arc au moyen des formules suivantes : 
. ^sin k , . R« . s R CM A 

w# A ' cos A êin A 




En efiet les triangles semblables GPM, GAÏ, GDS, don- 
senties proportions : 

CP : PM : : G A : AT oa CM A : « » A : : R : /««y A = ? " ^ 



CP : CM :: GA ; CT ou cm A : R :: R j *fc A : 
PM : CP :: CB : DS on tin A : eo9 A :: R zeQfA = 



cos A 



cos A 
R eos A 



sinA 

PM : CM :: CD : CS ou êin A : R :: R : eogéc A = 

sin A 

d'où l'on tire les quatre formules dont il s'agit. On peut 
observer au reste que les deux dernières formules se dédui- 
raient des deux premières en mettant simplement 100* — A 
au lieu de A. 

Ces formules donneront les valeurs et les signes propres 
des tangentes, sécantes, etc., pour tout arc dont on con- 
naîtra le sinus 'et le cosinus; et comme la loi progressive 
des sinus et cosinus, selon les différens arcs auxquels ils 
§e rapportent , a été suffisamment développée dans le cha- 
pitre précédent, il ne reste rien à désirer sur la loi qu^ 
suivent sembls^lem^eQt les tangentes, sécantes, etc. 

On peut confirmer aussi par leur moyen plusieurs résultats qui ont 
été déjà obtem» relatiTement aux tangentes , par exemple , si l'on fait 

A =100*, on aura sin A=:R, et co* AasO, donc tang 100*^=-^, 

expression qui désigne une quantité infinie; car divisé par une quan- 
tité très-petite, donnerait un quotient très-grand; donc divisé par 
zéro donne un quotient plus grand que toute quantité finie. Et parce, 
que ïéro peut être pris avec le signe ou avec le signe — , on aura la 
valeur ambiguë iàng 100**= -4- OP. 

Soit encore A =200*— B , on aura sin A = ain B, etco« A=— co« B ; 

donc iang (200*— B) = = as-^ — rr = — iang B , ce qui 

' — coa B y cos B 

s'açcoide avec Tart. M. 



MA nicoHostrati. 

XVIII. Les formales de l'article précédent, combinées 
entre elles et avec Téquation êin* k + coé^ A =; R', en 
fournissent quelques antres qui méritent attention. 

On a d'abord R • + te»^ » A = +*?--fîî^ = 

— \ ; I — . M donc R»+/«»a» k^êèé* A, 
CM» A ' A' , . 

iormule qui se déduirait immédiatement du triangle rec- 
tangle GAT ; on aurait de même , par les formules ou par 
le triangle rectangle CDS, R'+cc^ A=:cc#A?» A. 

Enfin , si on multiplie entre elles les formules iang A = 

E n A ^ . • R ce* A ^ . - . 

^ r— » A= — ; — r-, on aura tang Ax<w/ AkR^. 

cas A êtn A ^ ' 

Ra R» 
formule qui donne co/ A =s -r— r> et teiw A = -— r . On 
^ iany A eot A 

R» 

aurait de même eot B = Donc c^ A : ce/ B :: tang B : 

/a»y B ^ 

iSany A ; c'est-à-dire , que les eotangentet de deus arcs tant 
en raison inverse de leurs tangentes. 

Cette formule eot A x tang A =R» se déduirait immédia- 
tement de la comparaison des triangles semblables CAT , 
CDS , lesquels donnent AT : CA :: CD : DS, ou tang A : 
R:;R:cc/A. 

XIX. Étant donnés les sinus et cosinus de deuw arcs 
d eth^ on peut déterminer les sinus et cosinus de la 
somme- ou de la différence de ces arcs y au moyen des 
formules suivantes : 

sin aces 1 + sin h cas a 



sin (a + ^) = 
sin (a — « h) 
ces (a -f £ ) 



R 

sin a eos b — sin b cas a 

_ _ 

ses a eos b — sin m sin b 
R 

eos a coè b -f *in a sin b 



R 

Soit le rayon ACs&R, Taro AB=a, l'arc BD=*, et 
par conséquent ABD=:a + b. Des points B et D abaissez 



TEIGOnOHftTBIE. 



295 



BE , DF , perpendiculaires sur AC ; du point D menez DI 
perpendiculaire sur BC , enfin du point I menez IK per- 
pendiculaire et IL parallèle à AC. 

Les triangles semblables BCE , ICK donnent les propor- 
tions 

_ ^ ^„ sinaeosb 
CD : CI :: BE : IR ou R : eos h :: 9in a : IK= 

cos a cos b 

CE : CI : : CE : CK ou R : eos b : : cas a : CK = g 

Les triangles DIL , CBE , qui ont les côtés perpendicu- 
laires cbacun à chacun , sont semblables et donnent les 
proportions 

cos a sin h 

CB : DI :: CE : DL ou R : sin b :: cos a : DL = g 

sin a sin h 



CB : DI ::BE : IL ou R : sin b :: sin « : IL = ^ 

Mais on a 

IK+DL=DF=#m et CK — IL=CF=<rw + 

Donc 

sin a cosb^ sin b cos a 
sin [a + 6) = — 

cos a cos b — sin a sin b 
cos (tf + ^) «n g . 

Il serait facile de déduire de ces deux formules les yaleurs 
de sin [a-^b) et de cos [a — 3) ; mais on peut les trouver 
directement par la même figure. E» eflfet , si on prolonge le 
sinus DI jusqu'à ce qu'il. rencontre la circonférence en M , 
on aura BM=BD=3, et MI=ID= sin b. Par le point M 
menez MP perpendiculaire et MN parallèle à AC ; puisque 
]yiI_DI^ on auraMN=lL, et IN=DL. Mais on a IK — 
lN = MP=*Mi (a— 3), et CK + MN==CP=cm (a — 5) ; 
donc 

sinacosb — sinbeosa 
sin [a — 6) = — g 

, eoê a cos b + sin a sin b 

cos {a — b)=i ; g • 

Ce sont les formules qu'il s'agissait de démontrer. 

On pourrait craindre que la démonstration précédente ne fût pa» 



TRIOONOXiTBtS* 



asaex géodraloi parce que la figure qu'on a suivie suppose les arcs 
o et et même a-^b plus petits que 100®. Hlais d'abord la déiuonstra- 
tioo s'étend sans peine au cas où a et 6 étant plus petits que 100^ , leur 
somme a-f-6 est ^100®. Alors le point F tomberait sur le prolonge- 
ment de AG , et le seul cbangementà faire dans la démonstration , serait 
de prendre cos (a-f-&) = — ; mais comme on aurait en même temps 
GFsIL — GK, il en résulte toujours ço« (a-f-() = GK^IL, ou K 
CM (o^ b) = coê a cos b — a4n a ein b. 

Supposons maintenant que les formules 

R ain (a-)>&) =s:«#n a coa b-^-ain b coa a 
R coa (a ^) = coa a coa b —-sin a ain b 
soient reooniiues exactes pour toutes les valeurs de a et de moindres 
que les limites A et B , ^e dis qu'elles auront encore lieu lorsque ces 
limites seront lOO^' -f. A et B. 

£n effet, oq a çéqéra (entent , quel que soit l'arec, 

^ «»( 100*4" ^) — 

coa (100* + = ain s. 

Ces équations sont manifestes lorsque x est <^ 100®, et on s'assure aisé- 
ment qu'elles ont lieu pour toutes les valeurs de â;, au moyen de la 
fig. 18, où MQf et M^JI''' sont deux diaqiètres perpendiculaires entre 
eux, èl où l'on peut prendre successivement pour x les valeurs AV, 
ABM', ADBM", ABBEM''', qu cçs valeurs augmentées de tant de circon- 
férences qu'on voudra, 

Gela posé , soit x=zm-^b , on aura 

ain ( 100« -\^m-}-b)=zcoa (m^b) 
coa (100<>-|-*>^ + ^) ~ — (w+6)« 
Mais, suivant l'hypothèse , on connaît les valeurs des seconds membres^ 
tant que m et 6 n'excèdent pas les limites A et B j doiic dans cette même 
hypothèse on aura : 

R ain (100°-f-w+6) = cùa m coa b — ain m ain b. 
R cos (100° + ^) = — ^ ^ — coa m ain b. 
Soit 100<> m z=: a , puisqu'on a ain ( 100** -f- ^ ) == coa m et cos 
(lOO®-j-fit) = — t si"» m, il en résultera coa m=iain a et ain fit = — 
coa A; donc en faisant cette substitution dans les équations précédentes, 
on aura : v ' 
R ain {a-^b)r=ain a cos b '\'C08 a ain b 
R coa (a'^b)=z coa a coa b — ain a sin b. 

B'où l'on voit que ces formules, qui n'étaient démontrées d'abord que 
dans les limites a<^A^ b<^B, le sont maintenant dans les limites 
plus étendues o^lOO®-f-A, 6, <^B. Mais, par la même raison, la 
limite de b pourra être reculée de 100**, ensuite celle de a, ce qui peut 
se continuer indéfiniment; donc les formules dont il s'agit ont lieu, 
quelle que soit la grai^déur des arcs a et b. 



TEIfiOIfOVÉTRIE. 297 

L'arc a étant composé de la somme des deux arcs a ^ i et b , on 
aura , d'après les formules prédédeotes , 

R sin a=8in {a — b) cos b + cos (a — b) tin b 
R cotf a = cos (a — b) cos b — sin {a — b) sin b. 
Et de celles-ci on tire : 

R sin (o — 6) = sin a cos b — sin b cos a 
K cos {a — 6) = cos a cos b + sin a sin b , 
formules qui auront encore lieu pour toutes valeurs de a et de 6. 

XX. Si dans les ^annules de l'article précédent on lait 
^ =«> la première et la troisième donneront 

. « 2 sin a cos H _ — — - 
sm 2a= , cos 2a = 



Celles-ci serviront à trouver le sinus et le cosinus d'un arc 
double , lorsqu'on connaît le sinus et le cosinus de Tare 
simple. C'est le problème de la duplication d'un arc. 

Réciproquement pour diviser un arc donné a en deux 
parties égales, mettons dans les mêmes formules^ a à la 
place de a, nous aurons 

sina = 1-, eoê a= '—^ ^. 

Or, puisqu'on a tout à la fois eos^ i a + sin^^ a = R' et 
eos^^a — { 0:=^. cas a ^ i\ en résulte 

ia=s=i R'^ + i R eos à et ^ a=^ R»— ^ R eos a, 
donc 

«« ia=|/ (IR» — i R eoê a) 
£?M la = |/ R> + 4 R coê a). 
Ainsi , en faisant a=lOO^, oueoê a=0 ^ on a sin }5Q^=sz 
cos 50®=|/i R»=R j/^ ; ensuite si Ton fait a = 60», ce qui 
donne cm a==R|/^, on aura sin 23*» = R|/ (7 — tJ/^) , 
etcM25«=Ri/(i+i|/f). 

XXI. On peut aussi avoir les valeurs de sin ^ a et cos ^ a exprimées 
par le moyen de sin a, ce qui sera utile dans beaucoup d'occasions ; 
ces valeurs sont : 

sini «= i 1/ (^^+ ^ o) — i |/ (R'— R a) 
CM J a= 1 1/ (R» + R sin a) +i J/ (R^ — R sin a). 

En effet , si on élève la première au carré , on aura sin^ ^ a = l 
(Rî+R sin a)+l (R^— R*»» a) - i|/ (R* — R> sin^ a) = i R» — i 



208 



TItGOIlOHtTin. 



KcQsai on aurait de même co^'J a = ^R'-{-i^ ^* qui «'ac- 
corde a'vec les Taleurs précédentes de êin ^ a et coa |^ a. H faut cepen- 
dant observer que, si €0ê a était négatif, le radical |/ (R* — Rma) 
devrait être pris avec un signe contrairë dans les valeurs de êin ^ a et 
C08 ^ a, ce qtii changerait l'une dans l'autre. 

XXII. Au moyen de ces formules , il est facile de déterminer les sinus 
et cosinus de tous les dixièmes du quadrant. 

Et d'abord soit sin 2ff*=x, 2x sera la corde de 40^, ou le côté du 
décagone régulier inscrit ; or ce côté est égal au plus grand segment 
4* du rayon divisé en moyenne et extrême raison * ; donc si on fait le rayon 
égals=l, on aura 1 : 2ar :: 2j? : 1— 2ar. De là on tire 4ar*=l — 2j:, 
ou*' + iar=i;donc = i + lî =7^» donc a;+i=il/5, 

et enfin* ou Sfn20» = i(— l + |/5). 

Cette valeur , élevée au carré , donne ain^ jtXfi = 5 — t^— î «^o^c 

10 

l — tftn» 200 ^ ou cos» 20« = Maig cos^ a^sin^ ix=cos 2 a , 

16 

donc eoê 40" ou stn W= — L_J1 — = ' ; . 

16 4 

Maiiftenant, si dans les formules du n^ xxi on fait R=l, o=2(P) 
et ain a~ J ( — 1+^/5), on en déduira 

«« 1 0» = 11/ (3 + 1/ 5) — i 1/ (5 — |/ 5) 
coê 10» =i 1/(3 +1/5) +11/(5—1/5). 

Si ensuite on fait dans les mêmes formules a =60», et 8ina={ 
(l + ^^5), on aura 

«m30o = £|/(5 +|/5)— il/ (3—1/6) 
co*300 = JI/(5+|/5) + i|/ (3 — 1/5). 

Avec ces valeurs et celles qu'on connaît déjà de sin 50, et de sin 100**, 
on peut former le tableau suivant : 

sin 0»=rco»100»=0. 

sin Wz=cos 900=Jl/(3+|/5) — i|/(5— 1/6) 

êin 20»=co* 80« = i(— 1+1/5) 

sin 30»=co* 70«=JI/(5+V5)— il/(3 — 1/5) 

êin 40« = co« 60»=i|/(lO — 2|/6) 

sin S(fi=zcos 500=il/2 

sin e0^z=cos 400=i(l+l/5) 

sin W=:cos 300 = J|/(5+|/6)+J|/(3 — 1/5) 

sin 800=co« 20»= il/ (10 + 2 1/5) 

sin 90»=cM I0»=il/(3+l/5)+i|/(5— 1/5) 

«»«ilOO»==co« 0»=i. 

Ces valeurs peuvent se simplifier encore, puisqu'on a 
1/ (3+1/6) ==il/ lO+il/2 et 1/ (3-1/6) ^il/lO-ik-îi 
d'où l'on Toit qu'en regardant comme connties |/2, |/e et |/ 10, il 



TBlOOROXtTBIE. 299 

ne reste que quatre eitractioos de racines carrées à faire pour avoir 
les valeurs des sinus et cosinus de tous les arcs multiples de 10^. 

xxui. Nous tirerons de ces formules deux conséquences remarquables, 
V Puisque 2 sin ASfi est la corde de 80^, ou le côté du pentagone régu- 
lier inscrit, ce côté=J^/ (10 — 2^/6), son carré =r- T"^ ^ ^ « Le 

côté du décagone régulier =2 stn 20<^=s| (— 1 4- «on carré 
= J (6 — 2|/6); or i (10—24/5) =l-f i (6 — 2|/5). Donc la 
somme faite du carré du rayon et du carré du côté du décagone, est 
égale au carré du pentagone régulier inscrit. 

2^ Entre les sinus des divisions décimales impaires du quadrant , on 
a cette relation 

sin 90^+sin 20^+sin Wz=sin S(fi+sinlQ^, 

les divisions paires donnent semblablement sin 60® =«tn 20^4'i* 
Mais ces formules ne sont que des cas particufiers , et on peut démon- 
trer que X étant un arc d'un nombre quelconque de degrés , on a 
sin (lOO®— «)-!-«» (20»4-«)+«tf»(20<>--*)=*»»(600— :F)4-stn(60o+jr). 

En effet, la formule sin (a^i^b) -{««tn (a — 6) =2 sin a ces b , 
donne 

sin (20«+ jt) + sin (20»— *) =2 sin 20» cos x 
sin (W +x) + sin (60» — =2 sin 60» cos x. 

Donc, puisqu'on a ein 60» — m»20»=|, et co« «ss«tn (¥00^— 1;), 
ces deux équations retranchées l'une de l'autre , donneront 

sin (60»-}-ar)-f*»n (60»— «)— «»»(20»+«)~«m(20»— *)=*»»(100»— *). 

Formule d'où l'on tire l'équation des divisions impaires en faisant 
10», et qui en général peut servir à la vérification des tables de 
sinus. 

xxiv. Si dans les formules première et troisième de l'ar- 
ticle XIX, on fait &=2a, on aura 

. ^ sin2acosa-^os2asina - eos'latosa—sinlasina 
nn &a= g ,cosôtK^ g 

Substituant dans celles-ci, au lieu de stnl^a et eos^ay les 
valeurs trouvées dans l'article xx , et simplifiant les résul- 
tats au moyen de l'équation a-^r-eos'* asR^, on 
aura 



^ A coê^ a , 
eoM »ass: — =- heota. 

Ces formules qui lenrent à la trîplication des arcs, peu* 



m 



TEIGOIfOHtTEIl. 



vent servir aussi à opérer leur trisection^ ou division en 
ti^ois parties égales. En efiet, si on fait êtn^a—eeiiin 
a=Xy on aura pour déterminer or l'équation eK'=SK* 
s — Ax^. D'où l'on voit que le problème de la trisection de 
l'angle , considéré analytiquement , est du troisième degré. 

Si^lans les mêmes formules de Tarticle xix , on fait suc- 
cessivement bs=ia, 6= A a, etc., on aura les sinus et 
cosinus des arcs Aa^ia, etc.; c'est-à-dire, en général, 
les sinus et cosinus des multiples de a. Réciproquement les 
formules qui servent a la multiplication des arcs, donne- 
ront les équations à résoudre pour diviser un arc donné 
en parties égales, c'est-à-dire, pour déterminer sinaou 
CQS a , lorsqu'on connaît sin n a et cos n a. 

xxT. Développons encore les valeurs de sin 5 a et coa 5 a, et pour 

cela prenons les formules 

. /» . A V 3a C08 2 a4-co« 3a sin 2a 
«m(3a + 2a)= ^ 

/« • A V 3 a cos 2 a — êin 3 a sin 2 a 
cos (3a4-2a)== . 

Si on y substitue les valeurs déjà trouvées art. xz et xxiv, on aura, aprèi 
les réductions , 

20««n'(i , 16 «Va 
«tn 5 a=r5 atn a p— + HS^ 

- _ 20eo«^a , \^ cotfi a 
eoê6a=:&coa a ^ 1 ^ , 

D'où l'on voit que le problème de la quintisection de Tangle serait du 
cinquième degré , et ainsi des autres divisions par les nombres pre- 
miers 7, 11 , 13, etc. 

> zzTi. Soit proposé peur exemple de trouver la valeur de sin V ap- 
prochée jusqu^â quinze décimales, ce qui peut être utile pour la 
construction des tables de sinus. L'expression de sin 10^, trouvée 
n® XXII, étant réduite en décimales dans la supposition de K=l , donne 
sin l(fi=:0. 15643 44650 40231 ; de là on tire, par laformule du n'' xxi, 
sin 5»=0.07845 90957 27846. 

Soit maintenant sin 1^=«, il faudra, pour avoir s, résoudre l'é- 
' quation 

16»* — 20a?3+5« = 0.07846 90957 27845. 
Si, pour abréger, on fait le second membre =e, on aura à peu près 
5*— 20 «'=c,et«=f c + 4 a c)'. Or f 0=0.01569 18191 et 4 
(I c)' = 0.00001 5456; donc on a, pour première approximation, 
s; ;= 0.0 1570 7275, valeur qui n'est en erreur que dans la huitième 



TRIGONOMÉTRIE. 301 

décimale. Pour en avoir une plus exacte, soit a? =0.01570 73-j-y> on 
aura, en substituant dans l'équation proposée, et négligeant le carré 
et les autres puissances de y , 

0.07845 90094 24927+4.98520 I7y=0.07845 90957 27845; 
d'où l'on tire y=:0. 00000 00173 118207, et 

X ou sin 10=0.01570 731,73 li:8207. 
Du sinus de 1^ ou 100', on déduirait semblablement les sinus de 50', 
de 10', de 5', et enfin celui de 1'. 

XXVII. Les formules de Tiirticle xix fournissent un grand 
nombre de conséquences , entre lesquelles il suffira de rap- 
porter celles qui sont de l'usage le plus fréquent. On en 
tire d*abord les quatre suivantes : 

9in a eo4 6 sin (a + i) + fR «» {a — 6) 

êin beoêa = i'R sin (a + ^) — 7R (a — h) 
coê qco4 h = iR coê {à— h) + ^R vos (a + 6) 
êinasin * = ^R ùoê (a—b) — ^Reos + 

lesquelles servent à changer un produit de plusieurs sinus 
ou cosinus, en sinus et cosinus linéaires ou multipliés seu- 
lement par des constantes. 

xxviii. Si dans ces formules on fait a-\-h=p, a — h=qy 

ce qui donnea=^-i^, ^ =^^^, on en déduira 

sinp + êinq =^ sin ^ (j» + q) cas '-^ip— q) 

sin p — sin q=r^»ini{p — q) (^os {{p -i- q) 

â 

eosp'^eosq = -:^cos {p + q) eos {{p-^q) 

cosq — cosp = :^sin^{p +q) sin^ip — q). 

Nouvelles formules qu'on emploie souvent dans les calculs 
trigonométriques pour réciuire deux termes à un seul. 

XXIX. Enfin , de ces dernières on tire encore par la divi- 

sin a fana a R „ 
sion, et ayant égard à ce que 'ÏT'^^' 

qui saivcnt : 



302 TRIGOIlOHtTBIl» 

#/n p + êinq _ 9in t (j> + g) co* \{p — q) tang y (j? 4- y) 
^inp -^€inq cos ^{p f q) Min {(p q) tang^^(p^^) 
9in p + 9in g __ un 7 (j^ 4- g) _ iang^ {p -h gf) 
p + CM j' 7 + S') R 

9inp sinq C09 ~ (/y — q) eot ^(p — q) 

coê q — eo9 p sin{ {p — q) R 

4in p — nn q 9in^{p — q) iang^{p — q) 

cosp + cotq eoê ^{p — q) R 

#m p — êin q cos 7 (jg + g) eot ^{p + q) 

C09 q — eotp êin \ (j» + g) K 

eo9 p coêq ^ 004 t (jP + g) coê ^(p — q) coi ^(p-^-g) 

eoê q—eo9p 9in^(p + qY *in{{p-^q) tang ^^(p^q) 

êin (p q) _ ^êin{{p-{'q) eos^[p'\-q) _^ cos 

êinp + êinq ^êini{p + q) coê ^{p -^q) coê {(p — q) 

êin (p q) _ ^êin^{p^q)coê^^{p ^q) gin {(p q) 

êin p— êin q 2««i^(;?— y) ceê '-{p + q) sin {(p — q) 

Formules qui sont l'expression d'autant de théorèmes. De 
la première il résulte que la êomme deê êinus de deux arc* 
€êt a la différence de cee mêmee êinuê, comme la tangente de 
la demi'êomfne deê arcê eet k la tangente de leur demi-Uffè- 
renée. 

XXX. Si on fait èsszaon qs=:o dans les formulea des trois 
articles précédens, on aura les résultats qui suivent: 
ro*»a = iR» -f f RcMâa 
êin^a=^K^ — ^Hcoê^a 

^coê^^p 
B. + coêp = g— ^ 



•D â#m»7» 

B>^coêp = *^ 



T&IGOROailRII. , tOZ 

XXXI. Pour développer aassi quelques formules relatives 
aux tangentes , considérons Fexpression 

teiMT (a + 3)=5r=?i^^iî^i^, dans laquelle la substitution 
^ ^ ' coê [a-^-ù) ^ 

des valeurs de «m (0+^) et co4 9 donnera 

/ . R (*^" acosè sin h eos a) 

iang{a+h)= — ^ . - . — —, 

cosacoêù — êtnoêtna 

^ cojt a tanq a ^ . , cot h tang h _ . 
Or on a ëtn a = ^— — et êin à = ■ ; substi- 

xv JX 

tuant ces valeurs et divisant ensuite tous les termes par 
cog a coê hj on aura 

' K"" — tang a tang b 
C'est la valeur de la tangente de la somme de deux arcs , 
exprimée par les tangentes de chacun de ces arcs; on trou- 
verait de même pour la tangente de leur différence 

. R' [tanq a — tanq h) 

tang (a — ^) = — — ^ 

' -k- tang a tang b 

Soit 5 = a, on aura pour la duplication des arcs la for- 
mule 

-, â tang a 

tang 2 a = ^r- ; — ^~--y 

^ R^ — tang"" a 

d'où résulterait 

R" R' 

cot^a = — : — ^==s ^tanqa^^cota — ^tanqa. 

tang 2 a 2 tang a ^ 

Soit 3=^09 on aurait pour leur triplicatiou la formule : 

. B.^ (tang a + tangua) 

tang S a = f — ^ — ; 

R* — tang a tang 2 a 

dans laquelle si on substitue la valeur de tang 2 a, on aura 

. â R' tanq a tencr^ a 

^^e^" R»-ato«y'« • 

xzxu. Le développement deg formules trigooométriqiies, considéré 
dans toute sa généralité , forme une branche importante de l'analyse , 
sur laquelle on peut consulter Texcellent ouvrage d'Eulçr, intitule : 
Introductio in anal. Inf., ou sa traduction par M. Labey. Nous croyons 
cependant devoir démontrer encore les formules qui servent à expri- 
mer le sinus et le cosinus en fonctions de l'arc, formules dont la con- 



m 



TAICOROVftTlltB. 



caiMBnee est luppotéa dans la note ▼ et qui d'ailleuri sont béeeualre* 
pour la construction des tables. 

•* £t d'abord, supposant le rayon=l , ce qui n'altère pas la généralité 
des résultats, on a la formule co#« JL+êin^ A=l, dont le premier 
membre peut être regardé comme le produit des deux facteurs imagi- 
naires eoê A+l/— 1 ainkétcoÉ A— |/— l ain A. Si on multiplie 
ensemble deux facteurs semblables co$ A+I/— 1 ain A, C0« B-f-)/^ 
—1 ain B, le produit sera coa A co« B — ain Lain B + {ain A coa B+ 
ainBcoa A)^ — 1, et il se réduit par conséquent à la forme coê 
(A-f B) +^—1 ain (A-f-B), laquelle est semblable à chacun des 
facteurs. On a donc en général 

(cMA+|/--l«fiiA)(co«B+V/— l«»B)==co*(A+B)+J/-.Uf»(A+B) 
et il est remarquable que la multiplication de ces sortes de quantités 
s'exécute en ajoutant seulement les arcs , ce qui est une propriété ana- 
logtie à celle des logarithmes. On en conclura successivement 

(eoaJL+l/—\ainA) (coa jL+\/-^iain A) =co«2A+l/-l*»» 2 A 
(cmA + |/— 1 ainA) (cw2A+|/-l»»»2A) = w3A + l/— 1«»»3 A 
(co<A+|/— ls»«A) (co»3A + |/— l*m3A) =co«4A+|/— Um4A 
etc. 

Le premier produit est égal à (coa A + |/— l si» A)», le second est 
égal à {coa + 1 ain A)'; et ainsi de suite. Donc en général, n étant 
un nombre entier quelconque, on aura 

(co*A+|/— 1 •»» A)«=co* nA + |/— 1 «m » A. 

De là résulte, en changeant le signe de |/— > 1 , 

{coê A — |/— 1 ain A)« = C0« » A |/— 1 ain n A, 

et de ces deux équations qui sont une suite l'une de l'autre, on déduira 
les valeurs séparées de ain m A et coa n A , savoir : 

co« n A = i {coa A^-^^— l ain A)« ^ {coa A — |/— 1 êin)n A 
ain n A=^pi-j.(co* A+|/— 1 ain A)« — ^p^(cMA-|/— l«iiA)» 

XXXIII. Si on veut exprimer les mêmes quantités en séries , il faudra 
développer par la formule du binôme {coa A + — 1 ain A)" , ce qui 
donnera 

cos» + f A. 5»» A|/— 1 — ^ A. ain^ A 

»— l.n— 2 , . , , - , ».»— 1.»— 2.»— 3 . A. . 

_— co*«-3 A sw^ Al/— 1-1 rm coan-^k stVA-J-otc. 

£t cette quantité étant la valeur de eoa n A-f-^^-^l » A, on 
égalera séparémeni la partie réelle à co« » A , et la partie imagine ire 
à ^ — I ain n A. On aura donc 



TRIfiOIVOHtTRIC. 

co* » A=co«»A j-^ — co*"— 2 A «tn'' A+ \ 2 ^ ^ cosn—q A nn* A*— etc. 

*in w Az=n coa^—i A *t» A — i *^ ^ co*»— ' A A + etc , 

1 .2.<S 

séries dont la loi est facile à saisir, et au moyen desquelles on trouve 
le sinus et le cosinus d'un arc multiple de A y d'une manière beaucoup 
plus prompte que par les opérations indiquées art. xxiv. ^ 

xxxiT. Puisqu'on a ain A= eos A iang A , ces séries peuTent se met- 
tre sous la forme 

. /- n.n — 1 , n.n— l.n — 2.»— 3 . . ^ \ 
cos nA=zcos'*k t 1 Y'^iang^A.-f- 1 2 S A ^ ~~ etc. 1 

. /» . n.n — 1.»— 2 1 . ^ 

stnn Asrco*» A f y tang A \ 2 3 *^**9 ^ + ®**^* J 

Soit n=~, on aura, en substituant cette valeur et consenrant ce* 
pendant le facteur cos'* A , 

. /, x.x—Â. tang^ Il . x.x — A.j? — 2A.ir— 3A tang^k \ 

CO,X=C0.nA ^1 ^^^^ À»—"'"' ; 

. /x tangk x.x^k.x — 2A iang^ A . ^ \ 

""'=''""^ Cî— T rïT- • —ar + "'V 

Dans ces formules on peut prendre A à volonté; supposons A très petit, 
alors sera très peu différent de Tunité , parce que la tangente 

d'un arc très petit est presqu'égale à l'arc. Cependant, tant que l'aro 
n'est pas nul , on a tang A> A (l) ou lî!î^-^> 1 ; on a en même temps 

A>"-A(.Moaoï2^<^\,u'^<^.DeUo„ " 

voit que le rapport ^ toujours compris entre les limites 1 et 

1 . , t . iang A , 

. Soit A=0, on aura co« A = l ; donc puisque — r — est com> , 

C08 A A 

pris entre l et ^ , , il faudra qu'on ait exactement — = 1 . 
^ cos A A 



(i) A.T est plus grand que AM, parce que le triangle ATC est au secteur fig. I. 
aCM :: ATXi AC : AMX| AC : : AT : AM. 

(a) AM est plus grand que MP , parce que Tare MAN est plus grand que sa 
corde MN. 



IU)6 TBIGOnOMtTRIK. 
Donc en faisant A=0, on aura 

CO.T=CO,nK (l-Ô+rOTi-,. 2/4.5.6 

11 rente à voir ce que devient co*'* A, lorsque A diminue de plus en 
plus , et devient enfin zéro'. Or, ôn a — i-j = séc^ A = l + iang^ A ; 

008^ A 

donc eo» A=:(l A)^ ^, donc 

cM«A = (l+/a»i^» A) - T =1 - ^ tang^ H'Y^ tang'^k-ttc. 

Substituant au lieu de » sa valeur ^ , on aura 

c«»A=l -^A— gr-+ 2.4 A'.-^ etc. 

Si l'on imagine maintenant que A diminue de plus en plus, x restant 
la même , la valeur de coê"^ A approchera de plus en plus de l'unité ; 

enfin, si l'on fait A=0 et 1 , on aura exactement co*» A=l. 

Donc on a les formules 



X' 



* = 1 + r2X4- 1.2.3.4.5*.6 +''*'' 

■ etc. 



1.2.3^1.2.3.4.6 
par lesquelles on pourra colculer le sinus et le cosinus d'un arc dont 
la longueur est donnée en parties du rayon pris pour unité. 

XXXV. Ces mêmes valeurs peuvent être exprimées d'une manière 
suocinte , par le moyen des exponentielles. Pour cela , il faut se rap- 
peler que e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l, ona 

' + f + o+î3:3+rro+»*''- 

Si , dans cette formule , on fait a = 1/ — 1 , il en résultera 

eV -1+ j -0-1:2^+13X4+1.2.3.4.5 
On aurait semblablement en changeant le signe de |/ — 1 

^V-^ x^ x^/-l x^ x-V^\ 

1 1.2'^ 1.2.3 "^1.2.3.4 1.2.3.4.5 

De là on tire 

2 1.2+J.2.;s.4 

— etc. 



21/— 1 1.2.3^1.2.3.4.5 



TRIG0N0HtT]|1K« 307 

«érîes dont les seconds membres sont les -valeurs trouvées pour coê x 
et êin x. Donc on a 

,0, X = , sinx^ ^PZI ' 

d'où I on tire — ^7 — «=K — 1.— =|/ — 1 #afw r, 

e + * 
formule dont on a fait usage , note it. 

Les ; 



Les mêmes formules donnent ^^coa «-^|/ — 1 sin 



= co8 x-^i/— 1 ain x ; donc , en divisant l'une par l'autre, 

axl/ — I coaX'A^i/ — lainx 1+1/ — \ tanq x 
onaurae == — ^ — t-j-t — = — : — = -J_ — — ^^ouenpre- 

nant les log. de chaque membre , 2*1/ — 1 = lo|ç. (}~^r7 — \ *^*^9 ^ \ ^ 

Mais on sait que log. A = * + 3 4-^«*+etc.j mettant donc 

|/ — 1 tang x au lieu de a , et divisant de part et d'autre par 21/ — 1 , 
on aDra 

X = tang * — ^ tanc^ * +i '««9^ ^ — 7 'ow^' * + etc. * 

Formule très simple qui sert à calculer Tare par sa tangente , lorsque 
celle-ci est plus petite que l'unité. 

XXXVI. Pour appliquer les formules précédentes à la détermination 
dti sinus et du cosinus d'un arc donné en degrés et parties de degré , il 
faut avoir la longueur de cet arc exprimée en parties du rayon, ou, ce 
qui revient au même, il faut avoir le rapport de cet arc au rayon. Or, 
le rayon étant 1, la demi-circonférence ou Tare de 200* = 3. 14159 

^535 897932. Soit ce nombre =«, lu longueur de l'arc—. 100» sera 

^; donc si on fait dans les formules précédentes ar= — qu'en- 

«uite on remette la valeur de ir , et qu'on calcule les coefficients jusqu'à 
seize décimales , on aura les fomrales suivantes : 



M8 



TRIOOROHiTBIB. 



..•»(^.too.) = 



1 . 57079 63267 948966 
- . 64596 40975 062463 ^ 



+ . 07969 26262 461670 ^ 
. 00468 17541 353187 ^ 
+ . 00016 04411 847874 
- . OOOOO 35988 432352 
+ . OOOOO 00569 217292 



J 
11 

;;:ïr 

13 



m» 



. 00000 00006 688035 ^ 
+ . OOOOO OOOOO 060669 ^ 



. OOOOO OOOOO 000438 ^ 



+ 0.00000 OOOOO 000003 ^ 



.(=..00.) = 



1 .00000 OOOOO 000000 



— 1 . 23370 05501 361698 -r 
+ . 25366 95079 010480 ^ 

— . 02086 34607 633530 % 
+ . 00091 92602 748394 ~ 



— . 00002 52020 423731 ^ 

«.10 



+ . OOOOO 04710 874779 ^ 
— . OOOOO 00063 



+ . OOOOO OOOOO 656596 ^ 
— . OOOOO OOOOO 005294 ~ 
+ 0.00000 OOOOO 000034 ^ 



Les sinus et cosinus des arcs depuis xéro jusqu'à 50^, comprennent les 
sinus etcoi^nus des arcs depuis 50® jusqu'à 100® ; car on a sin (50® -J'^) 
= C0« (50® — z) et coa (50®-]-^) = «m (5(1® — s). Bonc, dans les formules 

qui donnent les valeurs de ain — 100® et coa ~ 100®, on pourra tou- 
n w 

jours supposer ^ <^ | ; de sorte que les séries seront tellement conver- 
gentes, qu'il n'en faudra jamais calculer qu'un petit nombre de termes» 
surtout si on n'a pas besoin de beaucoup de décimales. 



, .«. 1 2 3 4 6 
Si OD fait .uccem^ement -=^, ^, ontre 


résultats suivans : 










ain 


10® = 


coa 


90® 




0. 15643 44650 40231 


ain 


20® = 


coa 


80® 




0. 30901 69943 74947 


ain 


30® = 


coa 


70® 




0. 45399 04997 39547 


ain 


40® = 


coa 


60® 




0. 58778 52522 92473 


ain 


50® = 


coa 


50» 




0. 70710 67811 86548 


ain 


60® = 


coa 


40® 




0. 80901 69943 74947 


ain 


70® = 


coa 


30® 




0. 89100 Ç5241 88368 


ain 


80® = 


coa 


20® 




0. 95105 65162 95154 


ain 


90® = 


coa 


10® 




0. 98768 83405 95138 


tin 


100® = 


coa 


0® 




1. OOOOO OOOOO OOOOO 



TBIGONOHftTHIB. 



lesquels s'accordent avec les formules algébriques du 22. On trou- 
m 1 

vera pareillement, en faisant — =jqq> la même valeur de sin V, qu'on» 

a trouvée n*^ 26; et la grande facilité avec laquelle on parvient à ces 
résultats, est une preuve de l'excellence de la méthode. 

De la construction des tables de sinus, 

xxxTii. Les savans utiles à qui on doit la première construction des 
tables de sinus , ont fondé leurs calculs sur des méthodes ingénieuses , 
mais dont l'application était fort pénible. L'analyse a fourni depuis des 
méthodes beaucoup plus expéditives pour remplir cet objet ; mais les 
calculs étant déjà faits , ces méthodes seraient restées sans application,, 
fii l'établissement du système métrique n'eût fourni l'occasion de cal- 
culer de nouvelles tables conformes à la division décimale du cercle. 

Pour donner une idée des méthodes qu^nn peut suivre dans la con-r 
struction des tables , supposons qu'il s'ieigisse de calculer les sinus de 
tous les arcs de minute en minute, depuis 1 minute jusqu'à 10000 
minutes ou 100 degrés; nous ferons le rayon = 1 , l'arc d'une minute 
= a, et d'abord il faudra trouver le sinus et le cosinus de l'arc a avec 
un grand degré d'approximation.. ^ 

Le rayon étant 1 , on sait que la demi-circonférence ou l'arc de. 
200" = 3.14159 26535 897932; divisant le nombre par 20000, on. 
a l'arc de 1' ou = 0.00015 70796 32679 48966, valeur exacte 
jusque dans la vingtième décimale. Quand un arc est très-petit, 
son sinus est sensiblement égal à l'arc, ainsi on a à très peu près 
«m 0=0.00015 70796 32679 48966. Mais cette valeur est déjà en 
erreur à la treizième décioi^ale , laquelle n'est que le dixième chiffre 
significatif. Pour en avoir une plus exacte , le moyen le plus simple 
est de recourir aux formules de l'art» 36 dans lesquelles , si on fait 
m 1 

— = , ^^wN^ t on aura immédiatement, par les deux ou trois premiers^ 
n 10000 ^ 

termes de chaque série, 

ain a^ 0.00015 70796 32033 525563 
cosa = 0.99999 99876 62994 52400 5253. 
valeurs exactes jusqu'à la vingtième décimale pour le .et- jusqu'à 

la vingt-quatrième pour le cosinu». 

xxxviu. Connaissant le sinus et le eosilius de l'arc d'une minute dé- 
signé par o, pour en déduire successivement les sinus de tous les arcs 
multiples de a, on, fera dans les formules de l'art. 22, |i = «-f-.o> 
^ = j? o. La première et la troisième donneront par cette substir» 
tution , et en faisant toujours R = 1 , 

êin (a? + o) = 2 cos a sin x — ain (x — o) 
C08 {x-\- 0)^2 cos a cos x — • cos (x — o) 
Il résulte de ces formules que si on a une suite d'arcs en. progression 



ZlO TBIGOICOKtTRlE. 

arithmétique , dont la différence soit a, leurs sinus formeront une luite 
récurrente dont l'échelle de relation est 2co« a, — 1, c'est-à-dire, que 
deux sinus consécutifs A et B étant calculés , on trouTcra le suivant G, 
en multipliant B par 2 coa a , A par — 1 , et ajoutant les deux produits^ 
ee qui donnera G = 2 B coê a — A. Les eosinus des mêmes arcs for- 
meront également une suite récurrente dont l'échelle de relation est 
2 C08 a,~ l : on aura donc successivement. 



tin = 




coa 


= 1 






êin a = ain a 




coa 


a= coa a 






sin 2a = 2 coê a ain a 




coa 


2a = 2 coa a coa a— 


1 




ain Za coa a sin la — 


ain a 


coa 


3a = 2co« acaala — 


C08 


a 


ain 4a = 2 coa a ain 3a — 


ain 2a 


coa 


4a = 2 coa a co» 3a — 


C08 


2a 


ain Sa = 2 coa a ain 4a — 


ain 3a 


coa 


5a = 2co« a coa 4a — 


COS 


Za 



etc. 



xxxix. Il ne s'agit plus que d'exécuter les opérations indiquées, en 
substituant les valeurs de ain a et ooa a. Si on veut construire des tables 
de sinus avec 10 décimales , il suffira de prendre les valeurs de $in a 
et coa a approchées jusqu'à 16 décimales i savoir : 

ain a = 0.00015 70796 320335 , 
a = 0.99999 99876 629945 

mais comme coa a diffère très peu de l'unité, il y a un moyen d'abrévia- 
tion dont il faut profiter. Soit k=x2{i-coa a) =0 . 00000 00246 740110, 
on aura 2 coa a = 2 — k, ce qui donnera, 

*t» (x-i-a) — ain x = ain s — ain (dp a) — k ain * 
coa (x^a) — coê x = coa x — coa {x — a) — A coa x, 

Pour avoir le terme ain suffit d'ajouter au terme précédent 

ain X la différence ain {x'\'d) — ain x , laquelle sera toujours très 
petite : or cette différence est , suivant la formule , égale à une diffé- 
rence semblable déjà calculée ain x — > ain (x a) moins le produit 
de ain x par le nombre constant A. Cette multiplication est donc la 
seule opération un peu longue qu'on ait à faire pour déduire un sinus 
des deux précédents; mais il faut observer 1» que l'on n'a besoin de 
connaître le produit que jusqu'à la seizième décimale , ce qui donnera 
fort peu de chiffres à calculer ; 2*^ que ces multiplications peuvent 
être abrégées beaucoup en formant d'avance les produits du nombre 
constant 246740110 par 1, 2, 3 jusqu'à 9; car, par ce moyen, on 
aura immédiatement les produits partiels qui résultent des ditférens 
Chififres du jgitultiplicateur ain x, et il ne restera plus qu'ià faire Tod- 
dition de ces produits , en se bornant toujours à la seizième décimale. 

Les mêmes procédés devront être suivis dans le calcul des cosinuts, 
et , lorsqu'on aura prolongé l'une et l'autre série jusqu'à 50", la table 
sera complète. 

XL. Il est nécessaire , nous le répétons , de calculer les siiras avec 



TBIGONOXfiTMB. 



16 décimales, c'est-à-dire arec cinq ou six décimales de plus qu'oa 
n'en Teut avoir réellement, afin d'être assuré que les erreurs, qui 
peuvent se multiplier dans le cours de '5000 opérations, n'influeront 
cependant pas sur la dixième décimale des derniers résultats. Le calcul 
fait , on retranchera les décimales superflues et on ne conservera dons 
la table que dix décimales. 

Au reste, quand il s'agit d'exécuter tant de calculs, on doit chercher 
à vérifier les résultats aussi souvent qu'il est possible. Dans l'exemple 
que nous avons apporté d*une table calculée de minute en minute , il 
serait nécessaire de calculer préalablement les sinus et cosinus de 
degré en degré , ce qui fera , de 100 termes en 100 termes ,^ une véri- 
fication très utile. Or, pour calculer les sinus de degré en degré, on a 
les formules et les valeurs qui suivent r 

ain — ^ = ^ ~" — — ^ * 

co8\a;-\-l^) — cos xz=ico8 x — coa {œ — \^ — h cea x 
ain 10=0.01570 73173 11820 67^ 
c«« P = . 99987 66324 8t660 599 
À = 2 (l 10)=0.00024 67350 36678 802^ 

Les sinus calculés de degré en degré se vérifieront eux-mêmes de Aix 
en dix par les valeurs déjà connues de «inlO^, ««o20^, etc. Enfin lorsque 
la table entière est construite , oa peut encore la vérifier de tant de- 
manières qu'on voudra par l'équation 

«f«(1000-ar)-f (200— ar)+*tw(20<>+a?) _ «tn(600'— ar)-f*m(600+ar). 

XLi. Les sinus, tels qu'ils résultent des calculs que nous venons 
d'indiquer y sont exprimés en parties du rayon, et on les appelle ainua 
naturela ; mais on a reconnu dans la pratique , qu'il y a beaucoup 
d'avantage à se servir des logarithmes des sinus , au lieu des sinus 
eux-mêmes ; en conséquence la plupart des tables ne contiennent point 
les sinus naturels, mais seulement leurs logarithmes. On conçoit que 
les sinus étant calculés, il a été facile d'en trouver les logarithmes; 
mais comme la supposition du rayon = 1 rendrait négatifs tous les loga- 
rithmes des sinus, on a préféré de prendre le rayon = 10000000000, 
c'est-à-dire qu'on a multiplié par 10000000000 tous les sinus trouvés 
dans la supposition du rayon = 1 . Par ce moyen le rayon ou sinus de 100^, 
qui se rencontre fréquemment dans les calculs , a pour logarithme 
10 unités , et il faudrait que les angles fussent beaucoup plus petits 
qu'on ne les rencontre dans la pratique , pour que leurs sinus eussent 
des logarithmes négatifs. 

Les logarithmes des sinus étant trouvés, on en déduit très aisément les 
logarithmes des tangentes par de simples soustractions ; car, puisqu'on a 

/o«<7« =5-fiîî-^ , il s'ensuit log. tang x = lO-f-Zojr. ain x — log. coa x. 
coa X 

Quant aux logarithmes des sécantes, ils se trouveraient d'une manière 



ai2 



TRlGOIfOHÉTnE 



encore plus simple , « l'aide de l'équation sec x C'est parce 

qu'on peut y «uppléer si facilement qu'oa n'insère dans les tables que 
les logarithmes des sinus et ceux des tangentes. ' 

Il resteraità expliquer l'espèce d'interpolation dont on se sert, soitpour 
trouver les logarithmes des sinus et tangentes des arcs qui contiennent 
des fractions de minute , soit pour trouver l'arc qui répond à un loga- 
rithme donné de sinus ou de tangente, lorsque ce logarithme tombe 
entre deux logarithmes des tables. Mais pour ces détails on ne peut 
mieux faire que de consulter l'explication dont les tables sont toujours 
accompagnées. 

Principes pour la résolution des triangles 
rectilignes. 

xLii. Dans tout triangle rectangle le rayon est au 
sinus d'un des angles aigus j comme F hypoténuse est au 
côté opposé à cet angle. 

fig. 3. Soit ABC le triangle proposé rectangle en A ; du point C, 
comme centre, et du rayon CD, égal au rayon des tables, 
décrivez Tare DE qui sera la mesure de l'angle G ; abaissez 
sur CD la perpendiculaire £F qui sera le sinus de Tangle C. 
Les triangles GBA, GEF sont semblables et donnent la 
proportion GE : EF :: GB : BA ; donc 

R : 9in G : : BG : BA. 

XLiii. Dans tout triangle rectangle le rayon est à la 
tangente d'un des angles aigus y com me le côté adjacent 
à cet angle est au côté opposé. 

Ayant décrit Tare DE, comme dans Farticle précédent, 
éleyez sur GD la perpendiculaire DG qui sera la tangente 
de l'angle G. Par les triangles semblables GDG , GA6 , on 
aura la proportion GD : DG : : GA : AB ; donc 

R : tang G : : GA : AB. 

XLIY . Dans un triangle rectiligne quelconque les sinus 
des angles sont comme les côtés opposés. 
H' 4* Soit ABG le triangle proposé , AD la perpendiculaire 



REGTILIGIIE. 

abaissée da sommet A sur le côté opposé BG, il pourra 
arriver deux cas : 

P Si la perpendiculaire tombe au-dedans du trian£;]e 
ABC , les triangles rectangles^ A6D , AGD donneront , 
suivant l'art, xui, 

R lêinB :: AB : AD. 
R : stn G : : AG : AD. 

Dans ces deux proportions , les extrêmes étant égaux , on 
pourra, avec les moyens , faire la proportion 

êinQzHn B : : AB : AC. 

2^ Si la perpendiculaire tombe hors du triangle ABG , fig- 5* 
les triangles rectangles ABD , AGD donneront encore les 
proportions 

R : nn ABD : : AB : AD. 
R : êin G : : AC : AD : • 

d*où Ton déduit sin G : êin ABD : : AB : AG. Mais Tangle 
ABD est supplément de ABG ou B ; donc êin ABD = êin B ; 
donc on a encore 

êin G : *in B : : AB : AC, 

XLV. Dans tout triangle rectiligne le cosinus d'un 
angle est au rayon , comme la somme des carrés des 
côtés qui comprennent cet angle moins le carré du troi- 
sième côté y est au double rectangle des deux premiers 
côtés; c'est-à-dire qu'on a : 

coêB :R :: AB + BC"— AG*: S AB x BÇ, ou co* B = R 

ÂB + BC'— ÂC' 
^ 2ABxBG • 

Soit encore abaissée du sommet A la perpendiculaire AD 
sur le côté BG : 

1® Si cette perpendiculaire tombe -au-dedans du trian- fig. 4* 

gle, on aura* ÂcV="ÂB + Bc'— 2BC x BD ; donc BD'ia,5. 
"^^BC — ~' ^^^^ ^^"^ triangle rectangle ABD, on 



ZI A TftlGOnOMÊTBIE 

a R : sin BAD : : AB : BD ; d'ailleurs Tangle BAD étant 
complément de B, on a êin BAD=icos B; donc cof B 

~ ^ AB^ , ou en substituant la valeur de BD , 

^ _ ÂB + BC^—AC 
^^'^==^^-2Âb7BC-- 

5. 2° Si la perpendiculaire tombe au-dèhors du trian- 

3. gle, oh aura ÂC = AB"+ BC"+ 2BC x BD donc BD 

=^^""j^~"^^ . Mai» dans le triangle rectangle BAD, 

R X BD 

on a toujours sin BAD, ou cos ABD=— ^-g— , et Tangle 

XI. ABD , étant supplément de ABC ou B , on a* B = — cos 
R X BD 

ABD=== — —— donc en substituant la valeur de BD, 
AB 

on aura encore 

ÏB+b"g"— AC' 



oosBrr^Kx 



2AB + BC 



XL\i. Soient A, G, ]es trois angles d'un triangle quelconque; 
a, bf c, les côtés qui leur sont respectivement opposés , on aura, suÎTant 

o2 I ç2 52 

cette dernière proposition coa B = R. — >. Le même principe 

étant appliqué à chacun des deux autres angles, idonnera semblablement 

Ces trois formules suffisent seules pour résoudre tous les problèmes 
de la trigonométrie rectiligne ; car étant données trois des six quantités 
A, B, G, Of b, c, on a par ces formules les équations nécessaires pour 
déterminer les trois autres. Il faut par conséquent que les principes 
déjà exposés, et ceux qu'on pourrait leur ajouter, ne soient qu'une 
conséquence de ces trois formules principales. 

En effet., la valeur de coa B donne 

B = R« _ B = R». 4a'c'-(a' + c'-6»)' ^ _^ 

( 2 a* ft2 + 2 «2 c2 + 2 b^^ — o* — . 6» — c* ) ; donc 

îîl^=: |/ (2 oH» 4- 2 a» c> + 2 6» — o* _ 6* - c*) . 

2à abc 

Le second membre étant une fonction de a,&, c, dans laquelle ces 
trois lettres entrent toutes également, il est clair qu'on peut faire 



RECTILIGIfl. 315 

la permutation de deui de ces lettres à Tolonte y et qu'ainsi on aura 

êin B «mA êinC . . , . . , . , ... 

— g — = — ^= — —f ce qui est le principe du n* xut. Et de celui-ci 

se déduiraient facilement les principes des n*" xui et xuu. 

XLvii, Dans tout triangle rectiligne la somme de deux 
côtés est à leur différence, comme la tangente de la demi- 
somme des angles opposés à ces côtés, est à la tangente 
de la demi-différence de ces mêmes angles. 

Car de la proportion AB : AG :: sin G : êin 6 , on tire 
AC +AB; AC — AB :: *i»B + *i» G : *m B — *mC. Mais, fig. 4«t5. 
d'après les formules de l'art, xxix, on a 

-g Q 

sin B + «/n G : êin B — sin G :: tang — 5 — : tang — 5~^; 
donc 

AG + AB : AC — AB : : : tang 5:=^ ; 

ce qui est le principe énoncé. 

Avec ce petit nombre de principes, on est en état de 
résoudre tous les cas de la trigonométrie rectiligne. 

Résolution des triangles rectangles, 

xLYiiT. Soit A l'angle droit d'un triangle rectangle pro- 
posé, B et G les deux autres angles ; soit a l'hypothénuse , 
b le côté opposé à l'angle B , et cle côté opposé à l'angle G. 
Il faudra se rappeler que les deux angles B et G sont com- 
pléments l'un de l'autre , et qu'ainsi , suivant les différents 
cas , on peut prendre sin G = B , sin B = G , et 
pareillement tang'^=cot tang Çk = cot B. Cela posé, 
les différents problèmes qu'on peut avoir à résoudre sur 
les triangles rectangles se réduiront toujours aux quatre 
cas suivants. * 

PREMIER CAS. 

xLix. Étant donnés l'hypoténuse a et un côté b , trouver 
le troisième côté et les deux angles aigus. 

Pour déterminer l'angle B, on a la proportion* a : * :: • 
K:«mB. Connaissant l'angle B, on connaîtra en même 



316 



TRIGOROHÉTftlB 



temps son complément 100<» — Bs=G;on pourrait aussi 
avoir G directement par la proportion a ;6 iiRicoê C, 

Quant au troisième côté il peut se trouver de deux 
manières. Après avoir trouvé Tangle B , on peut faire la 
xLiii. proportion''' R zcotBiib :cy qui donnera la valeur de c; 
ou bien on peut tirer directement la valeur de Cy de 
réquation c*=a^ — qui donne <?=|/ (a* — i»), et par 
conséquent 

lo^c:=ilog (a + ^) + ^%(a — 

DEUXIÈME CAS. , 

L. Étant donnés les deux côtés b et c de l'angle droit, 
trouver l'hypoténuse a et les angles, 
xLiii. On aura Tangle B par la proportion* i? : 3 :: R : tang B. 
Ensuite on aura GsrlOO** — B. On trouverait aussi G 
directement par la proportion 5 : c :: R : tang G. 

Gonnaissant Tangle B, on trouvera l'hypoténuse par la 
proportion «m B : R :: : a ; ou bien on peut avoir a direc- 
tement par réquation a=\/(b^ + c^) ; mais cette expression, 
dans laquelle b^ + ne peut se décomposer en facteurs , est 
peu commode pour le calcul logarithmique. 

TROISIÈME CAS. 

Li. Étant donnés l'hypoténuse a et un angle B, trouver 
les deux autres côtés h et c. 

On fera les proportions R : #in B :: a : 3, R : B :: a : 
lesquelles donneront les valeurs de b et c. Quant à Tangle G, 
il est égal au complément de B. 

QUATRIÈME CAS. 

LU. Étant donné un côté b de f angle droit, avec l'un 
des angles aigus, trouver l'hypoténuse et l'autre côté, 

Gonnaissant Tun des angles aigus on connaîtra l'autre , 
ainsi on peut supposer connus le côté b, et l'angle opposé B. 
Ensuite , pour déterminer a et c, on aura les proportions 
«/n B : R : : 3 : 0y 1^,: cotB izbie. 



BECmiGRE. 317 



Résolution des triangles rectiligne» en général. 

Soient A , B , C , les trois angles d'un triangle rectiligne 
proposé, et soient a,b, c,\es côtés qui leur sont respecti- 
vement opposés : les différents problèmes qui peuvent avoir 
Heu pour déterminer trois de ces quantités par le moyen 
des trois autres , se réduiront toujours aux quatre cas 
suivants. 

PBEHIEA CAS. 

LUI. Étant donnés le côte a et deux des angles du 
triangle, trouver les deux autres côtés h et c. 

Les deux angles connus feront connaître le troisième, 
ensuite on trouvera les deux côtés b et c par les propor- 
tions*, " XLIV. 
*in A : 9tn B : : a:d. 
êin A : sin Qiiiaic. 

DEUXIÈIIE CAS. 

LIV. Étant d^nés les deux côtés a b, avec l'angle A, 
opposé à l'un de ces côtés , trouver le troisième côté c et 
les deux autres angles B et C. 

On trouvera d'abord Fangle B par la proportion 
a : h :i sin A : «m B. 

Soîtid Tangle aigu dont le sinus =^-^^-^,on pourra, d'après 

la valeur de sin B , prendre ou B = M ou B =; 200** — M. 
Mais ces d«ux solutions n'auront lieu qu'autant qu'on aura 
à la fois l'angle A aigu et 3]>a. Si l'angle A est obtus, B ne 
saurait l'être, ainsi il n'y aura qu'une solution ; et si A étant 
aigu on a i il n'y aura non plus qu'une solution , parce 
qu'alors on a M < A, et qu'en faisant B = 200° — M, on 
aurait A+B > 200**, ce qui ne peut avoir lieu» 

Connaissant les angles A et B, on en conclura le troisième 
C. Ensuite on aura le troisième côte c par la proportion 

sin A : sin G : : aie» 



dl8 « TBTGonosAra» 

On peut aussi déduire c directement de l'équation 

-ir= 2tc .'P"''''°°e^=-R-±»^(°' p-J- 

Mais cette yaleur ne peut se calculer par logarithmes qu'au moyen 
d'un angle auxiliaire M ou B, ce qui rentre dans la solution précédente. 

TB0T8IÈKB CAS. 

Lv. Étant donnés deux côtés a e^b avec l'angle compris 
G, trouver les deux autres angles h. et et le troisième 
côté c. 

Connaissant l'angle G, on connaîtra la somme des deax au- 
tres angles A + B = 200»— C et leur demi-somme^ (A +B) 
= 100° — -jC. Ensuite on oalculera la demi-différence de 
* xLTii. ces mêmes angles par la proportion'*' 

a'\'b:a — b:: tang 7 ( A + B) ou cot^ G : tang ^ ( A — B) où l'on 
suppose a > 3 et par conséquent A > B. 

Ayant trouvé la demi'^différence 7 (A — B), si on Tajoute 
à la demi-somme 7 (A + B), oti aura le plus grand angle A; 
si au contraire on retranche la demi-différence de la demi- 
somme, on aura le plus petit angle B. Gar, AetB étant 
deux quantités quelconques , on a toujours 
A=i(A+B)-hi(A-B) 
B = i(A + B)-4(A^B) 
Les angles A et B étant connus, pour avoir le troisième 
côté c , on fera la proportion 

ain A : sin C : : a : ff. 

Lvi. Il arrive souvent dans les calculs trigonométriques que deux 
côtés a et ( sont connus par leurs logarithmes f alors pour ne pas être 
obligé de chercher les deux nombres correspondans , t>n cherchera 
seulement l'angle f par la proportion 6 : a :: R : tang f. L'angle f sera 
iplus grand que 50®, puisqu'on suppose a^&,- retranchant donc 50*^ de 9 
on fera la proportion R : tang (y — 50® ) :: cot^C: tang ^ ( A — B) , 
d'où l'on déterminera comme ci-dessus la valeur de|(A — B), et 
ensuite celles des deux angles A et B. 

Cette solution est fondée sur ce que 

tang (,-500) = '^'f ^^^-^^^ 
^ / K^ + tangftang5QP ' 

or tang f = ^ et fang 50« = R ; donc tang {f — 60® ) = ^ ^^fe^^ ' 



RECTILIGRE. Si 9 

donc a + 6 : a —6 ::R : (ang — 50o) :: cof ^ C : iang^ (A — B). 
Quant au troisième côté c, il peut se trouver directement par l'équa- 

tion-^=: — — , qui donne c=Y/ f o' + 6» j. 

Mais cette valeur n'est pas commode à calculer par logarithmes , à 
moins que lés nombres qui représentent a, b, et co« G, ne soient très 
simples. 

11 est à remarquer que la Taleur de c peut aussi se mettre sous ces 
deux formes : c = 

ce qui se vérifie aisément au moyen des formules «m^ X C = J — 
^ R cos C , co8^ ^C=:JR^+^R cofi C. Ces valeurs seront particuliè- 
rement utiles y lorsque l'angle étant très petit, ainsi que b, on 
voudra calculer c avec beauconp de précisi^on. La dernière fait voir 
que c serait l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé sur les côtés 

( a 6) — ^ — et \o — o) — ~— ; et c est ce qu on peut aussi trouver 

par une construction fort simple. 

Soit GAB le triangle proposé dans lequel on connaît les deux côtés iîg- 6. 
GB = a> GA et Tangle compris C. Du point G comme centre et 
du rayon GB égal au plus grand des deux côtés donnés, décrivez une 
circonférence qui rencontre en D et £ le côté GA prolongé ; joignez 
BD, B£, et menez AF perpendiculaire à BD. L'angle DB£ inscrit dans la 
demi-circonférence sera un angle droit, ainsi les lignes AF, B£, seront 
parallèles, et on aura la proportion BF : A£ :: DF : AD : : coa D : R. On 
aura aussi dans le triangle rectangle DAF, AF : DA : : sin D : R. Sub- 
stituant donc les valeurs DA=DC+GA=a-j-6, AE=CE — GA=o— &, 
D =:iG, on aura 

AF= , BF_ g . 

Donc en effet le troisième côté AB du triangle proposé est l'hypoté- 
nuse du triangle rectangle ABF, dont les côtés sont (o+&)-^-^-- 
et (a — h) ^^^^ ^. Si dans ce même triangle on cherche l'angle ABF 

opposé au côté AF, et qu'on en retranche l'angle GBD = ^ G, on aura 
l'angle B du triangle ABG. De là on voit que la résolution du triangle 
ABG , dans lequel on connaît les deux côtés a et b et l'angle compris G, 
se réduit immédiatement à celle du triangle rectangle ABF, dans lequel 
on connaît les deux côtés de l'angle droit, savoir : 

. AF=(a+6)^etBF = (a-6)ffiiii. 

Ainsi, par cette construction, on pourrait se passer de la proposition 
du n» 47. 



320 TBIGOKOltTBTB 

QUATBIÈME CAS. 

Lvii. Étant donnés les trois côtés a , b , c, trouver les 
trois angles A, B, C. 
L'angio A opposé au côté a y se trouve par la formule 

^0«AnR. } et on déterminera semblablement 

2 oc 

les deux autres angles. Mais on peut résoudre ce même cas 
par une formule plus commode pour le calcul logarithmique. 

Si on se rappelle la formule R' — R<?<?*A = 2*/V 
7 A , et qu'on y substitue la valeur de cos A , on aura 

= R..(îi±^lJzii±£):Donc 

Soit, pour abréger, {{a'^b+c)=p, ou a + ^+c=2/i, on 
aura a + b — c=2j» — 2c, a — ^ + c=2/? — 25; donc 



,A_KV/(MI£^). 



Formule qui donne aussi la proportion 

bc:{p — b) (p — c):: R»:*m^^A 
et qui est facile à calculer par logarithmes. Connaissant le 
logarithme de sin-^k^ on connaîtra 7 A dont le double 
sera Tangle cherché A. On pourra faire de même par rap- 
port à chacun des deux autres angles B et G. 

Il y a d'autres formules également propres à résoudre la question. 
£t d'abord la formule R2 + R cos A — 2 cos* ^ A donne coa^ J- A=R'. 
fe'+c-+2fec-a' ^^^ (hJfcy-a- (fe+e^p) (6+c+a) ^^^^^ 

Abc ' Abc ' Abc 

faisant toujours 0+6 -fc=2p, on a 6+c — a =2/? — 2o; donc 

Celte valeur étnnt eatsuite combiQ^ft avec celle de ain ^ A donnera une 

autre farmuLe, car ayant taitfft A = 2 q„ ^-^^ 

cos ^ A 



\ p.p-a I 



RBCTIUGHB. 



82r 



Exemples de la résolution des triangles 
rectilignes. 

Lviii. Exemple!. Supposons qu'on veuille avoir la hauteur 
d'un édifice AB , dont le pied est accessible. '^s* 7* 

Ayant mesuré sur le terrain, supposé à-peu-près de 
niveau , une base AD qui ne soit ni très-grande ni très-petite 
par rapport à la hauteur AB , on placera en D le pied du 
cercle ou de l'instrument quelconque avec lequd on doit 
mesurer l'angle BG£ formé par là ligne horizontale CE 
parallèle à AD, et par le rayon visuel GB dirigé au sommet 
de l'édifice. Supposons qu'on ait trouvé AD ou CE =67 .84 
mètres et l'angle BGE= 45» 64' ; pour avoir BE, il faudra 
résoudre le triangle rectangle BGE dans 'lequel on connaît 
l'angle G et le côté adjacent EG. Ainsi, d'après le cas iv, 
on fera la proportion R : tang 45° 64' : : 67 .84 : BË. 

L. /on^ 45» 64' ' 9.9403263 

L. 67.84.... 1.8314858 

Somme ~%R= 1.7718121 

Ce logarithme répond à 59.130, ainsi on a BE = 95'".13. 
Ajoutant à BE la hauteur de l'instrument GD ou AE que je 
suppose 1"". 12 , on aura la hauteur cherchée AB = 60"". 25. 

Si dans le même triangle BEG on veut connaître l'hypo- 
ténuse BG, on fera la proportion coe 45<» 64' : R : : 67 .84 : BG 

L.R+L. 67.84 11.8314858 

L. co* 45* 64' 9.8772784 

Biflférence 1 .9542074 = L. BC. 

Donc BGrsSQ-.OQâ. 

N. B. Si Ton ne voyait que le sommet B de l'ëdifice ou du lieu quel- 
conque dont on vent connaître la hauteur, on déterminerait la distance 
BC comme il sera dit da&s l'exemple suivant : cette distance et l'angle 
connu BC£ suffisent pour résoudre le triangle rectangle BGE, dont le 
côté BE augmenté de la hauteur de l'instrument, sera la hauteur de- 
mandée. 

Lix. Exemple II. Pour avoir sur le terrain la distance fig. 8 
du point A à un objet inaccessible B , on mesurera une base 
AD et les deux angles adjacents BAD , ADB. Supposons 
qu'on ait trouvé AD=;888».45, BAD=115°48' etBDA 

21 



TtlfiOnOHtTlII 



œ 40^ 8', on en conclnra le troisième angle ABD = 44*>44'; 
et pour avoir AB , on fera la proportion stn ABD : «tu ADB 
::AD:AB. 

L. AD 2.7697096 

L. êin ADB 9.7699689 

Somme ^. 2.5396785 

L. *in ABD 9.8060314 

L. AB 2.7316471 

Donc la distance cherchée AB = . 07 

Si f pour nn autre ohjet inaccessible G , on a troaré les 
angles GADsSS*" 17', ADG = ISS"* 8S', on en conclura 
de même la distance AG= 120S*. 

8. Lx. Exemple IIJ. Pour trouTcr la distance entre deux 
objets inaccessibles B et G, on déterminera AB et AG, 
comme dans l'exemple précédent, et on aura en même 
temps Fangle compris BAG = BAD — DAG (1). Supposons 
qa^on ait trouvé AB = 539-. 07, AG = 1202-. S2 , et l'an- 
gle BAG=70*Sr; pour avoir BG, il faudra résoudre le 
triangle BAG dans lequel on connaît deux côtés, et Fangle 
compris. Or, d'après le troisième cas, on a la proportion 

AG+AB : AC — AB : : toiy : ou 1741.^ 

: 66^.28 : : teny 61» M' ^ : toity ÏLz^ . 

L. 663.25 2.8216775 

L.I*Nf 61*84' f 10.1654748 

SowM 12.9871521 

L. 1741.39 3.2408960 

L. tout BZ:^ 9.7462561 

lk»c ^. 32- 37', 8 



(1) n p««mÀt «mTcr l«s ^pulre pràls A, B, C, D, ne fîissent 
pas dutt wft w^aie plui; «km BAC «e smit plas W ^îfféreDce 

«MiY BAB H BAC, c< a ffturfnùt par m mumiv directe, la 

T«le«u- de cri ««{W ; à celt frc$« T^fimUMi $mît la i t» c. 



Mars on a "^^= 6l«» 84', 5 

Donc B = 94^22', 3 

et C = 29* 46', 7 

Maintenant , pour avoir la distance BG , on fera la pro- 
portion sin B : sin A :: AC : BC , ou 

9in W 22', 8 : Hn 76» âl' :: 1202« .32 : BC 

L. 1202.32 3.0800200 

L. *ti»76*31' 9.9692099 

Somme 13.0492299 

L. *tn 94" 22', 3 9 . 9982096 

L. BC 3.0510203 

Donc la distance cherché^ BC= 1124». 66. 

Lxi. Exemple IV. Trois points A , B , G, ëtant donnés sur ^g- 9- 
la carte d'un pays , on propose de déterminer la position 
d*un quatrième point M , d*oà on aurait mesuré les angles 
AMB, AMC; les quatre points étant supposés dans le 
ifiême plan. 

Sur AB décrivez un segment AMDB , capable de l'angle 
donné BM A ; sur AC , décrivez pareillement un segnient 
AMC capable de l'angle donné AMC ; les deux arcs se cou- 
peront en A et M, et le point M sera le point requis. Car 
les points de l'arc AMDB sont les seuls d'où l'on puisse 
voir AB sous un angle égal à AMB ; ceux de l'arc AMC sont 
les seuls d'où l'on puisse voir AC sous un angle égal à AMC ; 
donc le point M , intersection de ces deux arcs , est aussi le 
seul d'où l'on puisse voir à la fois AB et AC sous les angles 
AMB , AMC. Il s'agit maintenant de calculer trigonométri- 
quement la position du point M , d'après cette construction. 

Soient les données AB = 2500», AC = 7000», BC = 

9000-», AMB = 30» BC, AMC= 12P 40'. Dans le triangle 

ABC 9 ou l'on connaît les trois cotés , on déterminera l'angle 

«A^* , i. , . . A T. 6780.2250 , „ , 
BAC* par la formule #m«^ A=R' . ^^^^ ^q^^ ; d'où l'on * ï^vir. 

tire 2%5m7A = 19.9S844BS, log «m ^A'r= 9.9692241 , 
i A =76«âl' .5, et enfin A=152o 63'. Tirez le diamètre AD 
et joignez DB ; dans le triangle BAD rectangle en B , on 
aura le côté BA=:2500, et l'angle opposé BDA = BMA 



i 



TRIGOIfOHtTBII 



«=rM» 80'; d'où résulte rhypothénase AD=z 

5S74". 6. Tirant de même le diamètre AE et joignant CE, 
on aura an triangle rectangle GAE dans lequel on connaît 
le c6të AG=7000, et l'angle adjacent GAE=AMC- 

100«=21« W: d'où l'on conclnra AE= -î--7^==:741ô-. 

eoê GAË 

Maintenant si l'on tire MD et ME, les deux angles AMD, 
AME, étant droits, la ligne DME sera droite. Il reste donc 
à résondre le triangle DAE dans lequel la ligne AM, dont 
il faut déterminer la grandeur et la position , est perpen- 
dicnlaire à DE. Or, dans ce triangle on a les côtés donnés 
AD = 5374 .6, AE = 7415, et l'angle compris DA£=: 
BAG+GAE— DAB=:104«83'. De là on conclnra l'angle 
ADEs=56»9S' ; et enfin par le triangle rectangle DAM on 
aura AM=4190'». 8S. Gette distance et l'angle BAM= 
lis® 27' déterminent entièrement la position du point M. 

Nota. Si on Tent calculer les mêmes exemples an moyen des tables 
construites suiTant Tancienne division du cercle, il faudra changer 
comme il suit l'expression des angles donnés on calculés ; du reste 
toutes les valeurs logarithmiques et celles des i^tés resteront les 
mêmes. 

Exemple i. Angle donné BCE= 4P 4' 33". 6 , ou simplement BC£=: 
4P4'30'', cardans ces sortes d'opérations, quelques secondes de plos 
ou de moins dans les angles , n'influent pas sensiblement sur les dis- 
tances qu'on veut déterminer. 

Exemple ii. Angles donnés BA])=:103« 55' 55"'. 2 , BDA=36* 4' 19^'. 
2, ABD = 39» 59' 45". 6, CAB = 35<> 15' 10". 8 , ADC = 119" 32^ 
-49". 2. 

JSxemple m. Angle donné BAC =68» 40^ 44". 4, 

Angle conclu i (B + C) = 55» 39' 37". 8. 
Angles calculés ^ (B— C) = 29» 8' 24". 7 
B=84»48'2".5, C=26»31' 13". 1. 
Exemple it. Angles donnés AMB=27» 43' 12", AMC=109» 15' 36", 
angles calculés Ar=137^ 22' 1". 2, DAE = 94» 20' 49", 2» BAli = 
1010 2' 34". a 



Principes pour la résolution des triangles 
sphériques rectangles. 

Lxii. Dans tout triangle sphérique rectangle, le rayon 
est au sinus de l'hypothénuse , comme le sinus d'un des 
angles obliques est au sinus du côté opposé. 

Soit ABC le triangle sphérique proposé , A son angle fig. i<h 
droit , B et C les deux autres angles que nous appellerons 
angle* oblique», et qui cependant pourraient être droits 
Tun ou l'autre , ou tous les deux ; je dis qu'on aura la pro* 
portion B. : iin BG :: sin B : êin AG. 

Du centre de la sphère , menez les rayons QA, OB, OG ; 
prenez ensuite OF égal au rayon des tables , et du^ point F 
menez FD perpendiculaire sur OA ; la ligne FD sera per- 
peDdiculaire au plan OAB, puisque, par hypothèse, l'an- 
gle A est droit , et qu'ainsi les deux plans OAB , OAG sont 
perpendiculaires entre eux. Du point D menez DE perpen- 
diculaire sur OB , et joignez EF ; la ligne EF sera aussi 
perpendiculaire sur OB , et ainsi, l'angle DËF mesurera 
l'inclinaison des deux plans OBA, OBG, et sera égal à 
l'angle B du triangle ABG. Gela posé, dans lé triangle DEF 
rectangle en 1>, on a R:«nDEF:;EF : DF; or l'angle 
DEF=B , et puisque OF==R , on a EF=#m EOF==:#*« BG, 
DF =sin AG. Donc R : 9in B :: êin BG : sin AG , ou 
R : êin BG :: #*nJB : êin AC. 

Si on appelle a l'hypothénuse ou le côté opposé à l'angle 
droit A , 3 le c6té opposé à l'angle B , c le côté opposé à. 
l'angle G , on aura donc 

R : êin a :: êin B : sin h :: êin G : êin e , 
ce qui fournit déjà deux équations entre les parties du^ 
triangle sphérique rectangle. 

LXin. Dans tout triangle sphérique rectangle le rayon 
est au cosinus d'un angle oblique, comme la tangente 
de l'hypoténuse est à la tangente du côté adjacent à cet 
angle. 



326 TBlGOROStra» 

ig. 10. Soit toujoars ABC le triangle proposé rectangle en A , 
je dis qu'on aura R : c0# B :: tang BC : iang AB. 

Car en faisant la môme construction que ci-dessus , le 
triangle rectangle B£F donne la proportion R : coê D£F : : 
EF : ED. Or, on a DEF=B , EF=#m BC, QiE=eos BC , et 

dans le triangle OED rectangle en E, on a DE= ^^ tan^ DOE 

coê BC iang AB , _ . co* BC tanq AB 
= ; donc R : eoê B :: #i« BC : g-2 

R BC ^ ^ 
. ffifgg ^ enfin 

COê oKa 

R : A)# B :: tang BC : tang AB. 
Si on fait coitame ci-dessus BC=a et ABa=c on aura 

•n T> ^ ^ ^ ^tangc tangeeoia 

R : co# B :: tang a : tang e, ou cos B= —= — ^ . 

tang a 11 

Le même principe appliqué à Tangle C , donnera ce* C 

'Si tang b tang h eot a 

tang a R 

» 

Lxiv. Dans tout triangle sphérique rectangle le rayon 
est au cosinus d'un côté de l'angle droit j comme le cosi- 
nus de l'autre côté est au cosinus de l'hypoténuse. 
fg. 10. Soit ABC le triangle proposé rectangle en A , je dis 
qu'on aura R : co9 AB :: co$ AC : coê BC. 

Car la construction étant la même que dans les deux 

propositions précédentes , le triangle ODF rectangle en D, 

où Ton a l'hypoténuse OF=R, on aura OD = co9 DOF = 

cos AC; ensuite le triangle ODE rectangle en E, donnera 

OD eos DOE cos AC AB _ - . , , ^ . , 
0E= = ^5 . Mais dans le triangle 

rectangleOEF, onaOE=(?o#BC; donc<?MBC=^^^ — — , 
ou 9 ce qui revient au même, 

R : cos AC :: cos AB : cos BC. 
Ce troisième principe s'exprime par l'équation "l^cosa^ 
eos b cos c; il n'est pas susceptible d'en fournir une seconde , 
comme les deux précédents , parce que la permutation faîte 
entre beXc n'apporte aucun changement à l'équation. 



SPHtBIQUl. Sâ7 

tXY. Au moyen de ces trois principes généraux , on en 
peut trouver trois autres nécessaires pour la résolution des 
triangles sphériques rectangles. Ces derniers principes 
pourraient se démontrer directement chacun par une con- 
struction particulière ; mais il est préférable de les déduire 
des trois premiers par Yoie d'analyse, ainsi qu'on xfi le 
faire. 

X ' A' . T> sin h >, R '«^V ^1 

Les équations nn B = — : , coê C=-— — — donnent 

êtn a tang a 

. 1. . . coê C tanq h Min a eoê a s . . 

par leur dmsion . ^-rr / ^ . = = (suivant 

9tn la 9tn b tang a cos à 

le troisième principe) On a donc ce quatrième prin- 
cipe 

sin B : C0# C :: B. : cm e , 

duquel résulte aussi par la permutation des lettre» 
sin C leosBii'R: coê 6, 

Le premier et le second principe donnent êtn B : = 

_ Btançc , . «nB tançB êtnhtanqa 

eosB= —■ — —i de la on déduit -on ^ 

tang a cos B K êtn a tang c 

= = (en vertu du d°*' principe) — ; :; 

coêatange m. m. f co$ b C09 û tang a 

_ tang b ^ j^q^^ç, qu a pour cinquième principe Téquation 

tanq B= ^ ^ , OU l'analogie 
^ 8tn c 

R : tang B :: sin e : tangb; 

d'où résulte aussi par la permutation des lettres : 

R : tang G :: sin b : tang e. 

Enfin ces deux formules donnent 

^ , ^ R' tang b tang c R^ . ^ 

tang B tang G = — : — ^ = ; = (en vertu 

*' sin b sm c cas ù cos c 

B? 

du troisième principe) ^ . lDoncK^=cosatang'BtangCf 
ou coi B cot C=Ji cos a, ou 

tang B : cotCiiB: cos a. 



TllGOROSÉTBII 



C'est le sixième et dernier principe : ii n'est pas suscep- 
tible de fournir une autre équation, parce que la permu- 
tation entre G et B n'y produit aucun changement. 

Voici la récapitulation de ces six principes dont quatre 
donnent chacun deux équations : 

I. B «1» 6 = «m a ain B,R ain c=zêin asinC 

II. R tanghzrztang a coa G, R tangc^tang a cos B 

III. R eo8 a = co« 6 coac, 

lY. R cos B = «tfi G coa 6» R coa C=sainB coa c 
y. R tang 6= ain c tang B , R iang c=ain b fang G 
VI. R coa a=zcot B coi C. 

Il çn résulte dix équations contenant toutes les relations 
qui peuvent exister entre trois des cinq éléments B , C , a, 
b, c; de sorte que deux de ces quantités étant connues avec 
l'angle droit , on connaîtra immédiatement la troisième par 
son sinus , son cosinus , sa tangente ou sa cotangente. 

Lxvi. Il est à remarquer que lorsqu'un élément sera dé- 
terminé par son sinus seulement , il y aura deux valeurs de 
cet élément , et par conséquent deux triangles qui satisfe- 
ront à la question. Car le même sinus qui convient à un 
angle ou à un arc , convient aussi à son supplément. Il n'en 
est pas de môme lorsque l'élément inconnu sera déterminé 
par son cosinus , sa tangente ou sa cotangente. Alors on 
pourra décider, par le signe de cette valeur, si l'élément 
dont il s'agit est plus grand ou plus petit que 100° ; l'élément 
sera plus petit que 100°, si son cosinus , sa tangente ou sa 
cotangente a le signe + ; il sera plus grand que 100°, si 
l'une de ces lignes a le signe — • On pourrait aussi établir 
sur ce sujet des préceptes généraux qui ne seraient que des 
conséquences des six équations démontrées. 

Par exemple, il résulte de l'équation R cos a=cos b 
€08 Cj que les trois côtés d'un triangle sphérique rectangle 
sont tous moindres que 100°, ou que des trois côtés deux 
sont plus grands que 100°, et le troisième moindre. Aucune 
autre combinaison ne peut rendre le signe de cas b cos c 
pareil à celui de cos a, comme cette équation l'exige. 

De même l'équation R tony c=zs£n b tang C, où sin h 
est toujours^ positif, prouve que tang C a toujours le même 



SPHËBIQUE. 



329 



signe que iang e* Donc dan* tout triangle sphérique rectan 
gle un angle oblique et le eôtè qui lui est opposé , sont toujours 
de la même espèce^ c'est-à-dire, sont tous deux plus grands 
ou tous deux plus petits que 100®. 

Résolution des triangles spheriqtœs rectangles. 

LXYiT. Un triangle sphériquë peut avoir trois angles droits, 
et alors ses trois côtés sont de 100<*; il peut avoir deux 
angles droits seulement , alors les côtés opposés sont tous 
deux de lOO"*, et il reste un angle avec le côté opposé qui 
sont mesurés l'un et l'autre par le même nombre de degrés. 
Ces deux sortes de triangles ne peuvent , comme on voit , 
donner lieu à aucun problème ; on peut donc fairç abstrac- 
tion de ces cas particuliers , pour ne considérer que les 
triangles qui ont un angle droit seulement. 

Soit A l'angle droit , B et G les deux autres angles qu'on 
appelle angles obliques, soit a l'hypoténuse opposée à 
l'angle A , & et c les côtés opposés aux angles B et G. Étant 
données deux des cinq quantités B, G, la résolu- 

tion du triangle se réduira, toujours à l'un des six cas sui- 
vants. 

PRBMIEB CAS. 

Lxviii. Étant donnés l'hypoténuse a êt un côté b , on 

trouvera les deux angles Bet C et le troisième côté c par 

tes équations 

. _ R sin b _ itang b cot a R cos a 

sin B = — : , cos G=! — "^-rr , eose= ;-. 

sm a R cos 6 

L'angle G ne peut laisser aucune incertitude, non plus que 
le côté c ; quant à l'angle B , il doit être de même espèce 
que le côté donné 3. 

DEUXIÈME CAS. 

LXix. Étant donnés les deux côtés de l'angle droit 

h et on trouvera l'hypoténuse a et les angles B C 

par les équations 

cos b cos c ^ R tanq b ^ R ^^^9 ^ 

cos a = r; , tanq B = — , iang C = — z—f— • 

R ' ^ sin c ^ **» b 



TBIGOROHtTail 

11 n'y a dans oe cas aucune ambiguïté. 

TBOnift» CAS. 

Lxx. Étant donnés l'hypoténuse a et un angle B , 
on aura les deux côtés h et c et l'autre angle C par les 
équations 

. . sinasinB ^ tançaeVsB ^ coêatang'B 
sm h = , tangc:=r:—^ , cotC= r"- 

Les ëlémens c et G sont déterminés sans ambignité. par 
ces formules ; quant au côté h, il sera de même espèce que 
Tangle B. 

QUATaiÈVE CAS. 

Lxxi. Étant donné le côté de l'angle droit b avec Vangle 

opposé B, on trouvera les trois autres éléments a , cet C 

par les formules 

R sin h tanq h cot'B , ^ R B 

stn a = — — — stn c = — , nn = r— • 

un B R • cos b 

Dans ce cas , les trois éléments inconnus sont déterminés 
par des sinus, ainsi la question est susceptible- de deux 
solutions. Il est évident en effet que le triangle ABG et le 
fig. II. triangle AB'G sont tous deux rectangles en A, ont tous 
deux le même côté AG=^ et le même angle opposé B=B^ 
Au reste , les valeurs doubles doivent se combiner de ma- 
nière que c et C soient de la même espèce ; ensuite l'espèce 
de et 3 détermine celle de a par l'inspection de la formule 
cos h cos c=R cos a y mais la valeur de a se déterminera 

i»j . R*mi 

directement par 1 équation stn a= — . _ . 

V sm B 

CINQUIÈME CAS. 

Lxxii. Étant donné un côté de l'angle droit b avec 

l'angle adjacent C , on trouvera les trois autres éléments 

a , c , B 9 par les formules 

CQt h cos G . sin h tanq G ^ cos h stn C 
R ^^^^^ g-^, w#B= g . 

Dans ce cas il ne peut rester aucune incertitude sur l'espèce 
des éléments inconnus. 



sphAbique. SSl 

SIXIÈME CAS. 

Lxxiii. Étant donnés les angles obliques B G , on 
trouvera les trois côtes a , b , c , par les formules 

cotBcotC ' ReosB Tieo*C 
B. êtn G * sm B 

Et dans ce cas il ne reste encore aucune incertitude. 

REMARQUE. 
Lxxiv. Le triangle sphériqae dont A, B, C, sont lës 
angles , et a, b ,c lea côtés opposés, répond toujours à un 
triangle polaire .dont les angles sont suppléments des côtés 
a, h y Cy et les côtés suppléments des angles A, B, G; de 
sorte qae si on appelle A', B', G', les angles du triangle 
polaire , et a', h\ c\ les côtés opposés à ces angles , on aura 
A'=200»— a, B'=200»— C'=200'*— g 
a'=200o— A, *'=200»— B, é?'=200'> — G. 

Gela posé , si un triangle sphérique a un côté a égal au 
quadrant , il est visible que l'angle correspondant A' du 
triangle polaire sera droit, et (ju'ainsi ce triangle sera rec- 
tangle. Donc les deux données qu'on doit avoir, outre le 
côté de 100°, pour résoudre le triangle proposé, serviront 
à trouver la solution du triangle polaire , et par suite celle 
du triangle proposé. On pourrait tirer de là des formules 
semblables aux précédentes pour résoudre directement les 
triangles spbériques qui ont un côté de 100°. 

Un triangle isoscèle se partage en deux triangles rectan- 
gles égaux dans toutes leurs parties , ainsi la résolution des 
triangles sphériques isoscèles dépend encore de celle des 
triangles sphériques rectangles. 

Soit ABC un triangle sphérique, tel que les deux côtés AB, fig. 
BG soient suppléments l'un de l'autre ; si on prolonge les côtés 
AB , AC jusqu'à leur rencontre en D , il est èlair que BC et 
BD seront égaux comme étant suppléments d'un même côté 
AB ; d'ailleurs il est visible que les parties du triangle BGD 
étant connues , on connaît celles du triangle ABC qui est 
le reste du fuseau AD , et vice versâ. Donc la résolution du 



833 TRlGQNOHtTlIE 

* triangle ABC , dans lequel deux côtés font ensemble 20(y*, 
se réduit à celle du triangle isoscèle BGD , ou à celle du 
triangle rectangle BDE qui est la moitié de GBD. 

Lorsque les deux côtés âB, BG, sont suppléments l'un de 
l'autre , il faut que les angles opposés AG6 , BAC , soient 
aussi suppléments l'un de l'autre ; car BGD est supplément 
de BGA ; or BGD=D=5 A. Donc on ne peut avoir a + c=200**, 
sans avoir en môme temps A + G=âOO'*, ce qui est réciproque. 

De là on voit que la résolution des triangles sphériques 
rectangles comprend , 1^ celle des triangles sphériques qui 
ont un côté égal au quadrant ; 2** celle des triangles sphé- 
riques isoscèles; S** celle des triangles sphériques dans 
lesquels la somme de deux côtés est de 200», ainsi que 
celle des deux angles opposés. 

Principes povr la résolution des triangles sphé- 
• riques en général. 

LXXV; Dans tout triangle sphérique les sinus des 
angles sont comme les sinus des côtés opposés. 
fig. i3. Soit ABG un triangle sphérique quelconque , je dis qu'on 
aura «m B : sin G :: sût AG : ùn AB. 

Du sommet A abaissez l'arc AD perpendiculaire sur le 
côté opposé BG, les triangles rectangles ABD, AGD donne- 
ront les proportions 

•in B : R :: #m AD : sin AB 
R : sin G :: sin AG : sin AD. 
Multipliant ces deux proportions par ordre et omettant les 
facteurs communs , on aura 

sin B : sin G :: sin AG : sin AB. 
fig. i4- Silaperpendiculaire AD tombait au dehors du triangle ABC, 
on aurait les deux mêmes proportions dans l'une desquelles 
sin G désignerait sin AGD ; mais comme l'angle AGD et 
l'angle AGB sont suppléments l'un de l'autre , leurs sinus 
sont égaux ; ainsi on] aurait toujours sin B : sin G : : sin 
AG : sin AB. 

Soient les côtés opposés aux angles A, B, C, 



8PHÉR1QUE. 3â8 

chacan à chacun, on aura, suiyant cette proposition, êin A : 
»in a :: sin B : tin h :: sin G : êin ce qui donne la double 
équation : 

êin A êin B G 
«n a *t» ^ êin e' 

LxxYi. Jians tout triante sptiérique le cosinus d'un 
angle est égal au carré du rayon multiplié par le cosinus 
du côté opposé y moins le produit du rayon par les co- 
sinus des côtés adjacents y le tout divisé par le produit 
des sinus de ces mêmes côtés : c'est-à-dire qu'on a pour 

_ - _ cos c — f^cos a cos b 

r angle C, par exemple, cos C = : : — ^ . 

^ ^ ^ ^ ' sin a stn b 

On aurait semblablement pour les deux autres angles ^ 

R' cos a — R cos b cos c 



cos A: 



et cos'& = 



sin b sin c ' 

R' cosb — R cos a cos c 



stn a stn c 



Soit ABG le triangle proposé dans lequel on fait BG= a , fig. i5c 
AC= ^, AB = Du point 0, centre de la sphère , tirez les 
droites indéfinies OA, OB, OG ; prenez OD à volonté, et par 
le point D, menez DE dans le plan OCA et DF dans le plan 
OGB , toutes deux perpendiculaires à OD , lesquelles ren- 
contrent en £ et F les rayons OA , OB , prolongés , enfin 
joignez EF. 

L'angle D du triangle EDF est par construction la me- 
sure de l'angle que font entre eux les plans OGA , OGB ^ 
ainsi l'angle EDF est égal à l'angle G du triangle sphérique 
AGB : or dans les triangles DEF, OEF, on a * - txv. 

coê EDF _ DE + DF — Éf ' 
R 2DE.DF 

coê EOF ÔË + 6f — ÊF * 
R ~ 20E.0F 

Prenant dans la seconde la valeur deEF, et la substituant 



TBIQOnOHftTBIl 

dans la première où aura 

— » —a —a — « ^COS EOF 

«wEDF DE+DF — OE — 0F+20E.0F— ^ 

— R ~ 2DE.DF 

Or.ÔË— DËWrâ'etÔF— ÔDFsaÔD, on a donc 

OE.OF;«>*EOF— ÔD.R 

DÊJDF ^ 

Il ne s'agit plus que de substituer dans cette équation les 
valeurs relatives au triangle sphérique : or on a ËDF = G . 

tur— AD=<?, j^j^, — ^^.^ — ^^.^ ^, — ^^.^ j^Qj, — 

' R OD go#DOE_ eo#^ 0D_ cos DOF eo# a 
îTTa' LÉ^sin DOE'^lhH' DF~w»DOF""«n a* 
R' c — R co* a cos b 



coê C= 



sin a sin b 



Ce principe, qui, étant appliqué successivement aux trois 
angles , fournit trois équations, suffit pour la résolution de 
tous les problêmes de la trigonométrie sphérique : il a, par 
rapport aux triangles spbériques , la même généralité que 
le principe de Tart. xlv , par rapport aux triangles plans. 
En effet, puisqu'on a toujours trois éléments donnés par le 
moyen desquels il faut déterminer les trois autres , il est 
clair que ce principe doune les équations nécessaires pour 
résoudre le problème ; équations qu'il appartient à l'ana- 
lyse de développer ultérieurement , pour en tirer, suivant 
les différents cas, les formules lés plus simples et les mieux 
adaptées au calcul logarithmique. 

Lxxvn. Puisque le principe dont nous parlons est absolu- 
ment général , il doit renfermer tous les autres principes 
relatifs aux triangles spbériques, et notamment le principe 
du n*» Lxxv. C'est ce qu'il est facile de vérifier. 

^ fl- 4 r . ^. ^ R' CM c — R CM a cos b 

En effet l équation cos C = = 

stn a stn b 

donne R' — cos' C ou sin' C == 

R' sin' a sin' 5-R" cos' a cos' b + 2R^ cos a cos b cos c-R4 cos' c 
sin' a sin' b 



SPHÊRIQVE. S83 

Or, a êin-" h = (R»— co9^ a) (R«— cos^ *)=R4— R« cos^ 
a — R» eog* b^eoê^ a coê* 6. Donc en substituant et extrayant 
la racine , on aara 



R 



sin a 1^'^''*'^— I^'^^*'*--I^'^^''<H-2RcMa 6 cos c) . 
Soit pour abréger Z= 

|/(R4— R=« a— R» cos^ R« cm" c +2R a cm b cos c). 
on aura donc 

. ^ RZ sinQ RZ 

#i« t»= : — i, ou- 



sin a sin h* sin c sin a sin b sin c' 
Les valeurs de cos A et de cos B donneraient semblablement 

TttnA _ RZ sinB RZ 

êtn a sin a sin b sin c sin b sin a sin b sin c 
car la quantité Z ne change pas, lorsqu'on fait la permuta- 
tion entre deux des quantités a, b, ci donc on a — ^= 

sin a sin h 

*înC . . . . , 

principe du n" ixxv. 

Lxxvin. Les valeurs que nous Tenons de trouver pour cos 
Cet *m C, peuvent servir à trouver les angles d'un triangle 
sphérique dont on connaît les trois côtés; mais il existe d'au- 
tres formules plus commodes pour le calcul logarithmique. 

En effet , si dans la formule R' — RcosC = ^ sin^ ^ C, 
on substitue la valeur de cos C , on aura 

2 sin^ ~ C • j cos C cos a cos b + sin a sin b — R cos c 

^ R=* ~~ R"~ sin a sin b * 

Le numérateur de cette expression se réduit à R cos [a — b) 
— R cos or, d'après la formulé R cos q — R cosp=^sin ^ 
(p + q) sin^ (p—q)*^ on trouve R cos (a — b) — R cos = 
2*tn ^ {c — 5+ a) sin f (c — a+b)] donc 

. /e-^-b — a\ . /c + a — b\ 

Hn'jG K-T->H-T-; 

R' sin a sin b ' 

i. c+b — a . c + a — b\ 
stn — s sm — f 
2 2_ \. 
sin a sin b ] 



d36 TmoaOHÉTRIE 

Il est éTidept qu'on aurait des formules semblables ponr 
exprimer iin 7 A et sin 7 B , par le moyen des trois côtés 
a, e. 

ixxix* Le problême général de la trigonométrie sphérique 
consiste, comme nous l'avons déjà dit, à déterminer. trois 
des six quantités A , B, G , par le moyen des trois 

autres. 11 est nécessaire, pour cet objet , d'avoir des équa- 
tions entre quatre de ces quantités , prises de 4oate8 les 
manières possibles ; or , six quantités combinées quatre à 

6 5 

quatre ou deux à deux , donnent --^ ou 15 combinaisons, 

ainsi il y aura quinze équations à former ; mais si on ne 
considère que les combinaisons essentiellement différentes, 
ces quinze équations se réduisent à quatre. 

En effet , on a , la combinaison ahck , qui conaprend , 
par la permutation des lettres ahck^ a^B, ahcC ; 

La combinaison o^AB , d'où résultent a5AB, ^BG , 

La combinaison dbkQ , qui comprend les six a^AC, 
o^BC, otAB, acBC, ^cAB, feAG ; 

4*> Enfin, la combinaison aABG, qui comprend les trois 
«ABC, ^ABG, eABG- 

n y a donc en tout quinze combinaisons, mais il n'y en a 
que quatre essentiellement différentes. 

. cos a — "Rcosbcogc 

Lxxx. L équation cos A = : — t — : , repre- 

^ êtn sin c 

sente déjà la première combinaison abck et celles qai en 

dépendent. 

Pour former l'équation qui répond à la combinaison aMB, 
il faut éliminer c des deux forinules qui donnent les valeurs 
de cog A et co# B ; mais l'élimination a déjà été faîte (lxxtii), 

et le résultat est ^ = ^^î^; 

sm a sin à 

La troisième combinaison se forme de la relation entre 
a, A, G ; pour cela ayant les deux équations 

cog A gin h gin tf = R' cog a — R cog h cog <r, 
cog G gin h gin a = cog c — R cos h cog a , 



8PHÉBIQUK. m 

on en éliminera d'abord eos c, ce qui donnera R coê A sin c 

+COS C sin a eos ^ = R cos a sin 6 : mettant ensuite dans 

11 . 1 1 a sin G , 

celle-ci la valeur stn c= ; — j — , on aura pour la troi- 

sin A 

sième combinaison 

cot A sin C+cM C cos b = eot a sin h, (1) 

Enfin, pour avoir la relation entre A, B, C, a, j'observe 

que dans l'équation précédente le terme 

. z u sinb _ sin B , 

cot a stn te=B. cos a.—, — = R cos a —, — - ; donc, 
stn a sin A 

en multipliant cette équation par sin A, on aura 

R cos A sin C=R cos a sin B — sin A eos C cos h. 

Si dans cette équation on permute entre eHes les telireA A / 

et B , ainsi que a et h, on aura - * * . 

R B sin C=R cos 6 sin A — sin B eos G com ité ' f^y 

Et de ces deux- ci on tire , en cbassant cos à, 

cos A sin C+Rcos B sin G cos C = cos a sin B sin^ G. 

Donc enfin 

R^'eosA+Rcos B cos C 



1 



cos az 



sin B sin G 



C'est la relation cbercbée entre A, B, G, ou la quatrième 
des équations nécessaires pour la résolution des triangles 
sphériques, 



(1) Pour retenir aisément cette formule et la retrouver au besoin,, 
voici une règle de Mnémonique : 

1° Avec un côté a et Tangle opposé A, 

Avec un antre côté h et l'angle adjacent G , 
formez l'équation fictive cot a cot A,=coi b coi G, en observant de 
mettre les petites lettres avant les grandes. 

2** Multipliez de part et d'autre par sin b sin C, en supposant le rayon 
R = 1 , vous aurez 

cot a sin b cot A sin C=zcos b cos G. 

3" Dans le premier meiobre, séparez les petites lettres des grandes, en 
mettant à celles-ci le signe — vous aurez l'équation vraie 

cot a sin b — cot A, sin Cz=zcos b cos G, 
laquelle étant homogène aura lieu y même sans supposer R = 1. 

22 



838 



TRIGOIIOHÊTUE 



Lxxxi. Cette dernière équation entre A, B, G, a, offre nne 
analogie frappante avec la première entre a, h,Cy Ai et on 
peut rendre raison de cette analogie par la propriété des 
triangles polaires ou supplémentaires. En effet , on sait que 
le triangle dont les angles sont, À, G, et les côtés opposés 
a, h, c, répond toujours à un triangle polaire , dont le» côtés 
sontSOO»— A, 200o— B, SOO»— G, et les angles opposés 
200«— a, 200«--3, aGO»— c. Or, le principe de l'art, lxxvi 
étant appliqué à ce dernier triangle , il en résulte 

eos[2W a)— (200«— B) êin (200«— C) ' 

ce qui se réduit à 

_ R' coê A+ R cos B co* C 
stn B êin G ' 
ainsi que nous Favons trouvé par une autre voie. 

Gette formule résout immédiatement le cas où Ton veut 
déterminer un côté par le moyen de trois angles ; mais , 
pour avoir une formule plus commode pour le calcul 
logarithmique , on substituera la valeur de co* a dans l'é- 

- eos a 2 . _ sin^ ^ a 

quation 1 — =5 » ce qui donnera 



R — Ra Ra — 

sin B sin C — cos B coê G — Keos A — R coê{B + G) — Rcos A 
2 sin B êin G 2 êin B êin G 

* xviii. Et parce qu'on a en général * R coê p R coê eoê ^ 
(p+q) coê i {p — q), cette équation se réduit à 

êin^ I a _ — gg* HA + B 4- G) go* i (B + G A) 
R» êin B êin G 

où il faut observer que le second membre , quoique sous 

une forme négative , est néanmoins tôujours positif. Gar on 

, , , . . ,AA V êin s eoê 100^ — coêx êin 100** 
a en général êm [x — 100*»)= ^ 

— — coê donc 

^ go* i ( A + B + G) = *m 1 oQo^ 

quantité qui est toujours positive, parce que A +B+ G étant 
toujours compris entre 200* et 600% l'angle 7 ( A+B+G ) . 



SPHtRIQUB. -ââ9 

— 100® est compris entre zéro et 200"; d'ailleurs. co# j 
( B + C — A) est tonjonrs positif, parce que B + C — A ne 
peut pas surpasser SOO"*; en effet dans le triangle polaire le 
côté 200° — A est plus petit que la somme des deux autres 
200»— B, 200»— C ; donc on a 200»— A < 400»— B —C , 
ouB+C— A<200». 

Étant ainsi assuré que le résultat sera toujours positif, 
on aura, pour déterminer un côté par le moyen des angles, 
la formule 

IA+B+G B + C — A^ 
CO* CO* s f 
2 2 \. 
êin B Min G j 

Lxxxii. Avant d'aller plus loin, nous remarquerons que 
de ces formules généraïes, on peut déduire celles qui con- 
cernent les triangles sphériques rectangles. Pour cet effet, 
on fera A= 100», tant dans les quatre formules principales 
que dans celles qui en dérivent par la permutation des 
lettres. Et d'abord l'équation cet A sin h sin c^'R.^ cos a — 
R cos bcoscy donnera par cette substitution 

R cos a — cos h cos c, (1) 

Les dérivées de l'équation générale ne contiennent point 
A , et ainsi ne donnent aucune relation nouvelle dans le 
cas de A=W. 

L'équation ^ i ^^1^ ^ , donne dans le cas de A =100°, 
stn a stn b 

R ««B 



sin a sin 6 

Et la dérivée A _ #in C ^j^^j^jj^pj^j^ également 
sin a sin c 

^ ^^^C . iQ^g celle-ci est elle-même une dérivée de 
sin a sin c 

l'équation (2). 

L'équation cot A sin C + C cos h = cot a sin h , donne 

dans le cas de A== 100», cos G cos h^cot a sin 6, ou 

*(W G tan^ a = R tang h, (S) 



S40 



TtlCOHOHtTtlE 



La dérivée cot G êin k'\'CO» A cot h ^ cote êin h, donne 
dans le même cas , coiQ = eot e sin h ^ oa 

R tang e = êin h tang Q, (k) 

Enfin la quatrième équation principale sin B sin G ma 
= R» CM A + R coM "BcosQ^ et sa dérivée sin A sin C m h 
= R* co« B + R eosÀ. cos G, donnent dans le cas de A=100°, 
sin B sin C cos a=R r0#B eo# G et sin G co« ^ = R B, ou 

eo^ B «?/G =î= R cos a, (8) 
#{n G cos i a R co« B* (6) 

Ge sont les six équations sur lesquelles la résolution des 
triangles rectangles est fondée. 

Lxxxiii. Nous terminerons ces principes par la démon- 
stration des Analogiss de Néperj qui servent à simplifier 
plusieurs cas de la résolution des triangles sphériques* 
Par la combinaison des valeurs de cos keicosQ expri- 
* Lxx. mées enajh, Cy nous avons déjà obtenu l'équation* 
R cos A sin ^ = R cos a sin h — cos G sin a cos h, 
Gelle-ci donne par une simple permutation : 

R cos B sin c = 'Kcosh sin a — cos C sin h cos a. 
Donc en ajoutant ces deux équations, et réduisant, on aura 
sin c {cos A -j- cos B) = {'R — cosC) sin {a + h), 

. . sin c sin a sin 5 
Mais puisque —r-p^=-7— r=— =r , on a 
* ^ sinL smA smU 

sin c [sin A + sin B) =isin G (sin a + sin b) 
et sin c ( sin A — sin B ) = sin G ( sin a — sin b ). 

Divisant successivement ces deux équations par la précé- 
dente , on aura • 

sin A + sin B sin G sin a + sin h 

cos A + cos B R — cos G* sin (a + 5) 

sin A — sin B #f » G sin a — sin h 

cos A + cos B R — cos G * sin ( a + ^ ) * 
Et en réduisant celles-ci par les formules des articles nii 
et XXX, il viendra 



1 

i À 



8PHÉEIQUB. S41 

Donc étant donnés les deux côtés a et ^ avec l'angle coin^ 
pris G , on trouvera les deux autres angles A et B par les 
analogies , 

coê^{a-\-h) : cosj (a — 5 ) ::cot^C : iang^ ( A + B) 
êin^{a+b}:sin{{a^6 ) : : cot^ C : tang i ( A — B ) . 
Si on applique ces mêmes analogies au triangle polaire du 
triangle ABC, il fendra mettre 200«— A, 200«— B, 200«— a, 
200«> — b, 200« — à la place de a, A , B, C, respecti. 
veiîàjçnt, et on aura pour rési\ltat ces deux analogies 
c<>*7(A + B) : tfp#^(A — B):: tangue :iang^{(t-i-b) 
9in HA + B) : 9in\ (A — B^ i\tang\ c : tang\ (a — b), 
au moyen ^lesquelles , étant donnés un côté c et les deux 
angles adjacents A et B , on pourra trouver les deux autres 
côtés a et b. Ces quatre proportions sont connues sous le 
nom Analogies de Néper. 

Résolution des triangles sphériques en général. 

La résolution des triangles sphériques comprend six cas 
généraux , que nous allons développer successivement. 

PBBMIBR CAS. 

Lxxxiv. Étant donnés les trois côtés a , b , c , o« trou- 
vera un angle quelconque^ par exemple ^ l'angle A opposé 
au côté a , par la formule : 

i. a + ^ — c , a^c — b\ 
stn s s f 
2 2 >. 
sin b sin c J 

DBDXIÈHB CAS. 

Lxxxv. Étant donnés deux côtés di eth avec l'angle A 
opposé à l'un de ces côtés , trouver le troisième côté c et 

les deux autres angles B G. 

, _ _ , . . _ sinksinb 
PL angle B se trouvera par lequation stn B= : . 



TRIttOlVOStTtn 

2<» Pour aroir Tangle G, il faut résoudre Féquation 
eotk êin G eosCeo*i = eoias£H6, 
Soit pris pour cet effet on an^^e auxiliaire ^ de manière 

, eoêbiangA ^ . e^icoêm ^ 
qn'on ait temo= =-2 — , on eai A= : ^;cette 

Talear de eot A étant substituée dans l'équation à résoudre, 

donne — (coê m sin G + tin a eos C) = €oi • sin h. d*oà 

l'on tire 

Par cet artifice, on Toit que les deux termes inconnus dans 
l'équation proposée se réduisent à un seul, d'où il est facile 
de tirer l'angle G. 

2* Le cèlé e se trouTera par Féquation 
sim m sm G 

On peut aussi le déterminer directement par la résolation 
de l'équation : 

R c«r I OM e+CM A «ni ^ #/s e = R* CM «. 

Pour cet ^Eet, aoitc«r A«fjii= on#Mf 7= 

^^—^ — , on aura (r»» cet* o+«« e««iie)=R «• 

R Cêê9 

DoM, en dierdiant d'abord Fanxiliaire 9 par Féqnatioii 
ta^ , — on «nu le cèlé e pur réquatiim 



Ce s econd cas pcnl aroù- deux soluliotts, ainsi que le cas 
) des tiian^es reedli^iMs. 



uxxTt. Êtiemi dmmêt d^mx rA'^j» a b atec 
comprù C . Ir\w^ tes é^mjt nim on^A» A ef B ^ 

1"^ Les augkts A «t B $e tnwvnc par ces deux équations 



cotA. = 
cot B = 



8PHÉRIQCB. 

cot a sin b — coê G eo» b 
sin G 

cet b sin a — co» G cos a 



sinQ ' 

dans lesquelles les seconds membres pourraient être réduits 
a un seul terme , au moyen d'un auxiliaire; mais ilçst plus 
simple , dans ce cas , de se servir des analogies de Népér, 
qui donnent 

tan^—^=cot^G.— *) —i\ 

, A + B co9{(a^b) 

tang—-^=cot G. . 

2 co» ^\a'\-o) 

â"* Connaissant les angles A et B , on pourra calculer le 

troisième côté c par réquation^m c=êin a, ^ : mais 
*^ ^ sm A 

pour déterminer c directement , on a Féquation 

R> C09 c = êin a êin b G + B. com a cos b. 

Soit pris Fauxiliaire 9, de manière qu'on ait sin b cosC= 

, cos G tanq b 
cos b tang ç, ou fang ç= 7^ — , on aura 

cosb 

cos e= cosia — c)). 



QUATBIÈHB CAS. 

Lxxxvii. Étant donnés deux angles h.et'R avec le côté 
adjacent c, trouver les deux autres côtés a et b, et le troi- 
sième angle C. 

V Les deux côtés a et ^ sont donnés par les formules 
cot A sin B + cos B cos c 



cot 
cot b=i 



stn c 

cot B sin A + 00s A cos c 
sin c ' 



mais on peut les calculer plus facilement par les analogies 



844 TRIOONOHtTRIS 

de Néper, savoir : 

. A+B . A — B , , , a-^b 
#in-— — : #in — 5 — : : (ang 7 c : tang — - — 

A+B A— B ^ . ^ a^h 
€09 — — : eo9 — :: tang 7 <? : tang — —, 

2® Connaissant a et on trouvera G par rëqaation 

, ^ êincsin A . ^ . ^ ry ^ 

tin C = — — ; mais on peut aussi trouver C directe- 
#in a 

ment par l'équation 

R» C=<^(yf c «f» A #/>t B — R cas A co* B. 

Soit pris l'auxiliaire 9, de manière qu'on ait 

. « to . ^ <r /a»^ B 

eos e stn B = cot Is co/ 9, ou cot 9 = ^ — - — , 

R 



on aura 

eoê 



Ce cas et le précédent ne laissent aucune indétermination. 

CINQUIÈaS CAS. 

Lxxxviii. Étant donnés deux angles ketj^ avec le côté 
a opposé à Fun de ces angles ^ trouver les deux autres 
côtés b, c, et le troisième angle C. 

9in B 

1" Le côté b se trouvera par l'équation #wt b=9in a. r , 

^ 9ink 

3® Le côté e dépend de l'équation 

eot a ein c — eo9 B C09 c=cot A 9tn B. 

_ , ^ ^009 o , 009 B tang a 

Soit eotac=. co9 B-— ou tanq m = =: — - — ■ , on aura 

«n <p ^ ^ R 

— ( «n c eo9 (û — C09 e 9in <û) = eot A 9in B : donc 
ç ^ ^ ' 

. , tanq B «zn m 

L'angle G se trouvera par la résolution de l'éqnation 
C09 a 9in B 9in C — R B <?m C =R^ co* A. 

Soit pour cet effet 00s a sm B = : 1 , ou 

9in 9 



8PHÊIUQ0E. 

CM a tang B C09 B . ^ . % 

cot fû = ^ — - — , on aura — f — \9in C co* m — co* C *i« ©; 

Jn. #171 ^ 

R A ; donc 

Ce cinquième cas est , comme le second , susceptible de 
deux solutions , ainsi que cela a lieu dans le cas analogue 
des triangles rectilignes. 

SIXIÈHB CAS. 

Lxxxix. Étant donnés les trois angles  , B , Ç»^on 
trouvera un côté quelconque, par exemple , le côté opposé 
à l'angle A, par la formule 

tfM^(A+B + C)cM|{B + C— A)\ 



sin B 9in C 



On peut remarquer que de ces six cas généraux les trois 
derniers pourraient se déduire des trois premiers , par la 
propriété des triangles polaires : de sorte qu'à proprement 
parler, il n'y a que trois cas différents dans la résolution 
générale des triangles sphériques. Le premier cas se résont 
par une seule analogie, conune les triangles rectangles; le 
troisième se résout d'une manière presque aussi simple , au 
moyen des analogies de Néper. Quant au second , il exige 
deux analo^es; et d'ailleurs, il admet quelquefois deux 
solutions, tandis que le premier et le troisième n'en admet- 
tent jamais qu'une. 

x,c. Pour distinguer dans le second casjsi, pour des valeurs 
particulières données de A, il y a deux triangles qui i 
satisfont à la question ou seulement un ; supposons d'abord 
l'angle A<]100°, et soient prolongés les deux côtés AG, AB 
jusqu'à ce qu'ils se rencontrent de nouyeau en A^ Si on 
prend l'arc AC < 100* et qu'on abaisse CD perpendiculaire 
sur AB, les côtés AD, CD du triangle rectangle AGD, seront 
tous deux Jilus petits que 100°, la ligne CD sera la distance 
la plus courte du point C à l'arc AB, et en prenant DB=DB, 
les obliques GB', CB seront égales et d'autant plus longues 
qu'elles s'écarteront plus de la perpendiculaire. Soit AC==^^ 



346 teigorohAtrib 

CB=a, on voit donc qu'un triangle dans lequel on a A<^ 100"*, 
6 <^ 100°, et a ^ 3, a nécessairement deux solutions ACB, 
ACB'; mais si , en supposant toujours A et 3 plus petits que 
100°, on a a^3^ alors le point B' passerait au-delà du point 
A, et il n'y aurait qu'une solution représentée par ABC. 

Soit ensuite AG'^ 100°, si on abaisse la perpendiculaire 
CD' sur ABA', on aura de môme C'D'< A'C, çt l'arc C'B''» 
mené entre D' et A', sera > CD' et >CA'; donc si on fait 
AC'=3, CB''=C'B'"=a, on voit que la suppositton A< 100» 
et 3 ^ 100° donnera deux solutions si a 4- 3 <^ 200°, et n'en 
donnera qu^une si a 4- 3^ 200°, parce qu'alors le point B" 
passerait au-delà de A'. Discutant de la même manière le 
cas où l'angle A est ^ 100°, on pourra établir ainsi les 
symptômes qui déterminent si , dans le cas ii , la question 
admet deux solutions ou n'en admet qu'une. 

A<100-,&<100- I ">* »»e«>lution. 

( o < deui solutions. 

^ ^ ( a + i<200* deux solution*. 

^ ' ^ ( a 4- 6 < 200* une solution. 

A> loo*. i> iw j «>? 

( a<^6 une seule solution. 

U n'y aura qu'une solution si on a A= 100*, soit a=zb, soit a-f-i= 
200*. Il y en aura deux si on a & = 100*. 

xci. Ces mêmes résultats peuvent s'appliquer au cas cin- 
quième par la voie du triangle polaire , et on en tirera les 
symptômes suivans, qui feront connaître si pour des valeurs 
données de A , B, il y a deux triangles qui satisfont à la 
question , ou s'il n'y en a qu'on. 

«> 100-, B > 100- I t ^n T "^^f""^' 

I A^B deux solutions. 

• >100* B^lOO* i A.+B<2«ru«s solution. 
•«^ • " <^ '"^ ( A+B>aOO' deux solutions. 

^ . ( A-(-B>aOO*VBesolnti(9>*' 

.< i<w. B< 100- i t "'"'^ 

^ ^ (A une solution. 

U n'y aura qu'une solution si Tune des égalités sniTantes «lieu, a = 
100% A=B, A+B = W. n y en aun deux si B= 100». 



SPHtRIQVB. 



547 



xcii. Dans tous les cas, pour ëcarter les solutions inutiles 
ou fausses , il faut se rappeler, 1° que tout angle ou tout 
côté doit être plus petit que 200^; 

â** Que les plus grands angles sont opposés aux plus grands 
côtés, en sorte que si on a A ^B, il faut qu'on ait aussi a>3, 
et vice versâ. 

Exemples de la résolution des triangles sphériques. 

xcni* Exemple \. Soient , M , N trois points situés dans fig. 
un plan incliné à l'horizon ; si de ces trois points on abaisse 
les perpendiculaires OD, Mm, Nn, sur Ib plan horizontal 
DEF, les objets situés en 0, M, N devront être représentés 
sur le plan horizontal par leurs projections D, m, ti, et l'angle 
MON par niDn, Cela posé , étant donné l'angle ]y|[ON , et 
les inclinaisons de ses deux côtés OM , ON sur la verticale 
OD, il s'agit de trouver l'angle de projection mDra. 

Du point comme centre et d'un rayon = 1 , décrivez 
une surface sphérique qui rencontre en A, B, G, les côtés 
OM, ON et la verticale OD, vous aurez un triangle sphérique 
ABC, dont les trois côtés sont connus ; on pourra donc - 
déterminer l'angle G égal à mDn par la formule du premier 
cas. 

Soit par exemple, l'angle MON=AB=64° 44' M"; l'angle 
DOM=AC=98° 12', et l'angle DON=BC=105o42', on aura 
par la formule citée 

. tin 28° 87^ 80^^ sin 38° 87' 30^^ 

Valeur que l'on calculera ainsi : 

L. sin 280 67' 30". . . 9.6373956 L. ain 98o 12'. . . 9.9998106 

L. ain 350 87' 30" . . . 9.7276562 L. ain 105o 42' . . . 9.9984242 

8oiiime+2 LR. 39.3650518 19.9982348 
19.9982348 

2L. *t»i C 19.3668170 

iC 9.6834085 {^Iz^tJ' 

Donc l'angle 64° 44' 60", mesuré dans un plan incliné à 
l'horizon, se réduit à 64° 9' 41", lorsqu'il est projeté sur le 
plan de l'horizon. 



248 



TlIGOIfOKtTRIl 



Ce problème est utile dans Fart de lever les plans , 
lorsque les points qu'on veut déterminer sont situés à des 
hauteurs sensiblement différentes au-dessus d'un même 
plan horizontal • 

xciY. ExempleW. Connaissant les latitudes de deux points 
du globe, et leur différence en longitude, trouver leur plus 
eourte distance. 

On imaginera un triangle sphérique ACB formé par le 
pôle boréal C , et les deux lieux A et B dont il s'agit ; dans 
ce triangle on connaîtra l'angle au pôle ACB, qui est la 
différence en longitude des deux points A et B, et les deux 
côtés compris AC, CB, qui sont les compléments des latitudes 
des points A et B. On déterminera donc le troisième côté 
A 6 par les formules du cas m. 

Soient, par exemple, A et B les observatoires de Paris et 
de Pékin ; la latitude boréale de l'un de ces lieux est de 54° 
26' 36", celle de l'autre est de 33' 73", et leur différence 
en longitude est de 126^ 80' 56". Ainsi on aura 

a= 45° 73' 64" 

b= 65 66 27 

C=1SQ 80 56. 
D'après ces données on aura pour déterminera, les formules 

cojt C lanqh eos b cos ia^a) _ ^ ... 
tanq^= ^ , coê c= î II, dont voici le 

calcul 

L. C08 G.... 9.6114352 
L./o«y6.... 10.0776707 
\..%angf 9.6891059 

L'angle 9 que donnent les tables par le moyen de ce 
logarithme-tangente est 28° 94' 23". Mais il faut observer 
que cos C est négatif, et qu'ainsi tang 9 étant négatif, on 
doit prendre 9= — 28° 94' 23", ce qui donnera a — ç=74° 
67' 87". Cela posé , en observant que eos ( — ^)z=.co9 ç , on 
achèvera ainsi le calcul 

L. cos (a-^). . . 9.5880938 

L. co«6 9.8071953 

19.395*2891 

L. co« y 9.9534823 

L. co*c 9.441806b 



SPHÉRIQUE. 

Donc la distance cherchée e = 82° 1 6' 05". Cette nième 
distance peat s'exprimer en myriamètres par 821 .605; car 
un myriamètre est la longuear d'un arc de dix minutes, et 
un mètre est celle d'un arc d'un dixième de seconde. 

XGV. Exemple III. Pour donner un exemple du cas cin- 
quième, proposons-nous de résoudre le triangle sphérique 
dans lequel on connaît les deux angles A=±:78° 50' , B^S-i^' 0% 
et le côté opposé à l'un deux «=99° 20' 17". Au moyen de 
ces données, on trouve d'après le tahleau de l'art, xci, qu'il 
ne doit y avoir qu'une solution, parce qu'on a tout à la fois 
a< 100°, B< 100« et A>B. Voici le calcul de cet^e solution. 

sift B 

P Le côté h se trouvera par la formule ein h=i*in a r* 

stn A 

L. ain a..... 9.9999659 

L. *»n B 9.8751256 

10— L. ain k 0.0252525 

L. ain h 9.9003440 

Ce qui donne ^=58° 50' W ou son supplément 141° 49' 86"; 

mais puisque l'angle B est ^A, il faut que le côté h soit <C^a, 

ainsi la première valeur est la seule qui puisse avoir lieu. 

K. i i.i.. - cos B tanq a 
2° Pour avoir le côte c on doit faire tang 9= r""^^' 

tanq B sin » tanq B cot A sin a 

h. ain f 9.9999220 

L. co» B 9.8204063 L. ton^B — LR 0.0547193 

L. tang o — LR. . . . 1.9016731 L. co/ A 9.5455236 

L. tang f 11.7220794 L. ain (c — f ) 9.6001649 

y =98» 79' 28" .8 — ^ = 26" 7' 70".5. 

Ici on a encore le choix de prendre pour c — 9 la valeur 
26° 7' 70". 5, ou son supplément 173° 92'29".5; mais en 
prenant cette seconde valeur, on aurait c ^200°,- ainsi il 
faut s'en tenir à la première, qui donne c= 124° 81' 99". S. 

3° Enfin, pour calculer directement l'angle G nous pren- 
drons les formules cot ^=;fff-î-^22J? ^ sin (C — = 

MX 

cas A sin ^ 
cos B 



350 



TlIOONOHftTRII. 



L.êin^ 9.9999563 

L.coêa 8.098292S L. co« k 9.5202711 

L. tang B — LR . . . . 0.0547193 L. R — L co* B 0. 1795937 

h.coi^ 8.1530121 L. *ii»(C — ^) 9.6993211 

^ = 99*9' 45". 5 C— ^ = 33' 40^ 54".5 

^.99 9 45 .5 
C=132 50 .0 

On n'a pas pa prendre pour C — ^ le supplément de 
38"* 40' 54^.5, parce qu'il aurait donné pour G une valeur 
plus grande que 200^. Ainsi on voit qu'en effet le problème 
proposé n'est susceptible que d'une solution. 

IVoia. Si on fait usage de Tancienne diYÎsion dn cercle pour ]e calcul 
de ces exemples} les angles donnés ou calculés seront exprimés comme 
il suit : 

Exemple I. Angles donnés. MON = 58* 0' 5" 

DOM = 88* 18' 28", 8, DON = 94* 52' 40", 8. Angle calculé C =57" 
41' 4",9. 

Exemple, II. Angles et côtés donnés, a = 41* 9' 46", 

6 = 50* 5' 47", C = 1 14* 7' 30" . Çôté conclu, c = 73* 46' 40". 

Exemple III. Angles et côtés donnés. A = 70* 39', 3=48*36', 
o = 89* 16'53",6. Angles et côtés calculés. 6 =52*39' 4", 5, = 112* 
20' 16", 6, C = 119o 15' 0". 



TRIGOnOHÉTRIB. 



351 



APPENDICE 

Contenant la résolution de divers cas particuliers de la 
Trigonométrie. 



xcTi. La résolution des triangles, telle qu'on Tient de l'exposer, ne 
laisse rien à désirer du côté de la généralité. Il est néanmoins quelques 
circonstances où l'on peut, a^ec avantage, substituer des solutions 
particulières aux solutions générales, soit pour abréger les calculs, 
soit pour en rendre les résultats plus exacts et plus indépendants de 
Terreur des tables. Nous allons résoudre quelques-uns de ces cas 
particuliers , en choisissant ceux qui sont de l'usagé le plus fréquent , 
ou qui conduisent aux formules les plus remarquables. 

Nous continuerons de désigner par A , B , G , les angles du triangle 
proposé, rectiligne ou sphérique, et par a, b, c, les côtés qui leur sont 
respectivement opposés. Nous supposerons de plus le rayon des 
tables = l , ce qui n'altère pas la généralité des résultats. Les angles 
A, B , C, sont exprimés dans le calcul, soit parles degrés, soit par les 
longueurs obsolues des arcs qui les mesurent, ces arcs étant pris dans 
le cercle dont le rayon est 1 . Si un angle ou un arc x est très-petit , 
ou pourra mettre, au lieu de êin a et co« x, leurs valeurs en séries ; 

savoir : êin x = x — ^ 2 3^ ^ — l 2 ^ *^^** oïorsar 

doit être exprimé en parties du rayon. Un arc étant trouvé en parties du 
rayon , pour avoir sa valeur en minutes , il faut le multiplier par le 

20000 

nombre de minutes comprises dans le rayon ; ce nombre est = 

6366.1977237, et son logarithmes 3.80388012297. 

§ L Det triangles rectilignes dont deux angles sont 
très petits, 

xcTii. Supposons que les angles A et B soient très petits et par suite 

C très obtus , on pourra faire sin A= A — j A', sin B =r B — |, B', et 

sin C = *f» (A+B) =A + B — ^ (A+B)». Si donc on connaît le côté 

c avec les angles adjacents A et B , on trouvera les deux autres côté» 

1 c *fn A . c *»» B 

par les formules a= -: — 7T~r^f 6=—: — j . i fa. , lesquelles, en sud- 
^ *m (A+B) êtn (A+B) 



TRI60IfOHATRI£. 

stituant les valeurs précédentes et réduisant , deviennent 
cA 



"5— 

et de là résulte a-|-fr»c=^c AB. Ce» valetirs sont exactes, aux 
termes près qui contiennent quatre dimensions en A et B. 

xcvui. Supposons en second lieu qu*on donne les deux côtés a et 6, 
avec l'angle compris G=v— 6 étant très petit. On aura d'abord 
c'=ii» + 6» + 2fl6 cos ^ = o» + 6» + 2a6 (1— i ^2) = (o+fc)» — afc ; 
donc 

Ensuite l'angle A se trouvera par l'équation sin A=- sin G = - sin 6 , 

c c 

d'où l'on tire, en substituant la valeur de c et celle de êin $, sin A— 

Donc A=*Mi A + i «V A = -f,!-+îiiîLZ . f . De là on dédui- 

rait la valeur de B en permutant entre elles les lettres a et 6 ,* mais A 
étant connu , on a immédiatement 6=0 — A. Si est donné en minutes, 
pour avoir A exprimé aussi en minutes , il faudra , dans les formules 

A $ 

précédentes , substituer, au lieu de A et 0, les rapports -, étant 

u- tt 

le nombre de minutes comprises dans le rayon. On aura ainsi 

xcix. Pour donner un exemple de ces forqaules, soit a =1000^, 

6=2400", C=190«32' ou fc:-68' on aura a+br-c=^ 1200000 /68\ * 

3400 \ B. / 

s=0. 037806, d-où 0=3399"*, 962194. Ensuite on a par une première 
approximation A = j-j-^ = 20', et B = ^ — A = 48' j mais la formule 

et par suite B= 48'. 000 11054, valeurs qui doivent être exactes jusque 
dans la dernière décimale. 



TRIGOIfOlÉTRIB. 



§ II. Résolution du troisième cas des trianght rectilignes j^ar 
la voie des êèries. 

c. Étant donnés les deux cotés a et 5 et l'angle compris C , pour 

trouver l'angle B, on a la proportion & ; a :: «t » B s «»n (B-f- C), 

laquelle donne a sin B = 6 («in B eoi C + cos B sin C) , et par con- 

, ^ èin B 6 ««« C _. _ , , , 

sequent r 7;. Si dans cette équation on met à la place 

^ cos B a— C09 C ^ *^ 

des sinus et cosinus leurs valeurs en exponentielles imaginaires * , on * 

aura 

Bl/-. -TS\/-l C|/-l -<V_. 

— h \e —e ) 



e 4"* 2o— '6(0 -J-c ) 



d*où l'on tire 

. C|/-I • 

Prenant les logarithmes de chaque membre et développant le ^cond 
en série d'après la formule connue L (a~ar)— L a — - — — g-j — etc. , 
on aura 

2B|/-l = -e +— ,e +^0 +etc. 

— © — .T— —etc. 

_ , mCl/— I — mCIZ—î 

Donc en divisant par 2^ — 1 , et observant que e e 

= 2|/ — 1 •»» #» C , on aura 

b 

B = - *en C+ ^ sin 2C + — , «»n 3 ^-r sin 4C + etc. 
a * 2 a' * 3a^ ^ * 4a* ' 

C'est la valeur de l'angle B , exprimée en parties du rayon , par une 
suite dont la loi est très simple , et qui sera d^autant plus^convergente 
que b sera plus petit par rapport à a. 

La valeur qu'on vient de trouver doit satisfaire aussi à l'équation 

iang (B+J C) =|^^ *°^9 î C, qui est la même que fang -| (A— B) 

= ~rT cotiCj et qui ne diffère que par la forme , de l'équation 
a-f-b 

sin B b sin C 

cos B a— 6co»C 

Cl. L'angle B étant connu , on aura le troisième angle A;=200'*— B— C. 

Quant au troisième côté c, il dépend de l'équation c' = a* — 2 ah 

cosC + b^ , laquelle donne par l'extraction de la racine , 

&3 b^ 

cz=.a — b cos C +H- C — s—; sin^ C coh C — etc. 
* 2a Âa* 

a3 



d50 TRIGOirOMtTRII. 

lution du triangle sphérique proposé à ceHe d'un triangle rectîligne 
rectangle. 

On trouve par ce moyen que sin^ c est Iliypotliénuse d'un triangle 
rectangle dont les côtés sont sin ^ {a-^b) ain ^ G et sin ^ {a^b) c08\C. 
De même cos { e est l'hypothénuse d'un triangle rectangle dont les 
côtés seraient cos |(a — h) co» ^ C et co9 i (o-f- b) êin ^ G. 

De plus, si on appelle M l'angle qui dans le premier triangle est 

opposé au côté sin ^ {a^b) cos G, et dans le second , If l'angle 

opposé au côté cos ^ (o — b) cos ^ G , il résulte des analogies de Néper 

^ ^ — B ^A + B ^ «r A-4-B _ 

qu on aura — 5 — et — 5 — :7 Nous: 200*'— N; savoir : — { — =11 

si o+6<200», et A+£=200»— NBia+6> 200». Donc dans tout 

triangle sphérique où l'on connaît deui côtés o et 6 et l'angle compiis 

G, on peut trouver directement chacune des quantités ^^^^ ^-J--' 

par la résolution d'un triangle rectîligne rectangle où l'on connaît les 
deux côtét de l'angle droit. 

A p 

Il résulte aussi de là qu'après avoir trouvé l'angle M ou — r— 

2 

par la formule iang M = cot i G, on peut calculer le 

troisième côté par la formule 

. j sin i (a — b) cos ^ G _^ sin \ (a + b) sin j G 

sin M cos M 

iV. B. Les formnles trouvëes dans ce paragraphe s'appliqueront aisément à la 
résolution du cinquième cas des triangles sphëriques, puisque celui-ci peut se 
rapporter au troisième par propriété du triangle polaire. 

§ lY. RéêoluUon d'un triangle Mphérique dont deux côtés sont 
peu diffhrenU de 100<>. 

civ. Soient a et & les deux côtés donnés peu différents de 100^, on 
propose de déterminer l'angle G par le moyen des trois côtés a,b,c. 

Si les côtés a et & étaient exactement égaux à 100**, on aurait G=c; 
donc a et 6 différant très peu de 100^, l'angle G aura pour mesure un 
arc très-peu différent de c. Soit a = 100<*4.a, b^KXfiJ^Ç^ C = c+:r, 

si on substitue ces valeurs dans l'équation cos G=: ^^^^ cos a cos b 

8$n a sin b 

f . V eos C'-^sin eisinS . 

on aura cos (c+a? r= — . Mais pmsque k et 6 sont sup- 

cos ot cos o 

posés très-petits, on peut en négligeant seulement les termes où « et ^ 
montent au quatrième degré, faire 

sin X ain 6z=zotSf cos otoos = 1 — 2*~î * donnera 
cos c ~**— Cl c 

cas (c +*) =t = (l+K+if») O0> c - «S. 



TRIGOROMÊTRIE. 



â57 



Or , en négligeant le carré de x, on a coa (c-\'x) = cos c — x sin c; donc 

— X (e<»4.gg) cos c 
sine 

Et puisque x est du second ordre par rapport à a et ^, on Yoit qu'il n'y 
a de négligées dans cette valeur que les quantités du quatrième ordre. 
Soit i{ei'\'S)=p,^{at^€)z=q, ou ot=p'-{'q,€=p — q, on aura 
sous une forme plus simple 

Cette Taleur est exprimée en parties du rayon ; mais comme dan» la 
pratique petq sont donnés en secondes, si Ton veut que âr soit exprimé 
aus«i en secondes, il faudra faire 



x — ^tanj^ic—^cofl 



c. 



R étant le nombre de secondes contenues dans le rayon, nombre dont 
le logarithme =; 5. 803880h Connaissant x, on aura l'angle cherché 
C=c + 3r. 

La formule que nous venons de trouver est utile dans les opérations 
géodésiques pour réduirç & l'horizon des angles observés dans des plans 
inclinés ; elle est plus expéditive et demande des tables moins étendues 
que la formule du cas premier des triangles sphéiriques, dont nous 
avons donné un exemple (n^ 93). Cependant, si les élévations ou dépres- 
sions a et ^ étaient de plus de 2 ou 3 degrés , il serait plus sûr de se 
servir de la méthode générale. 

§ Y. Résolfition des triangles tjihériqueg dont Î&9 cùtés sont 
très petits par rapport au rayon de la sphère* 

ov. Lorsque les côtés a,h,e, sont très-petits par rapport au rayon 
de la sphère, le triangle proposé est peu difiPérent d'un triangle recti- 
ligne ; et, en le considérant comnae tel, on peut en avoir une première 
solution approchée f mais on néglige de cette manière l'excès de la 
somme des angles sur 200^. Pour avoir une solutidn plus approchée , 
il faut tenir compte de cet excès, et c^est ce qu'on peut faire très-aisé- 
ment, au moyen d'un principe général que nous allons démontrer. 

Soit rie rayon de la sphère sur laquelle est situé le triangle proposé, 
si l'on imagine un triangle semblable tracé sur la sphère dont le rayon 

est 1 , les côtés de ce triangle seront ^ > ^ i et on aura 

a b c 

cos cos- cos - 

r r r 

cd« A= ; » 

. o , c 

r r 

Hais puisque r est fort grand par rapport à a, 6, c, on aura d'une mar 



358 TEiGonoa&Tiiir. 
* xuv. nière très-approobée * 

-r= * ~ 275+2737475' ce,* - = l - 

CM I - 273+23:4Ïï^ » - - 2:375 » ^- 073 • 
Substituant ces Taleurs dans Téquatioii précédente, et négligeant Les 
termes de plus de quatre dimensions en a, 6, on aura 

2r« 24r» 4r» 

co« A = • 



bc /, 



Multipliant les deux termes de cette fraction par I-{ — etréduisant, 
on aura 

""'^=— 26r-+ — . 

Soit maintenant A' Tangle opposé au coté a, dans le triangle recti- 
ligne dont les côtés seraient égaux en longueur aux arcs a, b, c ; on 

aura coa A' = ^^i^^=l2!et 46»c3#m»A' =2a»6'+2a»c«+262c'— 
a* — 6* — c*. Donc 

coa A =co* A' — — ain^ A'. 

Soit A = A'-]' or, on aura en rejetant le carré de x, coaA=zcoaX^ — 

bc 

X ain ÈL, d'où Ton Yoit que — ain A'; et puisque x est du second 
b c 

ordre par rapport a ^ ~ » il ^'0° ^^'^ résultat efit exact aux 

quantités près du quatrième ordre. On aura donc 

A=A' + ^*.nA'. 

Mais \ bc ain A' est l'aire du triangle rectîligne dont o> b, c sont les 
trois côtés, laquelle ne diffère pas sensiblement de celle du triangle 
spbérique proposé. Donc si l'une ou l'autre aire est appelée a, on aura 

A=A'4-;r-z, OU A'=A — TT-T, On aurait semblablement B' = B — 
C'=C— et il en résulte A'+B'+C ou 2000=A + B + C — 

^ . On peut donc considérer ^ conune étant l'excès de la somme des 

Irois angles du triangle spbérique proposé sur deux angles droits. Gela 
posé^ on a ce tbéorème remarquable qui réduit la résolution des tri- 
I j^phériques très petits, à celle des triangles rectilignes. 

§ropoaé un triangle aphériqne dont lea côiéa aoni tv^apelita 



TEIGOROnÊTRlB. 



par rapport au rayen de la sphère, si de chacun de ces angles on re- 
tranche le tiers de l'excès do- la somme des trois angles sûr deux droits, 
les angles ainsi diminués pourrofkt être pris pour les angles d'un 
triangle reatiligne, dont les côtés sont égaux en'longueur à ceux du 
triangle spkérique proposé, ou en d'autres termes : 

Le triangle sphérique très peu courbe dont les angles sont Â, 
et les côtés opposé» a, b, c, répond toujours à un triangle rectiligne 
gui a les côtés de même .longueur a, b, c, et dont les an^s opposés 
*o«#A.— -j 8, B — jf, C— Jé, f étant l'excès de la somme des' angles 
du triangle sphérique proposé sur deux angles droits, 

GYi. L'excès cou ~, qui est proportionnel à l'aire du triangle, peut 
toujours se calculer a pripri par les données du triangle sphérique 
considé^-é comme rectiligne. Si deux côtés h, c, sont donnés avec Tangle 
compris A, on aura l'aire a=^ &o sin A ; si on donne un côté a et* les 

deux angles adjacents B, C, on aura l'airé «=tio' ^J!*!^^ - Ensuite 

^ stn (B+C) 

onaura«r=p R étant le nombre de secondes comprises dans le 

rayon, et de cette manière t sera exprimé en secondes. 

Pour appliquer ces formules aux triangles tracés sur la surface de la 
terre, considérée comme sphérique (l) , il faudra supposer que les 
côtés Ofb^c, ainsi que le rayon de la terre r sont exprimés en mètres. 
Or, puisque le quart du méridien j «r r est égal à lOOOOOÛO mètres , on 
en conclut leg r=: 6. 8038801 ; d'un autre côté le rayon R exprimé en 
secondes, a pour logarithme 5.8038801. Donc si au logarithme de 
l'aire a exprimée en mètres carrés , on ajoute le logarithme constant 
2. 196119, et qu'on retranchç dix unités de la somme , on aura le loga- 
rithme de l'excès t exprimé en secondes. 

Connaissant t on retranchera ou on supposera retranché -| t de chaque 
angle du triangle sphérique proposé, et alors dans le triangle rectiligne 
formé par les côtés a, b, e, et les angles A'=:A- — ^t^ B'=±:B — -g-c, G'= 
G — f^) on aura les données nécessaires pour en déterminer toutes les 
parties. Ainsi on connaîtra en même temps celles du triangle sphérique 
proposé. 

cvii. Exemple. Soient donnés l'angle G et les deux côtés a et 6, saYoir: 
C=123' ly 99". 23 
log 0=4.5891503. 
log & =4.5219271 



(i) Dans les opérations géodésiques les triangles sont le plus souvent formés 
entre trois stations inégalement éloignées du centre de la terre; mais, par des 
rédactions convenables , on substitue aux triangles observés les triangles qui 
résultent de* la projection des stations sur une même surface sphérique perpen» 
dicnlaire à la direction de la pesanteur. 



360 



nicoHosiraiB* 



la qnantilë {06 nn C qui repr^cente Vvn de biui^le, aan povr loga- 
rithme 8.780S5, à quoi ajmiUBt 2.19612, on anni I09 f=0.97667, 
partant i =9" .48 ai ii=3'M6. Cela poaé, U bat réamidrelelria»sle 
rectilipie daaa leqotl on a les deu côtés a et h ume ei-dcams, et 
l'aosle comprU C= 123* 19^ 96" .07. Pour cet cftst, wmw wmnms b 
méthode du ^S6, 

iamg (^^50») 8.8878392^ 

eeUCr 9.8381110 

A'— B' 



a 4.9801503 

h 4.S2I927I 



iangf 0.0672232 

#=M* 90^ 74'' .72 
IOO'^G'^61 99 98 .03 
^€^=38 40 1 .97 



U reste à détcmuer le 

anmC^ 

•••A' 

• 4.969190B 

•«•A' 9.78M9a3 

différcuce... 4.8096610 

êimtr 9.9?Qg008 

lo7e= 4.7741618 

Doue éauB le 
troaTcr seul : 



A'-B' 



A'+B_ 



8.7259603 



= r 39" .27 



^ = S 40 1 .97 

\ A' = 4I 78 41 .24 
r=:39 1 62 .70 

côtéc, ce qui ae lien par l'éqnatioa 



4.8Q36610 

•t»B'.. 9.7182661 
Ushz=. 4.A219Z71 

les nfmraii qull frUail 



A=r4I* 78^44" .40 
B=35 165 .86 
Is9 e =r 4.7741618^ ou c=59451-256. 



jr.JLlAMtkoded 



16. 



ai^i^floudbela 
Iras pcB difemb de aoo" et le Iroi- 
C^CB pcok»fc«at les {raads cô&és A'C» A'B, o« «an >■ 
e doHft les tNts côtés n ■ ihJ 

S TI. Dm trimmflt9 spitrifmm imU 



tnt très 



17. c^ui. Soit ABC le tnaugle sp Wi iqu a pioposé dana lequri A et B soat 
deux ai^;Ws ti è -n aiy »*> 9Nt UD sou tnai^^lepolaîici, de aoite qa^oa ait 
KI=aDO^~Act L:(=Sld»~B. Si ou prolouse les aicsn, 9L, jusquâ 
leur icucuaftivcaiC.il est clair qu*eu aura SX==:A, et U==B, letrîaagk 
LDI auiu doue ses otiaés tic»p(tits , et O sen daus le cas d être résolo 
par la aa é i li o d c du paï uff n^ W ptec^dcuft. Soieaft A% B', les trois 
aaslcs et •\ i\ c% ks tiuts ciMè» du taaack Ul, ou an 



TRIGONOHÊTBIS. 



S61 



h'^MKrzab &'=LK=sB 
C'=LKM=20(y»— c'=LM=32000— C. ' 

Donc trois éléments connus dans le triaâgle AËC en donneront trois 
dans le triangle LKM, et par conséquent tf ois aussrdans le triangle rec- 
tiligne auquel 'le triangle LOI peut être ramené : or, celui-ci étant 
résolu, on aura la solution du triangle LSM, et de là celle du triangle 
proposé ABC. 

cix. Soit par exemple, A =3^, B==2® et le côté adjacent c=:|50^, les 
données du triangle LKM, ou plutôt'A' B' C, seront o'=30, 5'=2« et 
l'aigle compris G' = 50^. Par le moyçn de ces données, on trouTe 

l'excès sphéfique t = 2^ hstnC _.333// 2I ^ et» le tiers de e étant 

retranché de G', le reste sera 490'98' 88'^93. Il faut donc résoudre un 
triangle rectiligne dans lequel on a les deux côtés. a'=: 30000'^, <&^=: 
20000", et l'angle compris G"=490 98' 88''. 93. On trouvera les deux 
autres angles A"=:l 03^64' 86". 33, B:=460 36' 24^.75, et le troisième 
côté c'=21244".36; ajoutant doutée aux angles A" et B" du triangle 
rectiligne, afin d'avoir les angles A', B' du triangle sphérique, on aura 
pour la solution cherchée 

A'=:o=l030 66'97".40 
B'=:6= 46 37 35 .82 
. G=200<'— c'=197 87 65 . 64. • 

§ VIL Du polygone réguUèr de Aix-eept c filée» 

ex. Nous terminerons ces applicatioàs du calcul trigonométriquje en 
donnant, d'après l'excellent ouvrage de Gauss, cité page 99, la manière 
d'inscrire le polygone régulier de 17 côtés par la simple résolution des 
équations du second degré. 
200° 

Soit l'arc -j-^-= «, je dis d'abord qu'on aura l'équation 

CO8 f+cos 3 ^4"^^' 5 f +co« 7 f^089f'\-co8 1 1 f-{^oa l3^+co* 1 5f ={ . 
Car si on appelle le premier membre P, et qu'os^ multiplie tous ses 
termes par 2co«f; qu'ensuite on change chaque produit de deux cosinus 
en cosinus d'arcs simples d'après la formule : 

2 C08 A CO8 B=co* (A+B)+cm(A— B) 

on aura 

2 P coa ^= 1-f 2co« 2 j»+2 co« 4»+2 co*6 ....... + 2 co8\Af-{-co8 16^. 

Or, puisque 17 ^=200°, on a co« 2 «»= co# (200''— 16 0»)=— co« 16^, 
co« 4 = co«(200° — 13^) =: — CO8 13^, et ainsi de suite jusqu'à 
C08 \6 f^^co8 f. Donc 

2Pco« f=l— 2co« l6jH-2co« 13o»— 2co* 11 ^. . .— 2co« 3 ^co«» 
ou 2 P CO8 ^=l-J-co« 2 P, ou2P(l-f-co« «?)=l+co« f.Donc P = i. 



TKIGONOHtTlII» 



Gela posé, je partage la somme des ternes qui composent P en deux 
parties, saT(4r : . ^ 

X7=zeo9 3 f^GOë 5,^-{-co« 7 f\^09 11 ^ 

J'aurai donc d'abord > itaoltipli^ ensuite les <^atre termes 

db « piir les quatre termés de y , «t changeant les produits de cosinus ea 
cosinus d'arc^ simples. J'obtiens, toutes réductions faites, 
«y =: 2 (cos 2 f-f^os 4 ^»+co* 6 y . . . -J-cqs 16 y) 

bu X jf=-->2 (co* 15 f\-co9 13 f>^os 11 y . . . +co« ») 

pu enfin a; y =: — T. 
Au moyen de ces équations on irouTe 

Maintenant si l'oji partage de nouTeaù les sommes ^ et y chacune en 
deux parties, savoirt 

S7=<+/ • y=:i*4-j8 

=:ca* 7 f +COS Hj» s = co9 9 f -j-cos 15 ^, 
on trouvera sembla blement * • . 

De sorte qu'on pourra déterminer les quatre nombres a, t, u, z, à l'aide 
de 4eux nouTelles équations du second degré. 

Enfin connaissant ca# f^^oa 13f>=U eicoaf coa 13 fz=:^{coa 12 f 
-{-coa 14 ^ ) = — 1( coa 3 f^ôa 5 ^ )= — ^ s , on obtiendra, par une 
quatrième équation'du second degré , la valeur de coa et de là celle 
du côté du polygone proposé, laquelle est 2 «tn f> ou 2 {/'{l-^coa^ f)> 

Quant à la méthode qui a dirigé le partagede ces diverses équations, 
elle tieht à une théorie très-délicate, fondée sur l'analyse indéterminée, 
et dont il faut voir le développement dans l'ouvrage même de Gauss, 
ou dans VEaaai aur la théorie dea nomhrea , deuxième édition. On y 
trouvera -la démonstration complète de ce théorème très-beau et très- 
général : 

« Si le nombre n est premier , et que n — ] résulte du produit des 
» facteurs premiers 2* 3^6'', etc., la division du ce^le parties 
■ égales pourra toujours se réduire à la résolution de « équations du 
• deuxième degré, Ç du troisième, y du cinquième, et ainsi de suite. > 



FIN. 



TMIfiOKOBtniB» 



Gela posé y je partage la somme dea termes qui composent P en deux 
parties, saTo^r : 

x=^coê 3 f^coa 5,^-{-co«-7 f\-coê 11 ^ 
y sccoê f-^coê 9 f-[<oê 13 f^^oê 15 f. 
J'aurai denc d'abord s^-f^ys: j ; je mnltipli^ ensuite les quatre termes 
à^s par les quatre termès de y, et changeant les produits de cosinus ea 
cosinus d'arcy simples, j'obtiens, toutes réductions faites, 

S'y=z 2 {coê 2 f-{-coê 4 f^oê ô f. . .-f-co,* 16 f) 
bu « y= — 2 {coê 15 f^oê 13 f>4^os 11 ^. . . +cm ») 
ou enfin » y= — 1'. 
Au moyen de ces équatiops on trouve 

ffaintenant si l'o/i partage de nouTeaû les sommes a; et y chacune en 
deux parties, savoir*: 

y=:tt4-J8 

sc==cos 3 9-{-coff &^ uz^coê f{-c08 \3 » 
=ca* 7 f +COS llf m:=cos 9 f-^-coê m fy 
on trouvera semblablement 

ê i M « = — J. 

De sorte qu'on pourra déterminer les quatre nombres ê, t, u, z, à l'cdde 
de <Ieux nouTeUes équations du second degré. 

Enfin connaissant co* o-^-co» 13 fz=z\A et cos f cos 13 (co« 12 a 
^coB 14 f )= — ^{co8 3 f\-<:oa 5 f )= — f s, on obtiendra, par une 
quatrième équation du second degré , la yaléur de cos ^ , et de là celle 
du côté du polygone proposé, laquelle est 2 s»» ou 2 [/ (1— co«^ f). 

Quant à la méthode qui a dirigé le partagede ces diverses équations, 
elle tieht à une théorie très-délicate, fondée sur l'analyse indéterminée, 
et dont il faut voir le développement dans l'ouvrage même de Gauss , 
ou dans VEasai sur la théorie des nombres , deuxième .édition. On y 
trouvera 4a démonstration complète de ce théorème très-beau et très- 
général : 

« Si le nombre n est premier , et que n — 1 résulte du produit des 
> facteurs premiers 2^ 3^ S'', etc., la division du cercle en n parties 
» égales pourra toujours se réduire à la résolution de « équations du 
• deuxième degré, € du troisième, y du cinquième, et ainsi de suite. » 



M 
B 



i 





I 




A 




i